Complexes

[Médiat]

Désolé Médiat, mais je ne comprends pas lorsque tu me dis que - = 0 est faux, car, en prenant tes exemples,



On a :

(1x4)-(2x2) = 4-4 = 0

Donc ce n'est pas faux !

Oui mais est-ce que tu as = ?
Or tu dis que ces deux assertions sont équivalentes...
-----

[invite7753e15a]

Non, je suis d'accord avec toi, j'ai :



Cependant pour que cette relation soit correcte, il faut que
- = 0

Et c'est de ça que j'en déduis que =

Car, x (x-x=0)
Si ça marche pour x, ça marche pour tous les autres nombres, je crois qu'on appel ça une convention (je suis pas sur)

C'est de la que j'ai déduis l'égalité, alors, maintenant, peux-tu me dire si cela est faux ?

[invite7753e15a]

Personne ne veut me corriger ?

[Médiat]

Cependant pour que cette relation soit correcte, il faut que
- = 0

Comment obtiens-tu cela qui est faux comme le montre l'exemple que je t'ai donné ?

[invite7753e15a]

Que ça est faux ?

- = 0

[Médiat]

Cependant pour que cette relation soit correcte, il faut que
= 0

Oui, c'est cela qui est faux.

Ce que tu écrit est :


Et c'est manifestement faux cf. l'exemple que je t'ai donné.

[invite35452583]

Non seulement ton équivalence est fausse (regarde le contre-exemple de Médiat tu en trouveras ensuite facilement un pour lequel le membre de droite de l'équivalence est vrai mais le membre de gauche est faux).
De plus tu utilises une soustraction alors que l'on est en train de construire Z (quand on suppose que c'est fait, ce qui est une supposition vérifiée , pas de problème mais pas pendant la construction ça n'existe ps toujours)
Mais, surtout, tes posts depuis qu’a été introduit la notion de relation d'équivalence me laisse penser que tu fais une confusion entre "équivalence" et "relation d'équivalence".

Une équivalence est quelque chose de la forme P<=>Q où P et Q sont deux propositions vraies en même temps (ou fausses en même temps cela revient au même) P et Q peuvent dépendre d'une ou de plusieurs "entrées" exemples :
à une entrée "2n=20<=>3+n=13 pour tout n entier" (les deux sont vraies pour n=10 et fausses toutes deux pour les autres entiers)
Ce qui t'est demandé n'est pas de trouver une proposition équivalente à "a+b'=a'+b", donc il ne faut pas chercher quelque chose de la forme :
"a+b'=a'+b<=>Q pour tous les entiers naturels a, b, a' et b' ".
Je l'ai certes fait mais je n'ai en aucun cas dit que cela était une relation d'équivalence j'ai toujours parler d'équivalence :
"(a,b)R(a',b')
<=> a+b'=a'+b
<=> les équations a+x=b et a'+x=b' ont même solution dans Z (supposé construit et bien défini ce qui reste à faire)

Ce que l'on te demande est de montrer que la relation R définie par "(a,b)R(a',b') := a+b'=a'+b" est une relation d’équivalence, càd quelque chose qui va dire « oui ces deux couples sont "se ressemblent" » ou « non ne se ressemble pas » (selon cette définition).
(1,3) "ressemble" à (2,4) car 1+4=2+3
(1,2) "ne ressemble pas" à (2,1) car 1+1 =/= 2+2 (=/= signifie différent de)
(1,2) "ne ressemble pas" à (1,3) car 1+3 =/= 1+2
Quelles sont les propriétés qui doivent être vérifiées par une relation pour être une relation d'équivalence ? Montrer que ces propriétés sont bel et bien vérifiées par notre relation R, voilà ce qui est demandé.

Je te propose donc de faire un détour, pour mieux revenir aux nombres, pour mieux faire comprendre cette notion de relation d'équivalence.
Une relation d'équivalence est une nouvelle fois quelque chose qui permet d'identifier des choses qui au départ sont différentes (sauf si la relation d’équivalence est l’égalité elle-même).
Une relation d'équivalence est en premier lieu une relation entre éléments d'un ensemble E càd est une sous-partie de ExE (cette sous-partie selon que (a,b) y est ou non fait que certains éléments a et b sont "reliés" ou non).
Exemple de relation sur R : “x<y “ la sous-partie P(R) est constituée des éléments du plan situés en dessous (strictement) de la 1ère diagonale (équation y=x). Dire que x<y équivaut par définition que (x,y) est dans P(R). (Ca c’est juste pour poser les bases ça peut sembler une manière compliquée de « dire les choses » mais quand le sol est fragile il ne faut hésiter à prendre du temps à bien solidifier les fondations d’un bâtiment).
Une relation d’équivalence n’est pas une relation quelconque, elle est en quelque sorte une extension de l'identité. On la notera "Ressemble à" (tant pis pour l’économie d'écriture) et c’est pourquoi on exige qu'elle respecte les propriétés suivantes :
1) elle est réflexive : pour tous a de E a « Ressemble à » a
2) elle est symétrique : pour tous a et b de E, si a « Ressemble à » b alors b « Ressemble à » a
3) elle est transitive (cyclique chez wikipédia, 1ère fois que je vois ce terme néanmoins) pour tous a, b et c de E si a « Ressemble à » b et b « Ressemble à » c alors a « Ressemble à » c.
A comparer encore une fois aux propriétés de l’identité :
1) Pour tous a de E a=a
2) Pour tous a et b de E, si a=b alors b=a
3) Pour tous a, b et c de E, si a=b et b=c alors a=c.

Exemple
La relation définie sur Z et notée « a même parité que » par : a « a même parité que » b si et seulement si a-b est pair. Cette relation pourrait
On veut vérifier que cette relation est une relation d’équivalence :
Réflexivité : soit a un entier (relatif) a-a=0 qui est pair donc a « a même parité que » a.
Symétrie : soit a et b deux entiers tels que a « a même parité que » b, on a par définition a-b est pair, or l’opposé d’un nombre pair est pair donc b-a est pair et b « a même parité que » a.
Transitivité : soient a, b et c trois entiers tels que a « a même parité que » b et b « a même parité que » c. On a a-b est pair ainsi que b-c, or la somme de deux pairs est pair donc (a-b)+(b-c)=a-c est pair et a « a même parité que » c.
CQFD

Pourquoi une relation d’équivalence est une extension de l’identité ?
Pour cela on va définir ce qu’on appelle les classes d’équivalence. Une classe d’équivalence pour une relation « Ressemble à » définie sur un ensemble E est une sous-partie de la forme, a étant un élément de E, classe(a)={b dans E tel que a « Ressemble à » b}. En gros, on regroupe les éléments par affinité.
Sur notre exemple, on voit facilement qu’il y a deux classes d’équivalence la sous-partie des pairs=classe(0)=classe(2)=… et la sous-partie des impairs=clase(1)=classe(-1)=…
Ces classes vérifient la propriété suivante : deux classes sont égales ou disjointes (autrement dit soit elles regroupent les mêmes éléments soi elles n’ont aucun élément en commun).
En effet, si deux classes classe(a) et classe(b) ont au moins un élément commun c alors c vérifie a « ressemble à » c et b « ressemble à » c.
Par symétrie, comme b « ressemble à » c, on a c « ressemble à » b.
Par transitivité, comme a « ressemble à » c et c « ressemble à » b, on a a « ressemble à » b.
Maintenant soit d dans classe(b), on a b « ressemble à » d, donc par transitivité a « ressemble à » d aussi et d est dan classe(a).
Par symétrie on a aussi b « ressemble à » a, et on peut refaire ce qui est juste au-dessus pour montrer que si d est dans classe(a) d est aussi dans classe(b).
Classe(a) et classe(b) ont donc exactement les mêmes éléments dans ce cas.
Sinon, ils n’ont pas d’éléments en commun et sont disjoints.
Conséquence : pour n’importe quelle classe d’équivalence C, on a C=classe(a) si a est dans C. C est défini par n’importe lequel de ses éléments. On peut donc dire que a représente cette classe. (Les impairs peuvent être définis aussi bien par « ceux qui ont la même parité que 1 » que par « ceux qui ont la même parité que 3 »).
La réflexivité n’est pas encore intervenue, celle-ci permet de savoir que classe(a) est non vide pour tout a.
Si on note a*=classe(a) on a a « ressemble à » b est équivalent à dire que a*=b*. (Seul un petit détail de la preuve, faite à 95%, peut échapper à l’attention sans réflexivité on pourrait avoir ceci a ne « ressemble à personne » idem pour b d’où a* et b* sont vides mais a et b ne se « ressemblent pas » !).

Propositions d’exercice pour s’accaparer cette notion :
Pour les relations suivantes, répondre aux questions suivantes : i) R est-elle réflexive ? ii) R est-elle symétrique ? iii) R est-elle transitive ? iv) R est-elle une relation d’équivalence ? Si oui donner lui un nom du type « a même … que »
R1 : E={droites du plan usuel} dR1d’ =: d et d’ sont parallèles
R2 : E={droites du plan usuel} dR2d’ =: d et d’ sont perpendiculaires
R3 : E=IR (les réels) xR3y =: x<=y
R4 : E=R, f est une application de R dans R (quelconque) xR5y = :f(x)=f(y)
R5 : E=Q rR4p = : il existe un unique rationnel q tel que p=qr
Et…
R : E=NxN (les couples d’entiers) (a,b)R(a’,b’) = : a+b’=a’+b

[invite7753e15a]

Ok, merci, je laisse tomber ce chemin là !

[invite7753e15a]

Bonjours,

Bon alors on a :

x

et



Avec x,y,z des couples !

Prouvons que :



Prouvons que :

On a de



Donc

Prouvons maintenant que =>

De on a :



De on a :



Donc et

ainsi : CQFD

Voilà !

[Médiat]

Je re-rédige :

Avec la définition de suivante :


On doit montrer (en économisant les quantificateurs) que

1)
2)
3)

1)
qui est vrai puisque l'égalité est réflexive.

2)

Explication :

• La première équivalence est la définition de la relation
• La deuxième implication est la symétrie de l'égalité
• La troisième équivalence est la définition de la relation

3)
Je te laisse refaire la démonstration pour la transitivité, mais fait attention de ne pas utiliser la soustraction. Et je te conseille d'utiliser et plutôt que et

[invite7753e15a]

mais fait attention de ne pas utiliser la soustraction.

Mais on m'a bien dit que la soustraction a se faisait pas, mais j'y arrive pas sans la soustraction

[Médiat]

Mais on m'a bien dit que la soustraction a se faisait pas, mais j'y arrive pas sans la soustraction

Essaye avec des additions, cela marche très bien.
Commence par écrire tes deux hypothèses.

[invite7753e15a]

Mais ca vva pas comme ca ?

[Médiat]

Mais ca vva pas comme ca ?

Non car rien ne prouve que tes soustractions soient définies dans

[invite7753e15a]

Bon d'accord !

[invite35452583]

De on a :



De on a :



Donc et

ainsi : CQFD

Voilà !

Cette fois, c'est parti dans la bonne direction, c'est bien.
Il reste le problème déjà signalé par Médiat de l'utilisation de la soustraction (c'est tentant ) dans N.
Mais dans ce qui est fait pour montrer la transitivité tout n'est pas à jeter. Il y a une erreur de copie dans la 1ère hypothèse mais tout le monde aura corrigé.
Un indice pour la correction principale :
La première introduction d'une soustraction peut être corrigé, par une addition, mais ça fait revenir sur l'hypothèse. La conséquence n'est pas nécessairement à oublier bien qu'il faille corriger l'utilisation de la soustraction. Ainsi, la première égalité de la suite d'équivalence (drnière ligne) peut être réécrite avec uniquement des additions. Tu peux alors constater qu'ainsi corrigé elle amène aussi au résultat voulu (à justifier). Il reste à montrer cette égalité remaniée.
Tu disposes de deux "outils" :
1) dans N tu peux additionner les deux côtés d'une égalité un entier quelconque.
2) tu peux simplifier m+a=m+b =>a=b.
Le 2) faisant éventuellement disparaître ce qui a été introduit au 1).

[invite7753e15a]

Re bonjours, c'est quoi un E a l'envers ?
Merci !

[invitea774bcd7]

« Il existe »
--> http://fr.wikipedia.org/wiki/Il_existe

[invite7753e15a]

Oki merci !

[invite7753e15a]

Salut !

Je crois que j'ai trouvé !


Prouver que est une relation.

Donc on a :

x

et



Avec x,y,z des couples.

Prouvons que :


On a de



Donc

Prouvons maintenant que :
=>

Or,

et
Et en simplifiant les deux membres de l'équation ci-dessus par
On obtient :
=

C'est ça ???

[Médiat]

et
Et en simplifiant les deux membres de l'équation ci-dessus par
On obtient :
=

C'est ça ???

C'est un peu rapide

En invoquant l'associativité, la commutativité on obtient

Et en invoquant la régularité (c'est la propriété qui permet de simplifier (a+x=b+x ==> a=b), on obtient enfin :

Ouf et , tu t'en es bien sorti.

Je ferai un petit récapitulatif demain.

[invite7753e15a]

Héhé, je savais que je pouvais y arriver !
Heuresement qu'en classe on a revue les équations, sinon je crois que je n'aurais jamais pensé a simplifier les deux membres !

[invite7753e15a]

Bon, je sais que j'ai mis énormement de temps, pour faire cette petite relation qui m'a donné du fil a retordre, je suis même obligé d'avouer que j'ai failli vous demander (Médiat et homotopie) de me donné la solution. Cepandant, je ne vois pas trés bien comment cela nous permets de construire N
Es-ce que vous pouvez m'expliquer ?!

Merci !

[Médiat]

Petit récapitulatif : Nous sommes parti d'un ensemble muni d'une opération qui possède quelques "bonnes" propriétés : un élément neutre (0), associativité, commutativité et surtout régularité (j'insiste sur cette propriété car elle est mal connue, alors qu'elle est fondamentale ici).

Ensuite nous avons constaté que certaines équations très simples avaient des solutions et d'autres non (x + 2 = 5 a une solution, x + 5 = 2 n'en a pas). Et nous avons remarqué que l'on pouvait représenter ces équations à l'aide de deux entiers , mais que cette représentation avait un gros défaut : des équations similaires (équivalentes) pouvaient se représenter de plusieurs façons différentes (x + 5 = 2 est similaire à x + 4 = 1 (c'est justement la régularité de l'addition qui permet d'affirmer cela), alors qu'elles se représentent par deux couples différents (2, 5) et (1, 4). Nous avons trouvé une relation sur qui permet de dire que deux couples d'entiers "représentent" deux équations similaires (j'ai même envie de dire "la même équation"), et que cette relation est une relation d'équivalence.

Les relations d'équivalence ont une propriété merveilleuse : elles fabriquent une partition de leur ensemble de base (elles le découpent en sous-ensembles (les classes d'équivalence qui sont les sous-enembles d'éléments équivalents entre eux) disjoints dont la réunion est tout l'ensemble (c'est facile à démontrer)), il est donc naturel de considérer ce nouvel ensemble : l'ensemble des classes d'équivalence, cet ensemble s'appelle l'ensemble quotient de l'ensemble de base par la relation :
Je noterai la classe d'équivalence de .



Une chose à bien comprendre à propos de l'ensemble quotient, c'est qu'il "efface" l'individualité des éléments de l'ensemble de base pour ne conserver que les différences qui s'expriment à l'aide de la relation d'équivalence (l'équivalence dans l'ensemble de base devient l'égalité dans l'ensemble quotient) :

.

Pour être sur d'avoir avancé dans la direction qui nous intéresse, il y a encore quelques petites choses à vérifier :

1. Nous pouvons définir une opération sur nous la noterons )
2. On peut "retrouver" dans notre nouvelle structure (on peut trouver un morphisme de monoïde injectif (cf. plus bas) .
3. Nous avons bien ajouté des solutions pour nos équations de départ (nous pouvons les résoudre).
4. Nous n'avons pas ajouté "trop" de nouveaux éléments
5. Que peut-on dire de la nouvelle structure ?

Et nous devrons nous poser une question : en considérant un ensemble plus grand que celui de départ, nous avons trouvé (j'espère) des solutions à certaines équations, mais nous avons, ipso facto, donné naissance à de nouvelles équations, si elles n'ont pas de solutions dans notre nouvel ensemble, nous aurons certes avancé, mais nous ne serons pas au bout de nos peines, la question à résoudre sera donc : est-ce que les nouvelles équations ont aussi une solution dans notre nouvel ensemble ?

Quelques définitions :
Monoïde : (j'utilise le symbole pour être sur de ne pas utiliser un symbole trop connu) est un monoïde ssi est une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre (c'est bien le cas de ).

Morphisme de monoïde (en gros c'est une application entre deux monoïdes qui "respecte" leur opération) : soit et deux monoïdes dont l'élément neutre est respectivement e et f, et une application : , est un morphisme de monoïde ssi :



Et pour revenir à notre programme, nous devons définir une opération "naturelle" sur . L'idée ici, est simple et classique :
(attention, pour l'instant ce n'est qu'une idée, pas une définition, pour cela nous devons vérifier la validité de cette idée (est-ce que ce que j'ai écrit a un sens ?)).

On peut remarquer que dans le membre de gauche j'ai deux éléments de et un dans le membre de droite, c'est un bon début, mais c'est loin d'être suffisant. Tu peux remarquer que l'opération sur les classes d'équivalence est définie à partir des éléments de l'ensemble de base, comment être sur qu'en prenant deux éléments différents d'une même classe , je ne vais pas obtenir deux résultats différents (du coup mon opération sur les classes ne serait pas définie), autrement dit, nous devons vérifier que quelque soit les représentants choisis pour les classes du membre de gauche, j'obtiens le même résultat à droite (la même classe) ; ceci peut s'écrire :



C'est long à écrire, mais facile à démontrer : je te laisse faire. L'important c'est que tu comprennes bien que si on n'arrive pas à démontrer cela, notre opération n'existe pas !

[invite7753e15a]

Oki, je m'y met, cependant, c'est quoi c'est chapeaux ? Sur les (a,b) par exemple ?

[Médiat]

Oki, je m'y met, cependant, c'est quoi c'est chapeaux ? Sur les (a,b) par exemple ?

C'est juste une notation pour la classe de (a, b)

[invite7753e15a]

Ha oki c'est bon alors ! Merci !

[invite7753e15a]

Pfoui, tu veux pas m'aider, parce que là, je suis complétement largué !
Désolé mais je dois avouer que je comprends rien.
Un peu d'aide s'il te plait !

[invite35452583]

La 1ère chose à vérifier est que l'on peut définir une somme compatible avec les classes d'équivalence.
Tu sais que tu as déjà fait quelque chose de ce type ?
En effet, tu sais que si tu prends une fraction a/b et une autre c/d tu peux les multiplier le produit est égal à (ac)/(bd). Mais il se peut que a/b=a'/b' et c/d=c'/d', le produit doit donc être égal à (a'c')/(b'd') sinon il y aurait un problème. Or vérifier que deux fractions m/n et p/q sont égales revient à vérifier que mq=np.
J'en ai déjà beaucoup dit, il suffit de vérifier cette dernière égalité, puis de se rendre compte que c'est presque la même chose dans le problème qui nous préoccupe.

[Médiat]

Pour compléter ce que dis homotopie, tout en restant général, ce que tu dois bien comprendre, c’est que l’on peut « transporter » des opérations portant sur les éléments d’un ensemble E sur certains sous-ensembles de E à condition que l’on puisse « bien » définir l’opération sur ces sous ensembles (ici les sous-ensembles qui nous intéressent sont les classes d'équivalence).
Imagine que je veuille donner une définition mathématique à des expressions comme « ce nombre entier naturel est petit », ou « celui-ci est grand ». L’idée naturelle c’est de choisir des bornes, par exemple (et c’est complètement arbitraire) on dit que : est petit si 0 <= n < 100
n est moyen si 100 <= n < 1000
n est grand si 1000 <= n.
Suivant l’intervalle dans lequel se trouve un nombre entier naturel on dira que sa taille est petite, moyenne ou grande.
Tu peux vérifier facilement que la relation aRb ssi a et b sont de même taille est une relation d’équivalence.
La classe d’équivalence de 0 (ou de 1 ou de 96, etc.) est l’ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 99 inclus tous les 2, cette classe on l’appelle « Petit »
La classe d’équivalence de 100 (ou de 101 ou de 596, etc.) est l’ensemble des nombres entiers compris entre 100 et 999 inclus tous les 2, cette classe on l’appelle « Moyen »
La classe d’équivalence de 1000 (ou de 1001 ou de 155213546546546432435432135432 435424135496, etc.) est l’ensemble des nombres entiers supérieurs ou égaux à 1000, cette classe on l’appelle « Grand ».
L’ensemble quotient est donc l’ensemble à trois éléments {« Petit », « Moyen », « Grand »}, peut-on munir canoniquement cet ensemble d’une addition héritée de l’addition des entiers ?
On a vu que cette addition canonique aurait comme définition
classe(n) + classe(m) = classe(m + n).
Pas de chance, appliquons cette formule dans deux cas particulier bien choisis : je devrais avoir classe (70) + classe(70) = classe( 70 + 70) c'est-à-dire Petit + Petit = Moyen
Mais comme nous devrions avoir aussi classe(30) + classe(30) = classe( 30 + 30), c'est-à-dire Petit + Petit = Petit.
L’addition sur les classes n’est donc pas définie (impossible de définir Petit + Petit).

On peut essayer avec une autre opération interne : le max ; on devrait donc avoir
max(classe(n), classe(m)) = classe (max(n, m)), et là, tu peux vérifier que cela marche (en fait il est clair que la relation d’équivalence respecte l’ordre sur IN).

Tu peux aussi trouver des exemples « dans la vraie vie » : l’expression, concernant la peinture, "bleu + jaune = vert" prend tout son sens quand on la comprend comme une opération sur les classes, pour la relation « avoir même couleur ».