[QUOTE=Médiat;1281182]C'était le bon temps hein
[QUOTE]
Oui, on dessinait des patatoïdes, on les coloriait et Pouf ! on nous balançait une construction de IN avec des bijections, des cardinaux, des tas de trucs déments...
A côté faut dire qu'on était pas bien forts en géométrie
Hahahahaha, d'accord ! Je vois que l'académie Française a baissé le niveau !
En tous cas merci pour relation ! (En y regardant mieux, je dois dire que c'est pas si compliqué que ça en a l'air) lol !
Je venais vous dire, que je n'ai pas abandonné, donc, ne vous en faites pas si je répond pas tout de suite, je m'accroche !
A force de faire des copier-coller en Latex j'écris n'importe quoi
il faut lireEnvoyé par Médiat
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
A force de faire des copier-coller en Latex j'écris n'importe quoi
il faut lire
Bon alors voilà je vais surement te décevoir, mais je n'ai rien compris a l'article de Wikipédia.Cependant, je me suis quand même creusé la tête sur ta relation. Donc :
Suis-je sur la bonne voie ?
Là je suis d'accord, mais
Car sinon,
x+y=z où z
______________________________ ______________________________ _____
Si ensuite, tu marques
Ca équivaut a dire, pour moi, que
Suis-je sur la bonne voie ?
Oui, à ce stade seulLà je suis d'accord, mais
Tu es parti de la version avec faute de frappe, regarde la version que tu as collée ici.Si ensuite, tu marques
Pour montrer que cette relation est une relation d'équivalence tu dois montrer la réflexivité, c'est à dire
Pour la symétrie et la transitivité, c'est le même principe, mais attention, tu ne dois appliquer que des opérations licites dans
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Donc, si je comprends bien, il faut prendre en compte ça :
Et ne pas s'occuper de ça :
Mais,
Donc, si
C'est pas ça l'équivalence ?
ChoisiMais,
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Houla oui effectivement !
Bon je cherche dans une autre direction !
Je vais injecter un peu d'intuitif dans cet exposé très "bourbakiste" pour l'instant.
A été vu que N possède une addition avec des propriétés agréables (associativité, commutativité, existence d'éléments neutres, régularité...) et une multiplication (que l'on laisse temporairement de côté car l'addition n'est elle-même pas "complète").
Cette addition a des "trous" : les équations a+x=b n'ont pas toutes des solutions (alors que dans des problèmes concrets il y en a : si j'ai 50 euros sur mon compte et que je fais un chèque de 100 euros j'ai 50 euros en débit ou "-50 euros" en crédit , pas pour longtemps avec les agios mais ceci est une autre histoire).
Peut-on manipuler ces trous ? Oui par exemple si x est le "nombre inventé " solution de a+x=b et y solution de a'+y=b' alors "x+y" est solution formelle de (a+a')+(x+y)=b+b'. C'est agréable car ça se manipule exactement comme si x et y étaient des entiers naturels (d'ailleurs cela n'est que ça si x et y le sont) mais x n'est pas encore défini dans le cas général.
Comment interpréter ces solutions ? intuitivement on peut (une interprétation n'est jamais unique) les voir comme des déplacements pour aller de a vers b (donc en gros un vecteur) que l'on peut noter (b,a) (pour respecter la notation adoptée par Médiat). Mais, on introduit une difficulté (a,b) en tant que déplacement n'a pas une seule définition. Quelles sont les définitions possibles pour un tel "déplacement" (aller de a vers b "revient au même" que se déplacer de a' vers b') ou autrement dit à quelle(s) condition(s) (si on avait un endroit où x existe et où l'addition vérifie les mêmes propriétés qu'avant) deux équations a+x=b et a'+x=b' ont même solution ?
A été vu rigoureusement que cela implique que a+b'=a'+b (la réciproque se fait par disjonction des cas : la symétrie permet de supposer néanmoins que a'>=a, ce qui permet de n'en traiter qu'un, a'=a+k pour un entier naturel k donc a+b'=(a+k)+b donc par associativité, commutativité et régularité b'=b+k,. On a donc si a+x=b on a en additionnant k des deux côtés a'+x=b', or comme l'addition est supposée avoir les propriétés sus-nommées a+x=b et a'+x=b' n'ont qu'une solution possible donc a+x=b et a'+x=b' ont même solution, (a,b) et (a',b') définiraient bien le même élément.)
Ainsi, on a déjà :
si il existe une structure (et on sait déjà qu'elle existe, Z par exemple, question suspense c'est nul) avec une addition associative, commutative et régulière i) a+X=b et a'+X=b' ont même solution
ii) a+b'=a'+b
sont équivalents et équivaut à la notion intuitive "aller de a vers b (b,a) et aller de a' vers b' (b',a') définissent le même déplacement sur la bande numérique".
Pour simplifier ceci est noté (b,a)R(b',a') mais derrière il y a toujours l'idée que (b,a) et (b',a') définissent le même "truc". (c'est ça une relation d'équivalence : deux objets "ont même...", "représentent le même.." "sont de même..."). La notion qui est jumelé est l'identification. Exemple (qui va faire plaisir à Médiat) : on peut identifier deux objets par leur couleur, si on met des gommettes vertes, rouges et bleues à un enfant de maternelle et on lui demande de les regrouper par couleur il va faire un paquet de gommetes rouges , un des vertes et un dernier des bleues (en termes techniques ce sont des classes d'équivalence). Il a fait des identifications (deux gomettes rouges sont toujours différentes mais une de ces propriétés a été abstraite, la couleur, par laquelle elles sont identifiées). Ici, intuitivement (même déplacement) on peut abstraire la seule qualité "déplacement" (on oublie de quel nombre a ou a' on "part"), ceci rejoint la notion "même solution" mais cela n'aura de sens que la construction de Z finie. La condition a+b'=a'+b (pour laquelle la notion de "même.." est moins "concrète") permet de définir ceci sans avoir recours à autre chose que N et son addition.
Reste à vérifier directement que cette condition a+b'=a'+b est bien une relation d'équivalence alors. Lesquelles sont-elles et pourquoi ? Et bien une relation d'équivalence permet d'identifier, ces propriétés sont liées à celles de l'égalité elle-même :
i) "pour tous x on a x=x" devient "pour tous (a,b) (a,b)R(a,b)" (je le fais car quand on découvre cette notion on se demande bien ce qu'il y a à montrer), preuve : a+b=a+b. Voilà un peu de couleur et on réussit à montrer une évidence)
ii) "pour tous x,y on a x=y implique y=x" devient pour tous (a,b) et (a',b') (a,b)R(a',b') implique (a',b')R(a,b) (ça je le laisse)
iii) "pour tous x, y et z x=y et y=z implique x=z" devient "pour tous (a,b), (c,d), (e,f) (a,b)R(c,d) et (c,d)R(e,f) implique (a,b)R(e,f) (un tout petit peu plus de travail pour celui-là).
Là on aura donné de la consistance aux notions intuitives.
Il restera (je laisserai Médiat continuer son idée mais jje pense qu'entre-apercevoir ce qu'il y a après permet de se sentir moins déboussolé) à définir une addition sur ces nouveaux nombres (et aussi une multiplication mais on peut court-circuiter à un moment la construction et ne la définir qu'avec les propriétés de notre nouveau ensemble formé des "(b,a)").
Pourquoi faire aussi compliqué ? Après tout ne peut-on pas définir ainsi Z comme les couples (b,0) "+b" et (0,a) "-a" (a et b sont des entiers naturels) avec comme règle :
(b,0)+(b',0)=(b+b',0)
(0,a)+(0,a')=(0,a+a')
(b,0)+(0,a)=(b-a,0) si b>=a (b-a est alors défini dans N)
(b,0)+(0,a)=(0,a-b) si b<=a (a-b est alors défini dans N)
moins élégant, un peu plus long au niveau des vérifications mais sont toutes très simples mais finalement plus compréhensibles (b,0) ce sont b positrons (0,a) ce sont a électrons (,)+(,) est ce qui reste quand on met ces deux paquets de particules ensemble.
Mais cette construction a un énorme défaut : l'addition n'est pas, ici, définie uniquement à partir de l'addition de N, on a ajouter une règle (qui peut se résumer en un électron et un positron s'annihilent). Si on poursuit dans la même veine pour la multiplication on va devoir définir la règle des signes "+x+=+, +x-=-...) en gros de l'extérieur. Ce n'est plus N qui "gouverne" seul alors pourquoi appeler ça des nombres ?
Avec la vue ci-avant, on a a+x=b c+y=d, on multiplie on obtient ac+ay+cx+xy=bd on additionne ac des deux côtés (ac+ay)+(ac+cx)+xy=ac+bd d'où a(c+y)+c(a+x)+xy=ad+cb+xy=ac+b d xy est la solution formelle de l'équation ad+cb+X=ac+bd xy : (ad+cb,ac+bd) on peut alors vérifier directement la règle des signes (qui est donc "commandé" par N et par rien d'autre).
Pour les autres constructions c'est toujours cette idée, on a construit telle structure, or il y a des "trous" (à définir) qui formellement respectent des régles d'addition, multiplication induites par celles de la structure première qui en quelque sorte "commande" le tout. Si la 1ère structure est une structure de nombres l'extension aussi. (Et quand on remonte le tout, c'est donc N qui "commande" en quelque sorte tous les nombres).
Par exemple, on peut combler les trous de la multiplication au lieu de l'addition, on vire 0 qui est particulier, on obtient les fractions strictement positives (cette construction se fait en parallèle dans l'enseignement d'ailleurs, on mélange relatifs et fractions après)
On peut combler les deux, on construit alors Q
(des possibilités entre N et Q, dont les décimaux)
Q a des trous dans plusieurs sens possibles, la plus courante amène à R.
R a au moins un trou (X²+1 n'a pas de solutions) cela amène C.
...
Je laisse la main à Médiat pour finir de faire ces étapes de manière rigoureuse. (il y a du boulot, bon courage).
Damned I am discovered.
Et à Wittgenstein.
Merci homotopie d'avoir donné une idée intuitive du processus, c'est aussi nécessaire (je devrais aller me laver la bouche au savon noir si j'avais dit cela, heureusement avec les mains, c'est moins grave
Ce que je trouve très important dans ta présentation c'est d'avoir montré la vision électron/positron et son "défaut", qui est incontestablement une très bonne façon de guider l'intuition tout en montrant l'intérêt de la rigueur (ouf, les manes de mes ancêtres se sont rendormis
Avant d'aller plus loin on va laisser les lecteurs digérer.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Heu oui, mais en clair ???
Ca donne quoi, parce que je dois avouer que je n'ai pas tous compris !!
Enfin bref, moi, en attendant que quelqu'un est la gentillesse de m'expliquer tous celà en clair, je continue a chercher dans ma petite relation !
Il y a un beaucoup plus gros défaut (à mon humble avis): le zéro.
Avec la méthode par les "déplacements", le zéro peut entrer avec les négatifs. On peut partir uniquement des nombres les plus naturels, qui sont 2, 3, 4, 5, ... Même le 1, dont le statut est discutable, peut aussi entrer comme "déplacement", avec les négatifs et le 0.
Les nombres 2, 3, ... véhiculent tous l'idée de l'identité avec différence. Ce n'est pas le cas de 1, et encore moins du 0.
Cordialement,
Désolé mais là je n'ai pas compris.
Retournons à cette relation.Heu oui, mais en clair ???
Ca donne quoi, parce que je dois avouer que je n'ai pas tous compris !!
Enfin bref, moi, en attendant que quelqu'un est la gentillesse de m'expliquer tous celà en clair, je continue a chercher dans ma petite relation !
(j'en profite pour illustrer un point de mon exposé).
Je le fais pour la relation R': "a+x=b et a'+x=b' ont même solution" (je rmets tout ceci de manière rigoureuse après)
A montrer que cette relation R' est une relation d'équivalence
i) Soit une équation a+x=b, a-t-on (a+x=b)R'(a+x=b) ? Autrement dit l'équation a+x=b a-t-elle même solution que a+x=b ? Euh oui il suffit de l'écrire (et il n'y aucune ambiguïté car il n'y a qu'une solution possible)
ii) Soient deux équations a+x=b et c+x=d, (a+x=b)R'(c+x)=d implique-t-il (c+x=d)R'(a+x=b) ? autrement dit le fait a+x=b a même solution que c+x=d implique-t-il que c+x=d a même solution que a+x=b ? Oui, car cette solution est unique.
iii) Soient trois équations a+x=b, c+x=d, e+x=f est-ce que (a+x=b)R'(c+x=d) (c+x=d)R'(e+x=f) imlique-t-il que (a+x=b)R'(e+x=f) ? Autrement dit les faits que a+x=b et c+x=d ont même solution d'une part, et d'autre part, c+x=d et e+x=f ont même solution implique-t-il que a+x=b et e+x=f ont même solution ? Oui tout aussi évident (l'unicité de la solution est quand même uile).
Donc R' est une relation d'équivalence sur l'ensemble des équations de la forme a+x=b avec a et b entiers naturels si on est dans une structure pour laquelle ces équations ont une solution, Z par exemple. Ce qui fait que ça ne fait pas avancer la construction de Z mais peut aider :
i) à comprendre ce qui est attendu pour montrer que la relation R ("a+d=b+c") est une relation d'équivalence
ii) pourquoi une relation du type " ont même..." est l'exemple typique d'une relation d'équivalence.
Si tu as d'autres problèmes, pose des questions un peu plus précises sinon on va repartir pour un roman.
C'est un peu hors sujet, certes.
Quand on parle de relation d'équivalence, on parle de "choses" qui sont à la fois différentes et qui partagent une propriété commune. C'est une combinaison de différence et de similarité.
Grouper des "choses" ensemble tout en gardant leur distinction demande au moins deux choses. La notion de nombre, au sens cardinal (ce qui permet l'addition), la plus intuitive est obtenue ainsi, et correspond aux nombres 2, 3, etc.
Les nombres 0 et 1 peuvent être introduits ensuite, par les déplacements: 1 est ce qui permet de passer de 2 à 3, etc.
La construction alternative que tu proposais demandait une notion préalable de 0, ce que je trouve un défaut majeur. (La notion de nombre entier n'inclut le 0 que depuis peu de temps dans l'histoire, et reste philosophiquement discutable...)
La construction de Z par les déplacements, même si elle présentée usuellement à partir de N, a le bon goût de marcher aussi pour construire 0 et 1 à partir de N - {0,1}. Toute autre approche n'ayant pas cette propriété (disons au minimum la construction à partir de N-{0}) est inférieure à mon goût.
Cordialement,
en fait dans la construction d'Homotopie, le zéro n'est pas une notion préalable, c'est juste la classe d'équivalence des couples (a,a), non?
OK je compris mieux ce que tu entendais par "identité avec différence".
Cette bonne remarque, ça je l'avais bien compris.
On ne parle pas de la même. Dans celle introduite ici par Médiat (rendons à...) oui (a,a) fait office de 0 par contre celle avec les électrons/positrons, elle, exige que zéro existe (ce qui lui met un défaut supplémentaire).
Heu, un petit indice serait le bienvenue pour la relation de l'autre fois !
Merci d'avance, parce que j'ai beau chercher de partout, je suis pas sur de comprendre tous !
Merci d'avance !
Je pensais t'en avoir laissé un en traitant un exemple voisin. Je vais le sortir du reste du texte :
Avec ceci tu devrais mieux voir ce qu'il faut faire pour montrer que R est une relation d'équivalence (montrer que (a,b)R(a,b) est traité dans un post précédent, c'est en couleur ça devrait aider à retrouver). Seul un des points est délicat à montrer (si on reste dans N, dans Z c'est trivial mais on n'y pas le droit) mais Médiat a déjà montrer sur un exemple comment procéder seulement sur N.
Tres bien merci beaucoup, cepandant je ne comprends pas ce que vous dites, quand vous dites que c'est trivial ?
En langage mathématique, trivial signifie "évident" dans le cadre d'une démonstration.
D'où la blague bien connue du jeune thésard montrant son travail à son directeur de thèse ; le directeur de thèse au bout d'une minute dit "Mais, c'est trivial", après une nouvelle minute de réflexion il précise "Et puis c'est faux", encore une minute et il conclut : "De toute façon je l'ai déjà publié".
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Autre exemple mais moins drôle que celui de Médiat.
Quand on a regardé une condition pour que a+=b est mêm solution que a'+x=b'. Si on se place dans Z, on a x=b-a et x=b'-a' donc une condition est b-a=b'-a'. Dans ce cadre il n'est pas abusif arrivé à un certain niveau de dire qu'une condition évidente est b-a=b'-a' sans autre procès.
Sinon anecdote (ou légende je ne suis pas sûr), un professeur d'une université étasunienne (je vais regarder si je retrouve son nom) fait son cours et affirme qu'un résultat est trivial quand un étudiant lui demande pourquoi, le professeur réfléchit, sort dans le couloir, revient au bout d'un temps non négligeable puis déclare "en effet, c'est trivial" puis reprend son cours exactement là où il l'avait laissé.
Ha trés bien, merci pour vos précisions !
Bonjours,
Puisque :
Comme il faut prouver la relation entre :
Or, cette relation est vrai si et seulement si
Donc
Suis-je sur la bonne voie ?
Merci de vos réponses prochaines !
voir à cette adresse:
http://perso.orange.fr/fabien.besnar...es/nombres.pdf
un petit texte intitulé "autour du concept de nombre"
Merci bien, mais rassure moi, je ne suis pas censé comprendre tous ce qu'il y a la dedans ? Parceque là, j'en suis à la cinquième et j'ai pas tous compris !
Ca c'est la définition de la relationComme il faut prouver la relation entre :
Ce que tu dois démontrer c'est qu'avec cette définition
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, mais, comme je l'ai écrit au-dessus, cette relation est vrai si et seulement si
Donc
Si
alors ((
Y a bien une relation d'équivalence là non ?
Je ne sais pas comment tu as démontré cela, mais c'est faux (essaye avecOui, mais, comme je l'ai écrit au-dessus, cette relation est vrai si et seulement si
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Désolé Médiat, mais je ne comprends pas lorsque tu me dis que
On a :
(1x4)-(2x2) = 4-4 = 0
Donc ce n'est pas faux !
Peux-tu m'expliquer s'il te plait !
Merci d'avance.
