Exercice non résolu - Volume de solides de révolution - Calcul intégral

[invite7afc7062]

Bonjour,


Je ne comprend pas comment je peux réussir à poser mes intégrales pour trouver la hauteur de l'eau dans le problème suivant.


Une sphère de 8 cm de rayon se trouve à l'intérieur d'une seconde sphère de 13 cm de rayon, qui contient une certaine quantité d'eau. La coupe transversale ci-contre indique le niveau d'eau. Déterminer la hauteur de l'eau dans la grande sphère lorsque l'on retire la petite sphère. (La petite sphère touche dans le fond de la grande sphère).

Dois-je utiliser la méthode des disques, des disques troués, des tubes ? Comment dois-je m'y prendre. Merci d'avance.



Chris Cooper
-----

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas ce que sont les méthodes que tu évoques, mais la volume d'eau se calcule facilement en intégrant l'aire de la section de liquide par un plan horizontal.
Sans la figure, difficile d'en dire plus.

Cordialement.

NB : Je n'ai pas ta figure, mais la réponse peut sans doute aussi se trouver avec les formules des portions de sphère.

[invite51d17075]

Une sphère de 8 cm de rayon se trouve à l'intérieur d'une seconde sphère de 13 cm de rayon, qui contient une certaine quantité d'eau. La coupe transversale ci-contre indique le niveau d'eau. Déterminer la hauteur de l'eau dans la grande sphère lorsque l'on retire la petite sphère. (La petite sphère touche dans le fond de la grande sphère).

Je suppose que par "quantité d'eau , il s'agit de la hauteur de l'eau avec la petite sphère à l'intérieur.
Car si on te donne directement le volume d'eau ( qui ne change pas ) alors le diamètre de la petite sphère n'a pas d'importance pour calculer ja hauteur d'eau finale.
si on ne te donne que la hauteur initiale, il te faut d'abord faire une intégration pour en déduire le volume d'eau
puis appliquer la formule ( ou la retrouver ) reliant le volume d'une calotte sphérique à sa hauteur.

[invite51d17075]

Edit :
On doit pouvoir le faire ( si je comprend l'exercice sans dessin ) en utilisant uniquement la formule reliant le volume à une calotte , et faisant les opérations d'addition et soustraction ad-hoc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Où est le niveau d'eau initial dans la "coupe transversale ci-contre" ? Mystère, tu ne l'indique pas. "La petite sphère touche le fond de la grande" : donc les 2 sphères ne sont pas concentriques ?

Sans le dessin indispensable qui accompagne ton énoncé, on peut jouer aux devinettes...

[invite7afc7062]

Voici l'image du problème

[invite51d17075]

Où est le niveau d'eau initial dans la "coupe transversale ci-contre" ? Mystère, tu ne l'indique pas. "La petite sphère touche le fond de la grande" : donc les 2 sphères ne sont pas concentriques ?

Sans le dessin indispensable qui accompagne ton énoncé, on peut jouer aux devinettes...

Si cela semble clair, mais un poil plus facile à résoudre ( en supposant qu'on ne donne que la hauteur initiale et pas directement le volume, là encore plus simple )
si celui ci est inférieur au rayon de la petite sphère.

dans tout les cas, cela suppose de connaitre la formule du Volume de la calotte en fct de sa hauteur.
ou mieux , de la retrouver par intégration.

mais attendons effectivement, parfois on a des surprises

[invite7afc7062]

Je veux dire comment doit-on poser les intégrales?

[invite51d17075]

Je veux dire comment doit-on poser les intégrales?

la base du calcul repose sur le calcul du volume rempli d'eau au fond d'une sphère de rayon R
soit h la hauteur d'eau ( <= R pour l'instant )
l'idée est d'intégrer toutes les surfaces entre R-h et R.
celles ci valent( ou r est dépendant de la hauteur h' comprise entre R-h et R )
par pythagore on a :

d'ou

on en déduit l'intégrale sur r entre le haut de la surface et son bas.( donc selon les bornes de h )
je te laisse faire.

[invite51d17075]

je vient de voir ta pièce jointe.
il est clair que le volume d'eau ne change pas quand on enlève la sphère.
celui ci est facile à calculer puisque qu'il ne s'agit que de la différence entre le volume de la demi-grande sphère et le volume de la petite sphère.
reste à trouver l'équivalent entre ce volume et la hauteur restante ( une fois enlevé la petite sphère ) avec le calcul d'intégration indiquée.

[invite51d17075]

Pour revenir à mon post #9
tu devrais aboutir à
concernant le volume d'une calotte de hauteur h <=R
je ne dis surtout pas cela pour que tu appliques "bêtement" la formule (*)
mais pour que tu sois en mesure de la retrouver dans ton intégrale.

(*) le but de l'exercice étant justement de la montrer, pas de l'affirmer.

[jacknicklaus]

il ne s'agit que de la différence entre le volume de la demi-grande sphère et le volume de la petite sphère.

heu, non. ce n'est pas une 1/2 grande sphère, puisque l'eau affleure le sommet de la petite sphère soit une hauteur d'eau de 16, alors que le rayon de la grande fait 13.

la méthode reste valable, on trouve sans problème l'expression analytique du volume d'eau. Sauf erreur de ma part, trouver la hauteur d'eau quand on retire le petite sphère demande la résolution d'une équation de degré 3 qui "ne tombe pas juste". Je trouve une hauteur de l'ordre de 11.9 avec un solveur. Vous confirmez ?

[invite51d17075]

exact !
suis allé trop vite.

[invite51d17075]

reprenons, mais sans boulette de ma part ( confondu 13 et 16, vu l'écriture de 13 à l'horizontale, ainsi que le dessin trompeur )
le niveau initial dépasse donc le milieu de la grand sphère. ( de 1,5 )
suggestion de méthode
trouver d'abord le volume compris entre les deux sphères : VG-Vg
VG étant le volume d'eau ( théorique ) occupé par la grande sphère seule ( de rayon 13 ) avec le même niveau d'eau donc de hauteur 16 (2*8)
Vg étant celui de la sphère "engloutie ( facile à calculer )
VG correspond à la moitié du volume de celle ci plus une zone comprise entre H=0 et H=1,5 .
( car la hauteur d'eau est de 16 donc sup de 1,5 / milieu de la grande sphère )
cette dernière valeur que j'appele Dv peut se faire par la différence entre le volume de la demi-sphère vide et celui compris entre H=1,5 et H=16.
et ceci par la formule ( trouvé par intégrale du volume d'une coquille ).

ps; le dessin est mal fait , car on pourrait croire que l'eau initiale est tangente à la petite sphère.
hors il en reste un peu dessus ( vu les dimensions , ce qu'il faut donc calculer )

[invite51d17075]

ps : remplacer 1,5 par 3 évidemment

[gg0]

Bonsoir.

Il semble que Dr Cooper veut traiter cet exercice par la méthode des volumes de révolution, pas par la formule des calottes sphériques. Il suffit alors d'utiliser une demi-coupe suivant un plan vertical de mettre le repère approprié et d'applique la formule. On peut se contenter de ne traiter que le cas d'une courbe circulaire, puisque le volume de la petite sphère est connu.

Donc, pour ma part, j'attendrai que Dr Cooper nous dise quels calculs il a faits, comment il a pris le problème. Après avoir revu le cours sur l'application des intégrales aux volumes de révolution.

Cordialement.

[invite51d17075]

effectivement,
mais j'ai aussi un petit doute sur l'énoncé: le chiffre 13 présenté à la fois comme le rayon de grande sphère et aussi comme la dimension du segment tangent à la petite en son sommet ( sur le dessin ); ce qui est incompatible.

[invite51d17075]

mauvaise lecture de ma part concernant le remarque prédédente.

Bonsoir.
Il semble que Dr Cooper veut traiter cet exercice par la méthode des volumes de révolution, pas par la formule des calottes sphériques.

Concernant ,le volume d'eau, c'est possible.
mais pour calculer la hauteur restante après enlèvement de la petite sphère, je ne vois pas comme échapper aux calottes sphériques.

[invite7afc7062]

Je parle des méthodes de volume de révolution vu en calcul intégral.

[invitef29758b5]

Salut

Le volume d' une tranche de saucisson est ;
pi.R_(z)².dz
Il suffit de déterminer entre R et z

[invite51d17075]

quelle que soit la méthode, le principe ( le plus simple ) est de calculer le volume occupé par la grande sphère "coupée" à la hauteur de la petite.
le deux méthodes arrive au même résultat. ( même si j'ai été flou dans mon explication )
Il suffit ensuite de déduire de ce volume, le volume de la petite sphère, pour obtenir le volume occupé entre les deux.

[invite9c5de4d2]

Je parle des méthodes de volume vu en calcul intégral

V =integrale entre -R et R de pi(R^2-x^2)dx ou R represente le rayon et V levolume de la sphere

[invite9c5de4d2]

PS dans l image du l exercice il y a une erreur d orthographe :il est ecrit "determiner" au lieu de "determinez"

[jacknicklaus]

non, pour donner des instructions, on peut utiliser indifféremment le mode infinitif (déterminer) ou le mode impératif (déterminez). La vraie faute d'orthographe vient de toi : oubli du e accent aigu dans "déterminez"

[invite51d17075]

V =integrale entre -R et R de pi(R^2-x^2)dx ou R represente le rayon et V levolume de la sphere

pourquoi entre -R et R ?
ça ne répond pas au pb posé.

[invitef29758b5]

V =integrale entre -R et R de pi(R^2-x^2)dx ou R represente le rayon et V levolume de la sphere

Le rayon de la sphère est une constante , il ne varie pas de -R à +R
(En rouge les fautes d' orthographe)

[invite51d17075]

Salut

Le volume d' une tranche de saucisson est ;
pi.R_(z)².dz
Il suffit de déterminer entre R et z

@Dr Cooper.
c'est le plus rapide pour obtenir le volume de liquide théorique dans la grand sphère. ( en la supposant sans la petite à l'intérieur dans un premier temps )
mais ici R(z) correspond au rayon horizontal à abscisse z ( qu'il est facile de retrouver par Pythagore )
il faut aussi choisir les bornes ad hoc pour z.
Une fois ce volume trouvé , il suffit d'y retrancher le volume de la petite sphère plongée pour avoir le volume de liquide entre les deux.

ps: il est plus commode de faire tous ces calculs en prenant les valeurs de V/pi ( car cela évite de réécrire cette même constante partout )

[invite7afc7062]

Pour vrai je vous ai perdu.

[invite51d17075]

reprenons,
soir un volume de révolution autour d'un axe dont de rayon vaut r(z) (il est symétrique)
dans le cas d'un cylindre r(x) est contant par exemple = R
sur une hauteur allant de h1 à h2
le volume global vaut pour un cylindre:

soit comme prévu


ici on cherche un volume compris entre deux volumes.
sachant que comme le plus grand est une sphère R(z) dépend de z ( contrairement au cylindre )
la première des choses est de calculer le volume occupé par la grande sphère ( avec le niveau d'eau à même hauteur ) comme si la petite n'existait pas.
donc
il faut bien intégrer entre z1 et z2 par rapport aux endroits ou le liquide est présent.
puis trouver ( par Pythagore ) que vaut R(z) en fct du R ( de la grande sphère ) et de de z.

indication : si on prend comme 0 le milieu de la grande sphère l'intégration se fait entre -3 et 13 si tu regardes bien ton schéma.

[invite51d17075]

une image pour être plus clair.
j'ai positionné la grande sphère sur le coté, pour plus de lisibilité.
ici on s'intéresse au volume ( eau + petite sphère ) , donc on ne tient pas compte de cette dernière pour le moment.
comme dit plus haut le disque à l’abscisse t vaut
par Pythagore , tu peux déduire de et de
Il suffit ensuite d'intégrer cette valeur du disque entre les deux bornes ( la zone ou l'eau est présente ).
C'est la première étape.
Ensuite, il est évident d'en déduire le volume cherché quand on y enlève celui de la petite sphère.