Suite d'intégrales

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 13h00

Bonjour à tous,

Alors voilà j'ai un DM qui est un peu difficile (enfin pour ma part

)

Il traite de suite d'intégrales, voici l'énoncé :

-On a pour tout entier n :

$\text{[math]}$

1) Calculer et donner la valeur de I₁ :
-> $\text{[math]}$ 1 $\text{[math]}$

2) a)Montrer que (I_n) est une suite positive.
b) Déterminer le signe de I_n+1 - I_n

Je bloque pour la question 2

Merci

EDIT : Je pense qu'il faut faire un raisonnement par récurrence mais je ne sais pas comment m'y prendre, je prends la fonction $\text{[math]}$ ou carrément $\text{[math]}$ ?

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 13h23

(Je ne peux plus modifier le message et j'ai encore une précision à donner désolé d'avance pour le double post)

EDIT 2 : Ou sinon j'utilise la propriété de linéarité, je dis que comme $\text{[math]}$ est positive sur [1;0] et bien l'intégrale sera positive sur [1;0] ?

**PlaneteF** · 15/12/2013, 14h00

Bonjour,

Envoyé par zohane

EDIT : Je pense qu'il faut faire un raisonnement par récurrence (...)

Non, c'est beaucoup plus simple que çà, un simple raisonnement de positivité (ou négativité) suffit pour les 2 questions.

Envoyé par zohane

[1;0]

Depuis quand écrit-on les intervalles de la sorte

Cordialement

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 14h05

Envoyé par PlaneteF

Depuis quand écrit-on les intervalles de la sorte

Pardon

[0,1] (Sur le DM que mon professeur m'a donné c'est marqué "Montrer que pour tout réel x de [0; 1]"....

)

Sinon je pensais à évoquer la propriété de linéarité qui permet de dire que si la fonction sous l'intégrale est positive sur [0, 1] et bien l'intégrale l'est aussi sur [0, 1]. Puis-je avoir confirmation de cette méthode à utiliser please

?

Enfin pour faire un raisonnement de positivité ou de négativité je fais un tableau de signe de la fonction etc etc c'est bien ça?

Merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**PlaneteF** · 15/12/2013, 14h20

Envoyé par zohane

Sinon je pensais à évoquer la propriété de linéarité qui permet de dire que si la fonction sous l'intégrale est positive sur [0, 1] et bien l'intégrale l'est aussi sur [0, 1]. Puis-je avoir confirmation de cette méthode à utiliser please

?

Cette propriété n'exprime pas la linéarité de l'intégrale. C'est bien un argument de "positivité".

Sinon, c'est bien cette propriété qu'il faut utiliser pour les 2 questions.

Cdt

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 14h34

Envoyé par PlaneteF

Cette propriété n'exprime pas la linéarité de l'intégrale. C'est bien un argument de "positivité".

C'est noté, je ferai attention à cela la prochaine fois.

Envoyé par PlaneteF

Sinon, c'est bien cette propriété qu'il faut utiliser pour les 2 questions.

D'accord merci pour votre aide

.

___________

Juste pour avoir une confirmation sur les questions suivantes on a :

c) En déduire les variations de $\text{[math]}$

-On a $\text{[math]}$ qui est croissante puisque $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

d) Que peut-on en déduire ?

-On peut en déduire que ... (je suis tenté de dire que la suite est majorée et qu'elle est donc convergente mais je n'ai pas les informations nécessaires pour dire qu'elle est majorée et ça serait faux de dire cela puisque rien ne le prouve)

**PlaneteF** · 15/12/2013, 14h43

Envoyé par zohane

-On a $\text{[math]}$ qui est croissante puisque $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Non, c'est faux.

Cdt

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 14h50

Envoyé par PlaneteF

Non, c'est faux.

Cdt

Alors je dis que la suite est croissante car : $\text{[math]}$

**PlaneteF** · 15/12/2013, 14h53

Envoyé par zohane

Alors je dis que la suite est croissante car : $\text{[math]}$

Là tu dis rigoureusement la même chose, donc c'est toujours aussi faux !

Cdt

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 14h57

Envoyé par PlaneteF

Là tu dis rigoureusement la même chose, donc c'est toujours aussi faux !

Cdt

Mais parce que je ne vois pas ce qu'il faudrait dire autre que cela

Un tableau de signe et une étude de la dérivée de la fonction serait-il nécessaire

?

**PlaneteF** · 15/12/2013, 15h01

Envoyé par zohane

Mais parce que je ne vois pas ce qu'il faudrait dire autre que cela

Un tableau de signe et une étude de la dérivée de la fonction serait-il nécessaire

?

Exprime $\text{[math]}$

Que trouves-tu ? --> Cette quantité est manifestement négative, pas positive !!

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 15h07

Envoyé par PlaneteF

Exprime $\text{[math]}$

Que trouves-tu ? --> Cette quantité est manifestement négative, pas positive !!

Ah bon

?

Mmh d'accord :

$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$

Mais on aura toujours le numérateur positif et le dénominateur positif.. Je ne vois pas pourquoi la fonction est négative

**PlaneteF** · 15/12/2013, 15h15

Envoyé par zohane

$\text{[math]}$

Les intégrales, elles sont passées où ??!

**PlaneteF** · 15/12/2013, 15h20

Envoyé par zohane

= $\text{[math]}$

Mais on aura toujours le numérateur positif (...)

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 15h25

Envoyé par PlaneteF

Les intégrales, elles sont passées où ??!

Effectivement, j'ai oublié les intégrales

(Pour la notation je ne savais pas comment mettre $\text{[math]}$ en puissance mais normalement c'est bon

)

Donc je refais l'écriture :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 15h31

(Désolé encore pour le double post mais je ne peux plus modifier le message précédent comme j'ai fais trop de modification..)

Sinon ça donne :

$\text{[math]}$

**PlaneteF** · 15/12/2013, 15h39

Pour mettre $\text{[math]}$ en exposant, met des accolades --> x^{n+1}

Sinon dans ton intégrale il manque $\text{[math]}$

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 15h40

Envoyé par PlaneteF

Pour mettre $\text{[math]}$ en exposant, met des accolades --> x^{n+1}

Sinon dans ton intégrale il manque $\text{[math]}$

Donc on a alors :

$\text{[math]}$

(Sauf qu'on a pas le $\text{[math]}$ dans le sujet que le prof nous a donné..)

**PlaneteF** · 15/12/2013, 15h49

Envoyé par zohane

$\text{[math]}$

Tes exposants en Latex sont bancals (tu mets des accolades à tout bout de champ !).

Pour xⁿ écrire : x^n

Pour xⁿ⁺¹ écrire : x^{n+1}

Envoyé par zohane

(Sauf qu'on a pas le $\text{[math]}$ dans le sujet que le prof nous a donné..)

C'est un oubli de l'énoncé.

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 16h05

Envoyé par PlaneteF

Tes exposants en Latex sont bancals (tu mets des accolades à tout bout de champ !).

Pour xⁿ écrire : x^n

Pour xⁿ⁺¹ écrire : x^{n+1}

D'accord merci pour l'information

Mais la notation est correcte non? (si j'enlève les accolades que j'ai mis en plus, ça ne veut pas mettre ce que je veux dire..)

**PlaneteF** · 15/12/2013, 16h14

En Latex :

\int_0^1 \, \frac{x^{n+1}-x^n}{(1+x^2)^2} \, dx

Ce qui donne :

$\text{[math]}$

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 16h17

Pour tout vous dire, c'est la première fois que j'utilise Latex :/

Enfin bref, sinon je ne vois pas pourquoi ceci est négatif.. Je dois trouver une primitive et faire le calcul ou il faut faire autre chose..?

**PlaneteF** · 15/12/2013, 16h20

Quel est le signe de $\text{[math]}$ sur l'intervalle $\text{[math]}$ ?

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 16h37

C'est positif non?

(Je sais que vous allez me dire le contraire mais je ne vois pas pourquoi ._.)

**PlaneteF** · 15/12/2013, 16h47

Envoyé par zohane

C'est positif non?

(Je sais que vous allez me dire le contraire mais je ne vois pas pourquoi ._.)

Si tu penses que c'est positif, justifie le !

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 16h49

Envoyé par PlaneteF

Si tu penses que c'est positif, justifie le !

Parce que $\text{[math]}$ sera toujours plus grand que $\text{[math]}$ comme il y a toujours une puissance de plus et qu'on est entre 0 et 1

**PlaneteF** · 15/12/2013, 16h52

Envoyé par zohane

Parce que $\text{[math]}$ sera toujours plus grand que $\text{[math]}$ comme il y a toujours une puissance de plus et qu'on est entre 0 et 1

Alors prenons par exemple $\text{[math]}$ , et regarde le signe de $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ par exemple !

Qu'en penses-tu ?!!

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 16h59

Envoyé par PlaneteF

Alors prenons par exemple $\text{[math]}$ , et regarde le signe de $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ par exemple !

Qu'en penses-tu ?!!

Et bien j'en pense que j'avais raison mais quand je pense quelque chose c'est toujours le contraire qui arrive...

Enfin passons! Sinon pour montrer que c'est positif entre 0 et 1 je pourrai effectuer les deux seules possibilités qu'il y a en disant que c'est toujours positif :

Je remplace n par 0 et 1 et je montre que le résultat est positif dans les deux cas. Vous pensez que c'est bon comme cela?

**PlaneteF** · 15/12/2013, 17h04

Envoyé par zohane

Et bien j'en pense que j'avais raison (...)

Et ben moi je pense que tu as tort

$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ cela donne $\text{[math]}$ qui est NEGATIF

invite6dbc62e5 · 15/12/2013, 17h17

Envoyé par PlaneteF

Et ben moi je pense que tu as tort

$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ cela donne $\text{[math]}$ qui est NEGATIF

Mince! Mais que suis-je bête! Je pensais que $\text{[math]}$ était la valeur finale

Suite d'intégrales