Tu veux dire inclus.
Oui mais après …
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Tu veux dire inclus.
Oui mais après …
Bon, un peu de sérieux.
"Si pour tout k Nk c ≠ Nk+1 " n'a rien à voir avec "non stationnaire".
Une suite croissante (Nk) d'ensembles est non stationnaire si, quel que soit l'entier m, il existe un k>m tel que Nk soit strictement inclus dans Nk+1.
C'est simplement la négation (un peu généralisée) de la définition de stationnaire. Avec ça, on a immédiatement la démonstration "par l'absurde", en utilisant le fait que l'inclusion stricte de sev fait augmenter strictement la dimension.
Cordialement.
Par exemple.
Tu montres qu’on ne peut pas avoir pour tout k , Nk strictement inclus dans Nk+1, car alors la suite dim(Nk) serait strictement croissante, a valeur dans N, donc tend vers plus l’infini.
Donc il existe ( au moins)un k pour lequel Nk=Nk+1
Tu prends le plus petit d’entre eux que tu nommes ko.
Tu montre alors que pour tout n>=k , Nn=Nn+1( par double inclusion, éventuellement par récurrence
gg0,
Rien à voir ?
La suite des noyaux est soit stationnaire soit strictement croissante.
J’attends de voir une démonstration propre avec votre méthode …
Dernière modification par Johanneddy ; 04/11/2022 à 09h11.
D'accord, je comprends le raisonnement, merci à vous.
Pour la question 2)a), je sais qu'il faut utiliser la méthode de l'inclusion càd soit f∈Ik+1, montrons que f∈Ik. On a f∈Im(fk+1), or Nk+1⊂Ik+1 et (Nk) est croissante mais après j'arrive pas à rédiger
On n’a pas besoin des noyaux.
Si y est dan Ik+1, l eidétismes un x tel que y=f^k+1(x)
Et n’oublie pas que f^k+1 c’est f^k o f
J'ai compris ce que vous avez écrit mais je n'arrive pas à aboutir au résultat qu'on veut
y=f^k(f(x)) donc y est dans Ik
ah d'accord fallait l'écrire comme ça pour que je le vois, merci beaucoup.
tu pourrais poser N = U Nk (la réunion des Nk). C'est facile de voir que N est un sous-espace vectoriel de E. Par exemple si x,y sont dans N, x est dans un Nk et y est dans un Nl donc leur somme est soit dans Nk soit dans Nl selon que k>=l ou non (à cause de la croissance de la suite). Il faut ensuite faire appel à un certain nombre de lemmes: 1) un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie, et 2) si F,G sont des s.e.v. de E de dimension finie, et F inclus dans G, alors l'inclusion est stricte si et seulement si dim F < dim G.
Pour la question 2)b) je me suis dit que c'est le même raisonnement que pour la 1)b) mais ce que je trouve bizarre c'est que dim(Ik) ne peut pas tendre vers -∞, ça n'a pas de sens. Pour moi, ça tend vers 0 et donc c'est de dimension finie et donc il n'y a rien d'absurde. Qu'en pensez-vous ? Il faudrait donc une autre approche ?
Dernière modification par Matt1627 ; 04/11/2022 à 11h09.
D'accord, merci pour vos précisions @MissJenny
Tu peux aussi utiliser la formule du rang ….
Si dim(Nk) est stationnaire, dim ( Ik)=dim(E)-dim(Nk) l’est aussi .
En fait, j'ai montré que (Ik) est décroissante mais je n'arrive pas à m'imaginer pourquoi. Pour moi, elle pourrait être constante voire croissante. Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer là-dessus ?
ah oui j'avais pas du tout pensé au théorème du rang, merci beaucoup.
Est-ce que du coup quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi (Ik) est décroissante ?
Déjà parce que tu as réussi à le démontrer…
Sinon intuitivementet sans aucune rigueur…)
Im(f) est dans E donc contient «* moins «*d’éléments que E
Quand tu considères les images par f^2,
C’est l’image par f dès éléments de im(f)
Donc il y en a «*moins*» que dès images par f des éléments de E
f(E) est inclus dans E donc I1 est inclus dans I0 (c'est la définition).
Ensuite, récursivement...
D'accord, je vous remercie tous les 2, c'est plus clair pour moi maintenant.
Pour la question 3) de l'exercice, il est dit qu'on peut procéder par double inégalité, je vois pas trop comment la mettre en place.
Avec la formule du rang
D'accord, merci je vais essayer de l'appliquer. En attendant, j'ai regardé la question 5) et je me demande si y a pas une erreur dans l'énoncé. Il est dit que E=R mais ça ne devrait pas être R3 vu la matrice ? Parce que sinon je ne vois pas comment trouver l'expression de f avec la matrice A.
Dernière modification par Matt1627 ; 04/11/2022 à 13h52.
Probablement.
Autre possibilité :
E était un Kev ( K désigne R ou C) et dans cette question K=R
Ah d'accord, je vous remercie beaucoup.
@pm42
@Johanneddy
D'accord, bah du coup je vais considérer E=R3. Merci à vous.
Dernière modification par Matt1627 ; 04/11/2022 à 14h00.
j'ai trouvé à la 5): f(x,y,z)=(y+z, z, z) mais après je vois pas comment trouver s0. Pourriez-vous me donner des pistes ?
Avec la matrice, tu peux faire un pivot de gauss .
Ou alors tu résous f(x,y,z)=(0,0,0)