IR-espace vectoriel

[invite67bfbeae]

Bonjour j'ai un exercice que je n'arrive pas a résoudre, je ne sais par oû commencer.. il s'agit de :

Soit F (IR,IR) l'ensemble des fonctions définies de IR dans IR, on munit cet ensemble des lois suivantes:
-(f+g)(x)=f(x)+g(x), pour tout x appartenant a IR.
-(λf)(x)-λ*f(x), pour tout x appartenant a IR.

Montrer que F est un IR espace vectoriel (faire les 8 lois).

Voila pouvez vous m'éclaircir un peu s'il vous plait.
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[PlaneteF]

Bonjour,

(...) je ne sais par oû commencer (...)

Ben par la définition. What else?

Cordialement

[pm42]

je ne sais par oû commencer..

Comme le dit PlaneteF, en lisant la définition dans le cours puis en regardant si l'espace ainsi défini la respecte.
J'ai du mal à imaginer exercice plus simple.

[gg0]

N'oublie pas de vérifier que + est une loi de composition interne, et que si f appartient à F(IR,IR), alors λf aussi.
Je suppose qu'il fallait lire : (λf)(x)=λ*f(x)

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Soit F (IR,IR) l'ensemble des fonctions définies de IR dans IR, on munit cet ensemble des lois suivantes:
-(f+g)(x)=f(x)+g(x), pour tout x appartenant a IR.
-(λf)(x)-λ*f(x), pour tout x appartenant a IR.

Juste une petite remarque dans ces écritures, sauf mauvaise interprétation de ma part tu sembles débuter sur le sujet, auquel cas être bien conscient des écritures qui sont en jeu. Ainsi si l'on voulait être précis on écrirait (en nommant l'ensemble en question) :

Pour tout appartenant à ,

Pour tout appartenant à ,


Après, une fois cela dit, ces dernières écritures étant particulièrement lourdes, bien entendu on simplifie en se permettant les abus d'écritures standards.


Cdt

[invite67bfbeae]

Merci pour vos réponses rapides, et pour les plus malins je m'excuse de débuter et de vouloir progresser.

Donc dans mon cours j'ai la lois d'addition ... il faut montrer que (u+v)+w=u+(v+w)

Mais je doute qu'il suffise de faire : (f+g)(x)+z(x)=f(x)+g(x)+z(x) et f(x)+(g+z)(x)=f(x)+g(x)+z(x) pour montrer l'associativité (loi 1) ???

Encore merci.

[gg0]

Ben ... pour des applications u et v de R dans R, que veut dire f=g ? (car tu dois prouver (f+g)+h=f+(g+h))
Simplement que pour tout réel x, u(x)=v(x).
Donc tu dois montrer que pour tout réel x,
((f+g)+h)(x)=(f+(g+h)))(x)
Et c'est presque évident avec les définitions et l'associativité dans R. Tu vas d'ailleurs passer par ce que tu écris.

Ces questions sont très faciles, il faut seulement bien écrire ce qu'on veut démontrer (ici l'associativité sur les fonctions). Bien différencier f et f(x) pour un réel x donné.

Cordialement.

[gg0]

Remarque :

Une bonne écriture pour tes opérations aurait été :
f+g : x-->f(x)+g(x)
Et pour tout réel k,
k.f : x-->kf(x)
Où l'on voit bien que ce n'est plus des additions ou multiplications de réels.

[invite67bfbeae]

Je vous remercie, je débute en algebre et je trouve ca pas trés simple a assimiler je suis plus equa diff etc... Mais ca va venir j'en suis sur .

Donc pour l'associativité il suffit de faire ((f+g)+h)(x)=(f+g+h)(x)=f(x)+g (x)+h(x) et (f+(g+h))(x)=(f+g+h)(x)=f(x)+g (x)+h(x) ???

Je ne vois pas comment je pourrais plus développer cette demonstration...

et ensuite je dois refaire pareil pour la formule avec le lambda ?

[invite67bfbeae]

et ensuite je dois refaire pareil pour la formule avec le lambda ?

Je crois que cette partie se traite lors de la 5 eme loi "Associativite de la loi *" c'est bien ca ?

[gg0]

Non :

"((f+g)+h)(x)=(f+g+h)(x)" ???? C'est quoi, f+g+h ? la loi + n'a été définie que pour 2 fonctions, pas 3.
Applique la définition de + : ((f+g)+h)(x)= ...
Ce n'est pas difficile, mais comme toujours en maths, on ne peut qu'appliquer les règles. Toute écriture qui n'est pas obtenue par application des règles est une "tricherie", n'est pas des maths.

[invite67bfbeae]

Non :
Applique la définition de + : ((f+g)+h)(x)= ...
.

((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x) comme ceci ??

[invite67bfbeae]

Et on nous dit dans la definition que (f+g)(x)=f(x)+g(x) donc on a : f(x)+g(x)+h(x)

Mais pour (f+(g+h))(x) on a f(x)+(g+h)(x)= ?????? A-ton le droit de dire que c'est égal a f(x)+g(x)+h(x) ?

J'ai l'impression d'être dans la mauvaise voie....

[PlaneteF]

((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x) comme ceci ??

Oui, vas-y, enchaine ...

Cdt

[gg0]

Tant que tu appliques les définitions et règles, c'est bon. En allant au bout, on voit si on est sur la bonne voie ou non.

[invite67bfbeae]

Donc en résumant :

il faut prouver que ((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x)
on a ((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x )+g(x)+h(x)
et on a d'autre part (f+(g+h))(x)=f(x)+(g+h)(x)=f(x )+g(x)+h(x) donc bien associatif.

Je peux passer a la loi 2 ou il me manque encore quelque precision ?

[PlaneteF]

Je peux passer a la loi 2 ou il me manque encore quelque precision ?

Pour être plus précis(e) dans ta rédaction, la conclusion finale à apporter ce n'est pas mais

Cdt

[invite67bfbeae]

Merci, donc je conclu comme ceci mais la rédaction est bonne ?

[PlaneteF]

Merci, donc je conclu comme ceci mais la rédaction est bonne ?

Ce qu'il faut surtout préciser c'est que l'égalité est vraie , et c'est donc ça qui te permet de conclure que .

Cdt

[invite67bfbeae]

Ok super, merci beaucoup je m'attaque demain aux prochaines lois, je reviendrais vers vous si ca me pose probleme. Bonne soiree.

[PlaneteF]

Ok super, merci beaucoup je m'attaque demain aux prochaines lois, je reviendrais vers vous si ca me pose probleme. Bonne soiree.

Tu sais, tu peux faire cela ce soir, si tu connais les propriétés à vérifier c'est plié en 5 minutes, en encore, en faisant la vaisselle et allant faire trois fois le tour du pâté de maison !

Cdt

[gg0]

Un exemple de rédaction :

Soient f, g et h, trois éléments de E. On a, pour tout réel x,
((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x )+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=f (x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x).
Donc (f+g)+h=f+(g+h).

Cordialement.

[invite67bfbeae]

Merci, je m'y remet pour la suite, et PlaneteF je te crois, encore faut-il être a l'aise avec ce genre de choses nous sommes que 4 sur 40 a validés dans ma classe de L1 donc... haha

[invite67bfbeae]

Bon si j'applique la loi, pour la commutativité de la loi + j'obtiens: soient f(x) et g(x) appartenant a IR:
f(x)+g(x)=(f+g)(x)
=(g+f)(x)
=g(x)+f(x)
Donc loi de commutativité ok car f(x)+g(x)=g(x)+f(x). C'est bon ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Tu prends, me semble-t-il, les choses à l'envers.

La rédaction correcte est la suivante.

Soient et deux fonctions de dans , alors, pour tout nombre réel :



donc, par définition de l'égalité de deux fonctions : .

L'addition est commutative dans .

[invite67bfbeae]

Super comme redaction! Mais ca ne revient pas au même ?

Edit: Oui j'ai compris il faut partir de la definition dans l'énoncé !

[PlaneteF]

Bon si j'applique la loi, pour la commutativité de la loi + j'obtiens: soient f(x) et g(x) appartenant a IR:
f(x)+g(x)=(f+g)(x)
=(g+f)(x)
=g(x)+f(x)
Donc loi de commutativité ok car f(x)+g(x)=g(x)+f(x). C'est bon ?

Non ta rédaction est trop imprécise.

Soient et appartenant à .

Pour tout , on a :

Donc :


Cdt

Edit : Croisement avec God's Breath.

[invite67bfbeae]

Dacc je viens de comprendre merci, loi 3: existence d'un element neutre
Soient f(x) et g(x) appartenant a IR,
f(x)+g(x)+0=f(x)+g(x) donc element neutre =0 (et pour plus tard element neutre de la mutiplication =1 je suppose)

[PlaneteF]

(...) donc element neutre =0 (...)

Non, l'élément neutre doit être une fonction réelle, pas un réel (ce n'est pas du tout la même chose).

Cdt

[invite67bfbeae]

Donc je dois prendre f(x)+g(x)+h(0) ? Pas si simple que ca je trouve moi.......