Montrer qu'une suite est stationnaire

[Johanneddy]

Tu veux dire inclus.
Oui mais après …
-----

[gg0]

Bon, un peu de sérieux.

"Si pour tout k Nk c ≠ Nk+1 " n'a rien à voir avec "non stationnaire".
Une suite croissante (Nk) d'ensembles est non stationnaire si, quel que soit l'entier m, il existe un k>m tel que N_k soit strictement inclus dans N_k+1.
C'est simplement la négation (un peu généralisée) de la définition de stationnaire. Avec ça, on a immédiatement la démonstration "par l'absurde", en utilisant le fait que l'inclusion stricte de sev fait augmenter strictement la dimension.

Cordialement.

[Johanneddy]

Par exemple.
Tu montres qu’on ne peut pas avoir pour tout k , Nk strictement inclus dans Nk+1, car alors la suite dim(Nk) serait strictement croissante, a valeur dans N, donc tend vers plus l’infini.
Donc il existe ( au moins)un k pour lequel Nk=Nk+1
Tu prends le plus petit d’entre eux que tu nommes ko.
Tu montre alors que pour tout n>=k , Nn=Nn+1( par double inclusion, éventuellement par récurrence

[Johanneddy]

gg0,
Rien à voir ?
La suite des noyaux est soit stationnaire soit strictement croissante.
J’attends de voir une démonstration propre avec votre méthode …

[Matt1627]

D'accord, je comprends le raisonnement, merci à vous.

[Matt1627]

Pour la question 2)a), je sais qu'il faut utiliser la méthode de l'inclusion càd soit f∈I_k+1, montrons que f∈I_k. On a f∈Im(f^k+1), or N_k+1⊂I_k+1 et (N_k) est croissante mais après j'arrive pas à rédiger

[Johanneddy]

On n’a pas besoin des noyaux.
Si y est dan Ik+1, l eidétismes un x tel que y=f^k+1(x)
Et n’oublie pas que f^k+1 c’est f^k o f

[Matt1627]

J'ai compris ce que vous avez écrit mais je n'arrive pas à aboutir au résultat qu'on veut

[Johanneddy]

y=f^k(f(x)) donc y est dans Ik

[Matt1627]

ah d'accord fallait l'écrire comme ça pour que je le vois, merci beaucoup.

[MissJenny]

tu pourrais poser N = U Nk (la réunion des Nk). C'est facile de voir que N est un sous-espace vectoriel de E. Par exemple si x,y sont dans N, x est dans un Nk et y est dans un Nl donc leur somme est soit dans Nk soit dans Nl selon que k>=l ou non (à cause de la croissance de la suite). Il faut ensuite faire appel à un certain nombre de lemmes: 1) un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie, et 2) si F,G sont des s.e.v. de E de dimension finie, et F inclus dans G, alors l'inclusion est stricte si et seulement si dim F < dim G.

[Matt1627]

Pour la question 2)b) je me suis dit que c'est le même raisonnement que pour la 1)b) mais ce que je trouve bizarre c'est que dim(I_k) ne peut pas tendre vers -∞, ça n'a pas de sens. Pour moi, ça tend vers 0 et donc c'est de dimension finie et donc il n'y a rien d'absurde. Qu'en pensez-vous ? Il faudrait donc une autre approche ?

[Matt1627]

D'accord, merci pour vos précisions @MissJenny

[Johanneddy]

Tu peux aussi utiliser la formule du rang ….
Si dim(Nk) est stationnaire, dim ( Ik)=dim(E)-dim(Nk) l’est aussi .

[Matt1627]

En fait, j'ai montré que (I_k) est décroissante mais je n'arrive pas à m'imaginer pourquoi. Pour moi, elle pourrait être constante voire croissante. Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer là-dessus ?

[Matt1627]

ah oui j'avais pas du tout pensé au théorème du rang, merci beaucoup.

[Matt1627]

Est-ce que du coup quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi (I_k) est décroissante ?

[Johanneddy]

Déjà parce que tu as réussi à le démontrer…
Sinon intuitivement et sans aucune rigueur…)


Im(f) est dans E donc contient «* moins «*d’éléments que E
Quand tu considères les images par f^2,
C’est l’image par f dès éléments de im(f)
Donc il y en a «*moins*» que dès images par f des éléments de E

[pm42]

f(E) est inclus dans E donc I1 est inclus dans I0 (c'est la définition).
Ensuite, récursivement...

[Matt1627]

D'accord, je vous remercie tous les 2, c'est plus clair pour moi maintenant.

[Matt1627]

Pour la question 3) de l'exercice, il est dit qu'on peut procéder par double inégalité, je vois pas trop comment la mettre en place.

[Johanneddy]

Avec la formule du rang

[Matt1627]

D'accord, merci je vais essayer de l'appliquer. En attendant, j'ai regardé la question 5) et je me demande si y a pas une erreur dans l'énoncé. Il est dit que E=R mais ça ne devrait pas être R³ vu la matrice ? Parce que sinon je ne vois pas comment trouver l'expression de f avec la matrice A.

[pm42]

Il est dit que E=R mais ça ne devrait pas être R³ vu la matrice ?

En effet, c'est bien R³.

[Johanneddy]

Probablement.
Autre possibilité :
E était un Kev ( K désigne R ou C) et dans cette question K=R

[Matt1627]

Ah d'accord, je vous remercie beaucoup.

@pm42

[Johanneddy]

Probablement.
Autre possibilité :
E était un Kev ( K désigne R ou C) et dans cette question K=R

Ça arrive quand on modifie un énoncé et qu’on se relit pas suffisamment….

[Matt1627]

@Johanneddy

D'accord, bah du coup je vais considérer E=R³. Merci à vous.

[Matt1627]

j'ai trouvé à la 5): f(x,y,z)=(y+z, z, z) mais après je vois pas comment trouver s₀. Pourriez-vous me donner des pistes ?

[Johanneddy]

Avec la matrice, tu peux faire un pivot de gauss .
Ou alors tu résous f(x,y,z)=(0,0,0)