Equation trajectoire (part 2)

[Resartus]

Re,
Bon, Wolfram est loin d'être parfait. Il utilise des logarithmes là ou des fonctions hyperboliques seraient plus simples, et cela entraine des erreurs sur les domaines de définition. Mais en lui facilitant la vie, il arrive à des résultats plus sympathiques :
En parlant de l'équation dt=dr/sqrt(1/x+1)(a-1/x) qu'on multiplie haut et bas par x^(3/2) on arrive à dt=x^(3/2)*dx/sqrt(1+x)(ax-1)
qu'il sait résoudre avec des atanh et asinh
https://www.wolframalpha.com/input/?...9%28ax-1%29%29
(toujours le bug bizarre où il supprime un des signes plus ; à réécrire dans la formule)
Il doit rester un petit probléme avec les atanh (non définis si l'argument est supérieur à 1 : à vérifier)

Au passage, je me suis rendu compte aussi que pour le premier fil, et comme cela avait déjà été signalé par un des intervenants, la formule qu'il trouve est inutilement compliquée. Avec la même méthode, plus un peu de simplifications (qu'il ne fait pas très bien non plus), on retrouve que l'intégrale de dx/sqrt(1/x+1) est tout bêtement égale
à racine(x).racine(x+1)- asinh(racine(x))
-----

[Mailou75]

Merci beaucoup,

Je regarde tout ça ce soir.

Juste une question : êtes vous d’accord avec les formes de a, r’ et t’ que j’ai proposées au message 18 ?
(car si c’est faux le reste le sera aussi)

Encore merci pour votre aide

Mailou

[Mailou75]

Salut,

Au passage, je me suis rendu compte aussi que pour le premier fil (…)

D'ac, noté sur l'autre fil

Bon, Wolfram est loin d'être parfait. Il utilise des logarithmes là ou des fonctions hyperboliques seraient plus simples, et cela entraine des erreurs sur les domaines de définition. Mais en lui facilitant la vie, il arrive à des résultats plus sympathiques :
En parlant de l'équation dt=dr/sqrt(1/x+1)(a-1/x) qu'on multiplie haut et bas par x^(3/2) on arrive à dt=x^(3/2)*dx/sqrt(1+x)(ax-1)
qu'il sait résoudre avec des atanh et asinh
https://www.wolframalpha.com/input/?...9%28ax-1%29%29

Effectivement, la formule est plus digeste...

Il doit rester un petit probléme avec les atanh (non définis si l'argument est supérieur à 1 : à vérifier)

… mais on bien des atanh de valeurs > 1 et Excel n'aime pas. Ouinnnn


Je ne comprends pas :
- Faut-il en conclure que cette intégrale n'admet pas de solution ? Ces trajectoires de genre temps existent pourtant…
- Dans ta version avec a=1 (message 19), on voyait bien apparaitre des courbes sur Wolframa, comment fait-il pour les tracer ??

Je comprendrais que tu en ai marre ... je perds moi-même espoir

Merci d'avance si tu trouves le courage de poursuivre

Mailou

[Sethy]

C'est relativement facile à faire sous Excel.

Il suffit de se rappeler que si dr/dt = f(r), alors dr = f(r)dt.

En partant de r0, il est possible de calculer f(r0) qui en le multipliant par un petit dt choisi arbitrairement va donner accès à dr. dr qu'il suffit alors d'ajouter à r0 pour obtenir une nouvelle distance "r". Il suffit de recommencer cette opération un certain nombre de fois pour obtenir une approximation de la solution. Evidemment, au plus on va se rapprocher d'un pole de la fonction, au plus l'approximation sera erronée.

[Resartus]

Bonjour,

… mais on bien des atanh de valeurs > 1 et Excel n'aime pas. Ouinnnn
Mailou

je viens de comprendre : ce n'est pas un bug, mais l'utilisation de fonctions complexes

En fait, atanh(x) quand x est supérieur à 1 vaut atanh(1/x)-ipi/2. Mais comme on est dans une intégration, qui se fait à une constante près, cette constante imaginaire peut être annulée quand on introduit la condition initiale sur t, de sorte que cela donnera bien un résultat réel
En résumé :
si tu pars avec un argument du atanh inférieur à 1, tu utilises la formule indiquée.
Si l'argument de départ est supérieur à 1, tu utilises l'atanh de son inverse.

Il n'y a pas de problème de raccordement, car si on démarre d'un coté, cela ne traversera pas vers l'autre.

[Zefram Cochrane]

Oui, j'ai rectifié les borne après que j'ai consulté L.Landau, E.Lifchitz (théorie des champs II), mais elle apparût sans démonstration... , et ils ont utilisé une autre manière d'évaluer l'intégrale près de R , à partir de ds=0 ( métrique de Schwarzschild):

qui diverge pour r tend vers R.

Bonjour,
il s'agit de la formule donnant la distance radar entre un observateur ( situé en r_o) et un réflecteur situé en r

https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6450303
On peut trouver une distance largement supérieure à r parce que la distance radar à l'horizon d'un TN est oo
....................
Qu'est ce que vous voulez déterminer au juste?

[azizovsky]

....................
Qu'est ce que vous voulez déterminer au juste?

Pour l'instant, je veux comprendre ceci :

il y'a quelque chose qui ne colle pas .....

je ne cherche pas loin..., je suis quelqu'un de basique .

j'ai tous les droits mathématiques de remplacer dr par r-R quand la variation et trop petite ...

[Zefram Cochrane]

Il faut partir de l'équation d'une chute radiale d'un photon dans un TN de Schwarzschild :

cela donne
(1)
et
(2)
que disent ces formules?
(1) raconte que localement la vitesse de la lumière est constante et égale à c.
(2) raconte que la vitesse apparente de la lumière vu par un observateur à l'oo décroit et devient nulle en Rs.
cela explique pourquoi la distance radar entre Ro ( coordonnée de l'observateur) et R ( coordonnée du réflecteur)
tend vers l'oo quand R->Rs; parce que ce qui est mesuré est la durée, mesurée par l'observateur à l'oo, aller-retour entre la coordonnée Ro et la coordonnée R d'un éclat lumineux.

[azizovsky]

Je cois que je me suis mal exprimé , soit:



une petite variation égale module du rayon vecteur !!!, soit t(0)=0, on'a , mais ...

PS: merci pour les détails ...

[Zefram Cochrane]

Amha,
en posant dr = h et Rs + h donc Rs + dr , tu dis qu'un observateur localement situé en bordure du TN mesureras une vitesse de la lumière de c; ce qui est normal puisque tu te places du point de vue d'un observateur local.

[azizovsky]

Amha,
en posant dr = h et Rs + h donc Rs + dr , tu dis qu'un observateur localement situé en bordure du TN mesureras une vitesse de la lumière de c; ce qui est normal puisque tu te places du point de vue d'un observateur local.

Je n'ai pas parlé ni de vitesse ni célérité..., je crois que j'ai bien détaillé mon problème..., cette formule ne passe pas d'un point de vue de géométrie différentielle et analytique et....que j'ai appris

[azizovsky]

D'abord, je veux comprendre l'outil avant son application, j'ai essayé de l'avaler mais elle veut pas être digérer ...

[Mailou75]

Salut et merci,

il s'agit de la formule donnant la distance radar entre un observateur ( situé en r_o) et un réflecteur situé en r
https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6450303

En quelque sorte… c'est le temps de trajet de la lumière qui, quel que soit le sens, mettra le même temps à l'aller et au retour et un observateur distant (aveugle de préférence) multipliera bêtement ce temps par c pour obtenir une "distance radar". Reste bien sur à diviser par le (z+1)r local pour un observateur en Ro et pas à l'infini, ce que tu fais dans ton lien.

Par contre j'ai encore besoin de ce fil... donc j'apprécierai que vous alliez discuter de ça sur un fil dédié, merci

……….

je viens de comprendre : ce n'est pas un bug, mais l'utilisation de fonctions complexes

En fait, atanh(x) quand x est supérieur à 1 vaut atanh(1/x)-ipi/2. Mais comme on est dans une intégration, qui se fait à une constante près, cette constante imaginaire peut être annulée quand on introduit la condition initiale sur t, de sorte que cela donnera bien un résultat réel
En résumé :
si tu pars avec un argument du atanh inférieur à 1, tu utilises la formule indiquée.
Si l'argument de départ est supérieur à 1, tu utilises l'atanh de son inverse.

Il n'y a pas de problème de raccordement, car si on démarre d'un coté, cela ne traversera pas vers l'autre.

Alors… j'ai une bonne et une mauvaise nouvelle. Tu vas me haïr…
- La bonne c'est qu'en faisant comme tu dis, cad prendre "1/contenu de atanh" quand r<Rs (si j'ai bien compris) la formule fonctionne pour toute valeur de r.
- La mauvaise c'est qu'en traçant quelques points je me rends compte que la trajectoire obtenue correspond à une vitesse locale inférieure à Vlib à l'intérieur et une vitesse locale supérieure à la vitesse lumière à l'extérieur.
[Pour vérif, je trouve les mêmes résultats à l'intérieur que donnait la précédente formule avec problème de LN (<1)].

Du coup j'aimerais revenir à la base de ce qu'on est en train de faire, je m'immisce dans ce que je ne comprends pas…
Si v(t)=dr/dt est une "vitesse" (pente de courbe en réalité) en fonction de t, alors l'intégrale de v(t) donnera une trajectoire : r(t)
Mais ici on a v(r)=dr/dt et je ne vois pas en quoi intégrer dt/dr va nous donner t(r) ??
Pourtant c'est exactement ce que tu as fait en "part 1" pour dr/dTau et ça marche, a priori (la forme de la trajectoire correspond à ce qu'on attend).

Bref je suis égaré

Merci d'avance si tu trouves encore le courage de répondre

Mailou

[azizovsky]

Par contre j'ai encore besoin de ce fil... donc j'apprécierai que vous alliez discuter de ça sur un fil dédié, merci

Oups, c'est vrai, désolé, j'ai oublié que je suis hors territoire ...

[Mailou75]

Re,

Après avoir bidouillé un peu avec la dernière formule je me rend compte qu'elle donne apparemment 2 points justes par courbe de trajectoire. Pas plus malheureusement…

Je m'explique : Si je prend une géodésique Vlib et une géodésique lumière et que je les fais partir toutes les deux du point (0;0), alors la géodésique Vlib va intercepter l'axe r à 1,2033..Rs et la géodésique lumière à 1,2784..Rs. La géodésique Vlib correspond à K=0 et la lumière à K=-oo. Je dois donc trouver entre ces deux points toute la gamme des K appartenant à ]0;-oo[.

En prenant un K négatif proche de 0 et un autre très grand je retrouve bien les deux valeurs de r citées. Appelons les Ro, comme point de départ depuis t=0. Ensuite en prenant des K intermédiaires, la logique semble suivre, je peux ajuster un Ro qui donnera bien t~0 avec la formule. Donc, comme je le disais au départ, pour chaque trajectoire définie par K je peux trouver deux points justes : (0;0) et (Ro;0).

Ceci pour dire que j'ai au moins un échappatoire pour faire une version "à la main" (comme l'a à nouveau proposé Sethy au message 34 auquel je n'avais pas répondu). Je peux tracer mes courbes intérieure et extérieure indépendamment et je saurais les caler relativement l'une à l'autre : si l'intérieur passe par (0;0) alors l'extérieur passe par (Ro;0).

Bon… évidement je préfèrerais une formule qui marche, parce que "à la main" en RG c'est jamais trop souhaitable. Mais au moins je ne serais pas complètement bloqué si jamais on (vous en fait vu que je suis à la rue…) ne trouve pas.

Encore merci

Mailou

[Resartus]

Bonjour,

Je ne comprends pas ce qu'est ce point 0,0. On prend ce qu'on veut comme point de départ du temps (c'est la constante d'intégration), mais r ne peut jamais être nul dans les formules que tu as fournies.

Et peux-tu expliciter ce que tu appelles vitesse locale dans ton message précédent. Est-ce bien le terme en racine seulement (racine(1/r-K)/racine(1/Rs-K)?
Mathématiquement, il tend bien vers 1 quand r tend vers Rs, et il devrait être toujours supérieur à 1 quand r est plus petit que Rs et plus petit que 1 quand r est plus grand que Rs. Aurais-tu constaté que la formule fournie par Wolfram donne le contraire?
Attention à bien voir que la formule donne t fonction de r, et sa dérivée donne donc l'inverse de la vitesse

[Mailou75]

Salut et merci de donner suite,

Je ne comprends pas ce qu'est ce point 0,0

C'est l'origine du repère de Schwarzschild tout simplement, je fais passer les courbes par ce point.

On prend ce qu'on veut comme point de départ du temps (c'est la constante d'intégration), mais r ne peut jamais être nul dans les formules que tu as fournies.

Oui j'ai vu ça mais c'est pas grave, à r=0,000...01 on y voit que du feu, surtout une fois passé en pixels.

Et peux-tu expliciter ce que tu appelles vitesse locale dans ton message précédent. Est-ce bien le terme en racine seulement (racine(1/r-K)/racine(1/Rs-K)?

Exactement ! C'est la vitesse relative que mesurerait localement un immobile en r au passage de notre voyageur en chute libre. Appelons la V.

Ensuite un observateur à l'infini va voir tout ce qui se passe en r au ralenti et compressé radialement, soit un "effet Einstein au carré" (l'effet Einstein ne traitant que du redshift, donc du ralentissement) :
- Il voit la lumière aller non pas à c mais à (1-Rs/r)*c (c'est ce qu'on appelle l'effet Shapiro)
- Il voit la vitesse de chute non pas à V mais à (1-Rs/r)*V (c'est bien la formule donnée au message 1)

Mathématiquement, il tend bien vers 1 quand r tend vers Rs, et il devrait être toujours supérieur à 1 quand r est plus petit que Rs et plus petit que 1 quand r est plus grand que Rs.

Parler de vitesse en dessous de Rs est assez incongru mais oui c'est ça : au dessus de Rs la vitesse locale sera limitée à c, en dessous c'est free ride… mais c'est effectivement ce que dit la formule.

Aurais-tu constaté que la formule fournie par Wolfram donne le contraire?

Pas exactement puisque je ne travaille pas avec les vitesses locales mais avec les vitesses "coordonnée" pour l'observateur à l'infini, ce qu'il voit en fait.

Si tu prends le graph de droite ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5882616
On est chez Schwarzschild, on regarde uniquement les deux courbes Verte et Bleue qui arrivent en (0;0).
- Bleue est une géodésique lumière (représentant une vitesse c locale)
- Verte est la géodésique de chute à la vitesse de libération (Vlib locale)

Verte intercepte l'axe des r à 1,2033..Rs et Bleue intercepte l'axe des r à 1,2784..Rs. Autrement dit c'est leur position "de départ" à t=0 et on voit que Bleue (le photon) parti derrière Verte (le voyageur) va finir par le rattraper pour arriver ensemble à la singularité en (0;0).

La courbe recherchée (vitesse locale entre Vlib et c) doit être située entre ces deux courbes si je la fait arriver en (0;0), elle devra intercepter l'axe r entre les deux valeurs citées. J'ai nommé ce point (Ro;0). Et il se trouve qu'avec la formule que tu as trouvée, si j'ajuste un Ro qui va bien en fonction de K (négatif), je vais bien trouver t=0 (Les extrêmes étant K=0 donne Verte et K=-oo donne Bleue).

Ce que je constate : c'est qu'en traçant d'autres points qui s'écartent de l'axe r (soit t=0) ils vont dessiner une courbe qui sera :
- En dessous de Verte à l'intérieur, cad une vitesse locale inférieure à Vlib
- Plus en pente (moins verticale) que Bleue à l'extérieur, cad une vitesse locale supérieure à c
Dans les deux cas on est donc faux par rapport à ce qu'on cherche à représenter, notre nouvelle courbe ne sera pas comprise entre Verte et Bleue si elle part de (0;0).

Attention à bien voir que la formule donne t fonction de r, et sa dérivée donne donc l'inverse de la vitesse

Oui j'avais compris, mais ce qui me perturbe c'est la démarche : je ne comprends comment intégrer 1/v(r) va donner t(r) ? (Mais c'est du à mes lacunes…)
Et surtout, puisqu'au final on arrive à utiliser la formule pour tout r, pourquoi ne donne-t-elle pas de bons résultats alors que la même méthode a fonctionné en "part 1" pour dr/dTau. La version de Opabinia donne exactement les mêmes résultats, ce qui confirme que c'est juste car je ne vois pas comment des voies différentes aboutissant au même résultat pourraient être fausses toutes les deux, ce serait une coïncidence hautement improbable…

Voilà, j'espère que tu comprends le problème. Maintenant je me mets à ta place : pourquoi remettre en question une méthode qui a fait ses preuves en "part 1" ? Et là, ben… proposer autre chose semble difficile de ton point de vue. Du coup je suis encore plus perdu…

Merci d'avance si t'y comprends quelque chose

Mailou

[Resartus]

Bonjour,
Je suis complétement ignare en matière de RG, et je ne comprends toujours pas comment tu peux parler de r=0 ou même proche de 0, mais si les mathématiques sont justes, il n'y a pas de raison que les trajectoires soient fausses.

Si je comprends bien, ce qui te gêne est que tu intuites que le temps de chute vu par un objet massif de plus en plus rapide devrait converger vers le temps de parcours de la lumière, alors que tu ne le constates pas sur les courbes.
Mais es-tu bien sûr que ton intution est fondée? Le fait que la masse reste non nulle doit bien avoir son importance...

[Mailou75]

Salut et merci,

Je suis complétement ignare en matière de RG, et je ne comprends toujours pas comment tu peux parler de r=0 ou même proche de 0, mais si les mathématiques sont justes, il n'y a pas de raison que les trajectoires soient fausses.

En dessous de Rs de toute façon ce n’est que des maths on a pas d’observation physique qui valide quoi que ce soit. Par contre beaucoup de formules de trajectoires fonctionnent jusqu’à r=0, elles donnent t=0+cste en general... le choix d’avoir un point (0;0) est donc arbitraire. Quoi qu’il en soit, l’ensemble des formules dont je dispose sont cohérentes, sauf celle là...

Si je comprends bien, ce qui te gêne est que tu intuites que le temps de chute vu par un objet massif de plus en plus rapide devrait converger vers le temps de parcours de la lumière, alors que tu ne le constates pas sur les courbes.

C’est ça, la trajectoire obtenue va «localement» plus vite que la lumiere, à l’exterieur. Et ça, méme vu au ralenti depuis un r tres grand (assimilé oo chez Schw) ça pose problème. De causalité par exemple...

Mais es-tu bien sûr que ton intution est fondée? Le fait que la masse reste non nulle doit bien avoir son importance...

Ben mon intuition perso est que ce genre de trajectoire n’existe pas puisqu'elle demande d’avoir une énergie (vitesse) non nulle à l’infini. Pour moi ça va à l’encontre du système «isolé» de Schw puisqu’on lui apporte une énergie sans qu’elle modifie le modele initial (rayon du trou noir). C’était ma première impression, mais je me suis laissé convaincre que c’était faux. Il se trouve que la formule de la vitesse et la logique qui la définit se tiennent, du coup je voulais voir la suite...

Je finirai par la tracer «a la main» en utilisant la «pente» dr/dt mais je voulais éviter d’approximer. Je vais encore chercher un peu, je reviens si je trouve qq chose.

A bientot

Mailou

[Opabinia]

Et il y a qq chose que je ne saisis pas, dans le dernier lien que tu donnes on retrouve un "ln(1-x)" soit par exemple pour x=1,5, ln(-0,5) qui ne devrait pas exister, pourtant on voit que la courbe en dessous (qui effectivement ressemble bien à ce qu'on cherche) passe bien par x=1,5, ça me troue…

Je crois que c'est tout simplement parce que Ln│ax + b│ conduit à la même dérivée que Ln(ax + b) .
C'est à l'utilisateur de calibrer ses solutions en fonction du signe de (ax + b), donc du domaine considéré.

[Mailou75]

Salut,

Je crois que c'est tout simplement parce que Ln│ax + b│ conduit à la même dérivée que Ln(ax + b) . C'est à l'utilisateur de calibrer ses solutions en fonction du signe de (ax + b), donc du domaine considéré.

En fait, que je prenne celle là
https://www.wolframalpha.com/input/?...%2Fx%2B1%29%29
en mettant une valeur absolue dans LN(|1-ax|)
ou que je prenne celle là
https://www.wolframalpha.com/input/?...9%28ax-1%29%29
en prenant l’inverse de l’argument dans la TANH(1/....)
je trouve la même chose, ce qui veut dire que Resartus+Wolframa ont bien bossé

Mais, la trajectoire obtenue n’a pas de sens par rapport à ce qu’on cherche, elle va plus vite que la lumière a l’extérieur du trou noir

Si t’as une idée...

Merci

[Opabinia]

elle va plus vite que la lumière a l’extérieur du trou noir

Alors cela devrait déjà se repérer sur l'équation différentielle, qui exprime la vitesse ...

[Mailou75]

Re,

Alors cela devrait déjà se repérer sur l'équation différentielle, qui exprime la vitesse ...

La vitesse locale est



le facteur a appliquer ne dépend que de l’observateur, si celui ci est très éloigne alors le facteur est



et on retrouve l'équation donnée au message 1 cad la vitesse vue : un intervalle dr parcouru en une durée dt

V = c seulement si K=-oo
Vlib < K < c si K € ]0;-oo[

Le problème c’est que la méthode utilisée par Resartus en «part 1» donne de bons résultats (les mêmes que les tiens) et que cette même méthode en part 2 donne des trajectoires qui vont soit trop vite (ext du TN) soit trop lentement (int du TN).

Pour l’extérieur, une chose est sure, «aller plus vite que c» n’a rien a voir avec l’observateur. Chacun verra les choses plus ou moins accélérées/ralenties et compressées/dilatées mais si un bolide dépasse un photon tous le sauront, c’est de la chronologie.

Je ne sais pas d’ou vient le problème mais c’est sur qu’il y en a un...

[Sethy]

J'avoue que je suis largué, mais que représente physiquement la vitesse locale que tu exprimes par "grand" V ?

Car question unité ... ça semble être un nombre sans dimensions (en espérant que le K ait les unités de l'inverse d'une distance).

[Mailou75]

Salut,

J'avoue que je suis largué, mais que représente physiquement la vitesse locale que tu exprimes par "grand" V ?

Car question unité ... ça semble être un nombre sans dimensions (en espérant que le K ait les unités de l'inverse d'une distance).

V c’est la vitesse que mesurerait localement un immobile de Schw lorsque le voyageur en chute libre passe à coté de lui. C’est une véritable vitesse relative au sens RR. On lit souvent que malgré la RG, on est toujours localement en RR, pour moi c’est ce que ça veut dire.

Pour K il a effectivement la dimension de l’inverse d’une distance pour une chute depuis un Rmax donné. On a alors K=1/Rmax. Pour les autres cas je ne saurais pas dire... mach3 a donné une autre version ou on trouve un paramètre différent sous la forme E/m qui s’apparente plus à ce qu’on trouve sur le wiki anglais. Mais comme avec K j’avais encore l’impression de comprendre ce que je faisais j’ai préféré le garder pour l’instant.

[Mailou75]

Yeah, got the the result !

Ca m'aura pris un certain temps mais j'ai la réponse...
Je suis allé poser la question sur StackExchange, ce qui m'a fait douter sur un truc : suis-je plus mauvais en maths ou en anglais ?

Bref, la méthode employée est la même que celle de Resartus, sauf que le fautif est vraisemblablement Wolframa (eux utilisent Mathematica mais honnêtement je ne suis pas allé vérifier) et la bonne formule finale est, tadaa :



En plus de ne pas buger, elle donne une courbe tout à fait cohérente avec ce que je cherchais.

[ NB : Pour r<Rs, appliquer la méthode Resartus et prendre l'inverse de l'argument dans l'atanh du deuxième membre ]

Voilà une formule un peu chiante en latex mais qui m'a fait plaisir à écrire après deux semaine d'errance…
Maintenant la balle est dans mon camp, j'ai plus qu'à tracer quelques courbes et vous filer ça

Encore merci à tous ceux qui m'ont filé un coup de main

PS @Zef et mach3 : La prochaine fois que vous jetez un parpaing dans la mare et que vous vous barrez en courant, je fait comme si j'avais rien vu !

[Mailou75]

Car question unité ... ça semble être un nombre sans dimensions

Pardon j’ai lu un peu vite... bien sur c’est un «beta», il faut multiplier par c pour avoir une vitesse en m/s

[Resartus]

Bonjour,
Chapeau! Le bug de Wolfram sur la modification intempestive de la requête était déjà ch..t, mais là s'il fait aussi des erreurs mathématiques c'est plus sérieux..
errare ordinatorum est...

[Mailou75]

Salut,

Chapeau! Le bug de Wolfram sur la modification intempestive de la requête était déjà ch..t, mais là s'il fait aussi des erreurs mathématiques c'est plus sérieux..
errare ordinatorum est...

Merci mais j’y suis pour rien, j’me suis reposé du vous (et vos homologues anglophones)
Pas de chance pour Wolf, on pouvait toujours chercher l’erreur...

Encore merci pour ton aide

[Zefram Cochrane]

J'avoue que j'aurais aimé pouvoir t'aider d'avantage, mais j'ai été un peu largué
J'ai hâte de voir les courbes et ce que ça implique.