Accélération en relativité générale

[bschaeffer]

un potentiel gravitationnel constant n'est pas physique, même si localement il est évidemment valable. Ce que vous dites a autant de sens que de dire : toutes les courbes localement dérivables ressemblent localement aux droites donc un cercle est une droite.

Le potentiel n'a pas besoin d'être constant. J'ai d'ailleurs été étonné lorsque je m'en suis aperçu.
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[Britonix]

Bonjour à tous,

En vous lisant je me suis posé une question, une question probablement naïve, mais il est mieux de paraitre ignorant que de le rester.

Si on utilise la relativité restreinte pour décrire une accélération et la relativité générale pour la gravitation, qu'advient-il d'une accélération dans un champ gravitationnel? Relativité générale, restreinte ou un mélange des deux? Enfin... de quoi ça aurait l'air?

Merci d'avance

[Coincoin]

On ne dit pas qu'il faut utiliser la RR pour décrire une accélération. On dit simplement qu'on peut le faire. La RG traite très bien des accélérations. Et contrairement à la RR, elle peut même décrire des observateurs accélérés.
La RG dit même qu'accélération et champ gravitationnel sont équivalents.

[Britonix]

On ne dit pas qu'il faut utiliser la RR pour décrire une accélération. On dit simplement qu'on peut le faire. La RG traite très bien des accélérations. Et contrairement à la RR, elle peut même décrire des observateurs accélérés.
La RG dit même qu'accélération et champ gravitationnel sont équivalents.

D'accords, c'est donc moi qui avait mal compris, merci beaucoup.

[invité576543]

Bonsoir,

Bizarre ce fil... Sacré pagaille... Je vais en rajouter!

- Les trois théories, classique, RR + gravitation classique et RG, permettent de traiter les mêmes problèmes. Elle le font plus ou moins bien, c'est tout.

- Elles donnent des résultats proches pour les faibles vitesses relatives et les faibles champs gravitationnels;

- La classique présente des différences avec la RR ou la RG qui croissent vers l'infini quand une vitesse relative tend vers c, et les observations montrent que c'est la RR et la RG qui donnent les résultats les plus corrects;

- la classique et la RR présente des différences avec la RG qui croissent avec la valeur des champs gravitationnels, et les observations montrent que c'est la RG qui donnent les résultats les plus corrects.

- Les trois théories permettent de traiter n'importe quel référentiel. La différence n'est pas dans le choix du référentiel, il est dans l'expression des lois de la physique. En classique et en RR, l'expression des lois est la même dans des référentiels inertiels l'un par rapport à l'autre, et ont l'expression la plus simple dans les référentiels dits inertiels dans l'absolu. Par contre la RG fournit une expression des lois de la physique indépendante du référentiel.

- La gravitation et l'accélération ne sont pas du tout la même chose en RG, et ne sont pas traitées pareil. L'accélération est un mouvement relatif entre deux objets, la gravitation est une courbure de l'espace-temps. En particulier, une accélération (due à autre chose que la gravitation) peut disparaître par un choix adapté de référentiel, pas la gravitation. (En pratique on peut toujours détecter la gravitation par les effets de marées, indépendamment de toute accélération.)

(Il me semble que la confusion accélération/gravitation vient des premiers efforts d'Einstein, qui cherchait alors à traiter seulement les cas de gravitation uniforme, et c'est dans ce cadre qu'il présentait son ascenseur, qui a ensuite été repris à plaisir. Mais la RG "finale" est différente.)

Rincevent va avoir fort à faire pour réduire la confusion qui règne dans ce fil

Cordialement,

[Gwyddon]

Vous pensez que cette formule



est fausse?

Cette formule, présentée ainsi, n'est pas correcte puisque divergente en t=0.

Lui préférer la formule suivante :



C'est la formule classique d'un mouvement accéléré en relativité restreinte, étudié dans un référentiel galiléen.

[bschaeffer]

Dommage que cela manque de précisions, en particulier au niveau des équations.

[Gwyddon]

Dommage que cela manque de précisions, en particulier au niveau des équations.

A quoi faites-vous référence ?

[bschaeffer]

Cette formule, présentée ainsi, n'est pas correcte puisque divergente en t=0.

Lui préférer la formule suivante :



C'est la formule classique d'un mouvement accéléré en relativité restreinte, étudié dans un référentiel galiléen.

Dans la formule ci-dessus on ne voit pas du premier coup d'oeil que la vitesse tend vers c lorsque t tend vers l'infini. La mienne est non seulement plus lisible mais encore plus élégante, surtout si on l'écrit comme cela, bien que le Latex ne le soit pas vraîment:

[bschaeffer]

A quoi faites-vous référence ?

au pavé de mmy qui ne comporte aucune équation ni l'information précise que je cherche, à savoir comment la RG traite l'accélération des électrons.

[Gwyddon]

Dans la formule ci-dessus on ne voit pas du premier coup d'oeil que la vitesse tend vers c lorsque t tend vers l'infini. La mienne est non seulement plus lisible mais encore plus élégante, surtout si on l'écrit comme cela, bien que le Latex ne le soit pas vraîment:

La vôtre est la même, au détail près qu'elle n'est pas valide à t=0, ça fait désordre pour une équation physique sensée décrire un mouvement uniformément accéléré !

Elle n'est donc pas élégante.

Au passage, montrer que la limite est c dans la formule que je donne est à la portée d'un élève de TS, donc si vous trouvez que c'est difficile à voir, je ne peux plus rien faire pour vous

[bschaeffer]

La vôtre est la même, au détail près qu'elle n'est pas valide à t=0, ça fait désordre pour une équation physique sensée décrire un mouvement uniformément accéléré !

Elle n'est donc pas élégante.

Au passage, montrer que la limite est c dans la formule que je donne est à la portée d'un élève de TS, donc si vous trouvez que c'est difficile à voir, je ne peux plus rien faire pour vous

si t=0 le dénominateur est infini et le tout est nul; je ne vois pas où est le problème.

[Rincevent]

au pavé de mmy qui ne comporte aucune équation ni l'information précise que je cherche, à savoir comment la RG traite l'accélération des électrons.

pour avoir une information précise, encore faudrait-il que vous posiez une question précise...

les électrons sont des particules. La RG décrit sans problème le mouvement de particules dans un espace-temps donné. Si vous n'êtes pas plus précis dans vos questions, on ne peut rien vous dire de plus...

Le potentiel n'a pas besoin d'être constant. J'ai d'ailleurs été étonné lorsque je m'en suis aperçu.

n'a pas besoin d'être constant pour quoi ? pour être non-physique ? bah, oui, c'est vrai : il existe des tonnes de potentiels qui ne représentent rien de physique... un potentiel en forme de lapin par exemple, c'est pas très physique.

si vous essayiez de faire une phrase précise et claire au moins une fois de temps en temps, ça éviterait qu'on ne comprenne rien à ce que vous racontez...

si t=0 le dénominateur est infini et le tout est nul; je ne vois pas où est le problème.

et notez bien que sur ce point précis (et rien d'autre ), je suis d'accord avec vous.

[Gwyddon]

et notez bien que sur ce point précis (et rien d'autre ), je suis d'accord avec vous.

Effectivement j'ai été un peu vite en besogne, toutes mes excuses.

[Britonix]

Êtes-vous certains que cette formule est valable:

J'ai testé et ça m'a donné un résultat bizarre... Par contre, celle-ci donne un résultat plus probable:

Je peux avoir fait une erreur, mais la différence est assez flagrante (donc si j'ai fait une erreur, c'est une grosse erreur)...


Mis à part cela, j'aimerais savoir comment, comme disait Coincoin, la relativité générale peut décrire un observateur en mouvement. En supposant qu'il y ait une accélération, comment savoir que ce n'est pas le reste de l'univers qui accélère soudainement en sens contraire (mis à part par déduction logique bien sûr)?

[Gwyddon]

Êtes-vous certains que cette formule est valable:

J'ai testé et ça m'a donné un résultat bizarre... Par contre, celle-ci donne un résultat plus probable:

Hello,
Ces deux formules sont équivalentes pour at >0 :

[bschaeffer]

pour avoir une information précise, encore faudrait-il que vous posiez une question précise...

les électrons sont des particules. La RG décrit sans problème le mouvement de particules dans un espace-temps donné. Si vous n'êtes pas plus précis dans vos questions, on ne peut rien vous dire de plus...

Pour être précis, il faut avoir fait le calcul que j'ai déjà envoyé à Coincoin (voir précédemment Chute radiale.pdf) où on voit que la vitesse ne dépend que du potentiel comme, d'ailleurs, en mécanique classique, en vertu du principe de la conservation de l'énergie où on a en chute libre, 1/2mv2+V=constante.

n'a pas besoin d'être constant pour quoi ? pour être non-physique ? bah, oui, c'est vrai : il existe des tonnes de potentiels qui ne représentent rien de physique... un potentiel en forme de lapin par exemple, c'est pas très physique.

Vous n'êtes pas sérieux

si vous essayiez de faire une phrase précise et claire au moins une fois de temps en temps, ça éviterait qu'on ne comprenne rien à ce que vous racontez...

Si on n'a pas les équations en tête on ne peut se contenter du langage ordinaire

et notez bien que sur ce point précis (et rien d'autre ), je suis d'accord avec vous.

[Rincevent]

Pour être précis, il faut avoir fait le calcul que j'ai déjà envoyé à Coincoin (voir précédemment Chute radiale.pdf) où on voit que la vitesse ne dépend que du potentiel comme, d'ailleurs, en mécanique classique, en vertu du principe de la conservation de l'énergie où on a en chute libre, 1/2mv2+V=constante.

le calcul n'a rien à voir avec des électrons : il s'agit d'une masse ponctuelle en chute libre. Dans le cas d'une chute libre dans un espace-temps de Schwarzschild, il est bien connu qu'il existe une énergie conservée puisque la stationarité de l'espace-temps est associée à un vecteur de Killing du genre temps. Reste que je ne vois toujours pas où vous voulez en venir ni même en quoi ce calcul prouve que la RG ne peut pas traiter "le mouvement des électrons"...

Vous n'êtes pas sérieux

à peine moins que vous malheureusement....

Si on n'a pas les équations en tête on ne peut se contenter du langage ordinaire

dans tous les cas il faut que le contexte soit bien défini... or vous sautez du coq à l'âne sans avoir posé proprement le problème... après, il vous est facile d'affirmer tout et son contraire...

- Les trois théories permettent de traiter n'importe quel référentiel.

sur ce point je ne suis pas d'accord : la RR ne t'explique absolument pas comment observer du point de vue d'un observateur non-inertiel. Les termes d'entrainement et d'inertie (équivalents des forces du même nom chez Newton) ne sont pas donnés par la théorie.

La différence n'est pas dans le choix du référentiel, il est dans l'expression des lois de la physique.

les deux ne sont pas indépendants...

En classique et en RR, l'expression des lois est la même dans des référentiels inertiels l'un par rapport à l'autre, et ont l'expression la plus simple dans les référentiels dits inertiels dans l'absolu.

ok sur ça pour la physique classique, mais pas pour la RR : impossible d'avoir une expression générale des termes d'inertie dans ce cadre.

L'accélération est un mouvement relatif entre deux objets,

la quadri-accélération d'un objet ponctuel est bien définie sans faire référence à un deuxième objet

En particulier, une accélération (due à autre chose que la gravitation) peut disparaître par un choix adapté de référentiel, pas la gravitation. (En pratique on peut toujours détecter la gravitation par les effets de marées, indépendamment de toute accélération.)

euh... tout ça me plait pas trop... ce qui peut disparaître par un choix de coordonnées, ce sont d'éventuelles "forces d'entrainement" (liées à la connexion), mais tu ne peux pas faire disparaître n'importe quelle force par un choix de coordonnées...

Rincevent va avoir fort à faire pour réduire la confusion qui règne dans ce fil

non, non : il se bat pas contre des moulins à vent

[invité576543]

sur ce point je ne suis pas d'accord : la RR ne t'explique absolument pas comment observer du point de vue d'un observateur non-inertiel. Les termes d'entrainement et d'inertie (équivalents des forces du même nom chez Newton) ne sont pas donnés par la théorie.

(...)

ok sur ça pour la physique classique, mais pas pour la RR : impossible d'avoir une expression générale des termes d'inertie dans ce cadre.

T'as des pistes (liens, ...) pour clarifier ce point? Pourquoi ne peut-on pas appliquer la même chose qu'en RG, et en mettant la connexion à 0?

la quadri-accélération d'un objet ponctuel est bien définie sans faire référence à un deuxième objet

Bourde de ma part: tu en as donner l'expression un peu plus tôt dans le fil!!

Cordialement,

[Rincevent]

T'as des pistes (liens, ...) pour clarifier ce point? Pourquoi ne peut-on pas appliquer la même chose qu'en RG, et en mettant la connexion à 0?

que veux-tu dire précisément par "la même chose qu'en RG" et "mettre la connexion à 0" ?

Bourde de ma part: tu en as donné l'expression un peu plus tôt dans le fil!!

sans le dire....

[invité576543]

que veux-tu dire précisément par "la même chose qu'en RG" et "mettre la connexion à 0" ?

Je commence à entrevoir ce que tu veux dire... La connexion est à 0 uniquement dans les référentiels inertiels. En newtonien, le temps absolu permet de calculer une connexion pour un référentiel accéléré. En RG, l'opération est "naturelle". Mais en RR, aucun des deux ne marche, ou quelque chose comme ça?

Je raisonne "tout haut" et en "mode intuitif": Un observateur accéléré peut chercher à feuilleter l'espace-temps sur son temps propre, en prenant des tranches spatiales bien plates et perpendiculaire à la direction de son temps (modèle RR oblige): mais ça va se recouper nécessairement à cause de l'accélération (qui est une rotation), d'où une impossibilité d'attribuer un temps de manière univoque à ces lieux-moments là, et donc une impossibilité de "modéliser" un espace-temps qui se tienne...

Pas très formel tout ça...

Cordialement,

[Rincevent]

Je commence à entrevoir ce que tu veux dire... La connexion est à 0 uniquement dans les référentiels inertiels. En newtonien, le temps absolu permet de calculer une connexion pour un référentiel accéléré. En RG, l'opération est "naturelle". Mais en RR, aucun des deux ne marche, ou quelque chose comme ça?

exactement

Je raisonne "tout haut" et en "mode intuitif": Un observateur accéléré peut chercher à feuilleter l'espace-temps sur son temps propre, en prenant des tranches spatiales bien plates et perpendiculaire à la direction de son temps (modèle RR oblige): mais ça va se recouper nécessairement à cause de l'accélération (qui est une rotation), d'où une impossibilité d'attribuer un temps de manière univoque à ces lieux-moments là, et donc une impossibilité de "modéliser" un espace-temps qui se tienne...

Pas très formel tout ça...

mais l'idée est effectivement là... on dit ça parfois de la façon suivante souvent : un espace-temps donné peut se couper en 3+1, mais pas toujours en 1+3. En fait plus précisément, si tu te donnes une congruence, il faut qu'elle soit sans rotation pour pouvoir définir aussi un feuilletage de l'espace-temps en hypertranches spatiales. C'est par exemple derrière les pbs du disque en rotation : il n'y a pas moyen d'avoir un ensemble d'horloges synchronisées sur un disque en rotation...

[invitefa5fd80c]

La métrique de Schwarzchild conduit à la formule



On en déduit l'accélération, qui donne, lorsqu'elle s'annule, une vitesse maximale 0,4c, en désaccord avec la relativité restreinte, où la limite est c.
Il y a donc un problème.

Bien sûr cf fichier joint
le fichier ne semble pas être passé

Bonjour,

J'ai lu votre document et il me semble y avoir une petite erreur d'analyse. Vous utilisez un lagrangien dont la valeur est toujours égale à 1. Avec un tel lagrangien, l'intégrale d'action sur tout chemin entre et possède toujours la même valeur, à savoir :



Par conséquent tout chemin est solution de l'équation:



À partir de là, votre résultat me semble suspect.

À moins que j'aie loupé quelque chose ?

Cordialement

[bschaeffer]

Bonjour,

J'ai lu votre document et il me semble y avoir une petite erreur d'analyse. Vous utilisez un lagrangien dont la valeur est toujours égale à 1. Avec un tel lagrangien, l'intégrale d'action sur tout chemin entre et possède toujours la même valeur, à savoir :



Par conséquent tout chemin est solution de l'équation:



À partir de là, votre résultat me semble suspect.

À moins que j'aie loupé quelque chose ?

Cordialement

Je ne l'ai pas précisé, il s'agit d'un mouvement radial, ainsi que l'indique la lettre r. Ci-joint le calcul complet

[invitefa5fd80c]

Je ne l'ai pas précisé, il s'agit d'un mouvement radial, ainsi que l'indique la lettre r. Ci-joint le calcul complet

Bonjour,

Je vais évidemment attendre de pouvoir voir la pièce jointe (après tout les modos ne sont pas des esclaves ), mais à première vue, à partir du moment où l'intégrale d'action est la même sur tous les chemins indépendamment des contraintes que l'on pourrait poser, je ne vois vraiment pas comment mon argument peut tomber. Mais si vous me prouvez que mon argument ne tient pas, j'en serai le premier heureux

[bschaeffer]

Bonjour,

Je vais évidemment attendre de pouvoir voir la pièce jointe (après tout les modos ne sont pas des esclaves ), mais à première vue, à partir du moment où l'intégrale d'action est la même sur tous les chemins indépendamment des contraintes que l'on pourrait poser, je ne vois vraiment pas comment mon argument peut tomber. Mais si vous me prouvez que mon argument ne tient pas, j'en serai le premier heureux

Votre réponse m'inquiète car je ne suis pas sûr que mon fichier pdf soit lisible sur tout ordinateur (j'ai un Mac).

[invitefa5fd80c]

Votre réponse m'inquiète car je ne suis pas sûr que mon fichier pdf soit lisible sur tout ordinateur (j'ai un Mac).

Non non... ne vous inquiétez pas, une pièce jointe n'est accessible que lorsqu'un modérateur l'a examinée et validée, c'est vrai pour tous les participants. Et je ne doute pas que votre document passera le test: mais cela ne signfie pas que le modo appuie les idées exprimées

[bschaeffer]

Bonjour,

J'ai lu votre document et il me semble y avoir une petite erreur d'analyse. Vous utilisez un lagrangien dont la valeur est toujours égale à 1. Avec un tel lagrangien, l'intégrale d'action sur tout chemin entre et possède toujours la même valeur, à savoir :



Par conséquent tout chemin est solution de l'équation:



À partir de là, votre résultat me semble suspect.

À moins que j'aie loupé quelque chose ?

Cordialement

Je n'avais pas remarqué votre question concernant le lagrangien égal à un. On n'est pas obligé d'utiliser un tel lagrangien, mais il est si pratique car c'est une intégrale première. On peut alors se passer d'une des équations de Lagrange, ce qui simplifie considérablement les calculs.
Reprenons l'analyse à la base. Le principe du calcul variationnel appliqué à un espace courbe ou non est de trouver le chemin le plus court d'un point 1 à un point 2. Pour simplifier, limitons-nous au cas du plan euclidien. Le chemin élémentaire est ds. on a donc

En comparant le premier et le dernier terme, on voit immédiatement que le lagrangien est égal à un:

Ceci reste valable dans un espace-temps courbe, par exemple

où

[invitefa5fd80c]

Reprenons l'analyse à la base. Le principe du calcul variationnel appliqué à un espace courbe ou non est de trouver le chemin le plus court d'un point 1 à un point 2. Pour simplifier, limitons-nous au cas du plan euclidien. Le chemin élémentaire est ds. on a donc

Ici est la longueur le long du chemin: cette quantité dépend du chemin utilisé entre le point de départ et le point d'arrivée. Au point de départ, est et est donc le même pour toutes les trajectoires, comme il se doit, mais au point d'arrivée il y a à peu près autant de valeurs de qu'il y a de trajectoires différentes. On ne peut donc appliquer le procédé variationnel menant aux équations d'Euler-Lagrange en prenant comme paramètre de "temps".

En comparant le premier et le dernier terme, on voit immédiatement que le lagrangien est égal à un:

Ici, on a un second problème. Avec ce lagrangien, les coordonnées et ne sont manifestement pas indépendantes. Une condition essentielle pour pouvoir appliquer le procédé variationnel menant aux équations d'Euler-Lagrange est que les coordonnées utilisées soient indépendantes.

Ceci reste valable dans un espace-temps courbe, par exemple

où

Les mêmes objections que ci-haut s'appliquent ici.

[bschaeffer]

Ici est la longueur le long du chemin: cette quantité dépend du chemin utilisé entre le point de départ et le point d'arrivée. Au point de départ, est et est donc le même pour toutes les trajectoires, comme il se doit, mais au point d'arrivée il y a à peu près autant de valeurs de qu'il y a de trajectoires différentes. On ne peut donc appliquer le procédé variationnel menant aux équations d'Euler-Lagrange en prenant comme paramètre de "temps".

Le mieux pour le comprendre est de faire le calcul dans un cas simple. Quel est le chemin le plus court dans le plan? On doit donc minimiser le chemin


Le lagrangien est, avec s comme variable d'action:


Appliquons les équations de Lagrange




En effectuant les dérivées partielles, la première équation s'intègre une première fois:

puisque L=1.

On aurait de même . La représentation de x en fonction de y via le paramètre s est donc une droite.

Si on choisit s=x, le lagrangien devient

Cette condition ne peut être vérifiée que si dy=0, c'est-à-dire que la solution est une horizontale si on prend s=x.

Faisons maintenant x=ict. Le lagrangien devient


Cette équation donne la dilatation du temps:


Pour résoudre complètement le problème, il nous suffit d'utiliser une seule des deux équations de Lagrange, puisque le lagrangien égal à un est une intégrale première. Reprenons le Lagrangien en le réécrivant en fonction des dérivées totales de x et y par rapport à s:


L'équation de Lagrange en y se résout comme plus haut en donnant
.

On peut donc faire le rapport
.
C'est-à-dire que la vitesse v est constante en relativité restreinte. Evidemment c'est écraser une mouche avec un pavé mais c'est le calcul le plus simple possible, il me semble pour comprendre l'application des équations de Lagrange à la relativité restreinte.

On peut passer à la relativité générale. Le chemin élémentaire n'est plus donné par le théorême de Pythagore mais par la métrique d'une surface courbe. Le lagrangien devient:

Le principe du calcul est le même dans la pièce jointe, quoique plus compliqué.

Ici, on a un second problème. Avec ce lagrangien, les coordonnées et ne sont manifestement pas indépendantes. Une condition essentielle pour pouvoir appliquer le procédé variationnel menant aux équations d'Euler-Lagrange est que les coordonnées utilisées soient indépendantes.

Comment voyez-vous que les coordonnées sont dépendantes? Elles ne le deviennent que lorsque la trajectoire a été calculée.