Complexes

[invite66b0c17a]

En maths, on peut voir la définition de quelque chose comme l'ensemble des règles indiquant comment utiliser le quelque chose.

Cette approche purement relationnelle permet de contourner toutes les discussions métaphysiques sur l' "existence" des objets mathématiques.

Oui je préfère nettement voir les choses de cette façon, mais je ne crois pas que c'est ce qu'on fait quand on définit Z comme quotient de NxN ...
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[invité576543]

je ne crois pas que c'est ce qu'on fait quand on définit Z comme quotient de NxN ...

Pourquoi ne crois-tu pas cela?

Cordialement,

[Médiat]

J'ai eu droit dans ma scolarité à la présentation des nombres complexes comme ensemble des couples de réels avec la bonne multiplication. [...] Une présentation en balançant i de nulle part aurait été bien plus pertinente.

Il me semble que le grand intérêt de la rigueur mathématique c'est de montrer que c'est la même chose. J'ai personnellement une très grande préférence pour l'introduction du symbole i en faisant bien comprendre (et en démontrant) qu'il a la même légitimité que 0 ou 1, quitte à voir rapidement des modèles (et pas seulement un).

"0", "1", "i", ont un certain sens. On construit une théorie qui préserve ce sens. Et du coup évidemment la théorie donne aux symboles les propriétés qu'ils avaient déjà.

Je ne vois pas comment des symboles mathématiques peuvent avoir la moindre propriété avant d'avoir été définis à l'intérieur d'une théorie, ce n'est clairement pas le même niveau d'abstraction, et je trouve très gênant de les confondre.

On n'est pas obligés d'y croire, à l'axiome du choix

Je ne vois pas ce que la croyance vient faire dans ce débat, mais à tout hasard, la définition avec les bons ordres (entre autres) va très bien et sans axiome du choix, donc, une fois de plus je ne vois pas où est le problème.

Je serais surpris que Rammstein43 retrouve ses petits dans tout cela...

[invite66b0c17a]

Pourquoi ne crois-tu pas cela?

Cordialement,

Il n'y a pas besoin de cette construction pour savoir ce qu'on a le droit de faire avec les entiers.

[invite66b0c17a]

Je serais surpris que Rammstein43 retrouve ses petits dans tout cela...

Tu as raison. Nous avons largement détourné le fil, et je crois que je n'y suis pas pour rien. Est-ce qu'il serait possible (question à la modération) de déplacer tous les messages hors sujet dans un nouveau fil ?

Il me semble que le grand intérêt de la rigueur mathématique c'est de montrer que c'est la même chose. J'ai personnellement une très grande préférence pour l'introduction du symbole i en faisant bien comprendre (et en démontrant) qu'il a la même légitimité que 0 ou 1, quitte à voir rapidement des modèles (et pas seulement un).

Oui, entièrement d'accord.

Je ne vois pas comment des symboles mathématiques peuvent avoir la moindre propriété avant d'avoir été définis à l'intérieur d'une théorie, ce n'est clairement pas le même niveau d'abstraction, et je trouve très gênant de les confondre.

Je crois que je comprends ce que tu veux dire. Je ne suis pas contre les théories, je sais pertinemment l'importance que la formalisation et l'axiomatisation en mathématiques. Je crois d'ailleurs que ce j'écrivais n'a peut-être pas de sens, puisque le mot "propriété" a un sens précis en mathématiques, qui utilise le symbolisme. (on se comprend ?)

Donc j'ai très mal exprimé ma pensée, j'essaye de recommencer. Prenons un exemple : "Un nombre est divisible par 5 lorsqu'il se termine par 0 ou 5". Cette phrase utilise les symboles "0", et "5", on peut la réécrire formellement (en précisant notamment de quelle sorte de nombre on parle), il n'empêche qu'on n'aura rien appris de plus pour décider la divisibilité de 735 par 5, et rien ajouté au sens des symboles "0" et "5".

Je ne vois pas ce que la croyance vient faire dans ce débat, mais à tout hasard, la définition avec les bons ordres (entre autres) va très bien et sans axiome du choix, donc, une fois de plus je ne vois pas où est le problème.

La croyance a à voir que si l'axiome du choix est douteux, la définition de Dedekind n'est pas valable. Où est le problème ? Admettons que je me suis encore mal exprimé, quoi que ce coup ci je ne pense pas. Bien sûr, il n'y a plus de problème avec la définition de la finitude, puisque celle de Tarski est équivalente à la possibilité de raisonner par récurrence, simplement encore une fois on a besoin de raffiner le niveau de rigueur. Je pense que le terme de "niveau de rigueur" ne va pas te plaire.

[Médiat]

Est-ce qu'il serait possible (question à la modération) de déplacer tous les messages hors sujet dans un nouveau fil ?

Je suis bien d'accord.

"Un nombre est divisible par 5 lorsqu'il se termine par 0 ou 5". Cette phrase utilise les symboles "0", et "5", on peut la réécrire formellement (en précisant notamment de quelle sorte de nombre on parle), il n'empêche qu'on n'aura rien appris de plus pour décider la divisibilité de 735 par 5, et rien ajouté au sens des symboles "0" et "5".

Si ce que tu veux dire c'est que nous avons tous (j'espère ) une idée naïve des entiers (comme nous avons tous une idée naïve des ensembles), je suis parfaitement d'accord, mais si on veut faire des maths rigoureusement, il y faut une définition rigoureuse, pour poursuivre mon analogie avec les ensembles, je vois mal comment, en ayant juste appris à dessiner des patates sur une feuille on peut arriver à simplement envisager l'axiome du choix.

La croyance a à voir que si l'axiome du choix est douteux

Il n'y a rien de douteux dans l'axiome du choix, il est indécidable dans ZF, ce qui donne naissance à deux théories.

Je pense que le terme de "niveau de rigueur" ne va pas te plaire.

Tu as raison , je ne vois dans ton objection aucun niveau de rigueur, mais le choix d'introduire ou non un nouvel axiome (généralement parce que c'est nécessaire pour une démonstration).

[invité576543]

Donc j'ai très mal exprimé ma pensée, j'essaye de recommencer. Prenons un exemple : "Un nombre est divisible par 5 lorsqu'il se termine par 0 ou 5". Cette phrase utilise les symboles "0", et "5", on peut la réécrire formellement (en précisant notamment de quelle sorte de nombre on parle), il n'empêche qu'on n'aura rien appris de plus pour décider la divisibilité de 735 par 5, et rien ajouté au sens des symboles "0" et "5".

La phrase que tu cites ne peut pas être comprise sans toute une collection de connaissances préalables. Non seulement la signification des symboles 0 et 5, mais aussi celle de "divisible", de "se termine pas" (implicitement tu parles à la fois d'un nombre et de sa représentation en notation positionnelle de base dix...).

Pour la comprendre on est obligé de faire une sorte de "réécriture formelle" dans sa tête.

On n'a rien appris de plus simplement parce que pour décoder la phrase on connaît déjà ce que pourrait nous apprendre la formalisation. Peut-être inconsciemment, mais sans cette connaissance la phrase elle-même ne nous apprend rien...

Ensuite, la prise de conscience que permet l'explicitation de la formalisation permet de généraliser. Par exemple de savoir sans l'apprendre spécifiquement qu'en notation positionnelle en base neuf, un nombre est un multiple de 3 s'il se termine par 3, 6 ou 0.

Cordialement,

Edit: croisement

[invite66b0c17a]

Il n'y a rien de douteux dans l'axiome du choix, il est indécidable dans ZF, ce qui donne naissance à deux théories.

Là je ne suis plus d'accord. Un théorème mathématique se doit d'être vrai. Par conséquent les axiomes qui servent à le démontrer doivent l'être aussi. D'ailleurs le petit Robert donne comme définition du mot axiome : "qui est tenu pour vrai".

Puisqu'on parle de rigueur, "douteux" est un mot du langage courant, exprimant le fait que certains mathématiciens (même des professionnels) doutent que l'axiome du choix soit vrai. "indécidable" est un terme mathématique qui exprime le statut de la proposition en question.

Si nous voulons discuter, il va bien falloir qu'on parle la même langue. Je veux bien faire des efforts et reconnaitre les imprécisions de mon expression. Essaye de ton côté de ne pas être condescendant :"pas douteux, mais indécidable", on peut percevoir un léger mépris.

Tu as raison , je ne vois dans ton objection aucun niveau de rigueur, mais le choix d'introduire ou non un nouvel axiome (généralement parce que c'est nécessaire pour une démonstration).

Non, désolé. Quand on dit qu'on peut prendre les ordinaux finis pour représenter les nombres entiers, on peut faire comme si la notion de finitude allait de soi (choix tout à fait acceptable), ou bien être plus rigoureux et définir ce mot "fini". Je trouve qu'il y a bien deux niveaux de rigueur.

[Médiat]

Un théorème mathématique se doit d'être vrai. Par conséquent les axiomes qui servent à le démontrer doivent l'être aussi

On pourrait faire plusieurs fils avec cette seule question : que veut dire "cette proposition est vraie" si on prend le mot "vrai" en son sens naïf, en mathématiques une proposition est "vraie" (et personnellement je n'aime pas ce vocabulaire à cause des confusions qu'il entraîne) quand elle est démontrable à partir des axiomes. Comme les axiomes sont par définition la conséquence d'eux-mêmes ils sont vrais, la question ne se pose même pas. Par contre un ensemble d'axiomes doit être consistant (ce qui n'a rien à voir avec la véracité).

Essaye de ton côté de ne pas être condescendant :"pas douteux, mais indécidable", on peut percevoir un léger mépris.

Désolé que tu aies vu de la condescendance ou du mépris là où il n'y en a pas, par contre je persiste à faire une différence fondamentale entre douteux (terme non mathématique exprimant qu'il y a un doute sur la véracité/démonstrabilité d'une proposition : on ne sait pas) et indécidable (terme mathématique établissant sans aucun doute que la proposition n'est pas démontrable et son contraire non plus : on sait parfaitement).

[invite66b0c17a]

On n'a rien appris de plus simplement parce que pour décoder la phrase on connaît déjà ce que pourrait nous apprendre la formalisation. Peut-être inconsciemment, mais sans cette connaissance la phrase elle-même ne nous apprend rien...

Oui bien sûr. Sauf que c'est oublier qu'on a un cerveau humain et pas un ordinateur dans la tête. Une machine a besoin de formalisme pour fonctionner. Au contraire, le formalisme est un obstacle supplémentaire pour l'esprit humain.

Ensuite, la prise de conscience que permet l'explicitation de la formalisation permet de généraliser. Par exemple de savoir sans l'apprendre spécifiquement qu'en notation positionnelle en base neuf, un nombre est un multiple de 3 s'il se termine par 3, 6 ou 0.

Tu as parfaitement raison, ceci dit j'ai appris à compter avec des réglettes (méthode Gategno), et c'est le genre de trucs que je maitrisais dans les petites classes de l'école primaire. On m'aurait fait bouffer du symbolisme à ce moment là, je doute que le résultat aurait été le même. Ton exemple illustre surtout pour moi l'importance de diversifier les approches d'une notion pour la comprendre. La définition est une de ces approches, il y en a d'autres.

[invite66b0c17a]

Par contre un ensemble d'axiomes doit être consistant (ce qui n'a rien à voir avec la véracité).

On est bien d'accord. J'utilise "vrai" dans le sens naïf. Je n'apprécie pas l'attitude des mathématiciens qui tordent le nez devant l'analyse non standard parce qu'elle manque de vraisemblance mais acceptent la théorie des ensembles de laquelle on peut la déduire. Je crois que s'ils se posaient la question en termes de "est-ce vrai ?", ils accepteraient l'analyse non standard, ou chercheraient quel axiome de la théorie des ensembles est faux.

La notion de véracité a sa place dans la réflexion mathématique, qui ne consiste pas à utiliser n'importe quel axiome pour démontrer son théorème préféré.

[invité576543]

Oui bien sûr. Sauf que c'est oublier qu'on a un cerveau humain et pas un ordinateur dans la tête. Une machine a besoin de formalisme pour fonctionner. Au contraire, le formalisme est un obstacle supplémentaire pour l'esprit humain.

Personnellement, je pense que le mot "rigueur" est le pendant cérébral de "formalisme". Que la rigueur mathématique soit une difficulté pour le cerveau humain, j'en conviens. Mais s'il faut parler d'obstacle, je vois plutôt le mode de fonctionnement normal du cerveau comme un obstacle à la rigueur mathématique, que le contraire!

Le cerveau n'est pas vraiment fait pour la rigueur (ou le formalisme). Il est fait essentiellement pour agir, pour prendre des décisions dans des situations de connaissances incomplètes, de buts multiples et contradictoires; il cherche à résoudre des problèmes mal posés, en utilisant beaucoup les rétroactions, aussi bien directes qu'à long terme (apprentissage). Et tous ces aspects s'opposent à la rigueur mathématique.

Il me semble que tu défends une approche des mathématiques proche du fonctionnement usuel du cerveau, un apprentissage procédural, permettant les usages pratiques des maths. C'est adapté à la plupart des gens, mais les mathématiciens voient les maths différemment.

Mais il est nul besoin de connaître la thermodynamique pour conduire une voiture à moteur thermique. De même, il n'est pas nécessaire de connaître le formalisme pour utiliser les maths. C'est un peu ce que tu défends, non?

Je pense néanmoins que l'apprentissage de la rigueur dans les raisonnements est utile. Et les maths sont une bonne école pour cela. Vu comme cela l'enseignement des maths vise trois buts (au moins) assez distincts: donner une maîtrise suffisante de l'outil pour les besoins courants; former la toute petite minorité qui enseignera et/ou fera progresser les maths; former à la discipline de la rigueur. Tu argumentes surtout sur le premier point, non?

Cordialement,

[Médiat]

Je n'apprécie pas l'attitude des mathématiciens qui tordent le nez devant l'analyse non standard parce qu'elle manque de vraisemblance mais acceptent la théorie des ensembles de laquelle on peut la déduire. Je crois que s'ils se posaient la question en termes de "est-ce vrai ?", ils accepteraient l'analyse non standard, ou chercheraient quel axiome de la théorie des ensembles est faux.

Je ne connais pas beaucoup de mathématiciens qui tordent le nez devant l'ANS, il est vrai que j'ai connu majoritairement des logiciens, pour qui l'ANS est la fille de l'un des notres .

Je maintiens que je n'arrive pas à donner un sens à l'expression "axiome faux" en mathématique.

Maintenant pour ces mêmes mathématiciens on ne se demande pas "est-ce vrai" au sens naïf, mais "est-ce consistant" pour une théorie ou "est-ce démontré" pour un théorème d'une théorie.

[invite66b0c17a]

Désolé que tu aies vu de la condescendance ou du mépris là où il n'y en a pas.

N'en parlons plus

par contre je persiste à faire une différence fondamentale entre douteux (terme non mathématique exprimant qu'il y a un doute sur la véracité/démonstrabilité d'une proposition : on ne sait pas) et indécidable (terme mathématique établissant sans aucun doute que la proposition n'est pas démontrable et son contraire non plus : on sait parfaitement).

Oui il y a une différence. Je dis que l'axiome du choix est douteux parce qu'il a des conséquences qui font qu'on peut douter qu'il soit "vrai" (au sens naïf).

Je ne sais pas si tu connais le résultat de Shelah et Soifer sur le coloriage du graphe dont les sommets sont les nombres réels reliés par une arête si et seulement si il existe p tel x+y+p+racine(2)=0. (Je cite de mémoire, je chercherai ce week-end si je trouve un lien). Ce graphe est défini de façon assez élémentaire. Or, selon qu'on accepte l'axiome du choix, ou l'axiome disant que tout sous-ensemble de R est mesurable, le nombre chromatique du graphe est 2 ou infini dénombrable. C'est un merveilleux exemple de pourquoi on peut douter de cet axiome.

Le doute étant une activité disons méta-mathématique.

[leg]

bonjour a vous tous
un petit grain de sable en plus ne ferra pas de mal
il ne faut pas déplacer ce sujet sur un autre fil ,l'auteur et la pour apprendre et laissons lui le choix..!
dans toute discution chacun peut y trouver son compte
mais à vouloir trops de rigueur, ne risque t'on pas de perdre de vue la généralité d'un problème ? ou les différents chemins qui même à une solution car la rigueur bride l'imagination ...

le fait de savoir que je peut diviser par 5 les nombres qui se terminent par 0 ou 5 et si ensuite je ne sais pas que 735 peut se diviser par 5 alors il y a du travail à faire dans mes neurrone et à la rigueure je ne pense pas qu'elle y soit pour quelque chose.

pour l'instant dans les entiers naturels il y a encore beaucoup de travail à faire, sur les porblèmes ouverts et toujours pas résolu rigueur ou pas et trés souvent c'est limagination et non la rigueur qui on permis de démontrer des conjectures trés simple en apparence.... mais ensuite la rigueur trouve sa place dans la démonstration

pour les complexes l'auteur du sujet peut se faire un choix à travers votre passionante discution...vous ne m'en tiendrez pas rigueureee de mon intervention

[invite66b0c17a]

Mais s'il faut parler d'obstacle, je vois plutôt le mode de fonctionnement normal du cerveau comme un obstacle à la rigueur mathématique, que le contraire!

Soit.

Il me semble que tu défends une approche des mathématiques proche du fonctionnement usuel du cerveau, un apprentissage procédural, permettant les usages pratiques des maths. C'est adapté à la plupart des gens, mais les mathématiciens voient les maths différemment.

Ce n'est pas exactement ce que je défends. C'est plutôt de ne pas assimiler mathématiques et formalisme. D'excellents mathématiciens se sont passés de la définition de fonction au XVIII ème siècle, ils ne disaient pas que des conneries même si de nos jours on les trouverait peut-être pas rigoureux.

Je pense qu'il ne faut pas perdre de vue que pour être un bon mathématicien il faut aussi de l'imagination, pas seulement de la rigueur. Cette imagination est peut-être plus sollicitée si on reste proche du fonctionnement du cerveau.

On peut aussi rajouter la rigueur après coup.

Bon sur ce, désolé mais je dois laisser cette discussion passionnante pendant un moment. Je lis vos réponses demain, promis.

[leg]

tout à fait super nono,
mais les posts de la page 4 d'où cette discution est partie, est quand même une preuve que quelque chose de simple doit aussi être défini avec rigueur.

car Mediat en posant sa question trés simple à ram..43, ce dernier n'à pas compris le sens de la question; sinon il n'aurait pas dit qu'un entier naturel est un nombre! par l'absurde: un nombre complexe est un entier naturel...
d'où sa définition était fausse

[Médiat]

Je ne sais pas si tu connais le résultat de Shelah et Soifer sur le coloriage du graphe dont les sommets sont les nombres réels reliés par une arête si et seulement si il existe p tel x+y+p+racine(2)=0. (Je cite de mémoire, je chercherai ce week-end si je trouve un lien). Ce graphe est défini de façon assez élémentaire. Or, selon qu'on accepte l'axiome du choix, ou l'axiome disant que tout sous-ensemble de R est mesurable, le nombre chromatique du graphe est 2 ou infini dénombrable. C'est un merveilleux exemple de pourquoi on peut douter de cet axiome.

Cela me fait plaisir de voir le nom de Shelah apparaître ici, j'ai travaillé sur ses travaux, et j'ai même publié un petit résultat sur sa théorie de la stabilité, mais j'avoue que je ne connais ce papier (Shelah en a publié plus de 800 je crois), sur le fond du problème, il y a deux théories différentes, il n'y a rien d'étonnant à ce qu'elles donnent deux résultats différents.
Si tu prends les 3 géométries "usuelles" la somme des angles d'un triangle ne sont pas les mêmes dans ces 3 théories est-ce que cela veut dire que l'axiome (lequel ?) des parallèles passant par un point extérieur à une droite est "douteux" ?

[Médiat]

Je pense qu'il ne faut pas perdre de vue que pour être un bon mathématicien il faut aussi de l'imagination, pas seulement de la rigueur

trés souvent c'est limagination et non la rigueur qui on permis de démontrer des conjectures trés simple en apparence.... mais ensuite la rigueur trouve sa place dans la démonstration

L'un ne va pas sans l'autre, pourquoi opposer imagination et rigueur ? Est-ce que l'on ferait cette remarque à Baudelaire face à ses sonnets ?

[Rammstein43]

Je serais surpris que Rammstein43 retrouve ses petits dans tout cela...

Bonjours,
En effet, je suis un peu perdu, je ne comprends plus tres bien, pour moi, les nombres (entier naturel), sont un ensemble infini qui se démontre par :
n € N alors (n+1) € N d'où le fait que cet ensemble soit infini.

Ensuite, avec votre accord, bien sur, j'aimerais qu'on laisse tombé les travaux de Gödel car, je n'y comprends rien, (sauf bien sur, si cela vous dit de me l'expliquer clairement ).
Enfin bref, tous ça pour vous dire que je suis un peu perdu dans tous ça !
En tous cas, merci de vos réponses, et de vos réponses future !

[Médiat]

pour moi, les nombres (entier naturel), sont un ensemble infini qui se démontre par :
n € N alors (n+1) € N d'où le fait que cet ensemble soit infini.

Personne ne conteste que l'ensemble des entiers naturels est infini.
La question, pour moi, avant d'aller plus loin est de savoir si tu acceptes de partir de l'une des 4 définitions que j'ai donné, sachant que la notion intuitive des nombres entiers suffit largement, et que la notion avec les ou les batons est quasiment la même (en un peu plus formel).

[Rammstein43]

Moi, je veux que tu m'expliques. Aprés, je ne vais pas partir de la 4 pour allé plus loin, car tu dis toi même que c'est trés abstrait. La 3 me parait compliqué, et la 1 je n'y croit pas, donc, moi je veux bien partir de la 2 qui me semble moins complexe (lol) que les autres.

[Médiat]

Me revoila.
Bien le choix de la méthode #2 n'est pas mauvais, il faut juste avoir en tête que nous n'aurons pas le niveau de formalisme que l'axiomatique nous donnerait, mais je pense que pour l'occasion, c'est le prix de la clarté.

Pour commencer, je voudrais juste te convaincre que l'ensemble des "mots" que je peux écrire avec un seul et unique symbôle () se comporte bien comme nos entiers naïfs (du point de vue des opérations arithmétiques).
Nous savons que l'on peut définir une opération noté + sur l'ensemble de ces mots (la concaténation), qu'il existe un élément neutre (je suppose que tu sais ce que cela veut dire), qui est le mot vide, que cette opération est commutative etc...
On peut aussi définir une multiplication : mot1.mot2 = le mot obtenu en remplaçant chaque occurence de dans mot1 par mot2.
je te laisse jouer avec ces petites idées pour te convaincre que nous avons les mêmes propriétés que celles de la multiplication sur les entiers naïfs. L'élément neutre est évidemment .

On peut même introduire la notation positionnelle en base 10, en créant 10 symbôles (0,1....9) définis simplement
0 = le mot vide
1 =
2 =
...

Je pose Mot10 =
et PetitMot = l'un de mes nouveaux symbôles de 0 à 9
Il suffit dans un mot de le découper de telle façon qu'il s'écrive sous la forme Mot.Mot10 + PetitMot
puis de recommencer en découpant Mot etc. (pour ceux qui voudraient démontrer cela, il "sufit" de se rappeler que les mots que l'on peut former avec un langage fini, dans la logique classique du premier ordre sont finis)

Je ne fais évidemment pas de démonstration formelle (il faudrait parler de Péano pour cela), je veux juste que tu acceptes l'idée que cette façon de voir les entiers est bien une façon de mathématiser nos notions intuitives sur les entiers.
On peut rester sur cette étape tant que tu auras des questions, sinon l'étape suivante sera de parler de considéré comme l'ensemble des mots ci-dessus (avec des notations un peu plus pratique), ou comme l'ensemble des entiers naïfs.

[invite66b0c17a]

Toutes mes excuses à Rammstein, je poste ce dernier message et je vais jouer ailleurs.

@ Mediat

Cela me fait plaisir de voir le nom de Shelah apparaître ici, j'ai travaillé sur ses travaux, et j'ai même publié un petit résultat sur sa théorie de la stabilité

Ah oui ? Ca me fait plaisir aussi, mais je suis à un niveau très inférieur au tien, et je ne connais pas vraiment les travaux de Shelah. Si je m'y intéresse de plus près je saurai à qui m'adresser quand je coincerai.

Si tu prends les 3 géométries "usuelles" la somme des angles d'un triangle ne sont pas les mêmes dans ces 3 théories est-ce que cela veut dire que l'axiome (lequel ?) des parallèles passant par un point extérieur à une droite est "douteux" ?

D'un point de vue logique, je suis évidemment d'accord avec toi. Tu es apparemment professionnel de la logique mathématique, et pour toi il est clair que plusieurs théories peuvent exister. Mais je veux bien faire le pari que pour pas mal de tes collègues d'autres domaines de recherche (analyse, algèbre ...), ce n'est pas du tout acquis.

La différence avec l'axiome des parallèles, c'est que la théorie des ensembles est faite pour offrir un cadre commun. On y définit de façon univoque l'ensemble des nombres réels. Beaucoup de mathématiciens pensent que lorsqu'ils parlent de l'ensemble des nombres réels, c'est le même que celui de leur voisin. Avec l'idée sous-jacente que cet ensemble "existe" quelque part (dans le monde des objets mathématiques ?). Donc le graphe existe aussi, et son nombre chromatique. Dans cette approche, un des deux axiomes est faux, ou cela viole l'univocité (il existe ce mot là ) de R.

En fait, tu as raison, aucune des deux théories n'est vraiment "vraie" ou vraiment "fausse", et ce n'est pas l'axiome du choix qui est douteux, c'est plutôt la position "platonicienne". (je mets des guillemets parce que je ne suis pas très sûr d'employer le mot correctement).

Bon, j'espère qu'on aura l'occasion d'une autre discussion sur ce thème, et je rends son fil à Rammstein.

@Rammstein :

Au fait, pourquoi tu ne "crois" pas à la première définition des nombres entiers ? A cause de la citation de Kronecker ? Il ne faut pas la prendre au pied de la lettre, Dieu n'a rien à voir là dedans. La position de Kronecker était que les nombres entiers étaient suffisamment "évidents" pour pouvoir être considérés comme acquis. Ca tient debout.

[invitec053041c]

n € N alors (n+1) € N d'où le fait que cet ensemble soit infini.

Tu verras plus tard ce que représente Z/nZ.
Mais cet ensemble vérifie: si a € Z/nZ,alors a+1 € Z/nZ. (on prend n>1)
Pourtant, Z/nZ a n éléments et n'est donc pas infini.

[Médiat]

Toutes mes excuses à Rammstein

Moi aussi mais je vais faire court, dans la mesure où je suis globalement d'accord avec super nono.

On y définit de façon univoque l'ensemble des nombres réels. Beaucoup de mathématiciens pensent que lorsqu'ils parlent de l'ensemble des nombres réels, c'est le même que celui de leur voisin.

J'ai bien compris ce que tu voulais dire, je précise juste que même l'ensemble des entiers n'est pas défini "univoquement" par les axiomes de Péano (j'ai même lu sur un site pour lequel je préfère ne pas faire de pub, écrit par un génie qui a ré-écrit la logique et toutes les mathématiques, que cette non "univocité" (je reprends ) suffisait à condamner toute la logique).

J'espère que tu ne verras aucune condescendance mais on dit plutôt catégoricité en tels ou tels cardinaux, plutôt que "univocité", et encore la catégoricité en tous cardinaux infinis assure l'unicité du modèle en chaque cardinal infini, mais ceux-ci ne sont pas isomorphes entre eux.

Bon, j'espère qu'on aura l'occasion d'une autre discussion sur ce thème

Avec plaisir (et un peu de frayeur, il y a plus de 30 que j'ai arrêté la recherche )

[Rammstein43]

Toutes mes excuses à Rammstein, je poste ce dernier message et je vais jouer ailleurs.

C'est pas grave, ça aurait pu être bien si j'avais compris !

Au fait, pourquoi tu ne "crois" pas à la première définition des nombres entiers ? A cause de la citation de Kronecker ? Il ne faut pas la prendre au pied de la lettre, Dieu n'a rien à voir là dedans. La position de Kronecker était que les nombres entiers étaient suffisamment "évidents" pour pouvoir être considérés comme acquis. Ca tient
debout.

Parce que pour moi, les nombres, sont TOUS crées par les hommes, il y a quelques siècles. (Je ne vous parle même pas du 0 ).

-Pour pouvoir compter, dénombrer, calculer, nos ancêtres ont eu besoin des nombres (entiers naturels) .

-Ensuite, ils ont été obligé d'en inventer une autre série de nombre, les entiers relatifs noté . Ceci servait pour la température par exemple.

-Aprés ceux-ci, sont apparut les nombres décimaux noté , quand nos ancêtres se sont aperçut que tous les nombres ne pouvait se diviser.

etc... Je ne vous direz pas comment sont apparut les rationnels, les réels, les complexes, les hypercomplexes, les octavions, les quaternions, les P-adiques...

Voilà !

[Rammstein43]

Me revoila.
Bien le choix de la méthode #2 n'est pas mauvais, il faut juste avoir en tête que nous n'aurons pas le niveau de formalisme que l'axiomatique nous donnerait, mais je pense que pour l'occasion, c'est le prix de la clarté.

Pour commencer, je voudrais juste te convaincre que l'ensemble des "mots" que je peux écrire avec un seul et unique symbôle () se comporte bien comme nos entiers naïfs (du point de vue des opérations arithmétiques).
Nous savons que l'on peut définir une opération noté + sur l'ensemble de ces mots (la concaténation), qu'il existe un élément neutre (je suppose que tu sais ce que cela veut dire), qui est le mot vide, que cette opération est commutative etc...
On peut aussi définir une multiplication : mot1.mot2 = le mot obtenu en remplaçant chaque occurence de dans mot1 par mot2.
je te laisse jouer avec ces petites idées pour te convaincre que nous avons les mêmes propriétés que celles de la multiplication sur les entiers naïfs. L'élément neutre est évidemment .

On peut même introduire la notation positionnelle en base 10, en créant 10 symbôles (0,1....9) définis simplement
0 = le mot vide
1 =
2 =
...

Je pose Mot10 =
et PetitMot = l'un de mes nouveaux symbôles de 0 à 9
Il suffit dans un mot de le découper de telle façon qu'il s'écrive sous la forme Mot.Mot10 + PetitMot
puis de recommencer en découpant Mot etc. (pour ceux qui voudraient démontrer cela, il "sufit" de se rappeler que les mots que l'on peut former avec un langage fini, dans la logique classique du premier ordre sont finis)

Je ne fais évidemment pas de démonstration formelle (il faudrait parler de Péano pour cela), je veux juste que tu acceptes l'idée que cette façon de voir les entiers est bien une façon de mathématiser nos notions intuitives sur les entiers.
On peut rester sur cette étape tant que tu auras des questions, sinon l'étape suivante sera de parler de considéré comme l'ensemble des mots ci-dessus (avec des notations un peu plus pratique), ou comme l'ensemble des entiers naïfs.

Oui, j'ai compris, cependant, là, on reste dans des entiers
d'aprés cette démonstration, comment on fait si on a *(1/(3)) ?
A moins que ce que tu veux me démontrer ne touche que les entiers ?

[Rammstein43]

La position de Kronecker était que les nombres entiers étaient suffisamment "évidents" pour pouvoir être considérés comme acquis. Ca tient debout.

Je ne comprends pas ce qui te fait croire que c'est considéré comme acquis.
Tu connais surement le célèbre calcul 0.999999...=1
Donc, tu vois, d'aprés ce calcul, rien n'est acquis puisque 1+1=0.999...+0.999... = 1.999
Donc, d'après ça, je crois pas que tous soit acquis. Sauf si on le prend comme calcul asymptotique.

Heu, je me suis peut être un peu embrouillé

[invité576543]

Parce que pour moi, les nombres, sont TOUS crées par les hommes, il y a quelques siècles.

C'est le mot "créer" qui pose problème. Que les hommes aient créé les symboles des nombres et plus généralement le symbolisme mathématique qui va avec (addition, multiplication, etc.), ça ne fait aucun doute.

Que le concept de nombre soit issu du fonctionnement symbolique du cerveau ne fait aucun doute non plus. (Le verbe "créer" est-il alors adapté?)

Mais la question est si le concept de nombre entier ne peut pas être constaté à partir d'observations et des concepts plus fondamentaux encore de "pareil" et "différent". (A mon sens les nombres entiers dérivent automatiquement de considérations sur "pareil" et "différent", l'exemple des chaînes de caractères étant un exemple d'une telle dérivation.)

Un point peut-être intéressant: les chimistes ont une manière bien à eux d'écrire les nombres entiers: H, He, Li, Be, B, C, ... On peut voir les atomes comme une manifestation très concrète des petits nombres (même si les atomes ne sont pas vraiment "visibles"). (Et c'est pas avec ça qu'on va faire le 0 ou les nombres négatifs )

Cordialement,