intervalle de fluctuation

[invite4842e1dc]

Salut Léon

OK je commence à comprendre ce que tu expliques...

Ce que je ne comprends toujours pas c'est d'où viennent les fameuses conditions : n≥ 30 et np≥5 et np(1−p) ≥5
(qui de temps en temps s'écrivent aussi et )


ps)
Pour information :

1) J'ai compris que si n tend vers +infini alors on peut prendre un estimateur qui suit la loi binomiale (exemple : un "échantillon" de taille n équivalent à un n tirages successifs "avec remise")
et que cet estimateur "converge" quand n tend vers +infini vers la loi normale

2) Je suis d'accord que la fonction lorsque admet un maximum égale à
( et donc que lorsque admet un maximum égale à )

3) ET je suis d'accord qu'on peut majorer
(1,96 étant le coefficient qui provient de la table de la loi normale centrée réduite qu'on peut calculer pour un taux de confiance de 95%)
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[leon1789]

Ce que je ne comprends toujours pas c'est d'où viennent les fameuses conditions : n≥ 30 et np≥5 et np(1−p) ≥5
(qui de temps en temps s'écrivent aussi et )

Ce sont des conditions expérimentales communément admises... mais je n'en connais pas réellement les origines. Comme toi, j'aimerai bien les connaitre aussi.

Sur wiki, http://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_fluctuation , tu trouveras quelques contre-exemples.

[kaderben]

Bonjour ptitnoir-gris

Si tu utilise l'intervalle asymptotique :[p-Ualpha*V(p(1-p)/n) ; p+Ualpha*V(p(1-p)/n)] avec Ualpha = 1,96 et V(p(1-p)/n) =racine carrée(p(1-p)/n)
tu trouveras 0,94428...
ton tableur a utilisé l'intervalle [p-1/V(n) ; p+1/V(n)]

Pour le message privé, moi non plus je ne comprends pas s'il faut garder secret le message pour soi ou donner le contenu si l'on veut.
Peut être le modérateur peut nous expliquer ce que c'est qu'un message privé et si on peut le publier sur le site sans que l'identité de la personne soit révélée.
Franchement je n'ai rien compris à cette histoire de message privé, car la personne m'a répondu en disant qu'elle est vraiment déçue du fait que j'ai publié son message alors qu'elle m'a fait confiance. Là on tombe dans un film de sience fiction. Et puis c'est le site qui m'a transmis le message.
Alors j'espère que le modérateur nous éclarcit un peu sur cette histoire.

[gg0]

Bonsoir Kaderben.

Pour les messages privés, il n'y a pas de règle, mais généralement ils concernent des sujets effectivement privés. Là ce n'est pas le cas, c'est simplement, si j'ai bien lu, quelqu'un qui en a un peu marre qu'on lui rappelle que ses idées ne sont pas celles des probabilistes et des statisticiens. Il n'est pas content parce qu'on a pu savoir que c'était lui qui intervenait encore une fois à côté du sujet !!!

Cordialement.

[leon1789]

Bonjour
Pour la question d) , j'ai utilisé l'intervalle asymptotique:[p-Ualpha*V(p(1-p)/n ; p+Ualpha*V(p(1-p)/n] avec Ualpha = 1,96
Je cumule les probabilités de la loi binomiale( somme des p(X=k) ) pour les valeurs des fréquences k/n qui sont dans cet intervalle et j'obtient 0,94428...

Voici le message privé que j'ai reçu:

Ah c'est ce sacré dlzillogic... Il reste égal à lui-même, encore et toujours...
Depuis quelques mois, il préfère agir par MP, dans l'ombre, histoire de ne plus montrer publiquement ces énormités qu'il écrit depuis des années dans divers forums, sans la moindre remise en question, malgré toutes les remarques que les gens lui ont faites, gg0 et moi en particulier. Il continue à essayer d'entraîner les gens dans ses délires psycho : théorie mal connue, tabou, secret, etc. J'ai toute une collection de MP pseudo mathématiques de lui qui fait mourir de rire, comme celui que tu as reçu, genre

1- les expériences aléatoires, ne dépendant que du hasard, sans transformation artificielle, tel que le tir (fusil, canon, fléchettes), le jeu pile ou face, la pêche de poissons, et ont toujours une répartition conforme à la loi normale.
2- toute démonstration ou exemple contraire est par définition sans intérêt.

Depuis toujours, il confond une suite de variables aléatoires et leur somme. Il généralise à outrance le théorème central limite, sans en comprendre les hypothèses, ni la conclusion...
Le jour où il écrira une formule correcte, un théorème complet, ou la simple définition mathématique d'une variable aléatoire ou de la loi normale, les poules auront des dents ! Mais comme il dit, c'est lui le professionnel

[invite4842e1dc]

Bonjour ptitnoir-gris

Si tu utilise l'intervalle asymptotique :[p-Ualpha*V(p(1-p)/n) ; p+Ualpha*V(p(1-p)/n)] avec Ualpha = 1,96 et V(p(1-p)/n) =racine carrée(p(1-p)/n)
tu trouveras 0,94428...
ton tableur a utilisé l'intervalle [p-1/V(n) ; p+1/V(n)]

Salut

Pour la question d) de ton exercice : j'ai 2 questions sur ton calcul ( idem pour la question c) )

- Pourquoi utilises-tu la loi normale ?

- Pourquoi utilises-tu le coeff 1,96 ?

[leon1789]

le coefficient 1.96, c'est le coefficient ad hoc pour l'intervalle de fluctuation à 95% pour la loi normale : http://www.enfa.fr/physique-chimie/w..._confiance.pdf

[kaderben]

Bonjour

Ouf, merci leon et ggo de nous expliquer ce genre de message privé.

Pour ptitnoir-gris: Dans le livre de terminale S, il y'a le théorème de Moivre Laplace qui dit :
Xn suit loi binomiale(n,p)
On définit Zn = (Xn-np)/V(np(1-p)) converge en loi vers la loi normale centrée réduite N(0;1).

Pour le réel 1,96: X suit N(0;1)
On applique la loi inverse pour trouver le rée U tel que: p(-U<=X<=U)=0,95 et on trouve U= 0,955... = 0,96

[kaderben]

pardon, U=1,96

[kaderben]

Encore pardon: U=1,955... = 1,96

[leon1789]

Je dirais plutôt U = 1.95996... = 1.96

[invite4842e1dc]

Pour ptitnoir-gris: Dans le livre de terminale S, il y'a le théorème de Moivre Laplace qui dit :
Xn suit loi binomiale(n,p)
On définit Zn = (Xn-np)/V(np(1-p)) converge en loi vers la loi normale centrée réduite N(0;1).

Pour le réel 1,96: X suit N(0;1)
On applique la loi inverse pour trouver le rée U tel que: p(-U<=X<=U)=0,95 et on trouve U= 0,955... = 0,96

Salut

Oui on peut appliquer ce théorème de Moivre Laplace qui revient à dire

que si la V.A suit la loi binomiale ( question d) de ton exercice )

alors la V.A quand "n est assez grand" suit la loi normale


Pour savoir si contient p avec une probabilité environ égale à 0.95 ,

Je pense qu'il y a 2 méthodes

- celle que je t'ai déjà expliqué dans un message précédent

- celle qui utilise ce théorème et la loi normale

Il suffit alors de calculer

puis de calculer = 0,98545 - 0,01455 0,9709
(qui est un résultat cohérent avec le résultat trouvé par la 1ière méthode qui donnait pour cet intervalle une probabilité via la loi Binomiale de 0,9766 )


Commentaire :
Si tu utilises le coefficient 1,96 alors tu travailles sur l'intervalle , ,

ET BIEN SÛR , par "définition" si tu calcules la probabilité , tu vas trouver et ( pour info : j'ai trouvé environ 0,950004 )


Conclusion :
Je ne pense pas que ce dernier calcul répond à la question d) de ton exercice
mais peu importe car (à mon avis) l'IMPORTANT dans cet exercice est de savoir faire tous ces différents calculs soit avec une loi Binomiale soit avec une loi Normale

En espérant que tous ces messages t'auront un peu aidé

En tout cas :
Cette discussion m'aura permis de mieux "appréhender" le fameux théorème enseigné en seconde
qui mathématiquement est faux
mais qui en pratique permet donner une formule très simple à mémoriser et qui fonctionne dans une très grande majorité de cas...

[leon1789]

j'ai l'impression que cet intervalle de est effectivement au seuil de 95 % , quels que soient p et n.

Mais il est moralement trop grand (son seuil est trop largement supérieur à 95%) lorsque p est proche de 0 ou 1.

A ce moment là, il faut prendre un intervalle du genre , visiblement valable quels que soient p et n.

[kaderben]

Mais c'est une formule qui existe ou bien c'est un choix pour que ça marche pour tout p et n

[leon1789]

Mais c'est une formule qui existe ou bien c'est un choix pour que ça marche pour tout p et n

C'est une formule que je viens " d'intuiter " , je ne pense pas qu'elle soit " standard ". En tout cas, elle n'est pas au programme de lycée

[kaderben]

Bonjour
J'ai essayé de travailler avec le tableur Excel mais je n'arrive pas
J'ai voulu utiliser la loi binomiale pour faire le cumul par exemple
Dans la ligne de saisie des formules, je tape:LOI.BINOMIALE(k;40;0,3;VR AI) pour la cellule A1, ça donne rien
Je remplace k par 10 par exemple, ça donne rien
Mais comment ptitnoir-gris a fait pour avoir la feuille de calculs ?
Et pourtant j'ai utilisé Excel pour d'autres calculs et ça marchait !
Merci

[invite4842e1dc]

Salut

Voici le fichier Excel que j'ai utilisé pour répondre à la question d) avec la loi Binomiale

Clique sur le lien référencé ci-dessous et tu pourras "normalement" visualiser ce fichier sur ton ordinateur via le logiciel Excel

Lien : http://fr.scribd.com/doc/128728098/C...-Loi-Binomiale

[kaderben]

Je te remercie. Tout simplement j'ai oublié de taper "=" dans la ligne de saisie des formules.
ça marche

[leon1789]

Bonsoir

J'ai obtenu quelques résultats (expérimentaux) sur la loi binomiale :

L'intervalle
est un intervalle de fluctuation de fréquence au seuil de $95\%$, pour tout entier et toute proba ].

Et par ailleurs, l'intervalle
est un intervalle de confiance au niveau de , pour tout entier et toute fréquence observée ,

Les taux de sont vraiment maintenu (on ne descend jamais en dessous, apparemment), mais bien sûr, les intervalles ne sont pas optimaux : un algorithme de calcul "brutal" pourra sortir des intervalles plus petits.

On voit ainsi qu'une toute petite modification de l'intervalle classique de fluctuation permet de palier simultanément au problème asymptotique (l'intervalle classique provient de la loi normale, limite de la loi binomiale) et au problème d'arrondi (la loi binomiale existe sur les entiers et non sur les réels).
Quant à l'intervalle de confiance, c'est amusant : on reprend l'intervalle de fluctuation (comme on fait d'habitude, via une grosse approximation entre p et f...) , mais on modifie la fréquence observée f et le nombre de tirage n en ajoutant 2 échecs et 2 succès.

[invite4842e1dc]

Salut Léon

je viens de lire ton message : super travail MAIS pas terrible toutes CES formules à comprendre et à mémoriser....
( précision : je ne remets pas en cause ces formules car je te fais confiance dans la véracité des résultats vu ton niveau en mathématiques )


Suite à ces formules sur la loi Binomiale , j'ai 1 commentaire + 1 question :

Commentaire :
Le seul intérêt de la formule "fournie" par l'Education Nationale (sous certaines conditions ET au seuil de 95%) :
est que cette formule est très simple à mémoriser

(et on est d'accord que cette formule, vu les calculs faits sur la loi Binomiale (56 0.491) est "mathématiquement" fausse
car elle ne s'applique que pour une V.A. qui suit une Normale)


Question :

Est ce qu'il ne vaut pas mieux préconiser, quand on travaille sur un échantillon (équivalent à un tirage avec remise donc à une loi binomiale) TOUJOURS refaire des calculs
pour calculer l'intervalle [a,b] tel que
P ( X ≤ a ) > 0.025
et
P ( X ≤ b ) ≥ 0.9725

[Dlzlogic]

Bonjour,
A mon avis, à ce stade de l'étude, il serait intéressant d'avoir un ou plusieurs exemples d'application qu'on pourrait tirer de la vie réelle. Cela permettrait en particulier de préciser des domaines d'utilisation.

[invite4842e1dc]

Exemple :

Au deuxième tour de la dernière élection présidentielle Française (élection de M. X ou de M. Y) : un sondage donne 52 % des votes pour M. X

Ce sondage a été effectué auprès de 948 personnes différentes pris au hasard parmi la population qui a voté au 1er tour

Question : Que veut dire ce sondage ?

[Dlzlogic]

A mon avis rien, en vertu du fait que on a des d'information sur le profil des votants, mais pas d'information sur le profil des personnes interrogées.
Par contre, si on a établi un certain nombre de profils, et que la réponse de tel individu est pondérée par rapport à la grille, là on pourra calculer valablement des variations, des écarts-type, donc en déduire la probabilité et l'écart-type pondéré.
Un millier de personnes interrogées au hasard, s'il n'est pas pondéré par catégorie, ne peut, à mon avis, donner aucune information valable.
Il me semble bien que les instituts de sondage procèdent de cette manière et calculent les écarts-type en fonction des observations et non de leur nombre.

[leon1789]

Commentaire :
Le seul intérêt de la formule "fournie" par l'Education Nationale (sous certaines conditions ET au seuil de 95%) :
est que cette formule est très simple à mémoriser

je suis bien d'accord

Question :
Est ce qu'il ne vaut pas mieux préconiser, quand on travaille sur un échantillon (équivalent à un tirage avec remise donc à une loi binomiale) TOUJOURS refaire des calculs
pour calculer l'intervalle [a,b] tel que
P ( X ≤ a ) > 0.025
et
P ( X ≤ b ) ≥ 0.9725

On peut très bien, par des calculs optimaux sur les entiers, déterminer un intervalle de fluctuation pour f (ou de confiance pour p), mais cela reste lourd : une petite formule va mieux, à condition de savoir quelles sont les bonnes conditions d'utilisation (et ça, c'est pas clair pour tout le monde).
Cela dit, pour des petits échantillons, les formules classiques sont quand même très approximatives, donc refaire des calculs optimaux par un programme peut avoir son intérêt. Pour des échantillons de grande taille, l'avantage d'une formule peut être suffisant.

Personnellement, je ne trouve pas mes formules très compliquées : la formule de IF a juste un petit 3/2 de plus que la formule classique, et la formule de CF (certes plus sophistiquée) est valable quel que soit p, proche de 1/2, ou de 0, ou de 1, etc : c'est un gros avantage par rapport à la formule classique, je pense. De plus, c'est amusant de voir un lien informelle entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance : on modifie la fréquence observée f et le nombre de tirage n en ajoutant 2 échecs et 2 succès.

[leon1789]

Exemple :

Au deuxième tour de la dernière élection présidentielle Française (élection de M. X ou de M. Y) : un sondage donne 52 % des votes pour M. X

Ce sondage a été effectué auprès de 948 personnes différentes pris au hasard parmi la population qui a voté au 1er tour

Question : Que veut dire ce sondage ?

Arf, les sondages d'intention de vote, c'est compliqué (donc un modèle mathématique ultra simple ne convient pas réellement), surtout si l'un des candidats est extrémiste.

Mais changeons simplement le contexte, en gardant les mêmes données : dans une urne contenant 10^8 boules, bien mélangées, de deux couleurs X et Y, on tire au hasard (suivant la loi uniforme) 948 boules, 52% sont des boules de couleur X. On peut alors donner un intervalle de confiance (à 95%) de la proportion de boules de couleur X.

[invite4842e1dc]

A mon avis rien

Salut

Cette réponse est correcte

en vertu du fait que on a des d'information sur le profil des votants, mais pas d'information sur le profil des personnes interrogées.
Par contre, si on a établi un certain nombre de profils, et que la réponse de tel individu est pondérée par rapport à la grille, là on pourra calculer valablement des variations, des écarts-type, donc en déduire la probabilité et l'écart-type pondéré.
Un millier de personnes interrogées au hasard, s'il n'est pas pondéré par catégorie, ne peut, à mon avis, donner aucune information valable.
Il me semble bien que les instituts de sondage procèdent de cette manière et calculent les écarts-type en fonction des observations et non de leur nombre.

par contre tes explications sont , à mon avis , trop compliquées

Sans remettre en cause tes connaissances sur les instituts de sondage (car je n'y connais rien) :

Je dis que tu compliques beaucoup la justification d'une réponse qui consiste uniquement à calculer un intervalle de fluctuation...

[Dlzlogic]

Oh, je posais juste une question : un exemple.
Je voulais seulement marquer l'accent entre la différence entre un écart-type calculé d'après les observations et un écart-type théorique, en l'occurrence calculé à partir d'un nombre d'observations.

[invite4842e1dc]

Oh, je posais juste une question : un exemple.
Je voulais seulement marquer l'accent entre la différence entre un écart-type calculé d'après les observations et un écart-type théorique, en l'occurrence calculé à partir d'un nombre d'observations.

Salut

Oui on parle bien d'un exemple pour essayer de faire "des maths pas trop compliquées sur le sujet de cette discussion"

Si tu relis le message que j'ai écrit (voir ci dessous):

Au deuxième tour de la dernière élection présidentielle Française (élection de M. X ou de M. Y) : un sondage donne 52 % des votes pour M. X

Ce sondage a été effectué auprès de 948 personnes différentes pris au hasard parmi la population qui a voté au 1er tour

Question : Que veut dire ce sondage ?

tu remarqueras que j'ai employé (sans le faire exprès) le mot "sondage"

ET en remplaçant dans ce texte le mot "sondage" par le mot "échantillonnage"
(bien sûr , en conservant les mots "au hasard" et "sans remise")

alors on a : un ECHANTILLON qui suit la loi binomiale (948 0.52)

d'où l'explication suivante (que j'attendais et qui est très simple à calculer et à justifier.... ):

Il y a 95 % de chance pour que l’intervalle [49% ; 55%] contienne le
pourcentage de gens prêts à voter pour M. X au deuxième tour de cette élection

[Dlzlogic]

Bonsoir, oui, j'ai compris.

[kaderben]

Bonjour
A propos des sondages:
J'ai lu quelquepart que le problème crucial des instituts de sondage est le choix d'un échantillon représentatif, c'est à dire comment choisir les personnes, leur nombre et leur représentativité dans la ville ou' ils résident etc...
Puis ils affinent le résultat brut du sondage par des coefficients correcteurs en fonction des pourcentages que le candidat a obtenu dans telle ou telle élection (maire, député,etc..)
Donc il faut être dedans pour comprendre quelquechose à la démarche de ces instituts.