Démo de Ramanujan

[Taguimdjeu]

Êtes-vous pour ou contre la démonstration
1+2+3+4+... =-1/12 de Ramanujan ?
Moi personnellement je suis contre.
Mais je n'arrive pas à trouver d'erreur dans ça démonstration.
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[gg0]

Je ne connais aucune démonstration de cette formule, quand la somme infinie du premier membre a la signification habituelle. Seulement des pseudo-preuves où on remplace dans une formule un nombre par une valeur qu'il ne peut prendre. La fonction Zêta de Riemann prend bien la valeur -1/12, mais ce n'est plus une valeur d'une série.

Cordialement.

[Liet Kynes]

Bonjour,

en détail : https://accromath.uqam.ca/2019/01/un...a-controverse/

[stefjm]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Prolongement_analytique

C'est un peu le marronnier des maths...

https://forums.futura-sciences.com/m...ramanujan.html
https://forums.futura-sciences.com/m...-a-1-12-a.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Êtes-vous pour ou contre la démonstration

En maths, que veut dire être "pour ou contre une démonstration" ? On ne parle pas d'une loi au sens juridique, d'une élection, etc.

[Deedee81]

SAlut,

En maths, que veut dire être "pour ou contre une démonstration" ? On ne parle pas d'une loi au sens juridique, d'une élection, etc.

En effet. Une démonstration est une démonstration, elle est irréfutable. Sauf bien entendu si on y trouve une erreur ou si elle ne respecte pas la rigueur mathématique.
Ici il n'y a pas de soucis.

Mais même juste, il convient de bien voir qu'il ne s'agit pas d'une somme au sens habituel des séries ou des additions sur les nombres (voir message de gg0)

Voir les liens de StefJM ainsi que :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan

Donc moi aussi je voudrais que Taguimdjeu précise ce qu'il entend par "je suis contre" alors qu'il le dit lui-même : il ne voit pas d'erreur dans la démonstration.
Ce n'est pas du tout une attitude mathématique ça (et encore moins scientifique). Ca s'apparente à de la croyance.

[oualos]

Bonjour,

en détail : https://accromath.uqam.ca/2019/01/un...a-controverse/

Le problème de la preuve dite "populaire" est qu'on déjoue -je sais pas comment l'exprimer autrement- par une démonstration fausse cette fameuse égalité controversée.
Est-ce que l'addition entre deux séries qui comportent des changements de signes peuvent aboutir à un nombre fini et à un résultat parfaitement en contradiction avec l'algèbre ?
Pourtant comme c'est signalé, il a une valeur d'usage comme en théorie des cordes.

Ça donne l'impression qu'on peut démontrer n'importe quoi, pour moi au premier regard et je dois pas être le seul à avoir un sentiment de malaise devant cette égalité.
Mais je suis pas assez calé en maths pour définir où se trouve très précisément l'écueil car cette équation figure dans plusieurs ouvrages écrits par des scientifiques réputés, en dehors de la trace qu'elle a laissé dans l'histoire avec Euler et Ramanujan. Et d'autres...
Lorsqu'il a découvert cela Ramanujan a écrit à un mathématicien anglais en lui expliquant qu'il fournirait dans sa lettre la preuve de quelque chose d'incroyable. Et qu'il risquait d'être pris pour un fou...

[gg0]

Bonjour Oualos.

"Lorsqu'il a découvert cela Ramanujan a écrit à un mathématicien anglais en lui expliquant qu'il fournirait dans sa lettre la preuve de quelque chose d'incroyable. Et qu'il risquait d'être pris pour un fou..." Bizarre !
Quand il était en Inde, Ramanujan ne faisait aucune preuve. Ce n'est qu'une fois en Angleterre, avec Hardy, qu'il a commencé à apprendre à prouver.

Il se dit beaucoup de choses à propos de Ramanujan, qui fut un cas de calculateur prodige sur des maths de haut niveau, mais chacun brode. As-tu une référence pour cet écrit ?

Cordialement.

[pm42]

As-tu une référence pour cet écrit ?

C'est ici en fait : https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommat...jan#Historique

Mais c'est de l'anecdote et typique des précautions oratoires de l'époque.

[gg0]

OK. Je ne connaissais pas.

[oualos]

Il y a un film sur Ramanujan, l'homme qui défiait l'infini
Malheureusement je n'ai pas l'impression que des salles aient daigné le programmer chez nous, peut-être en raison du fait qu'elles supposaient que ça n'intéresserait que les scientifiques... et encore!
Je ne l'ai jamais vu programmé à la télé sans quoi je l'aurais regardé évidemment.
C'est clair que la question du génie est une question hautement compliquée , quasi insoluble dans l'état actuel de nos connaissances particulièrement sur le cerveau.
Mozart, Bach, Leonard de Vinci, Euler, Evariste Galois, les jeunes prodiges aux échecs ou en maths, on signale tout le temps et on a signalé à toutes les époques ces génies, sans avoir la moindre explication à proposer.
Sauf pour les autistes -enfin certains- dont certains présentent des capacités incroyables comme l'hypermnésie
...ou cet ancien autiste anglais -guéri maintenant- capable d'apprendre l'islandais en une semaine -langue à la grammaire ultra-compliquée- ou de réciter les 20.000 premières décimales de pi sans se tromper.
L'expérience a été faite devant huissier dans une université à Londres.
Il y en a eu aussi chez nous: un simple paysan limite illettré -voire analphabète- et qui avait des capacités incroyables a été signalé dans les journaux de l'époque.

[aWeZiMoBu]

Bonjour,

J'ai déjà partagé mon raisonnement qui, s'il est juste, explique pourquoi la démonstration de Ramanujan est fausse.

https://forums.futura-sciences.com/m...-4c-1-4-a.html

[gg0]

Effectivement, mais comme il ne convainc personne ...
Quand on définit clairement de quoi on parle (Ramanujan l'a fait), on peut expliquer ce -1/12 (en évitant de le dire égal à une série divergente).

Cordialement.

[aWeZiMoBu]

Effectivement, mais comme il ne convainc personne ...
Quand on définit clairement de quoi on parle (Ramanujan l'a fait), on peut expliquer ce -1/12 (en évitant de le dire égal à une série divergente).

Il n'existe pas vraiment de consensus absolu sur la question de savoir si 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... équivaut exactement à -1/12 dans un sens mathématique strict.

Cordialement.

[pm42]

Il n'existe pas vraiment de consensus absolu sur la question de savoir si 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... équivaut exactement à -1/12 dans un sens mathématique strict.

Tu sais que ça ne veut rien dire ?
Déjà "équivaut" à un sens en mathématique qui n'est pas celui que tu emploies là.
Ensuite "au sens mathématique strict" est exactement le contraire de ce que tu croies : peu précis. Les mathématiques permettent de définir les choses de différentes façons et n'ont pas un seul sens.

[Deedee81]

Salut,

Tu sais que ça ne veut rien dire ?

+1

Les mathématiques à la basent définissent l'addition de DEUX nombres (en fait même juste +1 au départ, avec ce cher Peano).
Et delà l'addition d'un nombre quelconque fini de nombres.

Donc : aWeZiMoBu, comment définis-tu la somme d'une infinité de nombres (clairement et rigoureusement et sans taper une tonne d'exemples. Les exemples ça peut être utile une ou deux fois pour s'éclaircir les idées, pour montrer un cas particulier.... mais quand on commence à sortir des tonnes de chiffres comme dans l'autre discussion pour expliquer un raisonnement .... c'est qu'on a rien compris aux maths. On a vu ça très souvent sur Futura... et ailleurs aussi d'ailleurs. Et une définition n'est pas une notation, hein, ce n'est pas "on met des petits points derrière", ou "on utilise le signe sommation") ?

Deux manières de faire :
- en utilisant les limites, ce qui peut se faire de plusieurs manières car la notion de limite est une notion topologique et donc il faut définit la topologie qu'on adopte
- par prolongement analytique, et là on rejoint Ramanujan

Et donc deuxième question : aWeZiMoBu, est-ce que tu connais la notion de prolongement analytique et si oui peux-tu la décrire en disons une phrase ? Et citer le théorème qui en est à la base, en quelques mots ?

Parce que si tu ne peux pas répondre à ces questions alors, désolé, mais tu n'as rien à faire dans le forum des mathématiques du supérieur. Je suis d'ailleurs persuadé que tu CROIS bien connaitre et maîtriser les maths (au moins le domaine discuté ici) mais j'ai peur que ce ne soit qu'une illusion. J'espère donc que soit tu vas pouvoir prouver que je me trompe ou à l'inverse prendre conscience que tu as encore BEAUCOUP à apprendre.

[oualos]

Il semble -j'essaie d'avancer prudemment sur une question hyper-complexe- que cette "égalité controversée" soit utilisée avec succès dans la physique sans se préoccuper de son exactitude du point de vue mathématique.
Dans un ouvrage de physique, malheureusement je me souviens plus lequel, un physicien américain devant résoudre un problème ou une formulation par les maths écrit simplement -sans donner ni explication ni justification- que "comme 1+2+3+... =-1/12", on arrive au résultat cherché.
Il y a un renversement total: d'habitude la physique a besoin de formules mathématiques et de son corpus en général pour progresser, donc historiquement et c'est une habitude bien ancrée au cours de l'histoire, les mathématiques ont des choses à dire en tant qu'outil indispensable à la physique qui y recourt systématiquement sans que ça pose ou ait posé le moindre problème.
On s'est posé la question de l'ontologie du nombre imaginaire mais il est utilisé abondamment en physique sans avoir résolu cette question particulière: elle a été mise de côté sans que ça pose de problème.
Là c'est exactement le contraire qui se passe du point de vue épistémologique ce qui est totalement singulier à mon avis: la physique a quelque chose à dire aux mathématiques.
Et on ne sait pas quoi précisément ni de quel ordre...

[pm42]

On s'est posé la question de l'ontologie du nombre imaginaire mais il est utilisé abondamment en physique sans avoir résolu cette question particulière: elle a été mise de côté sans que ça pose de problème.
Là c'est exactement le contraire qui se passe du point de vue épistémologique ce qui est totalement singulier à mon avis: la physique a quelque chose à dire aux mathématiques.
Et on ne sait pas quoi précisément ni de quel ordre...

Cela ressemble beaucoup à du blabla vaguement philosophique n'ayant pas grand chose à faire dans "mathématiques du supérieur".

[Deedee81]

cette "égalité controversée"

Il n'y a aucune controverse mathématique. Les mathématiciens savent bien ce qu'implique cette égalité.

Il y a pu (en se limitant disons au 20e siècle) y avoir quelques controverses en mathématiques mais à ma connaissance jamais très importante ni durable.
Mais pas ici. Pas de controverse.

Ce qui est controversé est plutôt la manière lamentable dont c'est souvent vulgarisé (imprécis, flou, jouant sur le "spectaculaire", parfois même juste faux).

Cela ressemble beaucoup à du blabla vaguement philosophique n'ayant pas grand chose à faire dans "mathématiques du supérieur".

Pas vraiment. A part l'erreur de controverse je trouve ça assez banal et creux.

En physique, il est fréquent de passer par-dessous la jambe certains aspects nécessitant plus de rigueur en mathématique (l'exemple le plus célèbre étant sans doute les intégrales de Feynman, à leur début).
Reportant à plus tard les vérifications ou conditions d'applications (ce qui peut plus ou moins tarder, ce n'est pas toujours facile).

De plus, même quand les conditions mathématiques ont été vérifiées rigoureusement, dans un livre/cours de physique, on ne va pas toujours l'expliquer car c'est un livre... de physique !
Dans un livre que j'ai lu récemment ils disent par exemple à un moment donné : on peut montrer que cet ensemble est complet et basta (dans un développement en harmonique sphérique), ils ne le montrent pas (et c'est déjà bien qu'ils le disent, ce n'est pas toujours le cas)

Mais c'est assez banal et n'apporte rien ici. On est en mathématique pas en physique.

Et d'ailleurs "la physique a quelque chose à dire aux mathématiques. Et on ne sait pas quoi précisément ni de quel ordre... " Si on ne sait pas quoi, comment affirmer qu'elle a quelque chose à dire aux mathématiques ??? C'est totalement absurde ou alors cela relève de la pure opinion gratuite (et contraire aux principes modernes de la fondation des mathématiques).

[oualos]

Bon s'ił n'y a pas de problème tant mieux! Le sujet semble clos donc ? Puisque la démonstration de Ramanujan est fausse...

P.S. Je voudrais savoir qu'est-ce que cette égalité implique du coup. Que l'on ne peut pas additionner ou soustraire des séries infinies sans aboutir parfois -en fait juste là- à un résultat pour le moins étrange ?
C'est la question de départ il me semble

[Deedee81]

Bon s'ił n'y a pas de problème tant mieux! Le sujet semble clos donc ?

AMHA oui.

Puisque la démonstration de Ramanujan est fausse...

Heu..... on n'a pas dit ça (moi j'ai compris que surtout elle n'existait pas, il ne démontrait pas, mais je ne suis pas spécialiste de Ramanujan)

P.S. Je voudrais savoir qu'est-ce que cette égalité implique du coup. Que l'on ne peut pas additionner ou soustraire des séries infinies sans aboutir parfois -en fait juste là- à un résultat pour le moins étrange ?
C'est la question de départ il me semble

Voir le message 16. C'est juste une histoire de définition de ce type de somme et pour le -12 une histoire de prolongement analytique, voir aussi https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan
Ca n'implique rien de particulier mais ça donne un truc qui "frappe" et donc ça fait mousser. A un moment donné on a beaucoup parlé du paradoxe de Banach-Traski par exemple. Y a des modes ou des sujets récurent. C'est une question de psychologie sociale qui n'est pas sans intérêt mais, bon, c'est pas le bon forum

[pm42]

Puisque la démonstration de Ramanujan est fausse...

C'est un peu effrayant de sortir cela.

P.S. Je voudrais savoir qu'est-ce que cette égalité implique du coup.

Rien. Qu'on peut définir quelque chose qui permet de faire des sommes de séries divergentes.

Que l'on ne peut pas additionner ou soustraire des séries infinies sans aboutir parfois -en fait juste là- à un résultat pour le moins étrange ?

Non, cela on le savait déjà.

C'est la question de départ il me semble

Non, pas du tout.

Il est un peu bizarre de voir des gens venir participer dans "mathématiques du supérieur" sans avoir le niveau et encore plus en venant dire "ce qu'ils pensent" plutôt que de commencer par poser de questions quand visiblement, ils ne comprennent même pas le sujet.

[oualos]

La façon de formuler faite au premier post est ambiguë, et surtout le manque de réaction derrière immédiatement: s'il s'agit d'une question d'opinion, ce ne sont pas des mathématiques non plus.

Et l'argument d'autorité au-dessus aurait du s'appliquer tout de suite dès le premier post: ne pas laisser la discussion se prolonger ou s'éterniser puisqu'il n'y a pas de problème selon les mathématiciens.
Il s'agit d'une extension liée à la sommation de séries divergentes.
Si quelqu'un a laissé passer se sujet dans les "mathématiques du supérieur", c'est que c'est plus compliqué que ce qu'on pense même avec la démonstration et les hypothèses de Ramanujan.
dans ces cas-là il aurait fallu donner tout de suite les éléments-clé comme le prolongement analytique et fermer le sujet.

Il est important de noter que les sommations de Ramanujan ne sont pas des sommes de séries au sens habituel du terme

donc c'est de fait un droit qu'il prend pour justifier son équation, et qui représente une avancée du point de vue des séries divergentes.
Le droit de sommer différemment... Pardon mais c'est tellement contre-intuitif que c'est pour cela que ce post existe.
Mais si les mathématiques ont résolu cela, effectivement plus de problème.
Je propose de fermer ce sujet si la personne qui l'a ouvert n'y voit pas d'objection.
trop d'impatience pour que ce soit intéressant...

[SULREN]

Bonsoir,

@oualos qui a cité:
Citation Envoyé par Wikipedia
Il est important de noter que les sommations de Ramanujan ne sont pas des sommes de séries au sens habituel du terme

Ben oui. J'ai moi-même écrit dans l'autre discussion en cours sur le même sujet:
« Qu’on ne parle pas de sommation au sens traditionnel, mais de type de sommation qui possède des propriétés qui la rende mathématiquement valide dans l’étude des séries divergentes »

[jacknicklaus]

Il faut bien comprendre que la sommation de Ramanujan est une technique qui consiste à associer une "valeur" à une série (divergente), sans prétendre que cette valeur associée est la valeur de la série !. C'est clairement décrit dans l'article cité https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan.

L'écriture 1+2+3+... = -1/12 est en ce sens fautive si elle n'est pas accompagnée d'éclaircissements sur la technique de somation utilisée. C'est très clair sur le papier de Ramanujan lui même,

où on omet souvent de lire la 1ère ligne de ce fragment: "another way on finding the constant", et on peut inférer que la texte omis précédant ce fragment détaillait la définition de cette constante.

Cette constante se calcule selon la technique imaginée par Ramanujan et reproduite dans l'article, et qui en l'occurence s'écrit pour une série de terme f(n) : . Si on prends f(n) = n, on a
Et effectivement cette intégrale vaut exactement -1/12

[SULREN]

Re,

L'écriture 1+2+3+... = -1/12 est en ce sens fautive si elle n'est pas accompagnée d'éclaircissements sur la technique de somation utilisée. C'est très clair sur le papier de Ramanujan lui même,

Les fautifs sont ceux qui écrivent 1+2+3+... = -1/12 sans ajouter juste à côté le "R" pour expliquer qu'on est dans le contexte Ramanujan, comme c'est recommandé.

[pm42]

Les fautifs sont ceux qui écrivent 1+2+3+... = -1/12 sans ajouter juste à côté le "R" pour expliquer qu'on est dans le contexte Ramanujan, comme c'est recommandé.

Sauf qu'on fait ça en maths tout le temps parce que le contexte permet de savoir ce qu'on veut dire.
On emploie le signe > pour toute relation d'ordre par exemple alors qu'il en existe autant qu'on veut.

Le problème, c'est plutôt que la vulgarisation cherche souvent à attirer le chaland avec des titres provocateurs et qu'ensuite, certaines personnes qui ne lisent pas le contenu derrière viennent ici nous dire ce qu'ils en pensent.

[SULREN]

Re-bonsoir,

@pm42:

Le problème, c'est plutôt que la vulgarisation cherche souvent à attirer le chaland avec des titres provocateurs

Tout a fait d'accord! On croule sous ce genre "d'info d'accrochage d'attention" quand on parcourt Internet et que les pubs de journaux, ou de sites à la noix, défilent sous nos yeux.

D'ailleurs je dois avouer que le jour où j'ai ouvert cette discussion et que je suis tombé sur:

Êtes-vous pour ou contre la démonstration
1+2+3+4+... =-1/12 de Ramanujan ?

Ma réaction immédiate a été "c'est quoi encore cette caguade" et j'ai failli zapper et passer à autre chose, comme je le fais instantanément sur tous les journaux ou articles de m.... de ce genre.
Mais avant de tourner la page je me suis dit, "mais...je suis là sur Futura Science et aucun Modo n'a viré la chose? Ah bon?"
Donc j'ai lu et voilà comment j'ai découvert Mr Ramanujan dont je n'avais jamais entendu parler et que j'ai cherché à approfondir le mystère en lisant tous les liens indiqués, par des membres que je considère comme sérieux.

[oualos]

Les fautifs sont ceux qui écrivent 1+2+3+... = -1/12 sans ajouter juste à côté le "R" pour expliquer qu'on est dans le contexte Ramanujan, comme c'est recommandé.

Tout à fait d'accord! Bien avant Euler, des mathématiciens de l'époque ont du débattre ferme pour savoir s'il était légitime ou non d'introduire un nombre qui soit la racine carrée de -1 dans les maths.
On en voit des traces dans les archives de l'époque et j'étais allé aux Archives nationales pour me documenter sur ce sujet: Rafael Bombelli invente la notation au XVIe siècle piu di meno et meno di meno où p.di.m est la racine de - 10 et m. di m. est - la racine de -10. Il appelle ce qui deviendra plus tard les nombres complexes des nombres "sophistiques".
L'abbé Buée a l'intuition de la représentation géométrique de i avant Descartes.
Bref la notation "R" de Ramanujan anticipe une découverte, celle portant sur la somme d'une série infinie divergente pouvant être finie.

[JPL]

La suite de cette discussion ayant fortement dérivé, celle-ci a subi un nettoyage énergique et les messages hors sujet se trouvent ici : Petite dérive sur des sujets divers.