Equation trajectoire (part 2)

[Mailou75]

Bonsoir,

Suite à la brillante résolution de la première partie, je me permets de vous soumettre la suite de mon problème

Auparavant nous nous intéressions à la vitesse coordonnée dr/dT (T=tau, le temps propre de celui qui chute). Cette fois la vitesse, toujours coordonnée (aucune n'est une vitesse locale), est celle dans le repère de Schwarzschild soit dr/dt (t=temps propre de l'observateur à l'infini). C'est toujours la "pente" de la trajectoire recherchée. La question est donc :

Pour une vitesse définie par



où Rs est le rayon de Schwarzschild du trou noir (que l'on peut prendre égal à 1 si ça arrange…)
et K est une constante que l'on prédéfinira comme négative (cad une vitesse initiale supérieure à Vlib ou vitesse résiduelle non nulle à l'infini)

Comment trouver la formule de la trajectoire sous la forme t(r) ou r(t) dans le repère de Schwarzschild ?

En vous remerciant par avance pour votre aide

Mailou
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[mach3]

note en passant, l'équation peut se réécrire :



m@ch3

[Mailou75]

Merci

Moi aussi j’ajouterais bien une petite note : je pense qu’il faut se limiter ici à r>Rs parce qu’à l'intérieur du trou noir je ne suis pas sur que la formule de la vitesse soit juste (compte tenu de l’allure de la trajectoire à obtenir et de l’inversion entre r et t)

[Mailou75]

Bon,

J’ai réussi a retrouver ton K’ (cste) en fonction de K



qui donne en effet une écriture simplifiée de dr/dt.

Ensuite en faisant l’intégrale de dt/dr [ parce que j’ai cru comprendre que c’est ce qu’il fallait faire même si je ne comprends pas pourquoi ça marche puisque la dérivée de r(t) donne v(t) et pas v(r), alors comment l’intégrale de 1/v(r) pourrait donner t(r) ? Foutu de me faire comprendre pour ça marche dans la solution de Resartus... du coup j’ai passé ma soirée à faire des calculs dont je ne saisis pas le sens, en vain ] j’obtiens bien quelque chose d’utilisable (enfin Wolframa le fait pour moi) mais la formule ne marche pas... snif

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

à l'intérieur du trou noir je ne suis pas sur que la formule de la vitesse soit juste (compte tenu de l’allure de la trajectoire à obtenir et de l’inversion entre r et t)

Vraisemblablement si, elle doit être juste, mais il faut la prendre pour ce qu’elle est vraiment : la pente de la trajectoire en coordonnées de Schw!

Pour décrire simplement comment elle marche :
- Vers r=0 elle tend vers l’infini et est négative (quand le temps t augmente la trajectoire est quasi horizontale et dirigée vers l'extérieur)
- Vers r=Rs INT elle tend vers 0 et est négative (quand le temps t augmente la trajectoire est quasi verticale et dirigée vers l’extérieur)
- Vers r=Rs EXT elle tend vers 0 et est positive (quand le temps t augmente la trajectoire est quasi verticale et dirigée vers l’intérieur)
- Pour r>Rs elle est positive (quand le temps t augmente la trajectoire est en pente et dirigée vers l’intérieur)

Du coup je peux presque la faire «a la main» et avoir même la trajectoire intérieure (ce en quoi je ne croyais pas trop) mais bon... c’est pas sérieux. Il doit bien y avoir un moyen de passer d’une pente connue à une tajectoire ? J’enrage d’être nul en maths

[Mailou75]

PS : et r(t) ne peut pas exister car pour un t on a deux r possibles, on cherche donc bien t(r)

[Sethy]

Pour commencer, je (re)précise que je ne suis pas physicien.

Cependant, j'ai l'impression que tu prends le problème sous un mauvais angle. Les infinis de la métrique de Schwarzschild sont particuliers et sont en fait des artefacts liés aux système de coordonnées.

Il est possible, en optant pour un système de coordonnées adapté, de faire disparaître ces infinis. Il se passe des choses à l'horizon du trou noir, mais il est tout à fait possible de traverser l'horizon par exemple.

Evidemment, cela demande de clarifier un point : quel référentiel considères-tu exactement ?

[Mailou75]

Salut,

Il est possible, en optant pour un système de coordonnées adapté, de faire disparaître ces infinis. Il se passe des choses à l'horizon du trou noir, mais il est tout à fait possible de traverser l'horizon par exemple.

Oui, voir le fil Equation trajectoire (sous entendu part 1) où tu trouves une trajectoire continue dans un repère «type Painlevé» (ou Newton, appelle le comme tu veux, mais pas le vrai Painlevé qui ne concerne qu’une chute à la vitesse de libération).

Evidemment, cela demande de clarifier un point : quel référentiel considères-tu exactement ?

Ici, celui de l’observateur à l’infini de Schwarzschild. Mais AMHA parler de «référentiel» est un abus de langage puisqu’on décrit dans ce repère ce qui est vu. Mais ceci est hors sujet, ma question est avant tout mathématique : comment tracer une trajectoire en (r;t) si je connais sa pente pour tout r ?

[yves95210]

Mais ceci est hors sujet, ma question est avant tout mathématique : comment tracer une trajectoire en (r;t) si je connais sa pente pour tout r ?

Salut,

Si tu connais dr/dt pour tout r, tu connais aussi dt/dr. Soit c'est une fonction intégrable analytiquement, et moyennant le choix d'une condition aux limites tu obtiens une solution unique t(r).
Soit tu ne sais pas intégrer cette fonction (et Wolfram non plus...), mais tu peux tracer approximativement la courbe t(r) par morceaux, à partir d'un point (r_0,t_0) où tu connais la valeur t_0 = t(r_0) (c'est ta condition aux limites). Chaque morceau est un segment de droite de pente dt/dr. Donc tu pars de (r_0,t_0), et pour la première valeur de r_1 après r_0, tu calcules t(r_1) = t(r_0) + (r_1 - r_0) dt/dr(r), et ainsi de suite.
Ou, nettement mieux (moins sensible à la variation de la pente entre deux points de ta courbe) et pas plus compliqué, prendre la pente à mi-chemin de tes deux points, c'est-à-dire calculer t(r_1) = t(r_0) + (r_1 - r_0) dt/dr((r_1+r_0)/2), et ainsi de suite.

Remarque 1: plus la variation de dt/dr en fonction de r est rapide, plus il faut prendre des valeurs proches de r pour que l'approximation reste bonne.
Remarque 2: il y a moyen d'améliorer cette approximation, mais dis-nous d'abord que tu comprends le principe.

(tu peux regarder ceci, et pour des méthodes donnant de meilleurs résultats, cela)

[Resartus]

Bonjour,
Sinon, pour ce qui est de la résolution de l'équation, c'est à peu la même méthode que pour la 1ere question :
1) se ramener par changement d'échelle sur r et t à une équation dt'=dr'/[racine(1/r'+1).(a-1/r')]
Cette fois, on ne peut pas supprimer tous les paramètres. En faisant varier le a cela va donner une famille de trajectoires.
2) téléphoner à un ami pour avoir l'intégrale :
https://www.wolframalpha.com/input/?...%2Fx%2B1%29%29
3) se ramener à t =f(r) par les facteurs d'échelle
4) inverser (numériquement) les courbes si on veut avoir r fonction de t

Bon courage!

[azizovsky]

D'un point de vue physique, l'observateur extérieur va voir une chute éternelle, donc l'intégrale diverge t-t(0)=+00.

[Resartus]

Re,
Un bug bizarre sur wolframalpha. Quand il s'ouvre à partir de mon lien, il sucre un des signes + de la formule.... Il faut le réintroduire dans la ligne de requête avant de redemander la résolution...

[Mailou75]

Salut et merci à vous,

(…) tu peux tracer approximativement la courbe t(r) par morceaux (…) Chaque morceau est un segment de droite de pente dt/dr (…) dis-nous d'abord que tu comprends le principe

Oui je comprends très bien, c'est ce que j'ai appelé tracer la courbe "à la main", je suis nul en maths certes mais je reste conscient de ce que je suis en train de faire
J'en ai déjà fait des pires que ça (Schw extérieur à partir de Painlevé en ajoutant manuellement le Y de la chute et le z+1 de l'effet Einstein sur chaque tronçon et figure toi que, contre toute attente, la courbe obtenue était quasi parfaite quand j'ai pu la comparer, plus tard, à la formule exacte) Mais ici j'ai envie d'exactitude et j'espère que c'est possible.

MAIS… en y réfléchissant hier je me suis dit que ce n'était pas possible ici :
- Pour l'extérieur pas de problème, je peux partir d'un point to et Ro et enquiller les tronçons jusqu'à l'asymptote verticale en Rs
- Pour l'intérieur je peux aussi tracer la courbe en fonction des pentes successives mais je suis incapable de situer verticalement la courbe elle-même, autrement dit, le point de contact avec l'axe t en r=0.

Et je suis même en train de me demander si à partir d'une formule (dr/dt) qui ne donne justement que la "pente" il est possible de retrouver ce point de contact et obtenir ainsi la courbe complète (en deux morceaux) cohérente : point d'arrivée situé entre une géodésique lumière et une géodésique Vlib (puisque notre vitesse pour K<0 est entre les deux)

……….

D'un point de vue physique, l'observateur extérieur va voir une chute éternelle, donc l'intégrale diverge t-t(0)=+00.

Oui, c'est l'asymptote verticale de la trajectoire en Rs coté extérieur. C'est bien pour ça que je dis que le repère de Schw montre ce qui est vu, à différencier d'un "référentiel" du type RR. (Hors sujet)

……….

@Resartus

Je vais déjà essayer de voir si j'arrive à obtenir l'équation sous la forme que tu lui donnes en 1). Dans le cas contraire, je te demanderais d'être moins elliptique

Merci à vous

Mailou

[azizovsky]

Je crois qu'il y'a moyen d'évalué l'intégrale au, par développement limité pour. (il vient de l'infini...)

un petit calcul direct ici :



le tous donne avec


......

j'éspére que je n'est pas dérayé quelque part ....

[Mailou75]

Salut,

1) se ramener par changement d'échelle sur r et t à une équation dt'=dr'/[racine(1/r'+1).(a-1/r')]

J’y suis pas arrivé snif, tu peux donner la soluce stp ?

..........

Je crois qu'il y'a moyen d'évalué l'intégrale au, par développement limité pour. (il vient de l'infini...)

Quand je lis «developpement limité» j’entends «approximation» et donc retour à une version classique. Ce n’est pas ce que je cherche ici, mais merci quand même

Merci

Mailou

[azizovsky]

Quand on fait un DL de t(r), déjà ce t(r) n'existe pas en version classique..., comme sin(x)=x en 0, si on veut plus de précision ( zoomer plus ) c'est sin(x)=x-x^(3)/3!+....https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...nt_limit%C3%A9.

[azizovsky]

ps: si tu veut un zoom parfait, tu laisse l'intégrale telle qu'elle est

[Mailou75]

Bonsoir,

1) se ramener par changement d'échelle sur r et t à une équation dt'=dr'/[racine(1/r'+1).(a-1/r')]
Cette fois, on ne peut pas supprimer tous les paramètres. En faisant varier le a cela va donner une famille de trajectoires.
2) téléphoner à un ami pour avoir l'intégrale :
https://www.wolframalpha.com/input/?...%2Fx%2B1%29%29

Ca fait deux soirs que je mouline pour arriver à trouver le 1) et toujours rien d'exploitable.
Je ne vais pas donner le détail parce qu'il n'en vaut pas la peine je pense mais, en partant de l'équation du message 1 et en posant Rs=1, je trouve

r'=-Kr
t'=racine(-K³/(1-K))
a=-1/K

Bon, pourquoi pas, sauf que l'intégrale ne fonctionne pas puisque il y a un membre "ln(1-ar)" qui bug (le ln d'un nombre négatif n'existe pas), snif…

Heeelp pliizz

………..

@Azizovsky

Je n'ai pas eu le temps de regarder ta version, désolé. C'est une solution valable pour l'extérieur uniquement c'est ça ?

Merci d'avance

Mailou

[Resartus]

Bonjour,
Je suis parti de ton équation, mais ne manque-t'il pas un signe moins, comme cela avait été signalé sur l'autre fil?

En reprenant tes notations, je suppose donc que la bonne équation est la suivante:

dr/dt=(Rs/r-1)*racine(1/r-K)/racine(1/Rs-K)
qui peut se ramener à dt'=dr'/[sqrt(1/r+1)(1/r-a)]

L'exemple avec a= 1
https://www.wolframalpha.com/input/?...Fx+%2B+1%29%29
semble donner des trajectoires correctes....

[azizovsky]

..., C'est une solution valable pour l'extérieur uniquement c'est ça ?

Oui, après rectification des bornes d'intégration, on'a (négliger le 1/2 dans la fonction ...) , pour , la courbe a le même allure que la fonction logarithmique (tend vers -(- l'infini), il faut voir quand r=r(0)-h , si le DL donne quelque chose, tu trace la courbe près de r(0), et tu raccorde les deux morceaux. (une façon d'approximer la courbe ).

[Mailou75]

Salut et merci,

Je suis parti de ton équation, mais ne manque-t'il pas un signe moins, comme cela avait été signalé sur l'autre fil?

Tu veux dire le sens de la vitesse ? Apparemment ça ne change pas grand chose au résultat.

En reprenant tes notations, je suppose donc que la bonne équation est la suivante:
dr/dt=(Rs/r-1)*racine(1/r-K)/racine(1/Rs-K)
qui peut se ramener à dt'=dr'/[sqrt(1/r+1)(1/r-a)]

Il faut que tu me mettes les points sur les i stp.
Est que les r', t' et a que j'ai donnés au précédent message te semblent justes ?

L'exemple avec a= 1
https://www.wolframalpha.com/input/?...Fx+%2B+1%29%29
semble donner des trajectoires correctes....

Quel est le sens de a=1, si a=-1/K comme j'ai proposé ça limite les solutions à K=-1 ?
Et il y a qq chose que je ne saisis pas, dans le dernier lien que tu donnes on retrouve un "ln(1-x)" soit par exemple pour x=1,5, ln(-0,5) qui ne devrait pas exister, pourtant on voit que la courbe en dessous (qui effectivement ressemble bien à ce qu'on cherche) passe bien par x=1,5, ça me troue…

……….

Oui, après rectification des bornes d'intégration, on a

Si c'est juste ça la formule de la courbe à l'extérieur je suis preneur

il faut voir quand r=r(0)-h , si le DL donne quelque chose, tu trace la courbe près de r(0), et tu raccorde les deux morceaux. (une façon d'approximer la courbe ).

Je ne peux pas raccorder des courbes qui sont tangentielles à r=Rs. C'est le problème que j'essayais de décrire dans la version "à la main", on ne sais pas situer verticalement la courbe coté intérieur.

Merci pour aide,

Mailou

[azizovsky]

Si c'est juste ça la formule de la courbe à l'extérieur je suis preneur

Oui, j'ai rectifié les borne après que j'ai consulté L.Landau, E.Lifchitz (théorie des champs II), mais elle apparût sans démonstration... , et ils ont utilisé une autre manière d'évaluer l'intégrale près de R , à partir de ds=0 ( métrique de Schwarzschild):

qui diverge pour r tend vers R.

[azizovsky]

ds=0 pour les signaux lumineux ...(j'aime bien ton insistance ...)

[Mailou75]

Oula t’es hors sujet... je viens de vérifier, il s’agit bien d’une géodésique lumière (moyennant que tu ajoutes une valeur absolue dans le LN, pour que la fonction marche à l’intérieur). Ce n’est pas du tout la question désolé...

[yves95210]

Salut,

Je ne peux pas raccorder des courbes qui sont tangentielles à r=Rs. C'est le problème que j'essayais de décrire dans la version "à la main", on ne sais pas situer verticalement la courbe coté intérieur.

Ben oui, problème bien connu avec les coordonnées de Schwarzschild, qui conduisent à une singularité (mathématique et non physique) en r=R_S.
Si tu pouvais raccorder tes courbes, tu aurais tracé une géodésique traversant l'horizon dans le repère (r,t) de Schwarzschild

[azizovsky]

Oula t’es hors sujet... je viens de vérifier, il s’agit bien d’une géodésique lumière (moyennant que tu ajoutes une valeur absolue dans le LN, pour que la fonction marche à l’intérieur). Ce n’est pas du tout la question désolé...

Ok, tu 'as vérifié où?

Pour un observateur extérieur le collapse jusqu'au rayon gravitationnel s'accompagne d'un ''autoblocage'' du corps. Le temps de propagation des signaux envoyés depuis le corps tend vers l'infini.En effet, pour les signaux lumineux ds²=0 et dans un référentiel de Schwarzschild, on'a cdt=dr/(1-r/R); la durée de propagation depuis r jusqu'à r(0)>r est donnée par.....

L.Landu , E.Lifchitz

Evgueni Lifchits a apporté des contributions majeures à la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein. Ses recherches dans ce domaine à partir de 1946 sont une référence quant à la stabilité des solutions cosmologiques de cette théorie

[Mailou75]

Salut,

Si tu pouvais raccorder tes courbes, tu aurais tracé une géodésique traversant l'horizon dans le repère (r,t) de Schwarzschild

Ce genre de sarcasme ne fait pas avancer le Schmilblick...

.......

Ok, tu 'as vérifié où?

Ben j’ai mis ta formule dans Excel, j’ai tracé deux points et ça m’a suffit pour reconnaitre une geodésique lumière en Schw (exemple en jaune graph de gauche ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6342819)

L.Landu , E.Lifchitz

Je ne les contredis pas (ça serait mal venu...) La symétrie horizontale de la courbe jaune te dis que si tu veux percevoir aujourd’hui qq chose provenant de l’horizon il faudrait que le photon soit parti depuis l’infini passé.

[azizovsky]

Comme j'aime bien jouer avec les équations, je voulais inverser l'équation près de R:

comme d'ab :



équivalente à donc :

soit

ou

[azizovsky]

Ou simplement par simplification



il y'a quelque chose qui ne colle pas .....

[Resartus]

Bonjour,

Et il y a qq chose que je ne saisis pas, dans le dernier lien que tu donnes on retrouve un "ln(1-x)" soit par exemple pour x=1,5, ln(-0,5) qui ne devrait pas exister, pourtant on voit que la courbe en dessous (qui effectivement ressemble bien à ce qu'on cherche) passe bien par x=1,5, ça me troue…
Mailou

Bizarre en effet, car même si Wolfram sait (et n'hésite pas à) utiliser des logarithmes de nombres négatifs ou complexes, il n'y a pas de raison qu'ils apparaissent ici (car cela donnera une valeur complexe également dans le résultat).
Peut-être un autre bug...Je vais essayer de calculer l'intégrale à la main quand j'aurai un peu plus de temps