intervalle de fluctuation

[kaderben]

Bonjour
Ci joint l'énoncé d'un exo chapitre loi normale

Mon problème c'est les questions c) et d)

Par exemple pour la question b) U0,05 est 1,96 et on arrondit à 1
donc le seuil de confiance est 1-alpha = 0,95 ou 95%, c'est du cours

Pour c) et d) ce sont des intervalles de fluctuation pour accepter ou rejeter p=0,4 pour le c) et p=0,3 pour le d)
mais comme U0,05 est 1,96 et on arrondit à 1, le seuil de confiance est 1-alpha = 0,95 ou 95%
Je ne vois pas la différence avec la question b)
et en plus on a pas la fréquence F de l'échantillon.

La réponse du livre est 0,963 pour c) et 0,977 pour d)
J'ai essayé plusieurs pistes pour retrouver les résultats et je tombe à côté!
Ou peut être j'ai rien compris
-----

[kaderben]

J'ai oublié de vous remercier d'avance

[gg0]

Bonsoir.

Avec un tableur, on peut calculer les probabilités des différentes valeurs, et trouver que la probabilité que F_n soit dans vaut 0,96301 environ. Comme

avec probabilité 0,963, et avant le tirage de X_n,

Pour la question d), on trouve une proba de 0,97660 environ.

Cordialement.

[kaderben]

Bonjour
Je n'ai pas compris "on peut calculer les probabilités des différentes valeurs" ?
Différentes valeurs de Xn ? C'est à dire les probabilités des succès: P(X=k) de cette loi binomiale, k variant de 0 à n=20 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Au passage, il s'agit d'intervalle de confiance (et non de fluctuation) puisqu'il s'agit de proba sur l'appartenance de p à un intervalle (et non l'appartenance de Fn à un intervalle).

Si n=20 et p=0.4 alors il faut calculer la somme S des probas B(n,p)({X=k}) pour k vérifiant
On tombe sur S = .9630099099 (environ !)

Idem pour n=40 et p=0.3
On tombe sur S = .9766048990 (environ )

[leon1789]

Au passage, il s'agit d'intervalle de confiance (et non de fluctuation) puisqu'il s'agit de proba sur l'appartenance de p à un intervalle (et non l'appartenance de Fn à un intervalle).

Cela dit, gg0 a montré que, pour ce genre d'intervalle très simple, on passe facilement de l'intervalle de confiance à l'intervalle de fluctuation (et réciproquement), d'où peut-être la confusion.

[gg0]

Bonsoir.

Je n'avais pas relevé la question de dénomination de l'intervalle, puisque p était donné. Donc on étudie bien la fluctuation ... d'un certain intervalle.

Cordialement.

[gg0]

Kaderben,

les valeurs dont je parlais sont celles de X_n/n (ou de X_n, les probabilités sont les mêmes).

Cordialement.

[leon1789]

Bonsoir.

Je n'avais pas relevé la question de dénomination de l'intervalle, puisque p était donné. Donc on étudie bien la fluctuation ... d'un certain intervalle.

Cordialement.

Effectivement, les questions a/ b/ ne sont pas de même nature que les questions c/ d/.

[kaderben]

Bonjour
On obtient exactement les mêmes probabilités pour les deux intervalles
Fn =k/n dans [ p-1/V(n); p+1/V(n)] ou p dans [ k/n-1/V(n); k/n+1/V(n)]

J'ai compris la méthode, je vous remercie.

[invite4842e1dc]

Salut kaderben

Pour information :
en classe de seconde on apprend depuis 2 ans le théorème suivant :

(et on le "montre / démontre" selon le niveau des élèves et le temps qui reste pour faire des TP de maths en salle d'informatique)

Ce théorème permet de déduire la réponse à la question b)

Question :
Je n'ai pas compris quelle est ta réponse à la question a) et quel raisonnement tu as utilisé pour y répondre ?

[kaderben]

Bonjour Ptitnoir-gris
Merci de nous rappeler le théorème de seconde ci dessus.
Pour ta question: comment je réponds à la question a):
Tout simplement cette formule n'existe pas dans le programme de terminale s, peut être que c'est une formule fausse sinon elle étudiée dans le supérieur.

[invite4842e1dc]

Bonjour

Ce chapitre sur les statistiques inférentielles est un chapitre qui est étudié au lycée suite à la dernière reforme du lycée ( donc depuis seulement 2 ans )

Pour information : Les premiers élèves qui ont fait l'objet de cette réforme sont ceux qui sont actuellement (en 2012-2013) en classe de Terminale

Donc c'est normal que tu n'aies pas vu ce théorème en classe de seconde si tu a déjà passé ton BAC

J'ai une remarque :
Les différentes questions de cet exo (vrai , faux) ne sont pas toute de type QCM (c'est à dire des questions sur des théorèmes du cours à connaitre par coeur)

Les questions 3 et 4 nécessitent, à mon avis , de faire des calculs de probabilités avec les 2 lois binomiales et
(sur une calculatrice ou via le tableur Excel par exemple )

Il faut savoir calculer la plus petite valeur a a et b tel que et de savoir calculer


ps)
Pour répondre à la question 1 , voici un indice
, ,

[invite4842e1dc]

Désolé

il y a eu un bug lors du message précédent...

Aussi : voici quelques explications supplémentaires sur calcul de l'intervalle suite à l'analyse d'un échantillon de taille qui est sensé suivre une certaine loi

Explication
On recherche le "plus grand intervalle " qui vérifie et donc....

lire :

[leon1789]

Salut kaderben

Pour information :
en classe de seconde on apprend depuis 2 ans le théorème suivant :

(et on le "montre / démontre" selon le niveau des élèves et le temps qui reste pour faire des TP de maths en salle d'informatique)

Exact, c'est enseigné...
et ce qui est amusant, c'est que ce résultat est mathématiquement faux : prendre par exemple n=56 et p=0.491 .

[invite4842e1dc]

Bonjour Léon

Je viens de calculer l'intervalle de fluctuation à un taux de de la loi Binomiale (56 0.491) via le tableur Excel

et je suis d'accord avec ta conclusion : ce théorème est FAUX dans ce cas particulier !!


Peux tu , stp , expliquer et détailler pourquoi on a une erreur dans le cas de la loi Binomiale (56 0.491)

ou pourquoi ce théorème est faux ?



ps)

pour information : Voici quelques explications sur mes calculs via le tableau Excel (et je peux si besoin fournir ce fichier Excel)

Le tableau Excel est un tableau 57 lignes et 2 colonnes

- colonne A = calcul de nombres entiers qui appartiennent à [[ 0 , 56 ]]

- colonne B = calcul de avec via la fonction Excel :


VOICI les résultats que j'ai trouvé pour calculer l'intervalle de fluctuation à un taux de 95% :
- la plus petite valeur de telle que P( X ≤ a ) > 0.025 est et on peut calculer que :
- la plus petite valeur de telle que P ( X ≤ b ) ≥ 0.9725 est et on peut calculer que :

Pour vérifier si ce calcul rejoint "la théorie" c'est à dire :
A-T-ON :

ce qui n'est pas VRAI car

on a

et

n'est pas VRAI !!

[invite4842e1dc]

Suite du message précédent : sur le calcul de l'intervalle de fluctuation à un taux de 95 % pour la loi Binomiale (56 0.491)

- Les calculs via la tableau Excel donnent comme résultat :

- Et voici le résultat du calcul de l'intervalle

[invite4842e1dc]

Suite du message précédent : si est une V.A. qui suit la loi

alors

et on a :

[kaderben]

Bonjour ptitnoir-gris
A propos de ton message ou' tu me parles de l'intervalle [a/n ; b/n]
Je pense que cette théorie n'est pas au programme de terminale S car cela n'est pas sur le livre de cette année.
Pour le moment je reste sur le programme de terminale et puis on pourra revenir la dessus si tu veux.
J'aurai aimé éclaircir quelques points qui sont un peu flous pour moi.

1°) En terminale on voit l'intervalle de fluctuation asymptotique de Fn:[p-Ualpha*V(p(1-p)/n ; p+Ualpha*V(p(1-p)/n]
Vn=racine carrée de n et Ualpha=1,96 est le réel qui correspond au risque alpha=0,05. Ualpha est donné par la table de la loi normal N(0;1)
L'intervalle qu'on voit en seconde, que tu as rappelé est une approximation de l'intervalle asymptotique. La démonstration est dans le livre, d'ailleurs facile.

J'ai utilisé les deux pour les questions c) et d) et voici les résultats:
L'intervalle approximation et l'intervalle asymptotique donnent la même probabilité 0,963009...pour le c) :
pour le d):
L'intervalle approximation donne 0,976604...
l'intervalle asymptotique donne 0,94428...
Il y a une différence de 0,0324 à 4 décimales et en plus on atteint même pas le seuil théorique de 0,95 avec l'intervalle asymptotique

Alors, lequel doit on utiliser en l'absence de toute précision de l'énoncé ?

2°) Il y a des conditions:
n>=30; np>=5; n(1-p)>=5
Dans les corrections du livre, ces conditions sont précisées pour certains exercices mais pas pour d'autres.
par exemple si une condition n'est pas valide, que doit on faire ? Arrêter les calculs sous pretexte que la condition n'est pas valide ?

Merci pour les commentaires

[invite4842e1dc]

n>=30; np>=5; n(1-p)>=5.

Salut

Je suis comme toi : je me pose des questions ( dont je n'ai pas les réponses...)


car, suite aux calculs dans le tableau Excel que j'ai fait : concernant le calcul de l'intervalle de fluctuation au taux 95% de la loi : :

que "Léon" a cité comme contre- exemple du théorème qui est enseigné en classe de seconde , et que j'ai énoncé (voir un de mes messages)

je n'ai pas de réponse cohérente



Je vais laisser "Léon" éclairer nos "lanternes"...



ps)
A mon avis il y a 2 problématiques à analyser :

1) le fait qu'une loi binomiale soit discrète

2) le fait que asymptotiquement une loi binomiale converge vers la loi :

[invite4842e1dc]

POUR INFO

Voici l'extrait concernant le programme de maths en classe de terminale S concernant ce sujet : http://fr.scribd.com/doc/127972699/B...S-2012-2013-14

[kaderben]

Merci pour l'extrait du programme TS

Bon, on attend que quelqu'un puisse nous répongre aux questions que j'ai posées.

[kaderben]

Bonjour
Il y a quelqu'un qui m'a adressé anonymement un mail privé sur le sujet.
Je le remercie pour ses précisions.
J'ai écrit que:
"l'intervalle asymptotique donne 0,94428... qui est inférieure à 0,95 ", mais je n'ai pas dit que cette valeur est fausse car je n'ai pas des arguments pour le prouver, je n'ai qu'un petit niveau !

J'étais surpris par cette valeur alors que dans le cours on nous dit qu'au risque de 5%, la probabilité est supérieure ou égale à 0,95.
Merci.

[invite4842e1dc]

J'aurai aimé éclaircir quelques points qui sont un peu flous pour moi.

Salut
en réponse à ton message voici quelques explications supplémentaires :

La V.A. est ce qu'on appelle un estimateur ( sans biais ) de car

De plus comme
qui tend vers 0 quand tend vers +infini donc ce estimateur est dit "convergent"


Remarque 1 :
Dans cet exercice on parle uniquement de la loi binomiale donc ( à mon avis ) il faut travailler avec UNIQUEMENT CETTE LOI et non pas via la loi "asymptotique" : la loi Normale


Remarque 2 :
Attention la loi binomiale est une loi "DISCRETE" et on ne peut pas forcément calculer de façon exacte la proba de avec et *


Remarque 3 :
Comment tu as fait pour répondre à la question d) : l'intervalle contient p avec un proba d'environ 95%
Merci d'expliquer ton raisonnement et tes calculs...

A+



ps)
Les questions de cet exo, sont à mon avis très mal posées car : qu'est qu'un résultat qui est environ égal à 95% ? ?

Est-ce un : résultat égal à 96% ? , ou égal à 97% ? , ou égal à 94% ou 93% ? ...etc... !!!

[invite4842e1dc]

Bonjour
Il y a quelqu'un qui m'a adressé anonymement un mail privé sur le sujet.
Je le remercie pour ses précisions.

Salut

Peux tu , stp , recopier dans cette discussion les explications qui t'ont été données par ce message privé

[invite4842e1dc]

Salut kaderben

Est ce que tu peux donner une conclusion suite à cette discussion ("pour éclairer ma lanterne")...

ps)
En fait : J'ai toujours du mal avec ces "fameuses formules" qui ne sont valides que pour des V.A. qui suivent une loi normale et non une loi binomiale

En conclusion : est-ce qu'on est en accord sur le fait que :

Pour une loi binomiale : éviter d'appliquer ces "fameuses formules" et toujours refaire les calculs via une calculatrice ou un tableur....

[kaderben]

Bonjour
Pour la question d) , j'ai utilisé l'intervalle asymptotique:[p-Ualpha*V(p(1-p)/n ; p+Ualpha*V(p(1-p)/n] avec Ualpha = 1,96
Je cumule les probabilités de la loi binomiale( somme des p(X=k) ) pour les valeurs des fréquences k/n qui sont dans cet intervalle et j'obtient 0,94428...

Voici le message privé que j'ai reçu:
Le point fondamental est le postulat de la moyenne qui peut s'énoncer ainsi :
Si on réalise une expérience quelconque dont l'issue est aléatoire, type jeu de pile ou face, tir au pistolet ou au canon, taille des poissons pêchés, alors la valeur la plus probable est la moyenne arithmétique.
Si on calcule les écarts entre chaque observation ou chaque mesure et la moyenne, on constate que la répartition des écarts est toujours la même. Elle suit la loi normale, représentée par la courbe de Gauss.

Soyons un peu plus précis. On classe les écarts en 10 classes de la façon suivante.
D'abord, on calcule l'écart-type, c'est à dire l'écart moyen quadratique.
Si M est la moyenne des observations, ei les écarts à la moyenne et N le nombre d'observations
emq = racine(Somme(ei²)/(N-1))
On appelle ep l'écart probable ep=2/3 emq
alors, la répartition des écarts est la suivante
25% sont inférieurs à 1 ep
16% compris entre 1 ep et 2 ep
7% compris entre 2ep et 3 ep
2% compris entre 3 ep et 4 ep
0.35% supérieurs à 4 ep , considéré généralement comme anormale.
La même chose à gauche.

Il est bien évident que ceci est vrai pour les expériences aléatoires, c'est à dire ne dépendant que du hasard. La matheux adorent sortir des "contre-exemples" qu'on leur a soigneusement appris, mais il ne concernent que des expériences non aléatoires.
Par ailleurs, la recherche de décimales est sans intérêt et humoristique. Les pourcentages que j'ai indiqués sont naturellement des approximations mais ces valeurs offrent l'intérêt d'être faciles à retenir.
Dans la littérature, on parle plutôt de l'écart-type, moi, j'en suis resté à ce qu'on m'a appris, mais ça ne change rien.

La matheux parlent de loi uniforme, de loi binomiale etc. en fait toute expérience aléatoire a une répartition des écarts qui est celle de la loi normale.

On peut naturellement trouver des formules approchées, telle que celles qui sont citées dans ce sujet, mais dire que un résultat de 0.94123456 est faux parce qu'il est plus petit que 0.95, en matière de probabilité, c'est du délire.

[invite4842e1dc]

Bonjour
Pour la question d) , j'ai utilisé l'intervalle asymptotique:[p-Ualpha*V(p(1-p)/n ; p+Ualpha*V(p(1-p)/n] avec Ualpha = 1,96
Je cumule les probabilités de la loi binomiale( somme des p(X=k) ) pour les valeurs des fréquences k/n qui sont dans cet intervalle et j'obtient 0,94428...

Salut

Je ne comprends pas ce message privé que tu as reçu et qui (à mon avis) n'a aucun rapport avec ton exercice

Pour trouver les résultats aux questions c) et d) de ton exercice
(qui sont les solutions qui sont données dans cet exercice, et résultats qui ont été donnés également par gg0 et Léon dans cette discussion)

voici une copie d'une feuille Excel qui explique comment calculer le résultat de la question d) dans le cas de la loi

[leon1789]

Je viens de calculer l'intervalle de fluctuation à un taux de de la loi Binomiale (56 0.491) via le tableur Excel

et je suis d'accord avec ta conclusion : ce théorème est FAUX dans ce cas particulier !!

Peux tu , stp , expliquer et détailler pourquoi on a une erreur dans le cas de la loi Binomiale (56 0.491)

ou pourquoi ce théorème est faux ?

En fait, c'est simple : l'intervalle donné est valable initialement pour la loi normale.
Comme la loi normale approxime bien la loi binomiale, on se permet d'appliquer cet intervalle pour la loi binomiale, à condition que n soit assez grand (exactement comme les termes d'une suite sont proches de la limite à partir d'un rang assez élevé).
Mathématiquement, il faut prendre n beaucoup plus grand que 25 (au delà de 500)
Expérimentalement, pour n > 25, l'intervalle fonctionne souvent quand même.

[leon1789]

Suite du message précédent : sur le calcul de l'intervalle de fluctuation à un taux de 95 % pour la loi Binomiale (56 0.491)

- Les calculs via la tableau Excel donnent comme résultat :

- Et voici le résultat du calcul de l'intervalle

Effectivement, c'est l'arrondi qui crée le problème pour la loi binomiale