tenseur j'un question

[Daniel1958]

Bonjour

J'avoue être assez fasciné par les tenseurs. Je (après les videos) pense que ces sont des objets abstraits de mathématiques de géométries différentielles. je les vois comme une agrégation et une coordination operations de vecteurs. il me semble que ces objets sont indispensables pour analyser les comportements dans des champs ou des matériaux. En fait ils semblent avoir des utilisations très concrètes.
C'est ce que j'ai pu déduire de mes maigres connaissances.

Comme je débute, je travaille par images et je suis très rigide. Dés que quelque chose ne va pas je m'interroge ou interroge.

Voilà j'ai vu et cru comprendre qu'un tenseur devait donner un résultat dans l'ensemble des réels

Alors comme ce fait-il qu'on ait dans le tenseur g_uv puisse y avoir des fonctions dans la matrice. Est-ce simplement une présentation avec incorporation des fonctions pour une présentation simplifiée.
Ou le fait que pour les tenseurs dans un repère non plat les fonctions peuvent être incorporées ??



Et oui pour vous c'est évident, mais pour moi le formalisme….me contraint.

Cordialement
-----

[Deedee81]

Salut,

Un tenseur n'est pas un réel. Dans un choix de base particulière c'est un tableau (à N dimensions) de réels ou de complexes (on peut travailler avec le corps des complexes).

Pour un espace non plat (c'est l'espace qui et courbe, pas le repère), on travaille dans "l'espace plat tangent" (même principe qu'une tangente à un cercle) et pour faire le lien entre deux points c'est.... pas facile (transport di parallèle, connexions,...). Et les tenseurs en tout point forment un champ de tenseurs (pas une fonction).

[mach3]

D'abord quelques fils à lire ou relire :

https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html
https://forums.futura-sciences.com/m...l-indices.html
https://forums.futura-sciences.com/m...e-tenseur.html
https://forums.futura-sciences.com/p...ovariante.html
https://forums.futura-sciences.com/a...estreinte.html
https://forums.futura-sciences.com/m...8-tenseur.html

Un tenseur est une "machine" qui transforme un ensemble de vecteurs et de formes linéaire en un scalaire, il travaille sur un espace vectoriel et son dual.

Quand on considère par exemple l'espace euclidien ou même l'espace-temps, qu'il soit plat ou courbe, ce n'est pas un espace vectoriel, c'est un ensemble de point, pas un ensemble de vecteurs. Pour y travailler avec des vecteurs, il faut considérer, en chaque point, un espace vectoriel, dit "tangent", et qui va venir avec son dual et avec tous les tenseurs qu'on pourra construire avec. Les vecteurs, formes linéaires, et généralement les tenseurs sont localisés en un point de l'espace, et un tenseur agit sur les vecteurs et formes linéaires situées au même point que lui.

Ensuite, sur un espace, on peut définir des champs. Des champs scalaires, des champs de vecteurs, des champs de formes linéaire et même des champs de tenseurs. Un champ scalaire, c'est une fonction qui donne un scalaire quand on lui donne un point de l'espace. Un champ de vecteur, c'est une "fonction" qui donne un vecteur quand on lui donne un point de l'espace. etc.

Ainsi, si on suppose un champ de tenseur qui agit sur différents champs de vecteurs et de formes linéaire, on obtiendra un champ scalaire. En fait en chaque point de l'espace, on prend les valeurs du tenseur, des vecteurs et formes linéaires concernés et ça donne une valeur en ce point pour le scalaire.

Quand on parle de la métrique, il s'agit en fait d'un champ de tenseurs métrique. Les coefficients de la métrique (les "choses" qui sont dans la "matrice", les ), sont les scalaires qu'on obtient en appliquant la métrique sur un couple de vecteurs de base. Or, des vecteurs de base, il y en a en chaque point de l'espace(-temps), pour chaque vecteur de base on a un champ de vecteurs (on parle même de champ de bases). Le résultat de l'application du tenseur métrique situé en un point sur un couple de vecteurs de base situé en ce même point dépend justement du point, donc les coefficients sont des fonction du point où on travaille.

m@ch3

[Sethy]

Là, je pense qu'il y a moyen d'expliquer un usage d'un tenseur, et via le tenseur de déformation.

Imaginons qu'on ait une balle magique (tout le monde connait). Si on écrase une telle balle, il va y avoir une réaction (la balle va tout faire pour revenir à sa forme initiale). Quelle que soit la direction dans laquelle on écrase la basse, la réaction sera la même.

Imaginons maintenant un cristal. Par essence, ce cristal est composé de plans où il y a plus d'atomes que d'autres. Il y a donc des directions privilégiées. Si j'écrase ce cristal, il ne va pas se déformer de la même manière en fonction de la direction de la sollicitation.

Comment rendre compte de ce fait ? C'est là que les tenseurs sont utiles. La contrainte est à 3 dimension (imaginons, un peu selon l'axe des x, 3x plus selon l'axe des y et rien en z). Ce qui donne un vecteur (1 3 0).

D'abord, le cas simple, celui de la balle magique et imaginons que sa réaction soit de 1/2 (sous-entendu dans toutes les directions). Assez logique, on peut peut calculer la réaction en x, y et z. Ce sera le vecteur (1/2, 3/2, 0/2).

Maintenant comment rendre compte du cristal. C'est la qu'on va utiliser un tenseur 3x3 (pourquoi 3x3, car le cristal est à 3 dimensions) qui va agir comme une sorte de boite noire et prendre notre solliciation (1 3 0) et "computer" le résultat par exemple (0, 4, 1). Donc si on appuie sur ce cristal fortement en y et un peu en x, le cristal réagit très fortement en y, pas du tout en x et un peu en y.

Pourquoi peut-il y avoir des "fonctions" pour certaines des 9 coordonnées du tenseur ?

Tout simplement si par exemple la balle magique a, à moitié, trempé dans l'eau chaude et que dès lors, sa réaction varie avec l'endroit où on applique la déformation. Alors on n'a plus 1/2 partout, mais suivant l'endroit où on est on passe de 1/3 à 2/3. Et pour ça, il faut une fonction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

le problème est que Daniel fonctionne avec des images intuitives plus ou moins correctes, et qu'on lui répond avec des arguments théoriques rigoureux mais assez loin de l'intuition.

Par exemple si on veut construire rigoureusement un objet mathématique qui correspond à un "entier négatif" , on passe par une notion abstraite de "classe d'équivalence" (le nombre "-3" par exemple est l'ensemble de tous les couples d'entiers positifs (a,b) tels que a-b = - 3, soit {(0,3),(1,4),(2,5)....}*: c'est quand même assez formel de considérer que "-3" est pour les mathématiciens un ensemble infini de couples d'entiers naturels positifs ...

De même pour les fractions et les vecteurs "euclidiens", ce sont aussi des classes d'équivalence ...

En géométrie différentielle, un "vecteur", ou plutot un "champ de vecteurs", c'est encore plus compliqué, c'est un opérateur différentiel dans l'espace des champs scalaires, à vos souhaits ... et un tenseur c'est encore un peu plus compliqué que ça...

mais je ne sais pas si ça aide Daniel de lui dire tout ça (vu qu'en fait je ne sais toujours pas ce que Daniel cherche en posant toutes ces questions qui sont bien au dessus de ce qu'il peut se représenter avec ses connaissances). Je lui ai déjà conseillé de commencer par les trucs simples, avant de poser des questions compliquées, mais je ne sais pas si il peut vraiment le faire.

[Daniel1958]

D'abord quelques fils à lire ou relire :

https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html
https://forums.futura-sciences.com/m...l-indices.html
https://forums.futura-sciences.com/m...e-tenseur.html
https://forums.futura-sciences.com/p...ovariante.html
https://forums.futura-sciences.com/a...estreinte.html
https://forums.futura-sciences.com/m...8-tenseur.html

Un tenseur est une "machine" qui transforme un ensemble de vecteurs et de formes linéaire en un scalaire, il travaille sur un espace vectoriel et son dual.

Quand on considère par exemple l'espace euclidien ou même l'espace-temps, qu'il soit plat ou courbe, ce n'est pas un espace vectoriel, c'est un ensemble de point, pas un ensemble de vecteurs. Pour y travailler avec des vecteurs, il faut considérer, en chaque point, un espace vectoriel, dit "tangent", et qui va venir avec son dual et avec tous les tenseurs qu'on pourra construire avec. Les vecteurs, formes linéaires, et généralement les tenseurs sont localisés en un point de l'espace, et un tenseur agit sur les vecteurs et formes linéaires situées au même point que lui.

Ensuite, sur un espace, on peut définir des champs. Des champs scalaires, des champs de vecteurs, des champs de formes linéaire et même des champs de tenseurs. Un champ scalaire, c'est une fonction qui donne un scalaire quand on lui donne un point de l'espace. Un champ de vecteur, c'est une "fonction" qui donne un vecteur quand on lui donne un point de l'espace. etc.

Ainsi, si on suppose un champ de tenseur qui agit sur différents champs de vecteurs et de formes linéaire, on obtiendra un champ scalaire. En fait en chaque point de l'espace, on prend les valeurs du tenseur, des vecteurs et formes linéaires concernés et ça donne une valeur en ce point pour le scalaire.

Quand on parle de la métrique, il s'agit en fait d'un champ de tenseurs métrique. Les coefficients de la métrique (les "choses" qui sont dans la "matrice", les ), sont les scalaires qu'on obtient en appliquant la métrique sur un couple de vecteurs de base. Or, des vecteurs de base, il y en a en chaque point de l'espace(-temps), pour chaque vecteur de base on a un champ de vecteurs (on parle même de champ de bases). Le résultat de l'application du tenseur métrique situé en un point sur un couple de vecteurs de base situé en ce même point dépend justement du point, donc les coefficients sont des fonction du point où on travaille.

m@ch3

Merci
Sur le moment (avec des efforts j'arrive un peu à comprendre)
Je n'ai pas eu le temps de lire les liens mais je vais bien sûr les lire.
Mais comment dire je vais prendre un exemple physique simple si je rajoute de l'eau froide dans un bain d'eau chaude (c'est souvent mon cas) l'eau froide n'arrive que du côté des robinets. La température de mon bain (la température extérieure peut être négligeable car la baignoire est isolée thermiquement) va petit à petit s'équilibrer partout. Mais pendant un moment une partie du bain (celle près des robinets) va bien être plus froide. Le calcul pour la durée d'une température homogène peut-il être effectuée via un tenseur ? (la modélisation)

Plus largement je me demande, quand ont fait des calculs sur des liquides ou des matières molles et à condition de bien choisir ses tenseurs, si on arrive réellement à une simulation réaliste. Je pousse le bouchon car il y a une multitude d'effets parasites avec des concentrations inattendues, des grumeaux et autres.

En clair je suis étonné que cet outil même avec un super choix de vecteurs et de tenseurs appropriés puisse avec ses règles de base (uniquement de base je précise) relativement simples à comprendre, mais très complexes à développer (bien sûr) puisse servir à modéliser des systèmes hyper complexes.


Cordialement. Après c'est la règle du forgeron "il faut battre du fer" pour progresser

Et Merci

[Daniel1958]

Là, je pense qu'il y a moyen d'expliquer un usage d'un tenseur, et via le tenseur de déformation.

Imaginons qu'on ait une balle magique (tout le monde connait). Si on écrase une telle balle, il va y avoir une réaction (la balle va tout faire pour revenir à sa forme initiale). Quelle que soit la direction dans laquelle on écrase la basse, la réaction sera la même.

Imaginons maintenant un cristal. Par essence, ce cristal est composé de plans où il y a plus d'atomes que d'autres. Il y a donc des directions privilégiées. Si j'écrase ce cristal, il ne va pas se déformer de la même manière en fonction de la direction de la sollicitation.

Comment rendre compte de ce fait ? C'est là que les tenseurs sont utiles. La contrainte est à 3 dimension (imaginons, un peu selon l'axe des x, 3x plus selon l'axe des y et rien en z). Ce qui donne un vecteur (1 3 0).

D'abord, le cas simple, celui de la balle magique et imaginons que sa réaction soit de 1/2 (sous-entendu dans toutes les directions). Assez logique, on peut peut calculer la réaction en x, y et z. Ce sera le vecteur (1/2, 3/2, 0/2).

Maintenant comment rendre compte du cristal. C'est la qu'on va utiliser un tenseur 3x3 (pourquoi 3x3, car le cristal est à 3 dimensions) qui va agir comme une sorte de boite noire et prendre notre solliciation (1 3 0) et "computer" le résultat par exemple (0, 4, 1). Donc si on appuie sur ce cristal fortement en y et un peu en x, le cristal réagit très fortement en y, pas du tout en x et un peu en y.

Pourquoi peut-il y avoir des "fonctions" pour certaines des 9 coordonnées du tenseur ?

Tout simplement si par exemple la balle magique a, à moitié, trempé dans l'eau chaude et que dès lors, sa réaction varie avec l'endroit où on applique la déformation. Alors on n'a plus 1/2 partout, mais suivant l'endroit où on est on passe de 1/3 à 2/3. Et pour ça, il faut une fonction.

Bonjour

Merci ok pour le principe de la fonction. Si j'ai compris, en raison d'une autre forme de contrainte elle doit être intégrée à la "matrice des coordonnées" du tenseur. Ce qui est le cas dans le G^uv

Cordialement

[Sethy]

Le calcul pour la durée d'une température homogène peut-il être effectuée via un tenseur ? (la modélisation)

Lis d'abord ma réponse de 16h52.

Ensuite, je dirais non. Ici la bonne approche est de créer un tableau à 3 dimensions qui modélise le volume et d'assigner à chaque point une température.

Ensuite grâce à des équations différentielles, il est possible de rendre compte de l'évolution des valeurs de chaque point en fonction des voisins. Mais non, on n'utilise pas de tenseur.

Un tenseur, c'est une boite noire qui prend quelque chose en "source" et qui donne un résultat "destination". Par exemple, j'ai cette forme (disons un étoile) et je veux la tourner de x°. J'écris le tenseur de rotation, je rentre les coordonnées originales des points des sommets de l'étoile et je "compute" les positions après rotation.

[stefjm]

Par exemple si on veut construire rigoureusement un objet mathématique qui correspond à un "entier négatif" , on passe par une notion abstraite de "classe d'équivalence" (le nombre "-3" par exemple est l'ensemble de tous les couples d'entiers positifs (a,b) tels que a-b = - 3, soit {(0,3),(1,4),(2,5)....}*: c'est quand même assez formel de considérer que "-3" est pour les mathématiciens un ensemble infini de couples d'entiers naturels positifs ...

C'est même pire car on n'a pas droit à l'opération "-" pour définir les entiers relatifs.




On quotiente les couples d'entiers par la relation d'équivalence pour obtenir les relatifs.

J'aime aussi assez les complexes définis par quotient de polynôme par X^2+1 : ℝ[X]/(X² + 1)

[Archi3]

C'est même pire car on n'a pas droit à l'opération "-" pour définir les entiers relatifs.




On quotiente les couples d'entiers par la relation d'équivalence pour obtenir les relatifs.

J'aime aussi assez les complexes définis par quotient de polynôme par X^2+1 : ℝ[X]/(X² + 1)

oui tout à fait le "a-b=-3" n'a de sens bien sûr qu'après avoir défini Z, pas avant, c'était juste pour faire comprendre la notion de classes d'équivalences avec des repères connus .

[albanxiii]

Et oui pour vous c'est évident, mais pour moi le formalisme….me contraint.

Votre paresse et votre malhonnêteté intellectuelle vous contraignent. Rien d'autre.
J'hésite à rendre public nos échanges en MP afin que tout le monde se rende bien compte que vous répondre est une perte pure et simple de temps.

Comme je débute, je travaille

Encore un mensonge.

[Daniel1958]

Lis d'abord ma réponse de 16h52.

Ensuite, je dirais non. Ici la bonne approche est de créer un tableau à 3 dimensions qui modélise le volume et d'assigner à chaque point une température.

Ensuite grâce à des équations différentielles, il est possible de rendre compte de l'évolution des valeurs de chaque point en fonction des voisins. Mais non, on n'utilise pas de tenseur.

Un tenseur, c'est une boite noire qui prend quelque chose en "source" et qui donne un résultat "destination". Par exemple, j'ai cette forme (disons un étoile) et je veux la tourner de x°. J'écris le tenseur de rotation, je rentre les coordonnées originales des points des sommets de l'étoile et je "compute" les positions après rotation.

Oui j'avais écrit le message avant le lecture de le réponse (qui était dans les tuyaux).

Merci

[Deedee81]

Bonjour,

Non Daniel. Albanxiii a araison. Tu ne fais aucun effort. C'est ton droit (la paresse est un choix agréable ). Mais ne vient pas te plaindre que tu ne comprends pas.

D'ailleurs tu dis "Je n'ai pas eu le temps de lire les liens mais je vais bien sûr les lire". Hé ? Tu ne les lis pas mais tu continue à blablater dans la discussion ? Tu nous p.... à la r..... comme disait vulgairement un de mes amis.

Alors je ferme. Je te laisse lire et approfondir tout ça tranquillement. Et je refuserai tout message de ta part sur le sujet des tenseurs où il serait manifeste que tu n'as pas fait les efforts nécessaires. Je répète : refuser de faire l'effort est ton droit le plus strict, mais ne vient pas nous emm....der avec des questions en espérant qu'on va faire tous les efforts à ta place. On ne te doit absolument rien.

Merci,