Dimension de l'angle en SI

[mach3]

Un sujet de discussion cher à stefjm, je sais
Un article vient d'apparaître sur arXiv : http://arxiv.org/abs/1604.06774
C'est une proposition de Bill Phillips entre autre pour introduire dans le système SI une dimension pour les angles.

Perso, je suis contre car cela entraîne trop de modifications dans pleins d'équations*. Et puis, depuis le temps, ceux qui travaillent avec ces équations connaissent cette gymnastique entre Hz et rad.s-1.
Le jeu n'en vaut pas la chandelle, à mon avis...

* Modifications détaillées ici : http://arxiv.org/abs/1604.02373

j'aime bien, notamment l'introduction du facteur êta vallant 1rad^-1 (bien que je ne sois pas parfaitement d'accord sur certains points, nous pourront y revenir).
Cependant pour moi ça manque l'essentiel, à savoir ce qu'il y a en dessous, notamment les algèbres de Clifford. Le radian n'est pas une unité comme les autres (ne parlons même pas de dimension). Elle ne se comporte pas comme les autres. Pourquoi? parce que contrairement aux autres unités, elle découle des propriétés de l'espace Euclidien à 3 dimensions (et des extensions qui vont avec, comme l'algèbre extérieure qui permet la définition de surfaces et volumes orientés, etc, tout cela étant généralisé dans l'algèbre de Clifford), d'où sa relation très forte avec la dimension longueur (on peut étendre cela à l'espace Minkowskien 3+1 qui admet lui aussi cette notion d'angle). Aucune autre grandeur physique non dérivée d'une longueur n'est supportée par une structure mathématique de ce type : elles vivent dans des espaces de dimensions 1 (même si on peut essayer de bricoler des espaces vectoriels, il n'y a pas de métrique naturelle qui s'impose, donc pas d'angles, autres qu'arbitrairement définis).
Le lien avec la phase d'un oscillateur (masse sur un ressort par exemple), qui utilise aussi une notion d'angle, n'est cependant pas évident.

Je n'ai pas encore eu le temps et l'énergie pour faire le tour complet de cette approche par l'algèbre de Clifford, mais j'ai la conviction que la solution s'y trouve.

m@ch3
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[stefjm]

J'ai pas à argumenter moi...

Pourquoi? T'es plus un scientifique?

J'avoue : j'ai tendu le bâton pour me faire battre en lançant ce sujet. Dans un moment de folie, j'ai cru qu'on pourrait discuter entre gens raisonnables.
On ne m'y reprendra plus.

Précises de quoi tu veux discuter.
Tu a présenté un papier pour, un contre.
Je t'ai remercié car je ne connaissais pas l'existence de ces articles.
J'ai trouvé d'autres article.
Je me suis cité (vu que j'ai quand même un peu de recul sur ce sujet) et j'ai cité MiPaMa qui a participé aussi.
Il y a aussi des écrit d'Amanuensis qui auraient leur place dans ce fil.

Je ne vois pas bien pourquoi tu dis qu'on n'est pas entre gens raisonnables.

C'est ton fil et c'est bien à toi de mener le mener comme il te convient.

Maintenant, si tu ne veux pas argumenter et que tu te vexes pour un bullshit...

Cordialement.

[invite3498e9a5]

j'aime bien, notamment l'introduction du facteur êta vallant 1rad^-1

Autrement dit, on introduirait une nouvelle unité qui serait en Rad^-1?
Quelle est l'intérêt d'introduire une nouvelle unité qui est l'inverse d'une unité existante (ou même un multiple)?

Comme si on introduisait le facteur Schtroumpf qui vaudrait 1 / 300000 en Km^-1 s, (oui je sais, on va me dire que ce n'est pas la bonne valeur la bonne valeur ... donc pas la peine, abstenez vous, on va dire que 1 Spf = 1/c) et dans cette unité, la vitesse c serait égale à 1 schtroumpf^-1 (symbole Spf).

D'un autre coté, dans ce système, E = m Kg.Spf^-1, c'est bien plus simple...

[stefjm]

Le lien avec la phase d'un oscillateur (masse sur un ressort par exemple), qui utilise aussi une notion d'angle, n'est cependant pas évident.

Le seul lien que je vois est la périodicité, périodicité qui sort des 2i.pi et des R/Z.

Je n'ai pas encore eu le temps et l'énergie pour faire le tour complet de cette approche par l'algèbre de Clifford, mais j'ai la conviction que la solution s'y trouve.

La page wiki a l'air pas mal. Je vais tacher de voir ce qui est utilisable pour ce fil.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbr...ue_(structure)

Cordialement.

[mach3]

La page wiki a l'air pas mal. Je vais tacher de voir ce qui est utilisable pour ce fil.

J'ai trouvé beaucoup mieux depuis :

https://www.av8n.com/physics/clifford-intro.htm (au passage, tout le contenu de https://www.av8n.com/physics/ vaut largement le détour).

Il faut associer à cela les isomorphismes musicaux et le dual de Hodge (ça permet la connexion entre cette structure bien propre et le gloubiboulga immonde des produits vectoriels et "pseudo-vecteurs" ou vecteurs "axiaux" que nous avons hérité de Gibbs).
Les pages suivantes en parlent, mais ce n'est pas super facile à suivre :

http://brickisland.net/cs177/?p=174
http://brickisland.net/cs177/?p=184
http://brickisland.net/cs177/?p=200
http://brickisland.net/cs177/?p=248
http://brickisland.net/cs177/?p=264

m@ch3

[stefjm]

merci.
J'espère que coussin trouvera que c'est à la hauteur de ses attentes sur le sujet.
En tout cas, cela me donne de quoi lire.

[Nicophil]

Il s'est passé quoi en 1995?

When the International System of Units (SI) was established
by Resolution 12 of the General Conference on
Weights and Measures (CGPM) in 1960, units were classified
into three classes, base units, supplementary units,
and derived units. The category of supplementary units
consisted of the radian for plane angle and the steradian
for solid angle.
In 1995, Resolution 8 of the 20th CGPM stated the
decision “to interpret the supplementary units in the SI,
namely the radian and the steradian, as dimensionless
derived units, the names and symbols of which may, but
need not, be used in expressions for other SI derived
units, as convenient.”

http://arxiv.org/pdf/1604.06774v1.pdf

"On" s'est cru autorisé à penser que l'angle n'était pas une dimension.

[stefjm]

On m'a raconter cela bien avant l'officialisation de 1995...

[Dynamix]

"On" s'est cru autorisé à penser ...

Il y en a qui se croient tout permis .
Si ça continue ils vont se croire autorisés à réfléchir

[stefjm]

J'ai le droit de penser qu'un angle est un nombre. C'est là que nos points de vue divergent.

Tu as tous les droits mais voici ce qu'en pense une mathématicienne :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5428626

Tout le fil est d'ailleurs très intéressant, en particulier :

Ce serait plutot le contraire en fait. Je me permet de detailler un peu, membreComplexe12 ayant eu sa réponse.

Le cosinus (et le sinus) est défini sur l'espace des Angles. Du coup en argument il prend un angle, et la où apparait ce que tu appelles l'unité c'est dans le choix de la paramétrisation de l'angle par un nombre réel, qui est justement plus ou moins arbitraire (de la meme manière que green et vert désigne la meme couleur, pi/2 radian et 90 degré (ou angle droit également!!) désignent la meme chose et cos(angle droit)=0), on peut ensuite etendre le cos aux réels via cet paramétrisation.

Voyons ca plus en detail. Un angle (non orienté) pour nous, ce sera une paire (non ordonnée donc) de droites du plan qui se coupent, à translation et rotation près, en plus court, à "déplacement pres". C'est la définition du rapporteur, pour reperer un angle tu as un set de paire de droites, qui par déplacement te donnent toutes les paires de droites possibles dans le plan (toutes les configurations possibles). On peut topologiser cet ensemble, mais on en a pas besoin dans ce qui nous préoccupe ici.

Donc on a un ensemble Angle, dont les elements sont des paires de droites à deplacement près. Ce sont les elements de cet ensemble les angles, les "vrais" si je puis dire.
Prend maintenant un de ces angles, et choisit un représentant de cet angle, une paire de droites donc. Choisit l'un de ces droites. Si les droites sont confondues, alors définit le cosinus de cette paire de droite comme 1. Si elle ne sont pas confondues elles ont exactement 1 point d'intersection, disons A, choisit n'importe quel autre point B sur l'un de ces droites et trace la perpendiculaire à la droite sur laquelle il se trouve. Elle coupe la seconde droite en un point C.

Theoreme: Le rapport des longueurs AB/AC ne depend pas du point B choisi ni de la paire de droite representante choisie. On définit le cosinus de l'angle comme cette valeur.

Bien sur on peut faire pareil pour le sinus.

Le cosinus est une fonction cos:Angle->R.

Maintenant il se fait qu'on peut paramétriser l'espace angle.

Theoreme: L'espace Angle est en bijection avec un cercle pointé (n'importe quel cercle, de rayon >0 pour lequel on a choisi un point reference disons P, le centre sera noté O), et via cette bijection, le cosinus d'un element du cercle, X, est le rapport des longueurs p(X)O/OP où p est la projection ortho sur (OP).

Je parle de la fonction cosinus, mais en fait, il faudrait lui donner deja un autre nom. Disons cos_(O,P) (le cosinus sur le cercle de centre O de rayon OP, pointé en P) qui est simplement la composition de la bijection du theoreme avec la "vraie" fonction cosinus qui vit sur l'espace Angle.

Ainsi cos_(O,P) est défini comme la composition



où \phi_{0,P} est la bijection du theoreme.

De là il est facile d'en déduire un cercle plus joli que les autres. Le cercle unité dans le plan complexe C_{0,1}.
Il se fait qu'on peut le paramétriser, par l'exponentielle complexe (de plein de manières differentes). exp:R/2\piZ->C_{0,1}, qui à t associe exp(i t), et on peut appeler cos_analytique_principal (par exemple) la composition



Alors cos_analytique_principal devient une fonction sur R/2\piZ ou ce qui revient au meme sur R et 2\pi periodique, et c'est cette fonction que l'on appelle aussi cosinus.
Il y a plein d'arbitraire à chaque endroit de la définition, sauf à un seul, c'est pour la "vrai" fonction cos, qui va de Angle dans R.
Les choix servent justent à paramétriser l'espace angle, et il y a plusieurs manière de le faire.

Le radian désigne celle que j'ai exposé. Le degré c'est celle qui consiste à regarder plutot la composition


C'est pas la meme fonction vue comme fonction de R dans R, mais elle représente la meme foncton Angle->R, juste lue avec des paramétrisation differentes.

C'est la meme chose au fond que "The lamp is green" et "Cette lampe est verte", qui sont des phrases differentes mais désigne exactement la meme association entre un objet et une couleur.

C'est pourquoi, en pratique on note toutes ces fonctions cos.

Ce qui détaille très bien ce qu'avait écrit gatsu sur un autre fil http://forums.futura-sciences.com/ph...pulsation.html :

Oui mais tu noteras qu'en réalité toutes les equations que tu proposes sont valables même pour un quart ou un huitième de cycle, autrement dit le mot "cycle" ne peut pas figurer dans la forme la plus générale que peut prendre la relation entre un angle et une longueur. Par ailleur Rcycle ne veut pas dire grand chose (tu as dû te tromper) car le rayon et l'angle sont deux choses indépendantes. En revanche, le produit des deux ou une quantité proportionnelle dépend bien sûr de l'angle et bénéficiera de l'indexe "cycle" si il correspond bel et bien à un cycle. (cela souligne que toutes les grandeurs réelles ne peuvent pas être associées à des angles. Pour cela il faut qu'il y ait équivalence entre certaines valeurs qui appartiennent au cercle. En pratique, un cercle décrit en terme de cycle veut donc qu' 1 cycle soit équivalent à 0 cycle, il faut donc qu'il y ait équivalence entre 1,0 et en y réflechissant même avec -3000,...,-1,0,1,..3000, etc... Mathématiquement, on dit que le cercle est en réalité un espace quotient : c'est l'espace des réels R auquel on enlève toutes les spécificités des entiers relatifs c'est à dire pouvoir distinguer la valeur 1 de la valeur -1 ou 2. On l'écrit alors C=R/Z. )

Qu'en pense l'auteur du fil en cours ?

Cordialement.

[mach3]

Un exemple simple avec l'algèbre géométrique pour mettre le doigt là où ça fait mal, on considère un point repéré dans l'espace par le vecteur et de vitesse .

Considérons les produits géométriques (pas de symbole entre les deux vecteurs) suivants :




avec "." le produit scalaire, "" le produit extérieur (ce n'est PAS le produit vectoriel) et la composante de la vitesse suivant le vecteur position.

Considérons le rapport des deux :



ce "truc" (somme d'un scalaire et d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2, ça peut paraitre batard, mais c'est tout ce qu'il y a de plus courant en algèbre de Clifford, et c'est, de plus, isomorphe à un quaternion) est un opérateur intéressant : il transforme la position en vitesse, en effet :



Si on détaille un peu :




La vitesse étant la somme de sa composante suivant le vecteur r, et sa composante perpendiculaire au vecteur r, , on a :



contracter le tenseur antisymétrique avec le vecteur position, c'est la même chose que de faire le produit vectoriel du pseudovecteur vitesse angulaire avec ce même vecteur position. En fait ce tenseur et ce pseudovecteur sont "dual de Hodge" l'un de l'autre.

Ce qui est amusant ici, c'est que l'angle apparait comme par magie, à certains endroits et pas à d'autres, de façon fantomatique et totalement incompatible avec tout concept d'analyse dimensionnelle "classique". Le premier produit géométrique est la somme de deux grandeurs de nature totalement différente :
-le produit scalaire de la position par la vitesse, en m²/s,
-l'analogue d'une vitesse aréolaire (à un facteur 1/2, et à la dualité de Hodge près), en m²/s d'après le SI, mais des m²rad/s ne seraient pas déraisonnable (c'est quand même le rayon au carré (m²) multiplié par la vitesse angulaire (rad/s)).
Le deuxième produit géométrique est en m², pas de difficulté particulière.
Le rapport des deux se décompose donc en :
-un terme en s^-1, qui lorsque multiplié par le vecteur position en m donnera la vitesse dans cette direction en m/s
-un terme en s^-1, ou si on ose, en rad/s, qui est l'analogue de la vitesse angulaire (et là, le SI ose mettre de rad/s, c'est quand même marrant) qui lorsqu'appliqué au vecteur position donnera la partie orthogonale de la vitesse en m/s aussi

Donc pour résumer, le radian apparait comme par magie quand on divise par r² (avant il n'y est pas) et disparait comme par magie quand on contracte avec le vecteur position...

Pour moi faire de l'angle une dimension, c'est niet, c'est vraiment quelque chose de différent. Une possibilité c'est que c'est la nature de la grandeur (scalaire, vecteur, tenseur) qui fait apparaitre le radian : le produit extérieur peut raisonnablement être considéré comme en m²rad/s (bien que ce ne soit pas l'usage pour une vitesse aréolaire), et son quotient avec r² est considéré comme des rad/s sans discussion. Leur contraction avec un vecteur donnant un vecteur, le caractère tensoriel est perdu, et le radian avec.
Ce n'est pas la seule possibilité. On peut aussi considérer que le radian n'apparait que si il y a un rapport une longueur infinitésimale et une longueur finie non colinéaire (voire orthogonale), la vitesse pouvant être considérée comme une telle grandeur infinitésimale. On a alors pas de radian dans la vitesse aréolaire, mais bien du radian dans la vitesse angulaire...

m@ch3

[Nicophil]

Une possibilité c'est que c'est la nature de la grandeur (scalaire, vecteur, tenseur) qui fait apparaitre le radian :

Un vecteur axial "fait apparaître" le radian, contrairement à un vecteur polaire ?

[mach3]

Un vecteur axial "fait apparaître" le radian, contrairement à un vecteur polaire ?

c'est une possibilité, mais pas la seule. D'ailleurs, quand on regarde le 2e lien du premier post, tableau 1, selon les auteurs certains vecteur axiaux contiennent du radian (vitesse angulaire), alors que d'autres contiennent du rad^-1 (moment d'inertie ou couple). Il y a donc de l'idée dans ce sens, mais on peut constater que ce n'est pas simple...

m@ch3

[Nicophil]

Wow !

En tant que grandeur physique, la pulsation est exactement la même chose que la fréquence, seule l'unité d'angle ou de phase a changé.
La première est énoncée en radians par seconde, et la seconde en cycles par seconde.
Simplement comme depuis les arabes du Moyen-âge (et même depuis les grecs antiques), la confusion entre nombres et grandeurs persiste à dominer l'enseignement des mathématiques, tes enseignants sont demeurés loin d'être clairs à ce sujet.

En 1873, en tête de son Treatise on Electricity and Magnetism, James Clerk Maxwell avait pourtant été fort clair. Tout se passe comme s'il avait prêché dans le désert.



En France, nous ne sommes guère que deux à préconiser de cesser de confondre les nombres avec les grandeurs. L'autre est André Pressiat : http://www.apmep.asso.fr/spip.php?article2714

Deux...
Trompettes, SVP !

Par exemple on se récrie que la constante de Dirac n'est pas celle de Planck, oh mais non, il ne faut surtout pas confondre !
C'est la même. Une fois exprimée en Joule.seconde par radian, l'autre fois en joule.seconde par cycle.
Il n'en fallait pas davantage pour égarer nos plus grosses têtes.

[mach3]

Plus j'y réfléchis, plus je m’aperçois que le radian, c'est vraiment sans dimension ni unité. On peut ajouter radian, ou radian^-1 ou radian² au cul de n'importe quel nombre réel, ça ne change pas son statut de nombre "pur" sans dimension ni unité, car cela revient à des m.m^-1, ou des m^-1.m ou des m².m^-2.
La longueur d'une corde entre deux rayons de 1m formant un angle de 1 est de 1m. Le radian est l'angle naturel, c'est un nombre pur, rapport de deux longueurs.
De même, quand un point parcourt un cercle de rayon 1m avec une vitesse de 1m/s, la "vitesse angulaire" est de 1s^-1, basta. C'est v/r, il n'y a pas forcément à indiquer les radians la-dedans, la seconde^-1 c'est l'unité naturelle de vitesse angulaire. On peut tourner dans tous les sens, il n'y a d'ailleurs aucune obligation d'introduire un angle pour construire la vitesse angulaire à partir des propriétés de l'espace euclidien et de la géométrie différentielle. Les notions de produit scalaire ou de produit extérieur/vectoriel, nécessaires à cette construction, se construisent AVANT toute notion d'angle. C'est mon avis pour l'instant.

En revanche, le cycle, ou tour, ou révolution (ou leurs (sous)-multiples), c'est sans dimension mais avec une unité, telle que 1 cycle = (radians, si on a envie de le mettre). C'est de la même nature que 3600s.h^-1 : un rapport de deux grandeurs de même dimension mais d'unités différentes, qui N'EST PAS un nombre pur. Quand un point parcourt un cercle de rayon 1m avec une vitesse de 1m/s, il lui faut secondes pour faire un cycle.
Dans cette optique, les "Hertz" de la fréquence ne sont pas des s^-1 mais des cycles/s et la période d'oscillation est en s/cycles et non simplement des secondes. De même, la longueur d'onde n'est pas en mètres mais en m/cycles et le nombre d'onde en cycles/m.
Du coup, par exemple, h est une action (sous entendu par radian) et hbar une action par cycles.
Ce n'est pas le radian qu'il faut ajouter au SI, mais le cycle / tour / révolution , mais comme grandeur sans dimension bien sûr.
Ce n'est pas le fait que l'on indique ou pas le radian un peu comme ça nous chante (on le met dans la vitesse angulaire, et d'un coup, dans le moment cinétique ou le couple, on ne le met plus...) qui cause des problèmes, mais le fait que l'on indique jamais les cycles (à part pour la vitesse d'un moteur...) là où on devrait.

m@ch3

[stefjm]

Bonjour,
De ce que je comprends, tu proposes de faire sauter l'unité radian car naturelle (longueur de la corde L=1.t, dérivée de sinus = 1.cosinus, dérivée de , etc) et de garder l'unité pour tous les changements d'unité (cycle, degré, etc...).

C'est un point de vu très mathématique où on définit l'exponentielle par et où on veut retrouver l'unité pour , .

Il y a un nombre quelque part.

Amanuensis m'a eu dit qu'il y avait un fil où le consensus montrait que le choix des mathématiciens minimisait le nombre de fois où apparait ce 2 pi. (Fil que je ne retrouve plus, si quelqu'un l'a...)

Ce 2pi me semble un peu plus intéressant que le 3600s/h qui résulte du choix arbitraire de définition de la seconde par rapport à l'heure.
Ici, je ne vois pas trop de choix arbitraire.
1 cycle pour 2pi radian

Cf post de Mipama

Bien sur qu'il y a un 2\pi quelque part, et qu'il ne pourra pas etre enlevé.
Le point fondamental c'est que alors que et ca vous ne pourrez pas y couper. Or c'est bien la définition d'exponentielle comme qui est fondamentale, ou si vous preferez son statut de solution à l'equa diff X'=X.

Ensuite effectivement vous pouvez choisir de voir le parametrage comme R/2\pi Z, qui s'envoie sur le cercle via e^ix ou comme R/Z qui s'envoie sur le cercle via e^i2\pi x

[Nicophil]

Ce n'est pas le radian qu'il faut ajouter au SI, mais le cycle / tour / révolution , mais comme grandeur sans dimension bien sûr.

Qui dit grandeur physique dit dimension !
Le radian, c'est une unité. Mais le cycle (le tour), unité ou dimension ? la dimension du cycle est le cycle ou bien la dimension du cycle est l'angle ? l'angle a une dimension ou l'angle est une dimension ?

Du coup, par exemple, h est une action (sous entendu par radian) et hbar une action par cycles.

C'est l'inverse.

En revanche, le cycle, ou tour, ou révolution (ou leurs (sous)-multiples), c'est sans dimension mais avec une unité, telle que 1 cycle = (radians, si on a envie de le mettre). C'est de la même nature que 3600s.h^-1 : un rapport de deux grandeurs de même dimension mais d'unités différentes, qui N'EST PAS un nombre pur.

Ces deux phrases me semblent contradictoires...
Oui, 2pi radians.cycle^-1 est de même nature que 3600 s.h^-1 !

statut de nombre "pur" sans dimension ni unité, car cela revient à des m.m^-1, ou des m^-1.m ou des m².m^-2.
Le radian est l'angle naturel, c'est un nombre pur, rapport de deux longueurs.

Mais pas du tout enfin !
Il y a une relation de proportionnalité qui dit :
le rapport entre la longueur de l'arc de cercle et le périmètre est le même que le rapport entre l'angle et le cycle :
arc/périmètre = angle/cycle (ou encore : arc/angle = périmètre/cycle)

D'où : angle = arc.cycle/périmètre et arc = angle.périmètre/cycle

L'unité de la longueur d'arc et du périmètre ? le mètre par exemple.
L'unité de l'angle et du cycle ? le degré par exemple, ou le tour, ou le cycle, etc.

[stefjm]

Oui, 2pi radians.cycle^-1 est de même nature que 3600 s.h^-1 !

Le parallèle est tellement fort qu'on a choisit de mesurer des angles en seconde d'arc pour un sous multiple du degré.

1″ (seconde d'arc) = 1°/3600

[mach3]

Du coup, par exemple, h est une action (sous entendu par radian) et hbar une action par cycles.

C'est l'inverse.

oui, je me suis brêlé, h est une action par cycle (des Joules divisés par des cycles/s) et hbar une action (sous entendu par radian)

Mais pas du tout enfin !
Il y a une relation de proportionnalité qui dit :
le rapport entre la longueur de l'arc de cercle et le périmètre est le même que le rapport entre l'angle et le cycle :
arc/périmètre = angle/cycle (ou encore : arc/angle = périmètre/cycle)

D'où : angle = arc.cycle/périmètre et arc = angle.périmètre/cycle

intéressant, j'y réfléchis

m@ch3

[mach3]

La longueur d'une corde l, en mètre (dimension L), divisée par le rayon r, en mètre (dimension L), donne une nombre sans dimension, on est d'accord?
Dans le cas particulier où la corde est le périmètre du cercle, ce rapport vaut 2 et c'est sans dimension, on est d'accord?

Si on veut que ce rapport l/r soit dimensionné, afin que l'angle ait une dimension (notons là A). Il faut :
Soit que la longueur de corde ne soit pas de dimension L mais LA (du mètre.radian par exemple)
Soit que le rayon ne soit pas de dimension L mais L/A (du mètre/radian par exemple)
Soit qu'il y ait une constante de valeur unité (1 radian), portant la dimension A, multiplié à ce rapport, et comme il est de valeur unité, on ne l'écrit pas

Ces 3 possibilités sont d'ailleurs évoquées dans les documents du post initial me semble-t-il.

Une question a se poser est : est-ce l'un de ces 3 bricolages présente la moindre utilité? autrement dit, est-ce que dimensionner l'angle apporte ou non quelque chose? je n'ai pas encore d'avis absolument tranché sur cette question (bien que penchant pour l'absence d'utilité)

A noter que la dernière possibilité peut se voir ainsi : le rapport l/r n'est pas un angle dimensionné, mais un rapport de deux grandeurs de dimension angle. Par exemple
radians / 1 radian = (/2) cycles / 1 radian = (/2) cycles / (1/2) cycles
radians / 1 radian = (180/) degrés / 1 radian = (180/) degrés / (180/) degrés
etc... radian, cycle et degré étant tous de la dimension angle.
Cependant, le dénominateur vaut 1 quand on l'exprime en radian, donc on l'oublie. Le rapport de la corde et du rayon donne directement la valeur numérique de l'angle en radian

m@ch3

[Dynamix]

Une question a se poser est : est-ce l'un de ces 3 bricolages présente la moindre utilité?

En théorie , peut être , mais en pratique ça ne ferait que compliquer les choses .
Le BIPM n' a pas pour vocation de faire de la théorie .

[Nicophil]

Une question a se poser est : est-ce l'un de ces 3 bricolages présente la moindre utilité? autrement dit, est-ce que dimensionner l'angle apporte ou non quelque chose?

Oui : celui de m'éviter un ulcère à force de lire qu'il ne faut surtout pas confondre les N.m et les J !

Beaucoup plus sérieusement car le sujet le mérite amplement : par exemple, la dimension de la constante de Planck est non pas l'action mais l'action par unité d'angle : la densité angulaire d'action. Oui, une densité !

En théorie , peut être , mais en pratique ça ne ferait que compliquer les choses .

Nous n'avons pas le choix !

Si on veut que ce rapport l/r soit dimensionné, afin que l'angle ait une dimension (notons là A). Il faut :
2) que le rayon ne soit pas de dimension L mais L/A (du mètre/radian par exemple)

Mais quelle est la dimension d'un rayon de courbure ? homogène à v/w évidemment.
Cf. http://www.formules-physique.com/categorie/678

[Nicophil]

Il s'est passé quoi en 1995?

In 1995, Resolution 8 of the 20th CGPM stated the
decision “to interpret the supplementary units in the SI,
namely the radian and the steradian, as dimensionless
derived units, the names and symbols of which may, but
need not, be used in expressions for other SI derived
units, as convenient.”

http://arxiv.org/pdf/1604.06774v1.pdf

La voilà : http://www.bipm.org/fr/CGPM/db/20/8/
décide :
- d'interpréter les unités supplémentaires, dans le SI, c'est-à-dire le radian et le stéradian, comme des unités dérivées sans dimension dont les noms et les symboles peuvent être utilisés, mais pas nécessairement, dans les expressions d'autres unités dérivées SI, suivant les besoins,

[Dynamix]

Mais quelle est la dimension d'un rayon de courbure ? homogène à v/w évidemment.
Cf. http://www.formules-physique.com/categorie/678

D' après ce lien , le rayon d' un cercle devrait s' exprimer en m/rad .
Le rayon d' un cercle est la longueur d' un segment de droite (ou le module d' un vecteur) .
Que vient faire un angle dans la longueur d' un segment de droite ?

Quel est le bricolage que tu préfères :
L' arc a une dimension longueur*angle <=> le rayon a une dimension longueur .
ou
L' arc a une dimension longueur <=> le rayon a une dimension longueur/angle .

suivant les besoins

De quoi satisfaire tout le monde
Pour une vitesse de rotation , par exemple , il est indispensable de spécifier l' unité d' angle
Une vitesse de rotation en s^-1 , on ne sait pas si c' est des rad/s ou des tr/s .

Mais je me demande si ce n' est pas du HS .
Le titre du sujet parle de dimensions et non pas d' unités .
Qui pose problème ? La dimension 1 (considérée curieusement comme absence de dimension) ou les unités des grandeurs sans dimension ?

[LPFR]

...
Pour une vitesse de rotation , par exemple , il est indispensable de spécifier l' unité d' angle
Une vitesse de rotation en s^-1 , on ne sait pas si c' est des rad/s ou des tr/s .
...

Bonjour.
Il y a quelques années, quelqu’un avait joint l’image d’un exercice dans lequel son crétin de prof avait donné la vitesse rotation en s^-1 sans indiquer si c’étaient des radians, des tours ou des degrés.
Au revoir.

[Nicophil]

Pour une vitesse de rotation , par exemple , il est indispensable de spécifier l' unité d' angle
Une vitesse de rotation en s^-1 , on ne sait pas si c' est des rad/s ou des tr/s .

Il y a quelques années, quelqu’un avait joint l’image d’un exercice dans lequel son crétin de prof avait donné la vitesse rotation en s^-1 sans indiquer si c’étaient des radians, des tours ou des degrés.

Ce prof avait au moins le mérite de la cohérence : ne jamais préciser l'unité d'angle.
Si on la précise, il faut le faire toujours, y compris quand on donne un moment de force : un moment de force en J, on ne sait pas si ce sont des J/rad ou des J/tr ou des J/°.

[LPFR]

Re.
NON.
Le moment d’une force n’est pas en Joules mais en N.m.
De même que l’effort de cisaillement est en N/m² et non en Pascals.
A+

[Nicophil]

En N.m par tour ?

[Dynamix]

De même que l’effort de cisaillement est en N/m² et non en Pascals.

Le pascal est une unité de pression et de contrainte .
Le cisaillement est une contrainte* .
Il serait illogique que les termes de la matrice des contraintes aient des unités différentes .
http://www.bipm.org/fr/publications/...re/table3.html

*à ne pas confondre avec la sollicitation .

En N.m par tour ?

Pourquoi par tour ?
Le tour fait référence à un déplacement angulaire , qui n' est pas nécessaire dans la notion de moment d' une force .

[stefjm]

Le moment d’une force n’est pas en Joules mais en N.m.

ET un J = ML2T-2 = MLT-2 L = N.m
CQFD