Période et tableau de variations (+dérivées?)

[Wolfchess]

Bonsoir à tous,

Avant tout, j'ai écris dans le titre "dérivées?" car cet exercice est "classifié" dans la partie <dérivées> d'un dossier d'exercices que je dois effectuer mais je ne vois pas le lien avec.

Voici l'exercice :

"Déterminer la période de la fonction g(x) = sin2x + 2cosx et établir uniquement le tableau de variations sur cette période ainsi que les coordonnées des extremas."


Pour la période je trouve : sin2x -> période = 2π/2 = π et 2cosx -> période = 2π/1 = 2π donc on doit trouver un ppcm donc 2π

Ce qui nous donne période de sin2x + 2cosx = 2π.
Est-ce juste ?

Pour la suite donc effectuer le tableau de variations sur cette période je ne comprends pas comment je peux le faire à partir de cette fonction.
Je sais comment effectuer un tableau de variations et établir les extremas mais je ne vois pas le lien avec la fonction. (leffectuer la dérivée peut-être)
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance et bonne soirée à vous.

Ps : je me répète sans doute dans mes propos mais c'est pour être sûr d'être compris. N'y prêtez pas attention.
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[mehdi_128]

Les fonctions cosinus et sinus sont 2 périodiques.

Il faut exprimer

Vous pouvez calculer : et vérifier si ça donne bien ...

Pour le reste il suffit de dériver et de faire le tableau de variation.

[albanxiii]

il suffit de dériver.

On pourrait vous répondre la même chose sur vos fils...

Wolfchess, comment faites-vous d'habitude pour établir un tableau de variations ?
Bin là, c'est pareil sauf que vous n'avez besoin de le faire que sur un intervalle de longueur , puisque la fonction se répète tous les .

[Wolfchess]

Merci pour vos réponses mais le problème justement c'est que je faisais des tableaux de variations non trigonométriques.
Il ne doit pas y avoir une grande différence (valeurs avec π qui apparaissent).

Mais je n'arrive tout simplement pas avec cette fonction.
Nous sommes d'accord que tout d'abord il faut effectuer la dérivée de la fonction (+ factoriser) et ensuite le tableau de signe de cette dérivée pour ensuite faire le tableau de variations ?

Donc pour cette fonction j'obtiens la dérivée (sin2x + 2cosx)'

= 2cos2x - 2sinx (sans décomposer cos2x)
OU = 2cos²x - 2sin²x - 2sinx (si on décompose cos2x)

ensuite nous pouvons mettre en évidence le 2
-> ce qui nous donne = 2.(cos2x - sinx) (sans décomposer cos2x)
OU = 2.(cos²x - sinx²x - sinx) (si on décompose cos2x)

Ensuite je dois effectuer f'(x) = 0 pour faire le tableau de signes et c'est là que je bloque...
cos2x - sinx = 0 (sans décomposer cos2x)
OU cos²x - sin²x - sinx =0 (si on décompose cos2x)
Je ne vois pas comment faire le tableau de signe de cette fonction...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu as besoin de plus que résoudre f'(x)=0, tu as besoin du signe de f'(x) (*)
En fait, cos(2x) se calcule en fonction de sin(x) et en posant t=sin(x), tu auras un trinôme dont tu veux trouver le signe.
N'oublie pas que t est compris entre -1 et 1 puisque c'est un sinus, et tu dois te placer sur un intervalle de longueur 2pi; tu n'as toujours pas dit lequel.

Cordialement.


(*) quand f'(x)=0, la question du signe ne se pose pas, c'est ailleurs le problème.

[ansset]

Ensuite je dois effectuer f'(x) = 0 pour faire le tableau de signes et c'est là que je bloque...
cos2x - sinx = 0 (sans décomposer cos2x)
OU cos²x - sin²x - sinx =0 (si on décompose cos2x)
Je ne vois pas comment faire le tableau de signe de cette fonction...

suggestion :
écrire plutôt cos(2x)=1-2sin²(x)
en posant X=sin(x)
f'(x)=P(X) ou P est un polynôme du second degré en X ( avec X compris entre -1 et 1 )
Je te laisse prolonger.

[Wolfchess]

Sur [0,2π] ça me semble le plus facile. Là logiquement nous pouvons choisir car nous devons juste effectuer le tableau de variations de la fonction sur cette période.

J'obtiens bien un trinôme
Donc : cos2x - sinx
= cos²x -sin²x - sinx
= 1-sin²x -sin²x - sinx
= -2 sin²x - sinx +1

On place t= sinx

-2t² - t +1 =0

Je trouve t = -1 ou t = 1/2

sinx = -1 ou sinx = 1/2
On obtient comme solutions : (π/6, 5π/6, 3π/2).
Si je place ces valeurs dans mon tableau de signe, je dois effectuer sinx en fonction de ceux-ci ?
Si c'est le cas j'obtiens dans mon tableau entre la colonne de 5π/6 et 3π/2 un " + " et un " - ". C'est normal ?
Pour visualiser mon tableau j'ai donc f'(x) = 0 sur π/6 5π/6 et 3π/2 et donc je parle de la colonne entre 5π/6 et 3π/2

[ansset]

tu as bien les trois valeurs dans le cercle trigo ou la dérivée s'annule.
mais il faut vérifier ( en repassant au sin et cos ) qu'elle change bien de signe.
c'est juste le piège ici , car il y a un point ou elle s'annule sans changer de signe.

ps : pour l'intervalle de référence , prendre un intervalle usuel comme [0;2pi] par exemple.

[Wolfchess]

Donc je dois effectuer 2 lignes différentes dans mon tableau de signes (1 pour le sin et 1 pour le cos) et les additionner?
Je ne comprends pas pourquoi il faut vérifier en repassant au sin et cos parce que je trouve les solutions pour sin x.

[gg0]

Voyons, Wolfchess,

si je t'ai conseillé de passer par t c'est pour que tu t'en serves !
Tu as choisi de prendre x dans [0,2pi]. Que fait t=sin(x) quand x varie de 0 à 2pi ? et pour ces valeurs de t quel est le signe de -2t² - t +1 ? Bien sur, tu peux faire un tableau de signe de -2t² - t +1 en fonction de t pour t'aider.
Tout ça est des applications simples des cours sur le trinôme et sur les fonctions trigo; plus un peu de réflexion personnelle (toujours, en maths).

Bon travail !

[ansset]

ben, c'est ce qui a été fait au départ pour trouver les point où la dérivée s'annule.
mais ça ne suffit pas , il faut voir ( car la fct est en sin(x) ) si celle ci ( la dérivée ) change de signe ( ou pas ) !

[ansset]

ps : on sait que la dérivée ne s'annule qu'aux valeurs de x que tu as trouvé , et pas ailleurs.
il est inutile de faire des calcul compliqués ensuite , il suffit de voir le signe de f'(x) entre ces points ainsi que les valeurs de f(x) en ces points.

[gg0]

Effectivement,

mais être capable de raisonner sur le signe est un des attendus du lycée (que peu de lycéen acceptent de faire, ce qui explique beaucoup de désillusions en enseignement supérieur, voire des pleurs). Après tout, mettre en œuvre les résultats de cours est le travail des lycéens, non ?

Enfin cette méthode ne fonctionne pas avec des fonctions discontinues, donc est dangereuse ensuite.

Cordialement.

[ansset]

Enfin cette méthode ne fonctionne pas avec des fonctions discontinues, donc est dangereuse ensuite.

certes, mais prouver analytiquement ici ( avec les notions de Lycée ) que la dérivée s'annule bien en un des points ( que je ne mentionnerais pas ) sans changer de signe ne me semble pas immédiat.
il est évident qu'on part du principe que la fonction est continue ( mais ça c'est du niveau lycée )

mais si tu as une démo 'lycée" pour démontrer facilement cela.

[gg0]

Oui, très exactement ce que j'ai conseillé à Wolfchess au message #10. Au niveau où on fait ce genre d'exercice, on est censé connaître les variations de la fonction sinus et le signe du trinôme. Ça se faisait en F1 autrefois (les actuels STIDD).

Cordialement.

[ansset]

justement, ici le signe du trinôme en t ne suffit pas, ni les variations de la fct sinus seule.

[ansset]

désolé, en fait si !

[Wolfchess]

Merci.
J'ai trouvé la solution je pense.

Tout d'abord j'avais noté signe de f'(x) : +/0/+/0/ - / + mais ensuite lorsque je vérifiais avec d'autres x entre ces valeurs, (par exemple 2π/3 pour une valeur entre π/6 et 5π/6) je trouvais justement l'opposé.
Donc au final j'ai aussi obtenu +/0/ - /0/+/0+ .
Mais est-il possible de déterminer le signe entre les zéros sans chercher d'autres valeurs x à effectuer entre les zéros?(comme j'ai fait avec 2π/3 par exemple).
Je vous explique pourquoi j'ai d'abord eu comme premier tableau de signe : +/0/+/0/ - / +
->j'ai effectué le trinôme précédent : -2 sin²x - 2sinx +1
j'ai remplacé t=sinx
-> -2t²-t+1 et j'obtiens comme solutions -1 et 1/2 (qui donneront après π/6 , 5π/6 et 3π/2).
Comme tableau de signe pour ce trinôme (avec comme x : -1 et 1/2)
j'obtiens : 0 / + / 0 / - (avant -1 pas de signe car sinx est défini en [-1,1] .Juste?)
Et par rapport au tableau de signe qu'on obtient de la dérivée c'est différent. (sans doute parce qu'on divise 1/2 en 2 autres x -> π/6 et 5π/6 mais je ne vois pas le lien). Savez vous pourquoi ?

Donc au final vaut toujours mieux vérifier je suppose (évidemment) avec d'autres valeurs se trouvant entre les zéros mais le problème c'est justement ces "fausses routes" (là c'est mon tableau de signe du trinôme du second degré qui est différent de ma dérivée alors que j'ai juste remplacé t=sinx) qui me font perdre du temps. Je sais qu'il y a quelque chose que je loupe (tout bête) mais je n'arrive pas à savoir ce que c'est.

[Wolfchess]

donc j'obtiens pour f(x) sur [0,2π] : 2↗ 3√3/2 ↘ -3√3/2 ↗ 0 ↗ 2

[ansset]

pour construire un tableau de variation il te faut signaler aussi les valeur de x ou la courbe s'inverse et/ou la dérivée s'annule.
pour en revenir à ton polynôme P(t) de la dérivée , il donne ceci
http://www.wolframalpha.com/input/?i...+from++-1+to+1
en parcourant maintenant l'angle x de 0 à 2pi.
t=sin(x) varie entre de 0 à 0 en passant par +1 et -1.
en x=0 t=0 P(t)=1
en x=pi/6 t=1/2 P(t)=0 et son signe s'inverse
en x=pi/2 t=1 P(t)=-2
x continue mais t redescend .
en x=5pi/6 t=1/2 de nouveau P(t)=0 et le signe change de nouveau.
en x=3pi/2 t=-1 P(t)=0 mais son signe ne change pas car t recroit !
jusqu'à x=2pi

mais bon, in finé, tout ceci dépend aussi du fait que la fct sin ainsi que le polynôme sont continus, donc je ne vois pas de mal à prendre des valeurs intermédiaires pour savoir si les signes changent ou pas quand la dérivée s'annule.

[Wolfchess]

Merci mais comment peut on savoir que le signe s'inverse après tel ou tel zéro. Là dans ton explication, le signe de la dérivée s'inverse par exemple après π/6 alors que pour t=sinx la fonction décroit toujours. Je ne comprends pas pourquoi.

[ansset]

parce que la dérivée de ta fonction f'(x)=-2sin²(x)-sin(x)+1 s'exprime comme un polynôme P(sin(x)) qui s'annule et change de signe en sin(x) =1/2 soit en x =pi/6 ou 5pi/6

[gg0]

Wolfchess,

quand x varie de 0 à pi/2, sin(x)=t augmente de 0 à 1 en passant par 1/2 (pour x=pi/6). Voyons maintenant le signe de -2t² - t +1 : il y a deux racines, -1 et 1/2, et (règle du signe d'un trinôme) -2t² - t +1 est négatif avant -1, positif entre -1 et 1/2 et négatif après 1/2; tout ça concerne t. Comme t est un sinus et est toujours entre -1 et 1, il ne reste que 4 cas :
t=-1 : -2t² - t +1=0
-1<t<1/2 : -2t² - t +1<0
t=1/2 : -2t² - t +1=0
1/2<t<=1 : -2t² - t +1>0
(tu vois que je n'invente rien, je me contente d'appliquer intelligemment la règle. Tu pouvais en faire autant, ton cerveau marche bien)
Donc quand x varie de 0 à pi/6, t est entre 0 et 1/2 (deuxième cas) donc f'(x)= -2t² - t +1 <0
Ensuite, quand x =pi/6, t=1/2 (3-ième cas) et f'(x)= -2t² - t +1 =0
Puis quand x varie de pi/6 à pi/2, t est au dessus de 1/2 (quatrième cas) et f'(x) = -2t² - t +1>0

Je te laisse regarder ce qui se passe quand x varie de pi/2 à 3pi/2, en raisonnant de la même façon, puis sur 3pi/2 à 2pi (pour 2pi, tu dois retrouver la même situation qu'en 0, par périodicité).

Bon travail !

[Wolfchess]

Bonjour,

Pour le 2 eme cas -1<t<1/2 je ne comprends pas pourquoi le trinôme est négatif. Parce que le sinus est majoritairement négatif sans doute ?
Et sinon pourquoi lorsque t est entre 0 et 1/2 -2t² - t + 1 n'est pas positif ? (-2t² - t + 1 > 0) car lorsque t=sinx est entre 0 et 1/2 il est positif.
Si c'est bien comme ça qu'il faut procéder je comprends pour le 1/2<t<=1 : -2t² - t + 1 > 0 puisque t=sinx est d'office positif.
J'essaye de visualiser le cercle trigonométrique mais ça marche pas trop pour ce cas j'ai l'impression.
Donc au final t=sinx et la dérivée n'ont pas une liaison directe (au niveau des valeurs). C'est ça que je n'arrive pas à comprendre. Je commence à fonder des hypothèses mais elles deviennent vite illogiques.

Et ensuite je ne comprends pas le lien entre -2t² - t + 1 et -2sin²x - 2sinx + 1 au niveau des signes. Ils changent complètement.
A part utiliser la calculatrice pour chercher des valeurs entre les zéros et effectuer la dérivée, je n'arrive pas à
trouver les signes... J'essaye de comprendre justement sans l'aide de la calculatrice parce que toutes les fois(ou presque) où nous faisions des tableaux de variations (en cours) nous n'avions pas besoin de calculatrice car c'était des tableaux de fonctions non trigonométriques (rationnelles du genre -1/(x²-4)³ et donc nous devions établir par exemple à partir de la fonction x²-4 le tableau de -1/(x²-4)³ (à ce moment là nous n'avions pas encore vu les dérivées donc elles n'étaient pas "nécessaires". Et donc pour ce genre de cas les asymptotes, le signe de la fonction et le sommet nous guidaient pour le choix des signes, ce qui n'est pas le cas pour cette fonction. Pour l'instant, j'arrive pas sans l'aide de la calculatrice pour trouver les signes entre les zéros de la dérivée (-2sin²x - 2sinx +1) ...

[ansset]

tu compliques un peu.
ta dérivée s'exprime sous la forme d'un polynôme du second degré en t=sin(x)
P(t)=-2t²-t+1
t étant un sin, il ne varie que de -1 à +1
ce polynôme s'annule en -1 et en 1/2
et il est strictement positif sur l'intervalle ]-1;1/2[ donc là ou la fonction est strict croissante
et strictement négatif sur l'intervalle ]1/2;1] , là ou elle est strict décroissante.
ces deux intervalles pour t correspondent à des intervalles pour x ( t=sin(x) ) qu'il est facile de retrouver sur le cercle trigonométrique.

[gg0]

Wolfchess :
" -1<t<1/2 je ne comprends pas pourquoi le trinôme est négatif."
J'ai inversé les signes ! désolé ! Pourtant juste au dessus, je disais qu'entre -1 et 1/2, il est positif !
Voici les 4 cas :
t=-1 : -2t² - t +1=0
-1<t<1/2 : -2t² - t +1>+0
t=1/2 : -2t² - t +1=0
1/2<t<=1 : -2t² - t +1<0

Cette fois-ci c'est bon.
"Parce que le sinus est majoritairement négatif sans doute ?" ?? Je ne comprends pas ce que tu veux dire, sin(x) c'est t et t, on l'a dit, est entre -1 et 1/2 et on se moque de son signe, c'est celui de -2t² - t +1 qui nous intéresse.
Je reprends la suite :
Donc quand x varie de 0 à pi/6, t est entre 0 et 1/2 (deuxième cas) donc f'(x)= -2t² - t +1 > 0
Ensuite, quand x =pi/6, t=1/2 (3-ième cas) et f'(x)= -2t² - t +1 =0
Puis quand x varie de pi/6 à pi/2, t est au dessus de 1/2 (quatrième cas) et f'(x) = -2t² - t +1 < 0

Encore désolé de cette inversion.

[Wolfchess]

Pas de soucis.
Merci encore pour ces 4 cas que tu m'as montré. C'est beaucoup plus clair pour moi.
Je m'excuse aussi de ne pas avoir développé mon problème plus tôt.
Pour mon tableau de signes -2sin²x - sinx +1 j'ai comme valeurs x : 0 π/6 5π/6 3π/2 2π

Donc je trouve |0| |π/6| |5π/6| |3π/2| |2π|
|1| + | 0 | - | 0 | + | 0 | + | 1 |

J'ai trouvé les signes + entre 5π/6 et 3π/2 et entre 3π/2 et 2π à l'aide de la calculatrice.
Mais c'est justement ces + que je n'arrive pas à trouver par moi même.
Car je ne peux pas connaitre les signes entre 5π/6 et 3π/2 et entre 3π/2 et 2π à partir du tableau de signes de -2t² - t +1 où je n'ai que un + et un - défini entre -1 et 1 .

Peut-être que j'a choisi une mauvaise période (plus difficile à trouver les signes) même si la fonction se répète sur chaque période. Je ne sais pas vraiment.

[gg0]

Encore une fois, comme tu connais quelles valeurs prend t dans ces intervalles et le signe du trinôme en t, il n'y a aucune difficulté (sauf si on est incapable d'aligner 2 idées à la suite). Tu sembles encore mélanger entre x et sin(x) (=t).
Dans ton tableau, fais une première ligne sur les valeurs et l'évolution de sin(x)=t avant la ligne du signe de f'(x). Puis applique le signe de -2t² - t +1 (si tu as réfléchi à comment on le trouve).

Bonne réflexion !

[ansset]

Car je ne peux pas connaitre les signes entre 5π/6 et 3π/2 et entre 3π/2 et 2π à partir du tableau de signes de -2t² - t +1 où je n'ai que un + et un - défini entre -1 et 1 .

tu sais quand même faire le tableau de variation d'un polynôme du second degré entre deux valeurs, non ? et donc ses signes sur l'intervalle.

ps: au passage ces variations t'ont déjà été données à plusieurs reprises.

[Wolfchess]

Ah oui c'est bon.
En fait pour mon tableau, je cherchais bêtement le signe par exemple entre 5π/6 et 3π/2 alors que c'est le même signe qui se trouve entre -1 et 1/2 de mon tableau de signe de trinôme en t (-2t² - t +1) où j'ai un + entre -1 et 1/2 et un - entre 1/2 et 1
Donc au final si j'ai 5π/6 et 3π/2 ou 3π/2 et ensuite 5π/6 le signe entre les 2 est le même quelle que soit la position. Je ne sais pas si je suis clair.
Par exemple dans mon premier tableau de signes de la fonction en t j'ai
-2t² - t +1 . Il s'annule en -1 et 1/2 et entre ces 2 valeurs il y a un signe +

Mais dans mon tableau de ma dérivée -2sin²x - sinx +1 avec mes valeurs 0 π/6 5π/6 3π/2 2π , lorsque je cherche le signe entre 5π/6 et 3π/2 ça revient à chercher le signe entre 1/2 et -1 de mon tableau précédent en t (car sin(5π/6) = 1/2 et sin (3π/2)=-1)? Donc que 1/2 soit devant ou après -1 dans le tableau ne change rien au niveau des signes? Il faut bien évidemment respecter l'ordre dans lequel on place 2 valeurs x mais les signes ne changent donc pas si on les permute? C'est sans doute une question bête mais c'est pour être 100 % certain.