Relativité restreinte / Relativité Lorentzienne

[chaverondier]

On peut définir le groupe de Lorentz comme étant l'ensemble des transformations qui laissent invariant l'intervalle. En fait, la "distance" entre deux points (l'intervalle) définit la métrique de l'espace-temps de Minkowski. On peut donc exprimer les symétries de l'espace physique en donnant sa métrique (g_mu.nu). C'est cela que je cherche.

L'espace-temps d'Aristote n'a pas une métrique unique conservée (comme la métrique de Minkowski dans l'espace-temps de Minkowski) mais deux
* la métrique temporelle (métrique Euclidienne de rang 1) dont l'intégrale le long d'un chemin d'espace-temps allant d'un événement à un autre donne la durée qui les sépare
* la métrique spatiale (métrique Euclidienne de rang 3) dont l'intégrale le long d'un chemin d'espace-temps allant d'un événement à un autre donne la distance qui les sépare.

Ces deux métriques sont toutes les deux invariantes vis à vis de toute action du groupe de d'Aristote (c'est à dire lors de tout changement d'origine temporelle, d'origine spatiale et/ou encore lors d'une rotation spatiale). Bref, les actions du groupe d'Aristote conservent les distances spatiales et les durées (ce qui est évident puisque ce sont des isométries à la fois de l’espace Euclidien 3D et de la droite du temps)

Toutefois, le groupe d'Aristote (qui engendre l’espace-temps d’Aristote SE(1)xSE(3)/SO(3) quotient du groupe d’Aristote réduit SE(1)xSE(3) par le groupe des rotations spatiales SO(3)) n'est pas le plus grand groupe qui laisse ces deux métriques invariantes. Ce plus grand groupe c’est le groupe de Galilée.

Le groupe de Galilée ne convient pas pour la physique (il est trop exigeant) car il est incompatible avec les interactions se propageant à vitesse finie et indépendante de leur source. En fait, le groupe d'Aristote réduit (groupe des translations spatio-temporelles et des rotations) est l'intersection du groupe de Poincaré réduit (incompatible avec les actions instantanées à distance) et du groupe de Galilée réduit (incompatible avec les actions se propageant à une vitesse finie indépendante de leur source donc avec l'électromagnétisme). Le groupe d'Aristote ne comprend pas les boosts, si bien que cet espace-temps autorise d'éventuelles violations du principe de relativité du mouvement (ce que ni l'espace-temps de Galilée ni l'espace-temps de Minkowski ne tolèrent).

Hors hypothèse des mondes multiples (critiquée de façon très sévère et très convaincante par Arnold Neumaier en http://www.mat.univie.ac.at/~neum/manyworlds.txt ce qui me conforte dans l'idée que cette interprétation n'est pas tenable) il n'est pas possible de préserver à la fois
* l'hypothèse d'un respect du principe de déterminisme par tous les phénomènes physiques sans exception (mesure quantique incluse)
* l'hypothèse d'un respect du principe de relativité du mouvement par tous les phénomènes physiques sans exception (mesure quantique incluse).

Le feuilletage caractéristique des deux métriques de l’espace-temps d’Aristote comprend
* un feuilletage en feuillets 1D d'immobilité caractéristique de la métrique spatiale (feuilletage intégral du champ des noyaux de la métrique spatiale). Il représente les observateurs immobiles dans cet espace-temps.
* un feuilletage en feuillets 3D de simultanéité objective caractéristique de la métrique spatiale (feuilletage intégral du champ des noyaux de la métrique temporelle).

Ces feuilletages sont préservés par toute action du groupe d'Aristote puisqu'ils sont les feuilletages caractéristiques de métriques invariantes par action du groupe d'Aristote. Cela signifie
* qu'un observateur immobile dans l’espace-temps d’Aristote reste un observateur immobile si on le fait tourner d'un certain angle autour d'un axe ou si on lui fait subir une translation d'une certaine distance et/ou d'un certain décalage temporel.
* que deux événements simultanés dans un référentiel d'Aristote (un référentiel inertiel immobile dans l’espace-temps d’Aristote) restent simultanés dans un autre référentiel d'Aristote (tous les référentiels d'Aristote sont des référentiels inertiels immobiles donc sont images les uns des autres par des translations spatio-temporelles et des rotations spatiales)

J'aimerais bien connaître la quantité conservée (la "distance"... l'intervalle) pour le groupe d'Aristote.

A part les deux métriques, trois grandeurs physiques sont conservées par toute action du groupe d'Aristote (cad par tous les changements de référentiel d’Aristote). Ce sont
* l'énergie,
* le carré du 3-vecteur impulsion,
* le carré du moment cinétique,

Au contraire, deux grandeurs physiques seulement sont préservées par toute action du groupe de Poincaré (cad par tous les changements de référentiel inertiel). Ce sont (pour les particules de masse non nulle)
* le carré (au sens de la norme de Minkowski) du 4-vecteur énergie-impulsion
* le carré du moment cinétique,

Bernard Chaverondier
-----

[invité576543]

Ce sont
* l'énergie,
* le carré du 3-vecteur impulsion,
* le carré du moment cinétique,

Quelle est alosr l'expression de la masse (à supposer que la masse est un invariant)? p²/2E ?

Cordialement

[invite8ef93ceb]

L'espace-temps d'Aristote n'a pas une métrique unique conservée (comme la métrique de Minkowski dans l'espace-temps de Minkowski) mais deux

Je trouve tellement élégante l'idée de postuler l'espace-temps de Minkowski, et d'en dériver toutes les symétries de la nature. C'est comme de dire, si l'espace dans lequel prend place le mouvement est celui de Minkowski, alors la nature est invariante sous tout ce qui laisse invariant la métrique. [Ce qui est beau, c'est qu'on peu échanger tous les postulats des différentes symétries indépendantes pour un seul postulat qui les contient tous.]

Je comprends que pour l'espace-temps d'Aristote, ce n'est pas comme ça? On doit absolument postuler chaque symétrie (en fait, on énonce celles qu'on croit valable dans la nature) et on ne peut pas remplacer cet ensemble de postulats par un postulat unique? Celui de la métrique...?



Simon

P.S. Est-ce que le groupe d'Aristote est compact?

[invité576543]

n'est pas le plus grand groupe qui laisse ces deux métriques invariantes. Ce plus grand groupe c’est le groupe de Galilée.

Je ne comprends pas bien...

Un exemple de boost passif de Galilée transforme un événement (t, x, y, z) en (t, x-vt, y, z). Donc le carré de la distance spatiale entre (t, x, 0, 0) et (t', x', 0, ) est respectivement (x-x')² et (x-x' -v(t-t'))²: ce n'est pas invariant.

Qu'est-ce qui m'a échappé?

Cordialement,

[invite3bc71fae]

Dans le message #77, Chaverondier indique:

L'espace-temps d'Aristote SE(1)xSE(3)/SO(3) est engendré par le groupe d'Aristote SE(1)xSE(3) formé des translations spatio-temporelles et des rotations spatiales. Cet espace-temps possède deux métriques invariantes vis à vis des actions du groupe d'Aristote :
* une métrique Euclidienne de rang 3 (sa métrique spatiale)
* une métrique Euclidienne de rang 1 (sa métrique temporelle)
En fait, cela signifie simplement que les rotations et les translations spatio-temporelles n'affectent ni la durée des phénomènes, ni la longueur des objets.

Je pense donc que quand il dit que l'espace de Gallilée est invariant au même titre que l'espace d'Aristote, c'est vis à vis de ces uniques transformations:
les rotations trigonométrique spatiales et les translations spatio-temporelles.
Il exclut donc les rotations hyperboliques spatio-temporelles (i.e. les boosts).

[invite8ef93ceb]

Je ne comprends pas bien...

Un exemple de boost passif de Galilée transforme un événement (t, x, y, z) en (t, x-vt, y, z). Donc le carré de la distance spatiale entre (t, x, 0, 0) et (t', x', 0, ) est respectivement (x-x')² et (x-x' -v(t-t'))²: ce n'est pas invariant.

Qu'est-ce qui m'a échappé?

Cordialement,

t=t'

Simon

[chaverondier]

Je trouve tellement élégante l'idée de postuler l'espace-temps de Minkowski, et d'en dériver toutes les symétries de la nature.

En fait, c'est plutôt l'inverse. On postule les diverses invariances des lois de la physique. Elles sont toutes rassemblées dans le principe de relativité (de la position spatio-temporelle, de l'orientation spatiale, et du mouvement). Ces symétries forment le groupe de Poincaré (1). Il en émerge l'espace-temps de Minkowski (qui rassemble tout ça).

C'est comme de dire, si l'espace dans lequel prend place le mouvement est celui de Minkowski, alors la nature est invariante sous tout ce qui laisse invariant la métrique. [Ce qui est beau, c'est qu'on peut échanger tous les postulats des différentes symétries indépendantes pour un seul postulat qui les contient tous.]

Oui, mais postuler l'invariance vis à vis du groupe de Poincaré tout entier (au lieu du sous groupe d'Aristote qu'on obtient quand on en retire les boosts) contraint à abandonner l'hypothèse selon laquelle la mesure quantique serait déterministe (où même seulement selon laquelle la réduction du paquet d'onde serait un phénomène physique objectif).

Je comprends que pour l'espace-temps d'Aristote, ce n'est pas comme ça? On doit absolument postuler chaque symétrie (en fait, on énonce celles qu'on croit valable dans la nature)

Toutes les symétries de la Relativité Restreinte sont déjà contenues dans l'espace-temps d'Aristote, sauf la boost-invariance (le principe de relativité du mouvement). De ce fait, l'espace-temps d'Aristote offre un cadre géométrique commode (parce que synthétisant les invariances respectées) mais autorisant l'interprétation de l'expérience d'Alain Aspect commme une action instantanée à distance et la mesure quantique comme un phénomène physique objectif (on peut même le supposer déterministe) sans conflit avec la géométrie de l'espace-temps d'Aristote puisqu'il n'impose pas la boost-invariance.

P.S. Est-ce que le groupe d'Aristote est compact?

Non puisqu'il contient le groupe des translations spatio-temporelles (qui est isomorphe à R^4).

Bernard Chaverondier

(1) à condition bien sûr que les interactions se propageant à vitesse indépendante de leur source le fassent à vitesse c finie sinon, avec cette même hypothèse mais une vitesse c infinie, on obtient le groupe de Galilée.

[invité576543]

t=t'

Simon

Bien gentil, mais on parle de métrique entre deux événements... Dans l'espace d'Aristote présenté par Bernard, la métrique spatiale ne demande pas la simultanéité.

Une autre réponse, svp!

Cordialement,

[chaverondier]

Quelle est alosr l'expression de la masse (à supposer que la masse est un invariant)?

Elle ne change pas. Tous les phénomènes respectant l'invariance relativiste sont modélisés exactement de la même façon.

Ce qui change par contre c'est que, dans l'expérience d'Alain Aspect par exemple, il devient autorisé de dire, quand on mesure la polarisation d'un photon d'un côté, que le "photon jumeau" prend la polarisation correspondante au même instant au sens de la simultanéité objective de l'espace-temps d'Aristote (cad au sens d'une simultanéité quantique indépendante du mouvement de l'observateur).

Le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité universelle de l'espace-temps d'Aristote permet de définir un ordre causal objectif, même entre événements séparés par des intervalles de type espace. Grâce à la structure causale attribuant un ordre cause effet (un ordre passé futur indépendant du mouvement de l'observateur) entre tous les événements de l'espace-temps d'Aristote, la réduction du paquet d'onde peut être interprétée comme objective, instantanée et spatialement étendue sans conflit avec le principe de causalité.

Bernard Chaverondier

[chaverondier]

Bien gentil, mais on parle de métrique entre deux événements... Dans l'espace d'Aristote présenté par Bernard, la métrique spatiale ne demande pas la simultanéité.

Si. Dans l'espace-temps d'Aristote, la distance spatiale entre deux événements Z=(t,x,y,z) et Z'=(t',x',y',z') c'est la distance spatiale DeltaL0 qui sépare les deux observateurs immobiles O=IRx{(x,y,z)} et O'=IRx{(x',y',z')} (ie les feuillets 1D d'immobilité) (1) passant par ces deux événements

(DeltaL0)^2 = (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2

* La durée qui s'écoule entre deux événements Z et Z' c'est la durée DeltaT0 qui sépare les deux feuillets 3D de simultanéité S={t}xIR^3 et S'={t'}xIR^3 (1) passant par ces deux événements.

(DeltaT0)^2 = (t-t')^2

Bernard Chaverondier

(1) avec un abus de notation évident entre l'espace-temps d'Aristote et son système de système de coordonnées spatio-temporelles dans un référentiel d'Aristote (cad un référentiel inertiel immobile).

[invité576543]

Si. Dans l'espace-temps d'Aristote, la distance spatiale entre deux événements Z=(t,x,y,z) et Z'=(t',x',y',z') c'est la distance spatiale DeltaL0 qui sépare les deux observateurs immobiles O=IRx{(x,y,z)} et O'=IRx{(x',y',z')} (ie les feuillets 1D d'immobilité) (1) passant par ces deux événements

(DeltaL0)^2 = (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2

Je ne comprends rien ou presque. Ce que je lis est justement ce qui semble être contredit par le "si". Dans le texte ci-dessus, la distance spatiale est définie même si t différent de t'. Pour parler d'immobilité, il faut bien une distance nulle pour t différent de t'. En galiléen, il n'y a pas d'observateur immobile parce que la distance spatiale n'est pas définie pour t différent de t', il me semble.

Je comprend un feuillet 1D d'immobilité comme l'ensemble des points (t, x, y, z) avec x, y et z fixes. Le feuilletage part d'un espace absolu 3D, et pour chaque point de cet espace, il y a un feuillet temporel à 1 dimension.

Avec un espace absolu, cela définit bien une distance spatiale entre les deux feuillets, donc indépendante du temps.

Et cette métrique-là, que je comprends bien, et qui n'est pas contredite par le texte en citation, n'existe pas en galiléen, et donc ne risque pas d'être invariante, contrairement à l'affirmation du texte

n'est pas le plus grand groupe qui laisse ces deux métriques invariantes. Ce plus grand groupe c’est le groupe de Galilée.

Il y a toujours quelque chose qui m'échappe si ces textes sont cohérents entre eux.

Cordialement,

[chaverondier]

Bonjour, une question, concernant la réduction du paquet d'onde, pourquoi pencher sur l'idée qu'il s'agit d'un phénomène non local ?

Parce que la violation des inégalités de Bell (et l'expérience de pensée de Greenberger Horne et Zeilinger mise en évidence en 1991 seulement) apporte la preuve d'une non localité quantique. La compatibilité de la non localité quantique avec la relativité est un peu tirée par les cheveux et exige l'hypothèse selon laquelle

1/ quand je mesure la polarisation du photon de l'expérience d'Alain Aspect d'un seul côté, de l'autre côté le photon jumeau ne change pas d'état quantique tant que je ne l'observe pas. Pourtant, il se souvient très bien du changement d'état quantique qui n'a pas eu lieu dès que je me décide à mesurer sa polarisation...

...objection qu'on rejette en disant qu'on ne peut pas affirmer que la mesure faite de l'autre côté s'est passée avant puisque l'ordre chronologique entre événements séparés par des intervalles de type espace dépend du mouvement de l'observateur.

Par contre, si j'attends suffisament pour pouvoir être informé du résultat de la mesure de polarisation faite de l'autre côté, alors seulement je peux dire que mon photon a changé d'état (même si je ne fais pas la mesure) et que c'est bien la mesure de polarisation réalisée de l'autre côté qui en est la cause.

2/ la mesure quantique présente un indéterminisme fondamental (en conflit avec le caractère déterministe de la dynamique des évolutions quantiques).

Peut t'on vraiment parler de localité ou de non localité pour cette question de la réduction du paquet d'onde ?

Certains estiment que non d'autres estiment que l'on peut parler de localité mais pour cela doivent admettre l'hypothèse d'un indéterminisme fondamental de la mesure quantique (dont les statistiques associées sont l'objet d'un modèle probabiliste non classique conçu pour pouvoir y faire rentrer les statistiques quantiques).

Bernard Chaverondier

[chaverondier]

Cette métrique-là [la métrique spatiale], que je comprends bien, et qui n'est pas contredite par le texte en citation, n'existe pas en galiléen

Si. Dans l'espace-temps de Galilée la métrique spatiale permet de mesurer la longueur des objets et la distance entre observateurs au repos dans un même référentiel Galiléen. Elle mesure la distance entre observateurs ayant le même mouvement (1). Pour ce qui est de la longueur des objets à un moment donné, c'est la distance entre deux observateurs (au repos dans un même référentiel Galiléen quelconque) coincidant avec les extrémités de l'objet à ce moment là. Dans l'espace-temps de Galilée, cette longueur ne dépend pas du mouvement du référentiel Galiléen unique où ces deux observateurs sont au repos.

Remarque additionnelle : dans l'espace-temps de Galilée, la distance d_0 séparant deux observateurs O_0 et O'_0 au repos dans un référentiel Galiléen G_0 est trouvée identique à la distance d_1 mesurée par deux observateurs O_1 et O_'1 au repos dans un autre référentiel Galiléen G_1 (et coincidant avec O_0 et O'_0 au moment de la mesure).

Bien noter que l'espace-temps d'Aristote n'exige
* ni la boost-invariance Galiléenne (incompatible avec l'électromagnétisme),
* ni la boost-invariance relativiste (incompatible avec d'éventuelles interactions instantanées à distance)

Bernard Chaverondier

(1) On ne peut pas espérer mesurer une distance constante entre deux observateurs n'appartenant pas au même référentiel Galiléen.

[invité576543]

Si. Dans l'espace-temps de Galilée la métrique spatiale permet de mesurer la longueur des objets ...

Mais je n'ai pas de problème avec la mesure d'un objet!!!

Je cherche à comprendre la métrique entre deux événements, c'est totalement différent.

[invité576543]

(1) On ne peut pas espérer mesurer une distance constante entre deux observateurs n'appartenant pas au même référentiel Galiléen.

Je comprends rien à une telle phrase. Un référentiel n'est pas quelque chose à laquelle on peut "appartenir" dans mon vocabulaire à moi.

Un référentiel Galiléen est un système de coordonnées, une bijection entre les événements et R⁴. Comment appartient-on à une bijection?

[chaverondier]

Je comprends rien à une telle phrase. Un référentiel n'est pas quelque chose à laquelle on peut "appartenir" dans mon vocabulaire à moi ?

Des observateurs inertiels (des lignes d'univers de l'espace-temps de Galilée ou de Minkowski) sont dits appartenir à un référentiel inertiel donné s'ils sont au repos dans ce référentiel.

Mais je n'ai pas de problème avec la mesure [de la longueur] d'un objet!!! Je cherche à comprendre la métrique entre deux événements, c'est totalement différent.

Non. La métrique spatiale définit la distance spatiale entre observateurs immobiles dans un même référentiel inertiel. Dans l'espace-temps de Galilée, la distance entre deux observateurs au repos dans le référentiel Galiléen G_0 et mesurée dans G_0 sera trouvé identique si elle est mesurée dans un autre référentiel Galiléen G_1 (en mouvement par rapport à G_0. C'est ça l'invariance de la métrique spatiale par changement de référentiel Galiléen dans l'espace-temps de Galilée.

La longueur d'un objet mesurée dans un référentiel inertiel est, par définition, la distance entre deux observateurs inertiels (au repos dans ce référentiel inertiel) coincidant avec les extrémités de l'objet au même moment (au sens de la simultanéité ayant cours dans ce référentiel).

Dans le cas de l'espace-temps de Galilée la longueur d'un objet, à un instant donné (notion qui, dans ce cas, ne dépend pas du référentiel d'observation), est invariante par changement de référentiel inertiel (alors qu'elle est au contraire seulement covariante par changement de référentiel inertiel dans l'espace-temps de Minkowski). C'est une conséquence directe de l'invariance de la métrique spatiale (distance entre observateurs au repos dans un même référentiel inertiel) vis à vis des actions du groupe de Galilée (pas de contraction de Lorentz).

Bernard Chaverondier

[invité576543]

Je n'ai pas de problème avec la longueur d'un objet. Je me répète, mais je ne sais pas quoi faire d'autre.

Ce que je pense être correct:


La pseudo-métrique de Minkowski est définie pour deux événements quelconques. Elle est invariante.

La distance spatiale entre deux événements en Minkowski est définie, mais elle dépend du référentiel, comme métrique de la projection du vecteur séparant les deux événements sur un sous-espace dépendant du référentiel. (Pour moi, cela ne veut pas dire que la distance spatiale est covariante; le vecteur est covariant, c'est tout.)

La distance temporelle dans la relativité de Galilée est définie pour deux événements queconques. Elle est invariante.

La distance spatiale entre deux événements de distance temporelle nulle est définie, et est un invariant en relativité de Galilée.

La loongueur d'un objet en relativité de Galilée est définie, mais c'est simplement la distance entre deux événements simultanés.

En relativité de Galilée, la distance spatiale entre deux événements non simultanés n'est définie que dans un repère donné. (Je ne pense même pas qu'on puisse dire qu'elle est covariante; à mon sens elle n'est pas définissable comme notion physique.)

Cordialement,

[invite8ef93ceb]

Je trouve tellement élégante l'idée de postuler l'espace-temps de Minkowski, et d'en dériver toutes [pas toutes mais plusieurs!] les symétries de la nature.

En fait, c'est plutôt l'inverse. On postule les diverses invariances des lois de la physique. Elles sont toutes rassemblées dans le principe de relativité (de la position spatio-temporelle, de l'orientation spatiale, et du mouvement). Ces symétries forment le groupe de Poincaré (1). Il en émerge l'espace-temps de Minkowski (qui rassemble tout ça).

Je n'ai jamais vu dans un livre l'introduction du groupe de Lorentz (ou de Poincaré) avant l'introduction de la métrique. Selon ma connaissance, on DÉFINIT le groupe de Lorentz comme l'ensemble des transformations qui laissent invariantes la métrique (cela revient à avoir pour point de départ l'invariance de l'intervalle (la métrique), et toute transformation qui laisse invariante l'intervalle (transfo de Lorentz spéciales, rotation, translation...) devient un élément du groupe (une matrice)).

Voilà pourquoi je cherchais à connaître la métrique de l'espace-temps d'Aristote: pour bien visualiser mathématiquement sur quoi agit l'ensemble des transformation formant le groupe.

Pour plus de détail sur la définition du groupe de Poincaré, voir le chapitre Espace de Minkowski et groupe de Poincaré dans Souriau, Structure des systèmes dynamiques. Peut-être j'intreprète mal, mais à l'équation (13.40) il définit l'événement, à l'équation (13.44) il définit l'espace de Minkowski, et au paragraphe (13.50), on peut lire "On appelle groupe de Poincaré le groupe des matrices [...] opérant sur l'espace de Minkowski suivant la formule..."

Difficile d'imaginer que la métrique vient après le groupe dans son cheminement logique.


Bien à vous,


Simon

[invite8ef93ceb]

Mais je n'ai pas de problème avec la mesure d'un objet!!!

Je cherche à comprendre la métrique entre deux événements, c'est totalement différent.

Je ne suis pas certain de comprendre ton problème. J'essaie de t'aider si tu veux.

Dans l'espace-temps de Galilée, ce qu'on appelle la métrique, c'est la distance entre deux points dans l'espace:

Donc, les mots métrique et distance signifient la même chose en relativité galiléenne.

En relativité restreinte, ce qu'on appelle la métrique, c'est l'intervalle entre deux points événement:

Donc, les mots métrique et intervalle (distance spatiotemporelle) signifient la même chose en relativité restreinte.

Que ce soit la distance spatiale de la RGal ou la distance spatiotemporelle de la RR, le concept de longueur d'un objet ne fait de sens que si on mesure simultanément la position des deux extrémités.

En RGal, la simultanéité est absolue (une illusion due aux basses vitesses). Donc, en Rgal, les mesures simultanées de la position des deux extrémités d'un objet seront percues comme simultanés dans tous les référentiels: le concept longueur d'un objet est un invariant-> il correspond à la distance entre deux points -> il définit la métrique.

En RR, la simultanéité est relative. Donc, la longueur d'un objet dépend du référentiel, puisque la mesure simultanée de la position des deux extrémités n'est simultanée que dans 1 (UN!) référentiel. Dans tous les autres, on clâmera que la longueur n'a pas été mesurée puisque les mesures de positions n'étaient pas simultanées: le concept longueur d'un objet n'est pas un invariant -> il ne correspond pas à l'intervalle entre deux points -> il ne définit pas la métrique.

Je sais très bien que tu savais beaucoup de tout cela, j'espère seulement avoir réussi à contribuer un peu à ta compréhension.

Cordialement,

Simon

[invite8ef93ceb]

Voilà un article que je considère pertinent dans la discussion:

Henri Bacry, Which deformations of the Poincaré group?, J. Phys. A 26, 5413 (1993)

Abstract: We analyse the present status of Poincaré group in considering it as a fundamental object independent of the Minkowski space. We examine the observables associated with it. After having introduced the notion of kinematical observable, we derive the class of "deformed" Poincaré group which are compatible with physics.

Je peux vous l'envoyer par courriel (MP moi).

[chaverondier]

En relativité de Galilée, la distance spatiale entre deux événements non simultanés n'est définie que dans un repère donné.

Dans l'espace-temps de Galilée et de Minkowski, la métrique spatiale ne définit pas une distance entre des événements non simultanés (espace 4d), mais une distance entre des événements simultanés (espace 3D correspondant à un feuillet 3D de simultanéité). Cela permet de définir une distance spatiale entre deux observateurs au repos dans un même référentiel inertiel (distance entre évènements simultanés "vécus" par ces deux observateurs, c'est à dire les deux événements définis par intersection d'un feuillet 3D de simultanéité avec les deux droites parallèles qui représentent ces deux observateurs).

Dans l'espace-temps de Galilée, la distance entre deux observateurs au repos dans un même référentiel inertiel, est indépendante du référentiel inertiel d'observation. En effet,

* d'une part le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité de l'espace-temps de Galilée ne dépend pas du référentiel inertiel d'observation,

* d'autre par un boost Galiléen appliqué à deux observateurs au repos dans un même référentiel inertiel ne modifie pas la distance entre ces deux observateurs. Dans cet espace-temps, on peut donc attribuer une même métrique spatiale à tout feuilletage en observateurs inertiels en mouvement à la même vitesse (les feuilles 1D, cad les observateurs, sont alors les "points" de cet espace Euclidien 3D).

Au contraire, dans l'espace-temps de Minkowski, la distance entre deux observateurs (distance entre deux événements simultanés "vécus" par ces deux observateurs) dépend du référentiel inertiel d'observation (car le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité coupant ces deux droites change si on change la vitesse du référentiel inertiel d'observation).

(Je ne pense même pas qu'on puisse dire qu'elle est covariante [dans l'espace-temps de Minkowski])

Si. En Relativité Restreinte, la longueur de Planck, la longueur de Compton d'un électron, la longueur d'onde du rayonnement d'ionisation de l'atome d'hydrogène etc, etc ...ne changent pas quand on fait subir le même boost à l'observateur et à tout ce qu'il observe (c'est ça la covariance vis à vis de tel ou tel effet : le fait que l'observateur ne s'aperçoive de rien si on lui fait subir cet effet lui et tout ce avec quoi il interfère)

Bernard Chaverondier

[chaverondier]

Voilà un article que je considère pertinent dans la discussion:

Henri Bacry, Which deformations of the Poincaré group?, J. Phys. A 26, 5413 (1993)

Abstract: We analyse the present status of Poincaré group in considering it as a fundamental object independent of the Minkowski space.

Assez d'accord. Les objets fondamentaux sont peut-être bien les groupes de symétrie des lois de la physique (comme le revendiquent certains mathématiciens) et non l'espace-temps et la métriques dérivés à partir de la constatation physique de ces symétries (même si l'espace-temps nous est tellement familier qu'on a tendance à le considérer comme un objet physique).

C'est d'ailleurs la base de la démarche de modélisation que je propose puisqu'elle s'appuie sur l'idée que les symétries sont des propriétés des phénomènes physiques qui respectent ces symétries et non des propriétés géométriques d'un espace-temps préexistant dans lequel tous les phénomènes physiques sans exception seraient tenus de se dérouler.

Bernard Chaverondier

[invite8ef93ceb]

Un autre article intéressant:

Rivas, Generalized Lagrangians and spinning particles, Ukrainian Mathematical Journal, vol. 53, No. 8 (2001)

Duquel je cite:

...we can take a look at the successful way quantum mechanics describes both kinematics and dynamics.

By kinematics, we understand the basic statements that define the physical objects we go to work with and their analytical description. In quantum mechanics, a state of an elementary particle is a vector state of an irreducible representation of the kinematical group of space–time transformations that describes the relativity principle [9]. This is a group-theoretical definition of an elementary particle. Intrinsic attributes of the particles are then interpreted in terms of group invariants and are therefore related to the Casimir operators of the kinematical group or, properly speaking, to the Casimir operators of their projective unitary irreducible representations.

Quantum dynamics describes the probability amplitudes for a whole process in terms of the endpoint kinematical variables that characterize the initial and final states of the system. The details concerning the intermediate flight of the particles involved are not explicit in the final form of the result. They are all removed in the
calculation process, enhancing the role, as far as the theoretical analysis is concerned, of the initial and final data. This looks similar, at least in a formal way, to the variational formalism. But when one quantizes a Lagrangian system by means of Feynman’s path integral approach [10], this probability amplitude (there called Feynman’s kernel) becomes a function of only the initial and final kinematical variables of the classical system.

Therefore, in the classical approach, we define a classical elementary particle by giving a group-theoretical characterization to the kinematical variables of the action integral of the Lagrangian. We postulate the following:

Definition. A classical elementary particle is a Lagrangian system whose kinematical space is a homogeneous space of the kinematical group.

From the mathematical viewpoint, the largest homogeneous space of a Lie group is the group itself and, therefore, this definition restricts the maximum number of kinematical variables to the number of group parameters. Any homogeneous space of a group inherits not only a part of the structure of the group it comes from,
but at the same time the physical dimensions of the corresponding parameters. It is the group and the variables we use to parametrize it that determine the basic variables that define a classical elementary particle, and also their physical or geometrical interpretation.
[...]
This group is called the Aristotle group GA . In addition to H and P, it has three new generators J, which, in the above action (6), are given by the operators J = r × Grad. This group also does not
have central extensions, and, thus, it does not have nontrivial exponents. Lagrangians in this case will also be invariant. [...]
When applying Noether’s theorem, we have, in addition to the energy [...] and linear momentum [...], a new observable related to the invariance under rotations, namely, the angular momentum
J = r × P.

[...] It corresponds to the coset space of elements of the form ( t, r, 0 ) when acting on the subgroup SO( 3 ) of elements ( 0, 0, β ) . The kinematical variables ( t, r ) span the same manifold and have the same dimensions as the set of group elements of the form ( b, a, 0 ) . But once we have a larger symmetry group, we can extend our definition of elementary particle to the whole group GA . The physical system might have three new kinematical variables α (the angular variables). In a τ-evolution description of dynamics, with the identification in g ′′ = g ′g of g ′′ ≡ x ′( τ ) , g ≡ x( τ ) and g′ playing the role of the group element g acting on the left on x, we get x ′ = g x. In view of (7), they explicitly
transform as
t ′( τ ) = t ( τ ) + b, r ′ ( τ ) = R ( β′ ) r ( τ ) + a
as in (6), and also for the new degrees of freedom R (α ′ ( τ )) = R ( β ) R (α ( τ )) .
The seven kinematical variables of our elementary particle are now time t, position r, and orientation α.

Our system can be interpreted as a point with a local Cartesian frame attached to it. This local frame can rotate, and the rotation of this frame is described by the evolution of the new variables α. Then the Lagrangian for this system will also be a function of [...] the angular velocity ω of the moving frame.


9. E. P. Wigner, Ann. Math., 40, 149 (1939).
10. R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures of Physics, Vol. 3, Addison-Wesley, Reading, MA
(1965).

Simon

[invité576543]

Je ne suis pas certain de comprendre ton problème. J'essaie de t'aider si tu veux.

Vu ce que vous écrivez en général, c'est surprenant que mes questions restent incomprises...

Dans l'espace-temps de Galilée, ce qu'on appelle la métrique, c'est la distance entre deux points dans l'espace:

Donc, les mots métrique et distance signifient la même chose en relativité galiléenne.

C'est faux. Cela confond métrique spatiale et métrique. Il y a aussi une métrique temporelle. Et il n'y a pas de métrique 4D.

Que ce soit la distance spatiale de la RGal ou la distance spatiotemporelle de la RR, le concept de longueur d'un objet ne fait de sens que si on mesure simultanément la position des deux extrémités.

C'est ce que j'ai écrit dans plusieurs postes, merci.

En RGal, la simultanéité est absolue (une illusion due aux basses vitesses). Donc, en Rgal, les mesures simultanées de la position des deux extrémités d'un objet seront percues comme simultanés dans tous les référentiels: le concept longueur d'un objet est un invariant

C'est aussi ce que j'ai proposé.

-> il correspond à la distance entre deux points -> il définit la métrique.

Non. Cela définit la métrique spatiale dans l'espace 3D à t donné.

En RR, la simultanéité est relative. Donc, la longueur d'un objet dépend du référentiel, puisque la mesure simultanée de la position des deux extrémités n'est simultanée que dans 1 (UN!) référentiel. Dans tous les autres, on clâmera que la longueur n'a pas été mesurée puisque les mesures de positions n'étaient pas simultanées: le concept longueur d'un objet n'est pas un invariant -> il ne correspond pas à l'intervalle entre deux points -> il ne définit pas la métrique.

C'est ce que j'ai écrit aussi.

Je sais très bien que tu savais beaucoup de tout cela, j'espère seulement avoir réussi à contribuer un peu à ta compréhension.

Tu confirmes ce que je pense point à point, et je ne comprends pas pourquoi on me contredit par ailleurs.

La conclusion est toujours que la métrique spatiale de l'espace-temps d'Aristote n'est pas invariante dans RGal. C'est sa réduction aux cas simultanés, ce qui est totalement différent.

Cordialement,

[invité576543]

Dans l'espace-temps de Galilée et de Minkowski, la métrique spatiale ne définit pas une distance entre des événements non simultanés (espace 4d), mais une distance entre des événements simultanés (espace 3D correspondant à un feuillet 3D de simultanéité).

Alors pourquoi "Si" dans des postes précédents??

Cela permet de définir une distance spatiale entre deux observateurs au repos dans un même référentiel inertiel (distance entre évènements simultanés "vécus" par ces deux observateurs, c'est à dire les deux événements définis par intersection d'un feuillet 3D de simultanéité avec les deux droites parallèles qui représentent ces deux observateurs).

Certes, mais cela n'amène rien au débat. Tout ce qu'on dit, c'est que pour deux référentiels ne différant que par une translation constante, la métrique spatiale est la même.

* d'une part le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité de l'espace-temps de Galilée ne dépend pas du référentiel inertiel d'observation,

Formulation compliqué pour dire que l'espace est absolu, et que la métrique spatiale est invariante.

* d'autre par un boost Galiléen appliqué (...) cet espace Euclidien 3D).

Reformulation du fait qu'une translation ne change pas la métrique spatiale.

Au contraire, (...)change si on change la vitesse du référentiel inertiel d'observation).

Faux. Le "au contraire" est faux. En RR, une translation ne change par la métrique spatiale ni temporelle. Le phénomène est identique que dans le cas RGal. Dans les deux cas si on applique des boosts différents à deux observateurs au repor l'un par rapport à l'autre, la métrique spatiale change, et dans les deux cas si on applique un boost identique à deux observateurs en repos l'un par rapport à l'autre, la métrique est la même.

Si. En Relativité Restreinte, la longueur de Planck, la longueur de Compton d'un électron, la longueur d'onde du rayonnement d'ionisation de l'atome d'hydrogène etc, etc ...ne changent pas quand on fait subir le même boost à l'observateur et à tout ce qu'il observe (c'est ça la covariance vis à vis de tel ou tel effet : le fait que l'observateur ne s'aperçoive de rien si on lui fait subir cet effet lui et tout ce avec quoi il interfère

Faux. La notion de covariance s'applique à une même instanc de phénomène. La mesure à distance de ces longueurs change si l'observateur est en mouvement par rapport à l'expérience les mesurant.

Qu'une longueur mesurée localement par un observateur local se déplaçant avec l'expérience soit identique pour tout repère référentiel est une expression du principe de relativité, pas une notion de covariance.

Une instance de vecteur ou de tenseur est covariante quand ses coordonnées varient lors d'un changement de repère selon la formule générale de changement de coordonnées pour les tenseurs de son ordre. Une telle notion ne s'appliqiue pas à une distance spatiale, qui n'est que le module d'une projection particulière au référentiel.


Rien dans tout ça ne me présente une contradiction à la liste des points que j'ai listés dans le poste de 0h33.

Tout cela ne m'éclaire pas sur le point qui m'intéresse, à savoir que je ne comprends pas la métrique spatiale de l'espace-temps d'Aristote si on me dit qu'elle est respectée par le groupe de Galilée.

Dans le groupe de Galilée, il y a une infinité de métriques spatiales, une par classe de repère modulo les translations et rotations. Ces métriques coïncident pour deux événements simultanés, et différent pour tous les autres cas.

Si le groupe de Galilée est "le plus grand groupe conservant les métriques de l'espace-temps d'Aristote", citation d'un poste de Bernard, alors je ne comprends pas ce que l'espace-temps d'Aristote a de particulier par rapport à celui de Galilée.

Cordialement,

Michel

[invité576543]

Je résume mon problème, en espérant qu'il sera mieux compris.

L'espace-temps d'Aristote n'a pas une métrique unique conservée (comme la métrique de Minkowski dans l'espace-temps de Minkowski) mais deux
* la métrique temporelle (métrique Euclidienne de rang 1) dont l'intégrale le long d'un chemin d'espace-temps allant d'un événement à un autre donne la durée qui les sépare
* la métrique spatiale (métrique Euclidienne de rang 3) dont l'intégrale le long d'un chemin d'espace-temps allant d'un événement à un autre donne la distance qui les sépare.

Toutefois, le groupe d'Aristote (qui engendre l’espace-temps d’Aristote SE(1)xSE(3)/SO(3) quotient du groupe d’Aristote réduit SE(1)xSE(3) par le groupe des rotations spatiales SO(3)) n'est pas le plus grand groupe qui laisse ces deux métriques invariantes. Ce plus grand groupe c’est le groupe de Galilée.

Les citations ci-dessus sont celles que je conteste. Les phrases mises en gras mises ensemble entraînent que le groupe de Galilée laisse invariant une métrique dont l'intégrale le long d'un chemin d'espace-temps [et non pas d'espace] donne la distance séparant deux événements [sans précision de simultanéité, donc par défaut quelconques, y compris non simultanés].

Or ma compréhension de ce qu'est la relativité galiléenne est qu'il n'y a pas de métrique spatiale invariante définie pour toute paire d'événements en relativité galiléenne. Point confirmée par la suite pas des postes de Simon ou Bernard.

Soit la première citation est correcte et la seconde fausse: l'espace-temps d'Aristote contient une métrique spatiale invariante définie pour toute paire d'événement.

Soit la première citation est fausse et la seconde correcte: il n'y a pas de métrique spatiale invariante définie pour toute paire d'événements dans l'espace-temps d'Aristote.

Ma compréhension est la première des deux, et la citation que "le plus grand groupe, c'est le groupe de Galilée", est erronée ou incomplète.

Si je comprends l'espace-temps d'Aristote comme l'espace-temps absolu (ce que n'est pas celui de la RGal, l'espace n'y étant pas absolu), il existe une métrique spatiale invariante définie pour toute paire d'événements. Il y a une classe de repères absolus, ne différant entre eux que par les transformations du groupe d'Aristote SE(1)xSE(3), à 7 dimensions. Les repères "inertiels", obtenus à partir des absolus par un groupe de boosts (3 dimensions supplémentaires) ne conservent pas cette métrique spatiale, sauf pour des paires d'événements simultanés dans le cas du groupe de Galilée.

Cordialement,

Michel

[invite8ef93ceb]

Bonjour Michel,

L'espace-temps d'Aristote (où en général un espace-temps absolu) règle le problème de la non-invariance de la façon suivante.

Imagine que j'observe deux événements, et que tu les observes aussi, quoique nous soyons dans des référentiels différents. Alors il y aura un conflit: tout deux ne seront pas nécessairement d'accord sur l'ordre chronologique des deux événements.

Comment on fait pour savoir qui a raison?

En RR, les deux ont raison.

Si on ajoute l'hypothèse d'un espace-temps absolu, on suppose que LE VRAI ordre chronologique n'est perceptible que si on se trouve dans le référentiel absolu au repos. Alors, dans la dispute pour savoir qui a raison, on a une solution qui plane. Peut-être on peut définir le référentiel absolu comme étant le mien, ou comme étant le tient. Une fois qu'on a décidé d'un convention, tous les conflits d'interprétation disparaissent. Parce que chacun sait, en faisant ses mesures, qu'il est probablement dans un référentiel autre que le référentiel choisi comme convention, et pour connaitre la VRAI valeur des quantités qu'il mesure, il transforme pour trouver ce qu'il aurait mesuré dans le référentiel au repos. Alors, peut-importe le référentiel dans lequel tu te trouves, il suffit de projeter des mesures dans l'espace-temps convention et tout le monde trouvent les mêmes résultats physiques.

Tu connais le problème d'une telle idée. Choisi n'importe quel référentiel inertiel comme LE référentiel absolu, ils sont tous aussi bons (Michelson-Morley...etc). Ensuite, disons qu'on l'a choisi, à moins d'être en train d'observer un objet au repos dans le référentiel absolu, tu ne peux absolument pas trouver ta vitesse par rapport à ce référentiel.

Tu sais que tes mesures ne sont pas nécessairement bonnes, tu voudrais faire la transformation vers ce qui serait observé dans le référentiel absolu pour connaître le VRAI ordre chronologique, mais tu ne connais pas ta vitesse par rapport à ce référentiel. Tu ne peux pas faire la transformation, et connaître le VRAI valeur de tes mesures.

Quand même, le problème (philosophique) est réglé. Tu sais que si tu trouve un moyen de mesurer ta vitesse par rapport au référentiel absolu (biaiser le hasard quantique selon Chaverondier), alors tout le monde pourra le faire, dans chaque référentiel, et transformer ses mesures "erronée" vers les vrais résultats du référentiel absolu.


C'était ça la question?


Cordialement,

Simon

[invite8915d466]

Bon si je comprends bien, l'espace-temps d'Aristote n'est rien d'autre que le bon vieux éther de Poincaré Lorentz.

Ca oblige donc à ré-introduire les effets de vent d'éther pour rendre compte de l'invariance apparente de c (Morley-Michelson).

C'est quand même gênant de revenir à un espace temps inobservable, et à des effets sans justification physique (POURQUOI les effets s'ajustent-ils pour mimer l'invariance galiléenne?)

D'autre part, je ne pense pas que cela soit compatible avec le principe d'équivalence pour la gravitation, à vérifier....

[invite8ef93ceb]

Bon si je comprends bien, l'espace-temps d'Aristote n'est rien d'autre que le bon vieux éther de Poincaré Lorentz.

Ca oblige donc à ré-introduire les effets de vent d'éther pour rendre compte de l'invariance apparente de c (Morley-Michelson).

C'est quand même gênant de revenir à un espace temps inobservable, et à des effets sans justification physique (POURQUOI les effets s'ajustent-ils pour mimer l'invariance galiléenne?)

D'autre part, je ne pense pas que cela soit compatible avec le principe d'équivalence pour la gravitation, à vérifier....

Je crois que Chaverondier répondrait mieu que moi à ces oppositions.

Je ne ferai que quelques commentaires. Premièrement, il n'y a aucun moyen, même dans la théorie de Lorentz de l'électron, de détecter l'éther. Lorentz dit: voilà, je vous démontre qu'il est impossible de détecter l'éther, faite une expérience, vous verrai, je prédit ce résultat. Einstein postule le résultat de Lorentz, et ce seul postulat contient en lui même tous les postulats qui ont permi à Lorentz de formuler sa théorie. La philosophie est différente, mais les prédictions théoriques sont les mêmes. Donc, l'espace-temps d'Aristote (un réf absolu) est tout à fait compatible avec l'impossibilité de détecter le mouvement absolu par la mécanique classique. Mais (mais!), en mécanique quantique, si on interprète la théorie comme étant déterministe, on arrive à des actions à distance: voilà un phénomène non prédit par la physique classique, qui pourrait permettre de détecter notre vitesse par raport à l'éther (tout ça est spéculatif, bien sur, je fais que redire ce que Chaverondier a dit) en utilisant des objets intriqués, en biaisant le hasard quantique.

POURQUOI les effets s'ajustent-ils pour mimer l'invariance galiléenne?

C'est ce qu'on reproche à tous les mécanismes remplissant tout l'espace et sensé expliquer ce qu'on ne comprend pas (ether, champ de Higgs...). La seule petite chance que telle idée soit accepté est de montrer qu'en pratique, on pourrait détecter le vent d'éther, ou au moins en déduire une conséquence expérimentale (ce qui est impossible en MC, mais envisageable en MQ).


Simon

[invite8915d466]

Il y a très peu de chance que la Meca Q t'aide de ce point de vue.

La réduction du paquet d'onde n'est pas un phénomène objectivement mesurable, simplement parce que l'amplitude de probabilité n'est pas en elle-même une observable (il n'y a pas d'opérateur hermitique dont la valeur propre soit une amplitude de probabilité, de toute façon c'est une grandeur complexe).

Autrement dit , si tu recueilles une particule dont tu sais qu'elle est corrélée à une autre, tu n'as aucun moyen de savoir si une mesure a été effectuée ou non sur l'autre particule.

D'ailleurs c'est ce qui me rend suscipicieux sur toute vision cherchant à expliquer la réduction du paquet d'onde comme un vrai phénomène physique, qui est à la base des problèmes de non-localité, de causalité etc... a mon avis, ces problèmes sont fortement spurieux, et sont dus à une interprétation trop réaliste de la fonction d'onde.