Pour la définition d'un nombre, ce qu'on m'avait appris, C'st que :
Un nombre est un élément d'un corp complet comme C, R ou H !
Voila la definition que l'on m'a donné, et je doute pas qu'elle soit juste, cepandant, es-ce qu'il est possible de la compléter, ou bien, un nombre, ce n'est que ça !?
Pourquoi plus rigoureuse ? Le seul avantage au niveau rigueur est de justifier que les nombres complexes "existent", c'est à dire qu'on les a bien "pris quelque part".Envoyé par Ksilver
On construit C à partir de R, lequel est construit à partir de Q (bien plus difficilement), lequel est construit à partir de Z, et enfin à partir de N. Mais d'où vient N ? Ou a-t-on "pris" les nombres entiers ? Ce sont les ordinaux finis ? Pourquoi pas. Mais alors, c'est quoi un ensemble fini ?
J'ai fait des maths, mais je pense toujours que la notion de "rigueur mathématique" est très subjective.
Tu ne crois pas que les nombres entiers naturels sont aussi des nombres ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne suis pas certain de comprendre ce que veut dire "pris quelque part" dans cette phrase (en fait tel que je comprends je ne ressens pas cette nécessité, mais je voudrais être sur de comprendre ce que tu veux dire avant d'y apporter une critique) ; ceci dit je suis d'accord avec toi sur le fait que la définition par les matrices n'est pas plus (ou moins) rigoureuse qu'une autre.
Pour faire écho à ta remarque ci-dessous, je ne suis pas capable de répondre aux deux premières questions sans que le N auquel tu te réfères soit défini avec rigueur, et si comme définition rigoureuse tu dis que ce sont les ordinaux finis, il me semble que les réponses sont évidentes et que tu les connais, quant à ta dernière question, la réponse est facile : un ensemble est fini quand il ne s'injecte pas dans une partie stricte de lui-même.
La rigueur est bien là pour minimiser la subjectivité (mais je crois que la subjectivité en maths se cache dans les définition choisie, pas dans les développements)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne comprends pas ta question !
Je voulais dire par là qu'on ne sortait pas un "i" du chapeau, mais qu'on utilisait le couple (0,1), dont il est facile d'affirmer l'existence. Je reviens demain pour en discuter plus longuement.Je ne suis pas certain de comprendre ce que veut dire "pris quelque part" dans cette phrase (en fait tel que je comprends je ne ressens pas cette nécessité, mais je voudrais être sur de comprendre ce que tu veux dire avant d'y apporter une critique
Je te rappelle ta définition d'un nombre :Je ne comprends pas ta question !
Au delà du fait que tu utilises le mot "complet" sans savoir vraiment ce qu'il veut dire (là il est utilisé dans un contexte mal défini, la complétude étant avant tout une notion topologique), il se trouve que selon ta définition, un entier naturel n'est pas un nombre si on se restreint juste à l'ensemble(ensemble des entiers naturels
)
Donc Mediat te demande - avec raison - si selon toi les entiers naturels sont des nombres.
Bin oui, c'est des nombres, pourquoi ?
Cela signifie que ta définition est inexacte...
Bon trés bien, j'accepte d'avoir tort, mais je vais quand meme vous demandez de me définir ce qu'est exactemet un nombre, et me dire ce qu'est un corp complet !
Merci !
On va y venir.
Pour aller dans le sens de Gwyddon, après t'avoir rappelé que c'est toi qui a mis ce mot dans la discussion, est-ce que tu veux dire complet algébriquement, topologiquement ou modèle-théoriquement ?
Mais ne t'inquiètes pas si nous pouvons parler de ce sujet assez "complètement", nous parlerons de ces 2 premières complétudes (la 3ième viendra beaucoup plus tard).
Pour commencer un peu le débat, je vais parler des entiers naturels, et pour te montrer l'ampleur de la tâche (je rappelle que le but n'est pas de préparer le programme de TS, mais de comprendre les idées de fond qui sous-tendent ces notions) je vais lister 4 définitions.
- Kronecker (mathématicien allemand 1823-1891) disait : "Dieu fit les nombres naturels ; tout autre est l'œuvre de l'homme ", une première appréhension de ces nombres naturels est de faire comme Kronecker et de considérer les nombres au sens naïfs (ce n'est pas pour rien qu'on les dit naturels) que nous utilisons pour compter des objets.
- Créer un modèle : Considérer un langage constitué d'un seul symbole de constante
- Définition axiomatique des ordinaux finis : cette définition nécessite de définir la théorie axiomatique des ensembles (ZF par exemple), c'est évidemment très lourd, je ne cite ce point que parce qu'il est important en soi, mais nous n'en parlerons plus
- Axiomatique de Peano : la définition la plus aboutie des entiers naturels (les ordinaux finis vérifient les axiomes de Peano), cette définition n'est pas extrêmement difficile à comprendre (cf. wikipedia), mais elle est bien sur très abstraite.
Donc si tu es d'accord, nous pouvons discuter l'un de ces points (sauf le 3, ce ne serait pas raisonnable), ou bien passer à l'étape suivante.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Moi, j'ai encore envie de poser une question, Kronecker disait : "Dieu fit les nombres naturels ; tout autre est l'œuvre de l'homme." Moi je ne comprends pas sa phrase, pour moi les nombres sont l'invention de l'homme. Pas de dieu. Qu'es-ce qu'il a voulu dire ?
Et avant de passer a l'etape suivante, j'aimerais bien parler du point 2.
Merci !
Disons que chacun sa vision. Kronecker préférait considérer les naturels comme acquis (ce qui n'est pas nécéssairement évident).
L'histoire de Dieu est je pense une image
Mais si d'autres ont apporté leur grain de sel, c'est certainement que cette vision était un peu trop peu convenable, mais soit.
Médiat t'en dira plus que moi.
Je suppose qu'il voulait exprimer son incapacité à définir rigoureusement les entiers, de constater simplement qu'ils étaient là.
[EDIT] Grillé par Ledescat
Je t'écoute ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La, ce que tu veux dire, c'est, le système de numérisation des arabes ?On va y venir.
Pour aller dans le sens de Gwyddon, après t'avoir rappelé que c'est toi qui a mis ce mot dans la discussion, est-ce que tu veux dire complet algébriquement, topologiquement ou modèle-théoriquement ?
Mais ne t'inquiètes pas si nous pouvons parler de ce sujet assez "complètement", nous parlerons de ces 2 premières complétudes (la 3ième viendra beaucoup plus tard).
Pour commencer un peu le débat, je vais parler des entiers naturels, et pour te montrer l'ampleur de la tâche (je rappelle que le but n'est pas de préparer le programme de TS, mais de comprendre les idées de fond qui sous-tendent ces notions) je vais lister 4 définitions.
[LIST=1][*]Kronecker (mathématicien allemand 1823-1891) disait : "Dieu fit les nombres naturels ; tout autre est l'œuvre de l'homme ", une première appréhension de ces nombres naturels est de faire comme Kronecker et de considérer les nombres au sens naïfs (ce n'est pas pour rien qu'on les dit naturels) que nous utilisons pour compter des objets.[*]Créer un modèle : Considérer un langage constitué d'un seul symbole de constante
1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,32, 33...
Ou
Ai-je bien compris ?
NonLa, ce que tu veux dire, c'est, le système de numérisation des arabes ?
1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,32, 33...
Ou
Ai-je bien compris ?
On considère les mots que l'on peut écrire avec une seule lettre :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Historiquement, les nombres complexes ont été inventé comme une "astuce" de calcul permettant de résoudre certaines équations. D'ailleurs le "i" désigne à l'origine le mot "impossible", il ne faut donc pas chercher dans les nombres complexes un sens concret direct sur le monde qui nous entoure: nous vivons bien dans un monde "réel". Simplement en posant le postulat i²=-1(pourquoi pas même si cela n'a pas "d'application réelle" directe), on arrive à reconstruire, à partir des règles courantes applicables pour les nombres réels, tout un corps de nombres (les complexes) sur lesquels on peut facilement travailler. L'intérêt des nombres complexes apparait surtout quand on les utilise comme un intermédiaire sur le chemin de la recherche de résultats "réels" à partir de données "réelles": ils permettent alors souvent de simplifier les calculs même si au le résulat final redevient toujours réel.
La curiosité est un très beau défaut.
La curiosité est un très beau défaut.
Je suis plutôt d'accord avec Kronecker, 1, 2, 3, et tous les entiers "faciles à comprendre" font partie des connaissances communes, les définir de façon axiomatique est un exercice "scolastique" que je trouve assez absurde. En revanche, ce qui n'est pas absurde du tout, c'est de définir l'ensemble des nombres entiers.Disons que chacun sa vision. Kronecker préférait considérer les naturels comme acquis (ce qui n'est pas nécéssairement évident).
L'histoire de Dieu est je pense une image
C'est précisément ici que réside la vraie difficulté. Mais à quel moment et pour quels types de problème a-t-on vraiment besoin de tous les nombres entiers, et de leur ensemble ? A mon avis, mais des gens plus au fait que moi peuvent me contredire, on n'utilise l'ensemble des entiers naturels qu'à partir du raisonnement par récurrence.
c'est-à-dire plutôt souvent en maths!
C'est ce qu'il m'avait semblé comprendre, et j'avoue que j'ai du mal à comprendre pourquoi 0 ou 1 aurait plus d'existence que i, se sont tous les 3 des symboles possédant des propriétés à l'intérieur d'une théorie, propriétés conférées par les axiomes de cette théorie. La seule façon, à mon humble avis, de pouvoir parler d'existence d'un "objet" représenté par un symbole du langage est de se placer dans un modèle, et clairement i existe dans
Donc les travaux de Gödel (entre autres) sont des exercices scolastique absurdes.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je reviens sur ce fil très intéressant sur la notion de nombre. Qui me permettra aussi de donner mon opinion sur la rigueur mathématique.
De la maternelle au lycée, les nombres sont utilisés sans avoir été définis. On apprend à les manipuler et à leur donner un sens, mais sans jamais enfermer ce sens dans une définition. Je crois que toute la richesse d'un bon enseignement des maths est de diversifier les approches de ces nombres : dénombrement, géométrie, ordre, numération, sens du signe d'égalité, etc ...
En classe prépa, on amène une définition des nombres. Les entiers par les axiomes de Peano, et les autres par construction à partir de ces entiers. Cette définition n'a pas d'utilité pratique, on ne sait rien faire de plus sur les fractions lorsqu'on a compris la construction de Q par quotient par la relation d'équivalence qui va bien. On a eu une approche différente, constructive et formelle, mais ce sont toujours les mêmes nombres.
Ensuite, la volonté de formalisation n'ayant pas touché que les nombres, une théorie mathématique "globale" a été inventée, la théorie des ensembles, et on a logiquement replacé l'ensemble des entiers dans cette théorie, en l'assimilant à l'ensemble des ordinaux finis. 0 est l'ensemble vide, 1 l'ensemble {0}, et de façon générale n+1 est l'ensemble nU{n}. Cette défintion n'apporte à nouveau rien de plus que de faire entrer les nombres dans la théorie.
Cependant je crois que l'idée qu'en passant d'une approche à la suivante, on gagne en rigueur mathématique est très répandue. Je ne suis pas d'accord. Ou plutôt je crois que ça dépend du problème. Si on veut prouver que racine(2) n'est pas rationnel, ça ne sert à rien d'avoir une définition constructive de R.
Pour aller un peu plus loin, je voudrais signaler que l'ensemble des ordinaux finis n'est toujours pas un objet si bien défini que ça. En effet, qu'est-ce qu'un ensemble fini ? Mediat m'a donné comme définition celle de Dedekind (non équipotent à une partie stricte), cependant il existe une autre définition, celle de Tarski : un ensemble E est fini si toute partie de P(E) possède un élément minimal pour l'inclusion. Cette définition est plus fine que l'autre. En toute rigueur, il faudrait la connaitre pour avoir bien défini N.
Je suis pénible et je cherche la petite bête ? Est-ce que ce n'est pas souvent ça, être rigoureux ?
Les travaux de Gödel ne sont pas là pour donner une définition au nombre 1, mais pour prendre les nombres entiers ensemble, ce n'est pas la même chose. J'avais lu il y a pas mal d'années une discussion de Poincarré à ce sujet.
Non. "1" est un symbole servant à noter un mot du langage naturel "un", qui n'appartient pas qu'aux mathématiciens, "i" est un symbole désignant un nombre construit par les mathématiciens. Ce n'est pas la même chose. Et ces trois nombres ont été utilisés bien avant qu'on les fasse entrer dans une théorie formelle, ce n'est pas la théorie qui leur donne des propriétés, au contraire c'est ce qu'on voulait fair avec ces nombres qui a contraint la théorie.j'avoue que j'ai du mal à comprendre pourquoi 0 ou 1 aurait plus d'existence que i, se sont tous les 3 des symboles possédant des propriétés à l'intérieur d'une théorie
Tout à fait, mais à partir d'un certain niveau. J'essaye d'expliquer que le cadre dans lequel on travaille dépend de ce qu'on veut faire. Pour utiliser les nombres complexes, pas besoin de les définir.
Je n'ai jamais dit cela, mais sans le ridicule exercice scolastique de Peano, Gödel aurait été bien en peine de faire une démonstration rigoureuse.
Il se trouve que ce forum est dédié aux mathématiques, non à la liguistique.
C'est incontestablement ce que l'on veut faire qui permet de choisir des axiomes, mais, tout aussi incontestablement, c'est la théorie qui donne leurs propriétés aux symboles.
Avec l'axiome du choix (et même avec une version plus faible : l'axiome du choix dépendant) ces définitions sont équivalentes, on peut d'ailleurs en ajouter d'autres (2 bons ordres sur un ensemble fini sont forcément isomorphes, etc.). Bref je ne vois pas en quoi ce n'est pas bien défini.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Mais comme la question est justement de comprendre le fond et non d'apprendre à s'en servir...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
De quel exercice parles-tu ? Si c'est la définition de l'ensemble des entiers naturels, ce n'est pas ridicule, ce que je trouve absurde (je n'ai pas dit ridicule), c'est la définition du nombre 1 ou du nombre 2. Là ça m'étonnerait qu'une définition formelle ajoute quoique ce soit à l'expérience courante.
D'accord. Ce n'est pas ce que je veux dire. Il y a plusieurs niveaux de langage. Le langage formel, qui repose mettons sur les axiomes de la théorie des ensembles, ces axiomes doivent être énoncés dans un méta-langage, lequel peut parfaitement être le langage naturel. En s'autorisant à utiliser ce langage, on s'autorise du même coup à utiliser les mots "un", "deux", etc ... sans aller attendre que la théorie des ensemble nous en donne la signification.Il se trouve que ce forum est dédié aux mathématiques, non à la liguistique.
On change de niveau. "0", "1", "i", ont un certain sens. On construit une théorie qui préserve ce sens. Et du coup évidemment la théorie donne aux symboles les propriétés qu'ils avaient déjà.C'est incontestablement ce que l'on veut faire qui permet de choisir des axiomes, mais, tout aussi incontestablement, c'est la théorie qui donne leurs propriétés aux symboles.
Je sais bien que ces définitions sont équivalentes avec l'axiome du choix. On n'est pas obligés d'y croire, à l'axiome du choix. Mais ce n'est pas vraiment le sens de ce que j'écris. Je veux simplement illustrer qu'on peut toujours raffiner la "rigueur mathématique".Avec l'axiome du choix (et même avec une version plus faible : l'axiome du choix dépendant) ces définitions sont équivalentes, on peut d'ailleurs en ajouter d'autres (2 bons ordres sur un ensemble fini sont forcément isomorphes, etc.). Bref je ne vois pas en quoi ce n'est pas bien défini.
On peut aussi inverser la phrase, et dire qu'en maths savoir utiliser quelque chose, c'est équivalent à le définir.Pour utiliser les nombres complexes, pas besoin de les définir.
En maths, on peut voir la définition de quelque chose comme l'ensemble des règles indiquant comment utiliser le quelque chose.
Cette approche purement relationnelle permet de contourner toutes les discussions métaphysiques sur l' "existence" des objets mathématiques.
Et c'est celle de l'informatique! Un type y est défini par la liste des "moyens d'utiliser" une instance de ce type, rien de plus, rien de moins.
Cordialement,
Médiat te citait sans le dire (et c'était de l'ironie, sf erreur de ma part), c'est toi qui as introduit cette expression message #79.
Cordialement,
Je pense qu'il vaut mieux apprendre d'abord à s'en servir, justement. J'ai eu droit dans ma scolarité à la présentation des nombres complexes comme ensemble des couples de réels avec la bonne multiplication. Je pense que ça a retardé très largement ma compréhension de ces nombres, des spécificités des calculs, pour lesquels je revenais à ma définition et m'emmêlais les pinceaux. Une présentation en balançant i de nulle part aurait été bien plus pertinente.
