Accélération en relativité générale

[gatsu]

Ici est la longueur le long du chemin: cette quantité dépend du chemin utilisé entre le point de départ et le point d'arrivée. Au point de départ, est et est donc le même pour toutes les trajectoires, comme il se doit, mais au point d'arrivée il y a à peu près autant de valeurs de qu'il y a de trajectoires différentes. On ne peut donc appliquer le procédé variationnel menant aux équations d'Euler-Lagrange en prenant comme paramètre de "temps".

Il me semble pourtant (qu'on me corrige si je me trompe) que la défintion générale des géodésiques dans un espace courbe (valable quelle que soit le type de la courbe, isotrope, temps ou espace en RG ) est donnée par :

tels que :

où est qualifié de paramètre affine car il doit vérifier l'équation :

avec
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[bschaeffer]

Il me semble pourtant (qu'on me corrige si je me trompe) que la défintion générale des géodésiques dans un espace courbe (valable quelle que soit le type de la courbe, isotrope, temps ou espace en RG ) est donnée par :

tels que :

où est qualifié de paramètre affine car il doit vérifier l'équation :

avec

Il me semble qu'il est plus correct d'optimiser le chemin plutôt que son carré mais les calculs donnent souvent mais pas toujours, il me semble, le même résultat.

[gatsu]

Il me semble qu'il est plus correct d'optimiser le chemin plutôt que son carré mais les calculs donnent souvent mais pas toujours, il me semble, le même résultat.

La formulation que je donne est équivalente à l'optimisation du chemin si on prend un paramètre affine justement.
Et c'est une définition mathématique plus générale que celle des géodésiques par optimisation de la "longueur" du chemin. Cette dernière n'étant valable que si la courbe recherchée est de genre temps, ce qui n'est pas le cas a priori.

[invitefa5fd80c]

Le mieux pour le comprendre est de faire le calcul dans un cas simple. Quel est le chemin le plus court dans le plan? On doit donc minimiser le chemin

Bonjour,

Procédons par étapes et prenons la première de ces équations:



Nous cherchons donc le chemin pour lequel la quantité:



est stationnaire.

Quel que soit le chemin utilisé entre le point de départ et le point d'arrivée , la valeur de est:



Êtes-vous d'accord avec ce résultat ?

Le lagrangien est, avec s comme variable d'action:

Donc ici vous voulez vous servir du procédé variationnel utilisé dans la formulation lagrangienne de la mécanique: vous le pouvez, mais à la condition expresse d'en respecter toutes les prémisses. Étant donné que vous utilisez comme variable pour paramétrer les divers chemins menant de à , la valeur de en et ne doit absolument pas dépendre du chemin utilisé mais uniquement de et .

Avec la variable et le lagrangien L que vous utilisez, le principe de Hamilton s'écrit:



Nous avons vu plus haut que:



Mais, comme nous venons de le voir, pour pouvoir appliquer le procédé lagrangien, et ne doivent absolument pas dépendre du chemin utilisé.

Par conséquent la quantité:

a la même valeur sur tous les chemins. Et puisque cette quantité est la même sur tous les chemins, alors sur tout chemin entre et l'équation suivante est satisfaite:



Par conséquent, tout chemin est alors une géodésique. Si nous arrivons à un résultat absurde, c'est que vous avez défini comme étant la longueur le long du chemin utilisé et la valeur de en dépend alors du chemin utilisé, ce qui est tout à fait contradictoire avec les conditions d'utilisation du procédé lagrangien.

Comment voyez-vous que les coordonnées sont dépendantes? Elles ne le deviennent que lorsque la trajectoire a été calculée.

Vous prenez comme lagrangien:



Par conséquent, partout dans l'espace des configurations, on a:



Les coordonnées et ne peuvent donc être variées indépendamment l'une de l'autre.

[invitefa5fd80c]

Il me semble pourtant (qu'on me corrige si je me trompe) que la défintion générale des géodésiques dans un espace courbe (valable quelle que soit le type de la courbe, isotrope, temps ou espace en RG ) est donnée par :

tels que :

où est qualifié de paramètre affine car il doit vérifier l'équation :

avec

Ce n'est qu'après avoir effectué le procédé variationnel et obtenu les équations différentielles de la géodésique que l'on peut remplacer par . Voir par exemple le traitement effectué dans la section 9 du papier original d'Einstein sur la relativité générale.

[Gwyddon]

Je suis tout à fait d'accord avec toi Popol, mais je ne vois pas en quoi cela contredit ce que dit gatsu

[invitefa5fd80c]

Je suis tout à fait d'accord avec toi Popol, mais je ne vois pas en quoi cela contredit ce que dit gatsu

Salut Gwyddon,

Il est possible que j'aie mal interprété ce que dit Gatsu, il pourra nous le dire, mais son message semble dire que que l'on peut prendre comme paramètre des trajectoires lorsque l'on effectue la procédure variationnelle. Non ?

[Gwyddon]

Il est possible que j'aie mal interprété ce que dit Gatsu, il pourra nous le dire, mais son message semble dire que que l'on peut prendre comme paramètre des trajectoires lorsque l'on effectue la procédure variationnelle. Non ?

Tiens je ne l'ai pas interprété comme ça pour ma part

Il a juste rappelé pourquoi on appelle "paramètre affine", et il y a des cas (particule massive par exemple) où ce paramètre peut être égal à s, mais pas tout le temps en effet.

[gatsu]

Salut Gwyddon,

Il est possible que j'aie mal interprété ce que dit Gatsu, il pourra nous le dire, mais son message semble dire que que l'on peut prendre comme paramètre des trajectoires lorsque l'on effectue la procédure variationnelle. Non ?

J'avoue que je ne sais pas trop ce que je voulais dire (honte à moi j'ai fait un stage là dessus en plus) .
En tout cas il me semble que la qualification "paramètre affine" est nécéssaire lorsque la géodésique est de genre temps (pour retrouver le résultat qu'on aurait avec une optimisation du temps propre le long de la ligne d'univers).
Après pour les autres cas, géodésiques isotropes par exemple, ça ne veut rien dire il me semble (comme le dit Gwyddon) puisque et on ne peut pas vouloir retrouver un résultat qui n'existe pas lorsqu'il est formulé comme une optimisation du temps propre.
N'hesitez pas à me corriger en tout cas .

[bschaeffer]

Bonjour,
Vous prenez comme lagrangien:



Par conséquent, partout dans l'espace des configurations, on a:



Les coordonnées et ne peuvent donc être variées indépendamment l'une de l'autre.

Revenons à Pythagore: la métrique du plan euclidien est

Cela peut paraître bizarre de choisir un tel lagrangien. On a bien L=1. Ce n'est qu'une intégrale première qui s'écrit de façon plus explicite

Ce ne sont pas les coordonnées qui ne peuvent être variées indépendamment l'une de l'autre, mais leurs dérivées. Je ne sais pas trop comment l'expliquer, peut-être parce que le plus court chemin d'un point à un autre est justement la droite. Pour ceux que cela intéresse, on peut faire le même calcul, tout à fait classique, en coordonnées polaires (cf PJ).
Sur une surface courbe, on a

Les dérivées des coordonnées y sont reliées par des fonctions non explicites des coordonnées. Elles sont encore moins dépendantes car le paramètre s intervient ainsi que x et y.

[invitefa5fd80c]

Ce ne sont pas les coordonnées qui ne peuvent être variées indépendamment l'une de l'autre, mais leurs dérivées.

À partir du moment où les dérivées des coordonnées ne peuvent être variées indépendamment les unes des autres, il en va nécessairement de même pour les coordonnées. Mais ceci n'est pas mon argument principal, alors laissons-le de côté pour l'instant.

Je préfère que vous apportiez une réponse à mon argument principal, que je recopie ici :

Procédons par étapes et prenons la première de ces équations:



Nous cherchons donc le chemin pour lequel la quantité:



est stationnaire.

Quel que soit le chemin utilisé entre le point de départ et le point d'arrivée , la valeur de est:



Êtes-vous d'accord avec ce résultat ?



Donc ici vous voulez vous servir du procédé variationnel utilisé dans la formulation lagrangienne de la mécanique: vous le pouvez, mais à la condition expresse d'en respecter toutes les prémisses. Étant donné que vous utilisez comme variable pour paramétrer les divers chemins menant de à , la valeur de en et ne doit absolument pas dépendre du chemin utilisé mais uniquement de et .

Avec la variable et le lagrangien L que vous utilisez, le principe de Hamilton s'écrit:



Nous avons vu plus haut que:



Mais, comme nous venons de le voir, pour pouvoir appliquer le procédé lagrangien, et ne doivent absolument pas dépendre du chemin utilisé.

Par conséquent la quantité:

a la même valeur sur tous les chemins. Et puisque cette quantité est la même sur tous les chemins, alors sur tout chemin entre et l'équation suivante est satisfaite:



Par conséquent, tout chemin est alors une géodésique. Si nous arrivons à un résultat absurde, c'est que vous avez défini comme étant la longueur le long du chemin utilisé et la valeur de en dépend alors du chemin utilisé, ce qui est tout à fait contradictoire avec les conditions d'utilisation du procédé lagrangien.

En résumé, la variable que vous prenez pour paramétrer chacun des divers chemins entre et possède en une valeur qui dépend du chemin. On ne peut par conséquent utiliser cette variable pour appliquer la procédure lagrangienne.

Invalidez cet argument et tout sera dit

[bschaeffer]

Ici, la variable s est le chemin.

[invitefa5fd80c]

Ici, la variable s est le chemin.

Un chemin est un ensemble de points. est une variable permettant de paramétrer les points sur le chemin. Et la variable que vous utilisez a la propriété d'avoir en une valeur qui dépend du chemin utilisé. En convenez-vous, oui ou non ?

[bschaeffer]

Un chemin est un ensemble de points. est une variable permettant de paramétrer les points sur le chemin. Et la variable que vous utilisez a la propriété d'avoir en une valeur qui dépend du chemin utilisé. En convenez-vous, oui ou non ?

Il me semble que oui puisque c'est la valeur du chemin

[invitefa5fd80c]

Il me semble que oui puisque c'est la valeur du chemin

Merci.

Par conséquent vous ne pouvez utiliser la procédure lagrangienne avec comme variable pour paramétrer les chemins, car la variable utilisée dans la procédure lagrangienne doit avoir en et en des valeurs qui ne dépendent pas du chemin utilisé. Désolé.

[bschaeffer]

Merci.

Par conséquent vous ne pouvez utiliser la procédure lagrangienne avec comme variable pour paramétrer les chemins, car la variable utilisée dans la procédure lagrangienne doit avoir en et en des valeurs qui ne dépendent pas du chemin utilisé. Désolé.

Je crois avoir trouvé ce qui cloche. Vous aviez écrit

Ceci ne serait vrai que et étaient sur un des axes de coordonnées. Dans le cas d’une droite oblique, on aurait

et, dans le cas d'une courbe quelconque:

[Coincoin]

Euh... je pense que vous vous êtes perdu là.
est quelque chose de général que vous confirmera n'importe quel élève de terminale. Et s est l'abscisse curviligne, qui dépend du chemin et du point du chemin.
s n'est pas le chemin, la preuve, vous dîtes que ce qui n'a aucun sens si s est un chemin : ds n'est pas définie* et n'est en tout cas pas un réel comme le deuxième membre de l'égalité.

Comme l'explique Popol, vos calculs sont faux, car vous ne respectez pas les hypothèses nécessaires au calcul variationnel.
Mais même corrigés, ça ne reste que des calculs d'entraînement au calcul variationnel, qui n'ont pas un intérêt transcendant...

*si on voulait vraiment considérer des chemins, on pourrait le faire au moyen des intégrales de chemin, introduites par Feynman pour la théorie quantique des champs.

[bschaeffer]

Euh... je pense que vous vous êtes perdu là.
est quelque chose de général que vous confirmera n'importe quel élève de terminale. Et s est l'abscisse curviligne, qui dépend du chemin et du point du chemin.
s n'est pas le chemin, la preuve, vous dîtes que ce qui n'a aucun sens si s est un chemin : ds n'est pas définie* et n'est en tout cas pas un réel comme le deuxième membre de l'égalité.

Comme l'explique Popol, vos calculs sont faux, car vous ne respectez pas les hypothèses nécessaires au calcul variationnel.
Mais même corrigés, ça ne reste que des calculs d'entraînement au calcul variationnel, qui n'ont pas un intérêt transcendant...

*si on voulait vraiment considérer des chemins, on pourrait le faire au moyen des intégrales de chemin, introduites par Feynman pour la théorie quantique des champs.

Si vous ne connaissez pas cette formule

je ne peux rien pour vous.
(c'est le théorême de Pythagore en version différentielle)

[Coincoin]

Bien sûr que je la connais. Tout comme je sais que s y est l'abscisse curviligne, et non pas ce que vous affirmez :

Ici, la variable s est le chemin.

Et je sais calculer une intégrale (j'aimerais bien voir comme vous arriverez à justifier que est faux...)

Maintenant, je vous propose, plutôt que de faire vos tours de passe-passe mathématiques qui n'impressionnent personne, de répondre à l'objection de Popol : vous n'avez pas le droit d'appliquer ce que vous faîtes si les valeurs extrêmes de s ne sont pas les mêmes sur tous les chemins.

Vous être en train de déterminer le chemin le plus court en imposant que les chemins ont tous la même longueur. Vous n'y voyez pas un problème ?

[bschaeffer]

Euh... je pense que vous vous êtes perdu là.
est quelque chose de général que vous confirmera n'importe quel élève de terminale. Et s est l'abscisse curviligne, qui dépend du chemin et du point du chemin.
s n'est pas le chemin, la preuve, vous dîtes que ce qui n'a aucun sens si s est un chemin : ds n'est pas définie* et n'est en tout cas pas un réel comme le deuxième membre de l'égalité.

Comme l'explique Popol, vos calculs sont faux, car vous ne respectez pas les hypothèses nécessaires au calcul variationnel.
Mais même corrigés, ça ne reste que des calculs d'entraînement au calcul variationnel, qui n'ont pas un intérêt transcendant...

*si on voulait vraiment considérer des chemins, on pourrait le faire au moyen des intégrales de chemin, introduites par Feynman pour la théorie quantique des champs.

Quelle est la différence entre l'abscisse curviligne et le chemin? Je ne vois pas ce que Feynman vient faire ici. On fait de la géométrie plane.

[Coincoin]

Quelle est la différence entre l'abscisse curviligne et le chemin?

Si vous tombez en panne sur l'autoroute et que vous appelez une dépanneuse, il ne suffit pas de dire que vous êtes sur l'A12 (le chemin) ou que vous êtes au kilomètre 217 (l'abscisse curviligne), il faut les deux.
L'abscisse curviligne est une coordonnée unidimensionnelle pour un chemin donné, c'est un nombre. Le chemin n'est pas un nombre, c'est une courbe. Parler d'élément infinitésimal pour un nombre est bien défini, par contre pour un chemin c'est plus complexe (intégrales de chemin de Feynman).
Pour le calcul variationnel, on cherche le chemin optimal. Mais comme l'a expliqué Popol, pour pouvoir utiliser l'abscisse curviligne comme paramètre, il faudrait que tous les chemins aient les mêmes abscisses curvilignes aux extrémités, donc la même longueur. Sinon c'est plus complexe...

[bschaeffer]

Si vous tombez en panne sur l'autoroute et que vous appelez une dépanneuse, il ne suffit pas de dire que vous êtes sur l'A12 (le chemin) ou que vous êtes au kilomètre 217 (l'abscisse curviligne), il faut les deux.
L'abscisse curviligne est une coordonnée unidimensionnelle pour un chemin donné, c'est un nombre. Le chemin n'est pas un nombre, c'est une courbe. Parler d'élément infinitésimal pour un nombre est bien défini, par contre pour un chemin c'est plus complexe (intégrales de chemin de Feynman).
Pour le calcul variationnel, on cherche le chemin optimal. Mais comme l'a expliqué Popol, pour pouvoir utiliser l'abscisse curviligne comme paramètre, il faudrait que tous les chemins aient les mêmes abscisses curvilignes aux extrémités, donc la même longueur. Sinon c'est plus complexe...

C'est vrai, Popol m'a embrouillé.

[invitefa5fd80c]

C'est vrai, Popol m'a embrouillé.

Désolé, mais je crois que vous vous êtes embrouillé par vous-même

[bschaeffer]

Désolé, mais je crois que vous vous êtes embrouillé par vous-même

Faites donc la démonstration tellle que vous la concevez, on comparera ensuite les deux calculs.

[Gwyddon]

Faites donc la démonstration tellle que vous la concevez, on comparera ensuite les deux calculs.

Vous êtes quand même assez gonflé, Popol a carrément relevé une faute de logique élémentaire dans votre calcul, et vous parlez de "comparez"

[bschaeffer]

Vous êtes quand même assez gonflé, Popol a carrément relevé une faute de logique élémentaire dans votre calcul, et vous parlez de "comparez"

Il y a peut-être une erreur de logique, mais sûrement pas de calcul car je retrouve, avec la même méthode, le bon résultat, que ce soit en coordonnées cartésiennes ou polaires dans le plan qu'avec la métrique de Schwarzschild.

[invitefa5fd80c]

Vous êtes quand même assez gonflé, Popol a carrément relevé une faute de logique élémentaire dans votre calcul, et vous parlez de "comparez"

Merci Gwyddon. T'en fais pas, je suis en train de rédiger la démonstration demandée et ce sera instructif

Il y a peut-être une erreur de logique, mais sûrement pas de calcul car je retrouve, avec la même méthode, le bon résultat, que ce soit en coordonnées cartésiennes ou polaires dans le plan qu'avec la métrique de Schwarzschild.

Si vous arrivez au bon résultat avec votre méthode, c'est par accident car la méthode est erronnée. Je vous le prouverai avec un contre-exemple.

[invitefa5fd80c]

Faites donc la démonstration tellle que vous la concevez, on comparera ensuite les deux calculs.

D'accord.

Nous voulons donc traiter un mouvement radial d'une particule dans la métrique de Schwarzschild. Puisque vous voulez comparer, je vais utiliser la même notation que vous, ce sera plus simple.

Nous avons donc la métrique suivante:



où

En un point quelconque de l'espace-temps, la coordonnée est définie de façon unique: elle ne dépend pas du chemin utilisé pour se rendre au point . On peut donc l'utiliser comme variable pour paramétrer les points des diverses trajectoires dans la procédure lagrangienne.

Écrivons donc:



Définissant la fonction de la façon suivante:



les équations d'Euler-Lagrange pour donnent l'équation de la géodésique. Il est important de noter que nous n'avons ici qu'une seule coordonnée généralisée, à savoir la coordonnée , alors que dans votre traitement utilisant pour paramétrer les points de trajectoires on a deux coordonnées généralisées, à savoir et . Ceci a son importance, nous le verrons plus loin.

Étant donné que le lagrangien ci-haut ne dépend pas explicitement de , on sait que la fonction définie par:



où

est une constante sur la trajectoire réelle de la particule, appelons-là .

Le moment généralisé est:



Par conséquent, on a:



Considérant comme vous une vitesse nulle en , on a .

Après quelques manipulations algébriques, on obtient pour la vitesse:



Nous arrivons donc au même résultat. Mais je vous montrerai dans mon prochain post que votre méthode fonctionne par accident, la raison étant qu'avec le choix de la variable pour paramétrer les points, vous avez deux coordonnées généralisées, et , et par conséquent deux équations. Et je montrerai que ces équations peuvent mener à des résultats contradictoires à l'aide d'un cas simple.

D'ici là, je voudrais revenir sur ce que vous avez dit au début du fil :

La métrique de Schwarzchild conduit à la formule



On en déduit l'accélération, qui donne, lorsqu'elle s'annule, une vitesse maximale 0,4c, en désaccord avec la relativité restreinte, où la limite est c.
Il y a donc un problème.

Il n'y a aucun désaccord avec la relativité restreinte. La "vitesse" que vous avez calculée, et qui est la même que celle que j'ai calculée, représente la quantité:



Or la limite concerne la distance parcourue par unité de temps, tel que mesuré sur une horloge standard.

Premièrement est une différence de coordonnées, pas une distance. La distance est donnée par :


Deuxièmement, est une différence de coordonnées, pas l'intervalle de temps donné par une horloge standard. L'intervalle de temps mesuré sur une horloge standard est donné par:



On a donc pour la vitesse locale telle que mesurée avec des horloges standard locales:



La valeur maximum de est atteinte au rayon de Schwarzschild où elle est égale à

Je vous laisse vérifier s'il y a des erreurs de calcul ou de logique. C'est possible, ça peut arriver à n'importe qui

Je vous reviendrai ce soir ou demain avec le contre-exemple que je vous ai promis plus haut en rapport avec votre méthode.

[bschaeffer]

Bien!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!

[obi76]

ha ça, Popol 'faut pas le chercher