0 puissance 0 !

**Médiat** · 28/08/2007, 05h59

Envoyé par Mahow

C'est une CONVENTION

Oui

Envoyé par Mahow

donc pas vraiment DEMONTRABLE

Oui

Envoyé par Mahow

(peut etre dans un futur proche ... qui sait ?)

Non

Envoyé par Mahow

C'est EVIDENT quoi !

Qu'est-ce qui est évident ?

Envoyé par Mahow

Donc on l'admet, sans le démontrer, tel un axiome ...

Oui

Envoyé par Mahow

même si il risque d'y exister un jour avec un démonstration rigoureuse de 0^0 = 1 ....

Non

Comme je l'ai déjà expliqué la notation x^ycorrespond à au moins 3 définitions dont une seule donne un sens à 0⁰ (celle de de la théorie des ensembles rappelé par taladris). Pourquoi la même notation ? Parce que ces définitions donnent le même résultat sur les domaines communs (difficile d'expliquer que 2^0.5) est un nombre d'applications). La question que l'on peut alors se poser est de prolonger la signification d'une notation avec une certaine cohérence (difficile d'expliquer que 2^0.5 correspond à 2 multiplié une demie fois par lui-même).
A partir du point de vue algébrique (x multiplié y fois par lui-même), le prolongement se fait facilement tant que x et y sont non tous les deux nuls, mais je peux considérer que 0⁰ est le prolongement de 0^x et on trouve 0, ou de x⁰ et on trouve 1.
A partir du point de vue analytique (x^y = exp(yln(x)), et je note exp(x) plutôt que e puissance x pour éviter une nouvelle convention d'écriture) je peux prolonger par continuité de x^x = exp(xln(x)), mais pourquoi pas la continuité de n'importe quelle fonction tendant vers 0 à la puissance n'importe quelle fonction tendant vers 0 (quand x tend vers 0) ; il va de soi que le choix de x est le plus naturel, mais il n'est pas imposé.

J'aurais pu dire la même chose à propos de la factorielle (si on dit que n! = 1x2x...n, rien n'impose d'imposer 0! = 1 ; si on prend comme définition de la factorielle qu'elle est la restriction à $\text{[math]}$ de la fonction $\text{[math]}$ , alors, par définition 0! = $\text{[math]}$ (0))

**Médiat** · 28/08/2007, 05h59

Envoyé par mmy

Quelle est cette application?

L'application vide (pour ZFC une application est un ensemble)

invité576543 · 28/08/2007, 06h15

Envoyé par Médiat

L'application vide (pour ZFC une application est un ensemble)

Intéressant. Alors pour tout cardinal c, c⁰=1, selon cette définition. Et si on prend la multiplication comme le cardinal du produit, on a pour tout cardinal c, c fois 0 = 0. Le cardinal de l'ensemble vide c'est le 0 absolu, le néantiseur auquel rien ne résiste

Cordialement,

**Médiat** · 28/08/2007, 07h41

Envoyé par mmy

Le cardinal de l'ensemble vide c'est le 0 absolu, le néantiseur auquel rien ne résiste

Alors que l'ensemble vide est le constructeur universel (tous les ensembles purs sont construits à partir de lui).

**invite9c9b9968** · 28/08/2007, 07h44

Envoyé par Médiat

Alors que l'ensemble vide est le constructeur universel (tous les ensembles purs sont construits à partir de lui).

C'est marrant, ce genre de chose est (avec quelques petits changements de vocabulaire quand même) d'actualité en physique quantique

**Médiat** · 28/08/2007, 08h24

Envoyé par Gwyddon

C'est marrant, ce genre de chose est (avec quelques petits changements de vocabulaire quand même) d'actualité en physique quantique

Tu en dis trop ou pas assez, je te laisse le temps du vol et une nuit de sommeil avant de nous en dire plus

.

invite7753e15a · 28/08/2007, 08h38

Quel est la différence entre 0! et 0^2 ?

**Médiat** · 28/08/2007, 08h52

Envoyé par Rammstein43

Quel est la différence entre 0! et 0^2 ?

Aucun rapport.
Cela fait plusieurs post où j'essaye d'expliquer que la notation n! et la notation x[exp]y[exp] peuvent avoir plusieurs définitions (heureusement globalement compatibles (sinon des notations différentes auraient été choisies)). Merci (à tous) de préciser quelle définition vous utilisez avant de poser une question sur ces points.

invité576543 · 28/08/2007, 09h01

Envoyé par Médiat

Tu en dis trop ou pas assez, je te laisse le temps du vol et une nuit de sommeil avant de nous en dire plus

.

Je pense que Julien réfère à la théorie des cordes dans laquelle toutes les particules sont des modes de vibration du vide...

Cordialement,

invite986312212 · 28/08/2007, 09h57

Envoyé par mmy

Intéressant. Alors pour tout cardinal c, c⁰=1, selon cette définition.

oui. On dit que vide est un objet initial dans la catégorie Ens.

**invite9c9b9968** · 28/08/2007, 12h15

Envoyé par mmy

Je pense que Julien réfère à la théorie des cordes dans laquelle toutes les particules sont des modes de vibration du vide...

Cordialement,

Hello,

Effectivement, ou plus simplement c'est déjà le cas en théorie quantique des champs.

**polo974** · 28/08/2007, 13h36

0⁰ ? = 1 ou 0

(par flemme d'écrire limite de ..., j'ai mis .0001)

0^.0001 = 0 mais 0^-.00001 non défini
Donc là, on est de toute façon au bord d'un problème, que ce soit à 0 ou juste en dessous...

.00001⁰ = 1 et -.00001^{0 = 1}
ici, de chaque coté de 0, le résultat est 1

Donc autant boucher le petit trou là ou c'est plat (= à 1) et accepter de faire un petit bon de 1 avant de sauter dans l'inconnu...

Donc en bon paresseux, je suis prêt à admettre que 0⁰ = 1

Ce n'est pas une démo mathématique, mais juste un peu d'eau au moulin.

**Médiat** · 28/08/2007, 13h57

Envoyé par polo974

Ce n'est pas une démo mathématique, mais juste un peu d'eau au moulin.

As-tu lus les interventions précédentes de ce fil ?

invitedf667161 · 28/08/2007, 23h43

Envoyé par Ledescat

Envoyé par GuYem

Salut à tous,

Juste pour ajouter ma goutte d'eau : on définit souvent l'exponentielle comme étant la somme des x^n/n! pour n de 0 à l'infini. Et ensuite, on écrit sans se poser de questions que exp(0)=1.

Pourquoi on se pose des questions maintenant ?

Je n'ai pas compris ton intervention ?

Je disais juste que quand on définit l'exponentielle comme la suite de la série et qu'on écrit ensuite exp(0)=1, on ne se pose pas de questions ; du moins, je ne m'en suis pas posé.
Et donc j'ai toujours trouvé étrange qu'on s'en pose plus tard. Cela dit, la question se pose, donc, parlons-en !

invite6748df08 · 11/10/2012, 12h46

Bonjour je voudrais tout de même proposer une démonstration fondée sur la définition et les propriétés de la fonction exponentielle.

1/ la fonction exponentielle peut être définie comme la réciproque de la fonction logarithme népérien donc on a exp(ln(1))=1 par définition de la fonction réciproque or ln(1)=0 donc exp(0)=1

2/ par ailleurs on sait que l'exponentielle peut être aussi définie par exp(x)=lim_n-->+∞ Σx^k/k! avec k entier naturel variant de 0 à n, donc selon cette expression exp(0)=lim_n-->+∞ (0⁰/0!) car tous les autres 0^k/k! sont nuls donc exp(0)=0⁰ (car 0!=1)

D'après 1/ ci-dessus exp(0)=1, donc 0⁰=1. CQFD.

Par ailleurs si vous considérez par exemple lim_n-->+∞ (1/n)^(1/n) vous obtenez 1, donc tout pousse à avoir 0⁰=1 par n'importe quel bout qu'on le prenne...

**shokin** · 11/10/2012, 14h16

Petit rappel : Pour en finir avec 0⁰, en épinglé de cette section du forum.

**breukin** · 11/10/2012, 14h17

0 puissance 0!!! = 0 car 0!!! = 1!! = 1! = 1.

invite14e03d2a · 11/10/2012, 14h18

Salut,

Médiat a écrit un article détaillé sur la question: http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html Tu devrais le lire.

Envoyé par mbj335

exp(x)=lim_n-->+∞ Σx^k/k!

Sauf que, pour pouvoir écrire cette égalité, tu as implicitement utilisé la convention $\text{[math]}$ .

invite6748df08 · 11/10/2012, 16h37

Ce n'est pas faux...alors il faut considérer exp(x)=lim_n->+∞ Σx^k/k! pour tout x non nul

Ensuite on place x dans un voisinage positif ouvert de 0, alors la série Σ_k=0-n(x^k/k!) converge uniformément vers exp(x) dans ce voisinage (enfin je le crois, détrompez-moi sinon...)

La fonction exp(x) est continue en 0 donc

lim_h->0(lim_n->+∞ Σ_k=0-n(0+h)^k/k!)) = lim_h->0 exp(h) = exp(0) = 1 du fait de la convergence uniforme de la série on peut inverser les limites ce qui donne :

lim_n->+∞(lim_h->0 Σ_k=0-n(0+h)^k/k!)) = 1 on sort le premier terme de la somme ce qui donne :

lim_n->+∞(lim_{h->0 ((0+h)⁰/0!} + lim_h->0 (Σ_k=1-n(0+h)^k/k!))) = 1 lorsque h tend vers 0 tous les termes de la somme s'annulent et dans la première partie il n'y a plus de n donc on obtient :

lim_{h->0 ((0+h)⁰/0!) = 1} soit 0⁰/0!=1 ce qui m'amène à la conclusion que les "conventions" 0!=1 et 0⁰=1 et la continuité de l'exponentielle en 0 sont liées entre elles et on voit mal ce qu'on pourrait prendre d'autre...

invite63e767fa · 11/10/2012, 17h15

C'est bien trop ennuyeux de lire les articles qui ont été écrits sur le sujet.
C'est bien plus agréable de ré-inventer (plus ou moins bien) !
Enfin, sans illusion, citons au moins trois papiers qui ne seront pas lus :

"Zéro puissance zéro égal un"
http://faq.maths.free.fr/html/node26.html

"Zéro puissance zéro. Zero to the zero-th power", par le lien:
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

"Pour en finir avec 0^0 ", par le lien :
http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html

Ces trois articles développent plus ou moins les mêmes arguments dans des styles différents, avec beacoup de ressemblances sur le fond. Et ce ne sont pas les seuls sur ce sujet, loin de là !

invite6748df08 · 11/10/2012, 17h36

JJacquelin, vous avez parfaitement raison, l'intérêt pour moi est moins de lire les publications existantes sur ce sujet que de parvenir par moi-même à des conclusions satisfaisantes et surtout justes mathématiquement, aussi si vous jugez que certains éléments que j'avance sont erronés ou contestables je suis tout ouïe...

**Seirios** · 11/10/2012, 17h58

Envoyé par mbj335

Ce n'est pas faux...alors il faut considérer exp(x)=lim_n->+∞ Σx^k/k! pour tout x non nul

Ensuite on place x dans un voisinage positif ouvert de 0, alors la série Σ_k=0-n(x^k/k!) converge uniformément vers exp(x) dans ce voisinage (enfin je le crois, détrompez-moi sinon...)

La fonction exp(x) est continue en 0 donc

lim_h->0(lim_n->+∞ Σ_k=0-n(0+h)^k/k!)) = lim_h->0 exp(h) = exp(0) = 1 du fait de la convergence uniforme de la série on peut inverser les limites ce qui donne :

lim_n->+∞(lim_h->0 Σ_k=0-n(0+h)^k/k!)) = 1 on sort le premier terme de la somme ce qui donne :

lim_n->+∞(lim_{h->0 ((0+h)⁰/0!} + lim_h->0 (Σ_k=1-n(0+h)^k/k!))) = 1 lorsque h tend vers 0 tous les termes de la somme s'annulent et dans la première partie il n'y a plus de n donc on obtient :

lim_{h->0 ((0+h)⁰/0!) = 1} soit 0⁰/0!=1 ce qui m'amène à la conclusion que les "conventions" 0!=1 et 0⁰=1 et la continuité de l'exponentielle en 0 sont liées entre elles et on voit mal ce qu'on pourrait prendre d'autre...

L'argument revient simplement à dire que $\text{[math]}$ , il n'est pas nécessaire d'en écrire tant pour cela. Il s'agit d'un argument en faveur de la convention $\text{[math]}$ (on ne fait que prolonger par continuité la fonction puissance nulle), mais il y a des contextes où on préfère prendre $\text{[math]}$ ; tout est détaillé dans les liens donnés par JJacquelin.

invite63e767fa · 11/10/2012, 18h02

Mon cher mbj335,
lire ce que vous avez écrit sur ce sujet ne m'amuse pas plus que cela vous amuse de lire les papiers qui ne sont pas écrits par vous.
Il n'est donc pas question que je commente "les éléments que vous avancez" et que je n'étudierai pas.
Ceci dit, je n'ai rien contre votre façon d'apprendre, qui a ses avantages et ses inconvénients. Bon travail personnel !

invite6748df08 · 11/10/2012, 18h10

Envoyé par Seirios

L'argument revient simplement à dire que $\text{[math]}$ , il n'est pas nécessaire d'en écrire tant pour cela. Il s'agit d'un argument en faveur de la convention $\text{[math]}$ (on ne fait que prolonger par continuité la fonction puissance nulle), mais il y a des contextes où on préfère prendre $\text{[math]}$ ; tout est détaillé dans les liens donnés par JJacquelin.

Merci pour votre commentaire, je ne suis pas d'accord avec vous, dans ce que j'ai proposé il n'y a pas de prolongement par continuité, il y a la continuité de la fonction exponentielle en zéro, c'est différent...

invite6748df08 · 11/10/2012, 18h21

Envoyé par JJacquelin

Mon cher mbj335,
lire ce que vous avez écrit sur ce sujet ne m'amuse pas plus que cela vous amuse de lire les papiers qui ne sont pas écrits par vous.
Il n'est donc pas question que je commente "les éléments que vous avancez" et que je n'étudierai pas.
Ceci dit, je n'ai rien contre votre façon d'apprendre, qui a ses avantages et ses inconvénients. Bon travail personnel !

Si je voulais chipoter je vous dirais que pour que votre première assertion soit vraie il faudrait que l'on puisse mesurer l'amusement, chez deux personnes différentes qui plus est, et qu'on puisse comparer les deux valeurs, ce qui semble hors de portée ! de plus vous ne savez pas si je suis en train d'apprendre, vous ne savez pas davantage s'il s'agit d'un travail personnel.
Pour le reste vous avez raison sachez que j'apprécie que vous respectiez ma liberté d'écrire ce que je souhaite ici comme je respecte la votre de le commenter ou pas.
Bonne soirée.

**Seirios** · 11/10/2012, 18h47

Envoyé par mbj335

Merci pour votre commentaire, je ne suis pas d'accord avec vous, dans ce que j'ai proposé il n'y a pas de prolongement par continuité, il y a la continuité de la fonction exponentielle en zéro, c'est différent...

Pourtant, écrire que $\text{[math]}$ pour en déduire $\text{[math]}$ est précisément un prolongement par continuité, non ? D'ailleurs, je ne vois pas pourquoi introduire la fonction exponentielle pour montrer cette limite alors qu'elle peut se montrer directement et plus simplement...

invite6748df08 · 11/10/2012, 19h22

Envoyé par Seirios

Pourtant, écrire que $\text{[math]}$ pour en déduire $\text{[math]}$ est précisément un prolongement par continuité, non ? D'ailleurs, je ne vois pas pourquoi introduire la fonction exponentielle pour montrer cette limite alors qu'elle peut se montrer directement et plus simplement...

Ah je crois qu'il y a une incompréhension entre nous, je n'ai pas utilisé le prolongement par continuité dont vous parlez dans ma démonstration, de même je n'ai pas cherché à démontrer la limite à laquelle vous faites référence, donc la question de savoir pourquoi introduire l'exponentielle afin de montrer cette limite ne se pose pas, puisque ce n'était pas l'objectif. En revanche que l'on puisse déduire ce prolongement de ce que j'ai proposé c'est possible mais si A => B on ne peut pas selon moi en déduire qu'utiliser A revient à utiliser B, autrement dit une équivalence entre les deux.

**Seirios** · 11/10/2012, 19h39

Dans ce cas, je ne comprends absolument pas où vous voulez en venir... Que cherchez-vous à montrer exactement ?

invite6748df08 · 11/10/2012, 20h32

Eh bien par pure curiosité intellectuelle j'ai cherché à démontrer que 0⁰=1, tout en sachant que je n'y parviendrais pas, évidemment, et du coup je suis tombé sur un autre résultat qui est 0⁰/0!=1 que je trouve intéressant...mais bien sûr je m'interroge car cela semble trop beau pour être vrai...ma démonstration est-elle valable ? etc. et j'en profite pour vous remercier pour votre participation.

invite6748df08 · 11/10/2012, 22h16

Ci-dessous la démonstration de la convergence uniforme de $\text{[math]}$ sur ]0;a] avec a un réel proche de 0 :
Posons $\text{[math]}$ ce sera plus simple pour la suite...

On a $\text{[math]}$ pour tout x de ]0;a]

$\text{[math]}$ on va choisir un n₀ qui convient de la façon suivante : $\text{[math]}$ , n₀ existe forcément car on a en particulier $\text{[math]}$
Et donc $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ car f_n est croissante.

Par ailleurs on a pour tout x de ]0;a] et pour tout n $\text{[math]}$ et en particulier donc $\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$ d'où il vient $\text{[math]}$

et donc : $\text{[math]}$ , on a trouvé un n0, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ converge uniformément sur ]0;a]

S'il y a un bug on dirait qu'il ne vient pas de là...

0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0!!!

Re : 0 puissance 0!!!

Re : 0 puissance 0!!!

Re : 0 puissance 0!!!

Re : 0 puissance 0!!!

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Re : 0 puissance 0 !

Discussions similaires

puissance 0 = 1

Puissance électrique , puissance mécanique.

Puissance

Conversion puissance acoustique - puissance electrique

Puissance