Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite
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Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite



  1. #1
    Matheux68

    Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite


    ------

    Bonjour,

    J'ai un énorme soucis pour résoudre ce problème ...
    Le voici:

    On considère la suite (In) définie pour n(>=1) , par In=(intégrale entre 0 et 1 )(e^(-nx))/(e^(x)+1) dx
    Démontrer que la suite (In) est convergente .

    Alors j'ai conjecturé à l'aide de géogebra que la suite est décroissante :
    Pour n=1 -->0,2522
    Pour n=2 --> 0,1801
    Pour n=3 --> 0,1366
    Pour n=4 --> 0,1088

    Je suppose donc que ma suite est décroissante. Ainsi elle semble tendre vers 0 car pour
    n=99 --> 0,005. Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?), que le minaurant de cette suite est 0 pour que je puisse prouver qu'elle converge bien vers 0 et c'est là mon problème ! Je n'arrive pas du tout à la faire ...
    Déjà ce que je cherche à démontrer est que P(n): "(In)>ou = à 0" ? C'est bien ça ?
    Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
    Merci !

    -----

  2. #2
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît c'est assez urgent !
    Au moins une piste !
    Merci

  3. #3
    Dicolevrai

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Salut Matheux68!
    Théorème des gendarmes.


    Après, tu fais tendre n vers l'infinie et tu utilise le théorème des gendarme pour conclure.
    Bon après-midi!

  4. #4
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Démontrer que la suite (In) est convergente .
    Donc l'énoncé te demande de montrer que la suite est convergente, pas de trouver sa limite !


    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    que le minaurant de cette suite est 0
    Des minorants de cette suite, il y en a une infinité, donc ce n'est pas "le" minorant comme tu le dis, mais "un" minorant.


    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?)
    C'est tellement plus simple, la fonction à intégrer est positive donc la conclusion est immédiate !

    Ce qu'il faut surtout démontrer c'est que la suite est décroissante en montrant par exemple que :


    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?), que le minaurant de cette suite est 0 pour que je puisse prouver qu'elle converge bien vers 0 et c'est là mon problème !
    Attention, un minorant ne te permet pas de conclure sur la valeur de la limite (que de toute manière on ne te demande pas ici)


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 18h01.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Merci de ta réponse Dicolevrai ! Ok je fait le théorème des gendarmes ! Mais je ne comprends pas d'où sorte :
    (intégrale entre 0 et 1 de ) e^-nx dx < 1/(n(1-e^(-n)) ?
    Je fait une récurrence et je fait le théorème des gendarme dans l'hérédité ? ou je fait le théorème des gendarmes directement ?
    Merci !!

  7. #6
    Dicolevrai

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    On vient de démontrer que: .

    Applique la limite à cette double inégalité.
    Bon après-midi!

  8. #7
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Ok !!
    Mais est ce que je peux faire une récurrence comme :
    0<In+1<In... Comme ça je démontre ainsi que 0 est un minorant de la suite donc convergente ? Au lieu d'en faire 2 j'en fait une comme ça !
    Et dans l'hérédité je me serre de la fonction ! mais le problème c'est que la suite est l'intégrale de cette fonction entre 0 et 1 ... c'est ça qui me bloque en fait ...

  9. #8
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Mais est ce que je peux faire une récurrence comme :
    0<In+1<In... Comme ça je démontre ainsi que 0 est un minorant de la suite donc convergente ? Au lieu d'en faire 2 j'en fait une comme ça !
    Et dans l'hérédité je me serre de la fonction ! mais le problème c'est que la suite est l'intégrale de cette fonction entre 0 et 1 ... c'est ça qui me bloque en fait ...
    Mais c'est une obsession chez toi que de vouloir faire des récurrences à tout bout de champ ... Pas besoin ici !

    Exprime et tu montreras facilement que cette quantité est négative.


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 18h15.

  10. #9
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Je suis vraiment désolé Dicolevrai peut être que je suis débile, mais je ne comprends pas du tout d'où sort 1/n*(1-e^x)... C'est le noir total je ne comprends pas désolé... Peux-tu m'éclairer où est-ce que nous l'avons démontrer s'il te plaît ?
    Merci !

  11. #10
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Je cherche toujours compliqué c'est vrai !! je fait ça et je vous dit ce que je trouve !!
    Merci !!

  12. #11
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Alors j'ai In+1-In=(intégrale entre 0 et 1)( e^(-nx)*(-1+e^x))/((e^x)+1) ...
    (Je crois que ce n'est pas bon ce que j'ai fait ...)

  13. #12
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Alors j'ai In+1-In=(intégrale entre 0 et 1)( e^(-nx)*(-1+e^x))/((e^x)+1) ...
    (Je crois que ce n'est pas bon ce que j'ai fait ...)
    Il y a une petite erreur là où j'ai mis en rouge dans ta citation.
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 18h31.

  14. #13
    Dicolevrai

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Bon après-midi!

  15. #14
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Oui !! j'ai fait une erreur de signe ! c'est e^(-x) ( là où c'est écris en rouge !
    c'est ça ?

  16. #15
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Oui !! j'ai fait une erreur de signe ! c'est e^(-x) ( là où c'est écris en rouge !
    c'est ça ?
    Oui c'est cela.
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 18h52.

  17. #16
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Donc c'est positif puisque c'est une intégrale ? non ?

  18. #17
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Pourtant on cherche à démontrer que c'est négatif je ne comprends pas ...

  19. #18
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Donc c'est positif puisque c'est une intégrale ? non ?
    Voyons, voyons, ... un peu de sérieux stp !
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 19h31.

  20. #19
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    ben une intégrale représente une aire
    ( enfin d'après ce que nous en avons vu en cours on a pas fait tous le cours des intégrales c'est à dire qu'on a vue le cas juste où l'intégrale et positive ( méthode de Riemann) et nous n'avons pas vu les primitives ... )

  21. #20
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    ben une intégrale représente une aire
    ... une aire "orientée".
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 19h54.

  22. #21
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Désolé je n'ai jamais entendu parler de ça ... Le problème c'est que cette exercice serait résolu avec des moyens que l'on a jamais vu mais le résoudre avec nos connaissance relève presque de l'impossible ...

  23. #22
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Quel est la propriété de l'aire orientée s'il vous plaît ?

  24. #23
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Est-ce que tu connais au moins la propriété suivante : "Positivité de l'intégrale" dans le lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_...int.C3.A9grale ?

  25. #24
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Oui je ne connais juste la croissance et décroissance de l'intégrale ... Pas le reste avec la valeur moyenne ...

  26. #25
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Oui je ne connais juste la croissance et décroissance de l'intégrale
    Bon, ... et ben c'est bon alors ! ... Tu peux donc conclure.
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 20h08.

  27. #26
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Ah mais oui !! Si la fonction est décroissante alors l'intégrale l'est aussi ! c'est ça ?
    Donc je vais étudier le signe de la fonction ?

  28. #27
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Ah mais oui !! Si la fonction est décroissante alors l'intégrale l'est aussi ! c'est ça ?
    Non, ... pour la propriété dite de "Croissance de l'intégrale", regarde le lien que je t'ai donné précédemment.
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 20h14.

  29. #28
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Cela reviendrait à faire fn+1(x)-fn(x) ?

  30. #29
    PlaneteF

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Citation Envoyé par Matheux68 Voir le message
    Cela reviendrait à faire fn+1(x)-fn(x) ?
    C'est quoi ... C'est ni dans ton énoncé, ni dans le lien que je t'ai donné !
    Dernière modification par PlaneteF ; 16/03/2014 à 20h20.

  31. #30
    Matheux68

    Re : Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

    Oui pour moi c'est fn+1 qui associé à In+1 et fn associé à In ...

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