Complexes

[Médiat]

A moins que ce que tu veux me démontrer ne touche que les entiers ?

Une construction des entiers naturels, on verra comment construire les autres (pourquoi et comment (de plusieurs façons)).
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[Médiat]

Je ne comprends pas ce qui te fait croire que c'est considéré comme acquis.

C'est Kronecker qui le dit, pas super nono (même si super nono n'est pas en désaccord avec cette position ). Les enfants en CP savent compter bien qu'ils ne connaissent pas Peano ni les constructions mathématiques, il est donc fort probable que nous ayons une façon simple d'acquérir la notion de nombres entiers (bien que je connaisse pas grand ayant la moindre idée de ce que peut représenter M₄₄ qui comporte 9 808 358 chiffres.

Tu connais surement le célèbre calcul 0.999999...=1

Nous ne sommes plus dans les entiers (pas de décimales, encore moins d'écriture impropre)

[invite7753e15a]

D'accord, moi je ne disais cela que parce que je ne comprenais pas pourquoi il disait que c'était dieu qui avait crée les nombres.
Enfin bref, Médiat, si tu veux bien, je suis prés a continué mon apprentissage des nombres.

[Médiat]

Allons-y.
Nous avons donc un ensemble (construit comme précédemment, mais à partir de maintenant je vais utiliser les symboles habituels), et une opération interne définie dessus (l'addition), une opération interne (c'est à dire une relation ternaire) peut avoir plusieurs propriétés intéressantes :
Commutativité
Associativité
Elément neutre
Elément régulier
Elément absorbant
Elément symétrique
(etc.)

Notre ensemble des entiers muni de son addition possède les 3 premières propriétés ce qui en fait un monoïde commutatif (c'est juste le nom des structures ayant ces 3 propriétés) dont tous les éléments sont réguliers, c'est à dire x + y = x + z entraîne y = z.

Pour te donner un exemple, d'opération où les éléments ne sont pas tous réguliers, il suffit de prendre le cercle trigonométrique (si tu connais) :

et pourtant


Cette propriété de régularité est importante car c'est elle qui permet de résoudre des équations du genre 3 + x = 5, car cette équation peut s'écrire 3 + x = 3 + 2, et comme 3 est régulier, on peut en conclure que x = 2 (surpris ? )

Si tu as des questions (je m'adresse directement à Rammstein43, car il est à l'origine de ce sujet, mais je répondrai à toutes les questions, bien sur, si je connais la réponse) vas-y sinon on continue.

[invite7753e15a]

Allons-y.
Nous avons donc un ensemble (construit comme précédemment, mais à partir de maintenant je vais utiliser les symboles habituels), et une opération interne définie dessus (l'addition), une opération interne (c'est à dire une relation ternaire) peut avoir plusieurs propriétés intéressantes :
Commutativité
Associativité
Elément neutre
Elément régulier
Elément absorbant
Elément symétrique
(etc.)

Peux-tu m'expliquer ce qu'es des éléments neutres, régulier...

Pour te donner un exemple, d'opération où les éléments ne sont pas tous réguliers, il suffit de prendre le cercle trigonométrique (si tu connais) :

et pourtant

Là je comprends pas bien autant le x + y = x + z entraîne y = z La je comprends mais pas avec les fractions. Quand tu multiplies par 2 puis que tu divise par 2, alors ça s'annule, pourquoi pas là ?

En tous cas merci pour le cour !

[invite951d3e73]

Médiat parlait enfait du cercle trigonométrique, que tu verras cette année en seconde.

Enfait sur ce cercle, chaque point représente plusieurs nombres (une infinité enfait). Par exemple le point A du cercle trigonométrique définit par un angle de 90° ou Pi/2 radians, réprésente tous les nombres du type

[Médiat]

Peux-tu m'expliquer ce qu'es des éléments neutres, régulier...

Je vais être le moins concret possible (dans les limites du raisonnable néanmoins ), si tu veux bien comprendre, essaye de trouver toi-même des exemples avec les opérations que tu connais.
Soit un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne (je choisi comme notation pour cette opération parce que ce symbole ne représente rien pour toi (j'imagine)).
On dit que est un élément neutre pour si :


c'est à dire que, du point de vue de l'opération , ne change rien aux nombres avec lesquels il est composé.

Pour les éléments réguliers j'ai déjà donné la définition, et pour le cercle trigonométrique : laisse tomber.

[invite7753e15a]

Ok, ça marche !

[invite7753e15a]

Merci, c'est bon pour cette partie, je pense pouvoir passé à la suite !

[Médiat]

Tu as vu que l'on pouvait avec des batons ou avec des mots constitués de faire pas mal de chose y compris résoudre des équations, malheureusement, on ne peut les résoudre toutes, par exemple
1 + x = 0
2 + x = 1
2 + x = 0
etc.

(pense aux mots : quelle mot dois-je ajouter à pour obtenir ? : il n'y a pas de réponse)
etc.
Avant même d'aller plus loin on peut remarquer que si je savais résoudre la première, alors je saurais résoudre la deuxième (je te laisse le démontrer).

Deux idées peuvent être mises en oeuvre pour aller plus loin :
1) inventer un symbole ( par exemple) qui vérifie 1 + = 0, et alors il faut vérifier si on conserve la structure initiale, et surtout si cela suffit à résoudre toutes les équations du genre x + y = z (où y est l'inconnue)
2) inventer un symbole pour chacun des nombres entiers tel que n + symétrique(n) = 0, et alors il faut vérifier si on conserve la structure initiale, et surtout si cela suffit à résoudre toutes les équations du genre x + y = z (où y est l'inconnue), il faudra aussi trouver une notation plus élégante que symétrique(n)

En faisant une remarque sur les deux premières équations qui ont la même solution on pourra mettre en oeuvre une 3ième idée.

Et puis on pourra surtout voir (comprendre) que ces 3 idées donnent le "même" résultat.

[invite7753e15a]

(pense aux mots : quelle mot dois-je ajouter à pour obtenir ? : il n'y a pas de réponse)

Bin si, je dois ajouté - à pour trouver
Car + (-) =

[invite7753e15a]

Non j'ai rien dit !

[Médiat]

Non j'ai rien dit !

C'est ce qui pouvait t'arriver de mieux, comprendre tout seul .

[Médiat]

Pour avancer un peu :
1) montrer que les méthodes 1 et 2 sont équivalentes, il suffit de montrer que pour tout mot M (constitué uniquement de ), le mot M' obtenu en remplaçant chaque occurence de par vérifie MM' = mot vide (pour être formel, une petite récurrence marche très bien, pour l'expérimenter, un petit exemple va très bien :









2) si pour tout entier n j'ai un symbole s(n) tel que n + s(n) = 0 alors on peut résoudre toutes les équations a + x = b (facile x = s(a) + b)

3) pour la culture : j'ai dit que était un monoïde commutatif, en ayant ajouté des symétriques pour tous les éléments de , on obtient un groupe commutatif (ou abélien)

4) je t'ai fait remarquer que les 2 équations
1 + x = 0
2 + x = 1
admettaient la même solution, pourrais-tu trouver une condition n'utilisant que le vocabulaire des entiers naturels (donc pas de soustraction, ni de nombre négatif), pour que les deux équations
a + x = b
a' + x = b'
aient la même solution ?

[invite7753e15a]

Je m'y mets tous de suite !

[invite7753e15a]

Si pour tout entier n j'ai un symbole s(n) tel que n + s(n) = 0 alors on peut résoudre toutes les équations a + x = b (facile x = s(a) + b)

J'y arrive pas, mais tu peux me dire ce qu'est "s(n)" je pense que ça peut m'aider !
Merci,

[Médiat]

J'y arrive pas, mais tu peux me dire ce qu'est "s(n)" je pense que ça peut m'aider !
Merci,

C'est le symétrique de n, c'est à dire un "nombre" qui n'existe pas (puisque dans notre monde, jusqu'à maintenant, ne contient que des entiers naturels), que j'invente, des nouveaux symboles que je place dans mon langage, dont je dois vérifier qu'avec la définition donnée (n + s(n) = 0) je n'arrive pas à une contradiction, et si c'est le cas nous aurons gagné et aurons inventé plein de nouveaux nombres...

[invite7753e15a]

Ha d'accord, bin je crois qu'on va devoir crée de nouveaux nombres (les entiers relatifs) parceque je crois pas que les entiers naturels suffisent pour résoudre tes deux équations !

[Médiat]

Ha d'accord, bin je crois qu'on va devoir crée de nouveaux nombres (les entiers relatifs) parceque je crois pas que les entiers naturels suffisent pour résoudre tes deux équations !

C'est bien le but de cet exercice, puisque nous n'avons pas de solutions à certaines équations, on ajoute des symboles pour représenter ces solutions, et on vérifie que le tout reste cohérent (cette partie nous ne l'avons pas encore faite, car pour avancer, j'ai besoin que tu répondes à la question :
les 2 équations
1 + x = 0
2 + x = 1
admettent la même solution, pourrais-tu trouver une condition n'utilisant que le vocabulaire des entiers naturels (donc pas de soustraction, ni de nombre négatif), pour que les deux équations
a + x = b
a' + x = b'
aient la même solution ?

Ce n'est pas compliqué, ne cherche pas midi à 14h, cela nous fournira une interprétation pour nos nouveaux symboles, et la possibilité de démontrer que nous avons conservé la cohérence.

[invite7753e15a]

La condition serai de creer d'autres nombres (Z), sinon désolé je ne vois aucune solutions !

[invitec053041c]

pourrais-tu trouver une condition n'utilisant que le vocabulaire des entiers naturels (donc pas de soustraction, ni de nombre négatif), pour que les deux équations
a + x = b
a' + x = b'
aient la même solution ?

Euh là comme ça...

La quantité à ajouter à a pour obtenir b doit être la même quantité qu'on doit ajouter à a' pour obtenir b' ?

[invite7753e15a]

Oui, il me semble que c'est celà !
Je suis même sur que c'est celà, mais je pense aussi que c'est appartir de ce genre d'équation qu'on a été obligé d'inventé les nombres négatifs, et donc de créer Z

[invite35452583]

Euh là comme ça...

La quantité à ajouter à a pour obtenir b doit être la même quantité qu'on doit ajouter à a' pour obtenir b' ?

"quantité à ajouter" est une soustraction qui ne dit pas son nom. Non ?

Indice :
découper la question de Médiat en deux :
i) en utilisant Z trouver une condition (en écriture mathématique) que les deux équations ont la même solution
ii) transformer celle-ci pour qu'il n'y ait plus que des entiers naturels et des additions (plus un "=" )

[invitec053041c]

"quantité à ajouter" est une soustraction qui ne dit pas son nom. Non ?

Oui je me disais ça aussi.

La condition devient une évidence avec ce genre d'indications, mais je ne savais pas trop ce qui était demandé .

[Médiat]

Je vais être un peu plus rigoureux (c'est à dire maniaque) que homotopie
Si les deux équations ont la même solution ,cela veut bien dire que x dans chacune représente bien la même solution et en ré-écrivant les deux équations avec une très légère modification (symétrie de l'égalité) :
a + x = b
b' = a' + x
en les ajoutant :
(a + x) + b' = b + (a' + x)
on obtient rapidement (commutativité et associativité)
x + (a + b') = x + (b + a')
En faisant appel à la régularité (et non à la soustraction), on en déduit
(a + b') = (b + a').

Je voudrais maintenant te rappeler que la création de nouveaux symboles à ajouter aux entiers venait de la volonté de pouvoir résoudre toutes les équations de la forme a + x = b, or nous pouvons "coder" toutes ces équations à l'aide de 2 entiers (a et b), on peut donc avoir naturellement 2 idées, la première c'est d'identifier une équation avec les deux entiers qui la compose :
"a + x = b" --> (b, a) (désolé, j'ai réfléchi trop tard à l'ordre des paramètres, du coup je met met avant a, on verra plus tard pourquoi)
et deuxièmement d'identifier la solution d'une équation avec sa réprésentation sous forme de couples d'entiers, malheureusement, comme on vient de le voir deux équations différentes ayant des solutions identiques se représentent de façon différentes (une autre façon de le dire c'est que deux couples différents (5, 0) et (6, 1) représentent la même solution (et in fine, le même nombre).

Heureusement il existe en mathématique une technique fondamentale qui permet de "regrouper" des éléments ayant une propriété commune, et de pouvoir considérer les différentes valeurs possibles de cette propriété et non les éléments qui la possèdent.

Cette technique "magique" est la relation d'équivalence et surtout l'ensemble quotient (nous y reviendrons).

Dans le cas qui nous préoccupe, nous avons envie de dire que deux équations et qui ont la même solution sont "pareilles", autrement dit que est "pareil" à si et seulement si . La relation d'équivalence (il faut montrer que c'en est une) à étudier est donc :



Si tu pouvais manipuler cette relation en montrant que c'est bien une relation d'équivalence (paragraphe Définition formelle de http://fr.wikipedia.org/wiki/Relatio...3%A9quivalence )

[invite7753e15a]

MOI !!!!

Houla, je vais essayer, mais je promet rien.
(C'est quoi le truc, au milieu ça ressemble a un R) ?

[inviteaf1870ed]

Dire que j'ai fait ça en 6ème !!!

PS : le chemin que prend Mediat me fait penser à un excellent bouquin, aux frontières des maths et de plein d'autres sujets : "Gödel Escher Bach" de D Hofstadter

http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del,_Escher,_Bach

[invite7753e15a]

He bien mon chère Ericcc, les temps ont changé, nous on faisait les fractions...
Pas de truc comme ça, s'cuuuuuse !

[Médiat]

Dire que j'ai fait ça en 6ème !!!

C'était le bon temps hein


Rammstein43, le truc qui ressemble à un R c'est le symbole qui représente la relation (comme = est le symbole de l'égalité)

[Médiat]

PS : le chemin que prend Mediat me fait penser à un excellent bouquin, aux frontières des maths et de plein d'autres sujets : "Gödel Escher Bach" de D Hofstadter

Je trouve cela flatteur, car j'adore ce bouquin. Si tu as aimé, je peux te conseiller les livres de Clifford Pickover (facile à trouver sur le net)