Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

[inviteb22d51ba]

Bonjour,

J'ai un énorme soucis pour résoudre ce problème ...
Le voici:

On considère la suite (In) définie pour n(>=1) , par In=(intégrale entre 0 et 1 )(e^(-nx))/(e^(x)+1) dx
Démontrer que la suite (In) est convergente .

Alors j'ai conjecturé à l'aide de géogebra que la suite est décroissante :
Pour n=1 -->0,2522
Pour n=2 --> 0,1801
Pour n=3 --> 0,1366
Pour n=4 --> 0,1088

Je suppose donc que ma suite est décroissante. Ainsi elle semble tendre vers 0 car pour
n=99 --> 0,005. Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?), que le minaurant de cette suite est 0 pour que je puisse prouver qu'elle converge bien vers 0 et c'est là mon problème ! Je n'arrive pas du tout à la faire ...
Déjà ce que je cherche à démontrer est que P(n): "(In)>ou = à 0" ? C'est bien ça ?
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci !
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[inviteb22d51ba]

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît c'est assez urgent !
Au moins une piste !
Merci

[inviteed684306]

Salut Matheux68!
Théorème des gendarmes.


Après, tu fais tendre n vers l'infinie et tu utilise le théorème des gendarme pour conclure.

[PlaneteF]

Bonjour,

Démontrer que la suite (In) est convergente .

Donc l'énoncé te demande de montrer que la suite est convergente, pas de trouver sa limite !

que le minaurant de cette suite est 0

Des minorants de cette suite, il y en a une infinité, donc ce n'est pas "le" minorant comme tu le dis, mais "un" minorant.

Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?)

C'est tellement plus simple, la fonction à intégrer est positive donc la conclusion est immédiate !

Ce qu'il faut surtout démontrer c'est que la suite est décroissante en montrant par exemple que :

Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?), que le minaurant de cette suite est 0 pour que je puisse prouver qu'elle converge bien vers 0 et c'est là mon problème !

Attention, un minorant ne te permet pas de conclure sur la valeur de la limite (que de toute manière on ne te demande pas ici)


Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb22d51ba]

Merci de ta réponse Dicolevrai ! Ok je fait le théorème des gendarmes ! Mais je ne comprends pas d'où sorte :
(intégrale entre 0 et 1 de ) e^-nx dx < 1/(n(1-e^(-n)) ?
Je fait une récurrence et je fait le théorème des gendarme dans l'hérédité ? ou je fait le théorème des gendarmes directement ?
Merci !!

[inviteed684306]

On vient de démontrer que: .

Applique la limite à cette double inégalité.

[inviteb22d51ba]

Ok !!
Mais est ce que je peux faire une récurrence comme :
0<In+1<In... Comme ça je démontre ainsi que 0 est un minorant de la suite donc convergente ? Au lieu d'en faire 2 j'en fait une comme ça !
Et dans l'hérédité je me serre de la fonction ! mais le problème c'est que la suite est l'intégrale de cette fonction entre 0 et 1 ... c'est ça qui me bloque en fait ...

[PlaneteF]

Mais est ce que je peux faire une récurrence comme :
0<In+1<In... Comme ça je démontre ainsi que 0 est un minorant de la suite donc convergente ? Au lieu d'en faire 2 j'en fait une comme ça !
Et dans l'hérédité je me serre de la fonction ! mais le problème c'est que la suite est l'intégrale de cette fonction entre 0 et 1 ... c'est ça qui me bloque en fait ...

Mais c'est une obsession chez toi que de vouloir faire des récurrences à tout bout de champ ... Pas besoin ici !

Exprime et tu montreras facilement que cette quantité est négative.


Cdt

[inviteb22d51ba]

Je suis vraiment désolé Dicolevrai peut être que je suis débile, mais je ne comprends pas du tout d'où sort 1/n*(1-e^x)... C'est le noir total je ne comprends pas désolé... Peux-tu m'éclairer où est-ce que nous l'avons démontrer s'il te plaît ?
Merci !

[inviteb22d51ba]

Je cherche toujours compliqué c'est vrai !! je fait ça et je vous dit ce que je trouve !!
Merci !!

[inviteb22d51ba]

Alors j'ai In+1-In=(intégrale entre 0 et 1)( e^(-nx)*(-1+e^x))/((e^x)+1) ...
(Je crois que ce n'est pas bon ce que j'ai fait ...)

[PlaneteF]

Alors j'ai In+1-In=(intégrale entre 0 et 1)( e^(-nx)*(-1+e^x))/((e^x)+1) ...
(Je crois que ce n'est pas bon ce que j'ai fait ...)

Il y a une petite erreur là où j'ai mis en rouge dans ta citation.

[inviteed684306]

[inviteb22d51ba]

Oui !! j'ai fait une erreur de signe ! c'est e^(-x) ( là où c'est écris en rouge !
c'est ça ?

[PlaneteF]

Oui !! j'ai fait une erreur de signe ! c'est e^(-x) ( là où c'est écris en rouge !
c'est ça ?

Oui c'est cela.

[inviteb22d51ba]

Donc c'est positif puisque c'est une intégrale ? non ?

[inviteb22d51ba]

Pourtant on cherche à démontrer que c'est négatif je ne comprends pas ...

[PlaneteF]

Donc c'est positif puisque c'est une intégrale ? non ?

Voyons, voyons, ... un peu de sérieux stp !

[inviteb22d51ba]

ben une intégrale représente une aire
( enfin d'après ce que nous en avons vu en cours on a pas fait tous le cours des intégrales c'est à dire qu'on a vue le cas juste où l'intégrale et positive ( méthode de Riemann) et nous n'avons pas vu les primitives ... )

[PlaneteF]

ben une intégrale représente une aire

... une aire "orientée".

[inviteb22d51ba]

Désolé je n'ai jamais entendu parler de ça ... Le problème c'est que cette exercice serait résolu avec des moyens que l'on a jamais vu mais le résoudre avec nos connaissance relève presque de l'impossible ...

[inviteb22d51ba]

Quel est la propriété de l'aire orientée s'il vous plaît ?

[PlaneteF]

Est-ce que tu connais au moins la propriété suivante : "Positivité de l'intégrale" dans le lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_...int.C3.A9grale ?

[inviteb22d51ba]

Oui je ne connais juste la croissance et décroissance de l'intégrale ... Pas le reste avec la valeur moyenne ...

[PlaneteF]

Oui je ne connais juste la croissance et décroissance de l'intégrale

Bon, ... et ben c'est bon alors ! ... Tu peux donc conclure.

[inviteb22d51ba]

Ah mais oui !! Si la fonction est décroissante alors l'intégrale l'est aussi ! c'est ça ?
Donc je vais étudier le signe de la fonction ?

[PlaneteF]

Ah mais oui !! Si la fonction est décroissante alors l'intégrale l'est aussi ! c'est ça ?

Non, ... pour la propriété dite de "Croissance de l'intégrale", regarde le lien que je t'ai donné précédemment.

[inviteb22d51ba]

Cela reviendrait à faire fn+1(x)-fn(x) ?

[PlaneteF]

Cela reviendrait à faire fn+1(x)-fn(x) ?

C'est quoi ... C'est ni dans ton énoncé, ni dans le lien que je t'ai donné !

[inviteb22d51ba]

Oui pour moi c'est fn+1 qui associé à In+1 et fn associé à In ...