Alain Connes: coexistence discret / continu

[La Limule]

Bonjour,
Moi aussi je me suis demandé pourquoi la coexistance du disscret et du continu.
En effet en physique on peut avoir une densité linéque ou surfacique juxtaposée avec des poins massiques disposés ca et la
sur l'objet considé et ca se gère tres bien.
on a meme des spectres en partie discrets quand l'élection est lié au noyau et qui devient continu si l'énergie augmente.

Le problème n'est donc pas là.
Ca vient peut etre du coté variable aléatoire.
Prenons la corde de longueur L (1g par cm) avec des petites masses tous les cm
On peut définit sur le segment 0 L la fonction P(x) donnant la masse totale a gauche du poins x.
La fonction P est discontinue mais peux servir pour définit une variable aléatoire.

Est ce que ca peut s'étendre en dimension 2 ou 3? et commen?
prenez un cubr avec une densité volumique, des poins massiques ca et la et en plus des "bulles" avec des densités surfacique dépendant de la position sur la bulle...

Le probleme se trouve peut etre a ce niveau: quel objet mathématique pour dire au joueut combien il a gagné?
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[ThM55]

Bonjour. Pourquoi mentionnez-vous Alain Connes dans le titre? La coexistence de spectres discrets et continus était bien connue longtemps avant la naissance de ce mathématicien, notamment en mécanique quantique. Cela a été formalisé par Von Neumann avec le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert, décrivant l'opérateur par une famille de projecteurs qui dépendent du paramètre spectral (une valeur propre discrète apparaissant comme une simple discontinuité dans cette famille).

[La Limule]

Bonjour Thm55

le titre fait rérérence a une question posée dans ce fil
https://forums.futura-sciences.com/p...-connes-2.html
par Christian Arnaud (fil ou tu es intervenu)
à propos de la situation préquantique (sans usage des opérateurs) . Connes rappelait que la coexistence du discret et du continu
posait un probleme de cardinalité sans expliciter vraiment les détails du probleme.
Missjenny avait écrit que pour elle il était évident que sur meme espace probabilisé on pouvait y mettre des variables discretes et d'autres continues
ellt ajoute que le probleme vient sans doute du mot coexister qu'elle soupconne d'avoir une définition précise en maths.
On pourrait aussi ajouter la définition de espace probabilisable, mesure de probabilité etc.

c'est pourquoi je cherche des situations concrètes ou une définition classique de variables aléatoirs coexisretaient de maniere
problematique
j'ai indiqué qu'un segment avec densité linéique plus des petites masses ponctuelles de ci de la ne possaient
pas de probleme pour répartir les pertes et les gains lors de paris
Si a la place d'un segmant je prenns maitenant un disque avec une densité surfacique
plus quelques segments avec des densitiés liniéques pour chacun
plus des petites masses parsemées,
Peut on répantir pertes eet gains et comment?

[ThM55]

Aucune idée concernant les probabilités. Mais la mécanique quantique regorge d'exemples. Ils correspondent tous à des situations physiques bien concrètes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Ca ne répond pas au problème.
Si Connes affirme que la coexistence du continu et du discret posais un problème préquantique, on peut le croire.
C'est peut etre de l'histoire des sciences mais j'aimerais avoir l'énoncé précis menant à une contradiction logique.

Si personne ne trouve dans le forum de physique , je pourrais demaner plus tard une migration vers les maths.

[coussin]

De manière évidente, cela a à voir avec la différence de cardinalité entre N et R. C'est vraiment un truc de mathématicien. En effet, la physique quantique regorge "d'objets" mêlant discret et continu (à commencer par le premier truc qu'on apprend en MQ, le spectre de l'atome d'hydrogène...) et pour être honnête on se moque pas mal de la cardinalité de quoi que ce soit quand on fait des expériences de spectroscopie atomique...

[La Limule]

Et c'est bien le problème:
pourquoi un physicien se poserait un problème qu'il n'a pas?
Et d'ailleurs Connes ne s'adresse pas à des physiciens.
Si je vais sur le forum de maths , on va me demander d'énoncer une affirmation
sur les variables aléatoires, combien j'en ai, si c'est sur un espace mesuré , comment la mesure de probabilité fonctionne
bref ce sera a moi de montrer ou se situe le probleme alors que je sais simplement
qu'il y en a un....

[stefjm]

Espace temporel ou fréquentiel?

Périodique en temps T <=> échantillonné en fréquence 1/T
Échantillonné en temps T <=> périodique en fréquence 1/T
Périodique et échantillonné en temps T <=> Périodique et échantillonné en fréquence 1/T

[La Limule]

Quel rapport avec la conexistence discret et continu?

[stefjm]

Si on respecte le théorème d’échantillonnage, il y a la même information dans le signal continu et dans le signal échantillonné discret.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...chantillonnage
Si on respecte la limite de Shannon en fréquence, c'est kif kif.

Le sujet est sympa!

https://www.lptmc.jussieu.fr/user/lesne/MSCS-Lesne.pdf

[La Limule]

Tu pourrais parler un peu de variables aléatoires au lieu de fréquences?
et faire de la proba?
Connes parle de maths ou le temps n'apparait pas.

[stefjm]

Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences.
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...cassim002.html

Pour se passer du temps en physique, il faut que le processus soit stationnaire, voir mieux ergodique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Processus_ergodique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Processus_stationnaire

L'analyse spectrale est un des outils possibles.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_spectrale

Pour aller plus loin sur la cardinalité de R ou de N, je passe et cite trois fils de FSG mathématiques.

Bonjour,

Pour moi la notion de discret/continu n'a rien à voir avec le cardinal (si ce n'est pas l'expression malheureuse, mais historique, "puissance du continu").

La définition de "ensemble discret" est claire : ensemble muni de la topologie discrète (on peut donc munir IR, qui n'est pas dénombrable, d'une structure discrète).

Pour continu, il n'y a pas de définition aussi claire, à ma connaissance, on peut penser à la définition de la densité d'une relation d'ordre, ou avec des notions plus topologiques (comme la connexité ou la complétude).

Je suis parfaitement d'accord que la notion "d'espace continu" dépende de la structure disponible sur cet espace (relation d'ordre (dense plutôt que continu), topologie ou espace métrique.
Mais pour les espaces discrets, je suis moins d'accord, certes les 3 structures citées ci-dessus donnent la même notion d'espace discret, mais si on ne dispose d'aucune de ces trois structures ? Voire si on dispose de plusieurs structures (IR est discret lorsqu'il est muni de la topologie discrète )

Restons dans le domaine des statistiques élémentaires. La notion de continu dans le reste des mathématiques ne peut pas toujours s'expliquer ... avec des mots faciles à comprendre, sans recourir à un langage technique.
Les résultats statistiques concrets pour une variable quantitative, sont de trois sortes :
* des comptages (discrets par nature)
* des repérages sur des échelles (par exemple les pointures des chaussures
* des mesurages. A priori, on pourrait penser que la mesure est continue, mais en pratique, on a une limite de précision qui fait que l'ensemble des mesures effectivement possibles est fini. Par exemple, pour la taille des humains, on aura de 30 à 300 cm, 300 valeurs (la taille varie dans la journée, aller au delà d'une précision centimétrique n'a pas de sens).

Donc en statistiques, il n'y a pas de variables continues en elles-même. Seulement la décision de traiter la variable statistique par intervalles ou pas. Et on le fait pour des variables de comptage, comme le revenu brut annuel déclaré aux impôts : C'est un nombre entier d'euros, mais le détail n'a pas d'intérêt. Si on tre donne la liste des 30 millions de revenus déclarés, tu n'en feras rien.

Par contre, quand on veut modéliser une situation statistique à l'aide des probabilités, on utilise des variables aléatoires qui peuvent être continues (sens bien précis) ou discrète.

Ce qui les différencie, ce n'est donc pas ce qu'on va en faire, la façon de les traiter, mais ce à quoi elles correspondent : est-ce bien cela ? Je te disais le contraire dans le message précédent !

Je reviens maintenant sur une de tes déclarations : expliquer ... comme toutes choses mathématiques d'ailleurs, avec des mots faciles à comprendre, sans recourir à un langage technique. Elle semble dire que tu crois qu'on peut expliquer tout en mathématiques sans langage technique. Désolé, mais c'est faux, et il y a de nombreuses parties des mathématiques qui ne sont pas du tout explicables avec des mots simples. C'est désolant, mais c'est la réalité.

Cordialement.

[La Limule]

vers la fin de ton post il y a une sitation de gg0 disant qu'on ne peut tout expliquer avec des mots faciles a conprendre?

tu termines semble t il en m'attribuer l'origine de cette demande de mots faciles a comprendre.
ggo répondait à un aure forumeur ici
https://forums.futura-sciences.com/m...-continue.html

[stefjm]

Toutes mes excuses.
J'ai oublié de couper la fin de la citation de gg0.

[La Limule]

pas de problème.

[La Limule]

Je relance ce sujet pour signaler ce fil:
https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post7246973
J'y ai attaqué le problème sous l'angle des maths.
il y a peu de formules (a part les transformations de Fourier.
mais beaucoup de rappels de définition.
Si une base hilbertienne , un espace de Hilbert séparable sont des lointains
souvenirs jetez y un coup d'oeil
Moi aussi j'ai du me replonger dans wiki et des trucs sur arxiv

[La Limule]

Je lis ceci dans wikipédia:
dans le cas des opérateurs auto-adjoints, le spectre est contenu dans la droite réelle et se décompose (en) en général en un spectre discret formé des valeurs propres et en un spectre continu (en)

il est connu que qu'un éléctron d'un atome a qui fournit de l'énergie peut avoir des énergies
disretes ou continue.
les valeurs discretes sont sur la diagonale de l'hamiltonien. et les autres?

[ThM55]

Aussi évidemment puisque ce sont des valeurs propres. En passant, je me permets de faire remarquer que ce truc banal est exactement ce que j'ai expliqué dans ma première réponse.

[coussin]

Est-ce que cette page peut être utile ? https://en.wikipedia.org/wiki/Spectr...onal_analysis)
Il y a beaucoup de choses dans cette page notamment la classification des différents éléments d'un spectre et on y mentionne justement l'atome d'hydrogène.

[La Limule]

Wahoo!
Pourquoi on m'avait caché tout çà ?
Pour moi un spectre c'était une liste disons de fréquences avec dans la version de luxe des raies plus brillantes que d'autre
merci.

[ThM55]

C'est Hilbert qui avait choisi le nom de "spectre" pour la généralisation des valeurs propres des matrices aux opérateurs bornés, presque 30 ans avant la mécanique quantique. Selon certains, il aurait emprunté ce terme à un autre mathématicien appelé Wirtinger. Avant lui ce nom était donné depuis le XIXème siècle aux raies d'absorption et d'émission qu'on observait dans la lumière de lampes, du soleil et des étoiles. Plus tard quand la mécanique quantique a révélé que ce dernier était en fait le spectre d'un opérateur au sens de Hilbert, celui-ci a déclaré qu'il n'avait jamais soupçonné que le nom qu'il avait choisi était aussi adéquat.

Je suis un peu sceptique. Hilbert était très au courant de tout ce qui concernait la physique, d'ailleurs un des problèmes du XXème siècle qu'il avait proposés consistait à construire une axiomatique pour la physique mathématique. Le fait qu'un spectre mathématique puisque contenir des valeurs discrètes en compagnie de valeurs continues comme un spectre lumineux lui a sans doute suggéré l'analogie mais il savait très bien que la lumière est une onde et qu'elle pose des problèmes mathématiques qui concernent l'analyse spectrale.

[C2H5OH]

Bonjour,

juste deux remarques:

1- En physique, une raie discrète n'existe pas, elle nécessiterait un temps infini pour être définie. C'est le principe d'incertitude:
(Delta W ) (delta t) = cte

2- pour Shanon , il y a une question d'échelle, puisqu'il faut aussi considérer le rapport signal sur bruit pour limiter la quantité d'information.

[La Limule]

Je vais récapituler ou j'en suis avec l'affirmation de Alain Conne de la non coexistence
su discrer et du continu.
Il a été établi qu'il y a un unique espace de hilbert de dimension infini avec
une base de Hilbert dénombrable.
Celui des suites v_n de carré sommable qui atteibuent des valeurs complexe aux
entiers de N.
Ceci dit dans cet espace appelé petit l2 (pprononcer perit elle deux) il y a une autre base de hilbert
qui peut etre mis en bijection avec la premiere:
celle formée de fonctions sur le cercle de périmetre 1 prenant la meme valeur pour la valeur nulle de
l'angle theta et l'aingle 2 pi: exp (i n theta)
il y a isomorphisme isométrique et on peut les identifier

Connes dit que des opérateurs discrets et continus ne commutent pas dans l^2
voici un exemple:
on a deux opérateurs agissant sur dzs vecteurs conolle de nombres complexes
z1
z2
z3
z4
etc
avec la somme du carré de leurs modules que sont finis
on fait agir un opérateur diagonal 1, 1/2, 1/3 etc
ca donne
z1
z2/2
z3/3
etc
on consiere ensuite (on fait jouer l'isomorhisme) que ce sont des coordonnées
dans la base des fonctions sur le cercle S1 dont on vient de parler
et on fait agir dessus un grand opérateur (une matrice infinie)
qui agit ainsi
pour toute fonction de théta genre exp (i n theta) on va la remplacer par
la fonction theta exp (i n theta) avec la particulatité que le theta qui multiple appartient
a [0 2pi[ (ouvert a droite) et ne tendant pas vers la valeur prise en 0
on a donc un ensmble de fonctions
z1 theta exp (i 1 theta)
z2/2 theta exp( i 2 theta
z3 / 3 exp(i 3 theta)
etc
PUIS
on lui applique la matrice infinie avec des 1 partout
comme on multiplie a gauche avec des matrices infinies ou les lignes sont les memes
on va obtenit a chaque fois la meme chose:
theta * (z1 exp (i 1 tetha) + z2/2 exp (i 2 theta) + etc
pour voir ou non la commutativité
on aurait pu cammencer dans l'ordre inverse
ca aurait d'abord donné
theta * (z1 exp(i 1 theta) + z2 exp (i 2 theta) etc
comme meme résultat de l'action pour chaque ligne
en faisant alors agir l'opérateur diagonal
1 0 0 0
0 1/2 0 0
0 0 1/3 0

etc
on aurait
theta * (z1 exp(i 1 theta) + z2 exp (i 2 theta) etc
theta /2 * (z1 exp(i 1 theta) + z2 exp (i 2 theta) etc
theta / 3 (z1 exp(i 1 theta) + z2 exp (i 2 theta) etc

On voir aisément que ca ne ne donne pas la meme chose
dans cet exemple un opérateur discret et un opérateur continu ne commutent pas
ce n'est pas une preuve
je vais demander à nos amis mathématiciens s'il peuvent en fournir
une preuve.

[EttoreElMagnifico]

On peut bien mesurer des fréquences avec un spectroscope, dont des raies spectrales dues par exemple à l'absorption atmosphérique d'un astre, quel est le sens de cette première pseudo équation égard à cela ?... Au passage, je sais d'où vient cette relation et je l'approuve, elle témoigne d'une des nombreuses bizarrerie du comportement de la matière à l'échelle quantique

[La Limule]

En te lisant je ne comprend pas tres bien quel probleme tu souleves, ce que tu trouve bizarre ou pas.
je voudrais rappeler que tout ce que dit Alain Connes concerne des mesures sur une meme particule.
Pas sur ce qu'on peut observer sur terre venant de l'univers.

[EttoreElMagnifico]

Mes excuses je m'adressais à C2H50H au sujet de l'inégalité d'Heisenberg, je pensais qu'en cliquant sur "répondre" à un message en particulier, la citation du message suivait automatiquement

[C2H5OH]

On peut bien mesurer des fréquences avec un spectroscope, dont des raies spectrales dues par exemple à l'absorption atmosphérique d'un astre, quel est le sens de cette première pseudo équation égard à cela ?... Au passage, je sais d'où vient cette relation et je l'approuve, elle témoigne d'une des nombreuses bizarrerie du comportement de la matière à l'échelle quantique

Une raie parfaitement discrète n'existe pas en physique, il y a mille raisons pour qu'elle s'étale. La plus fondamentale, c'est le temps de la mesure. C'est vrai pour toutes les raies spectrales, de la RF ou de la lumière.....Ce n'est pas une bizarrerie, c'est le principe de la transformée de Fourier , l'intégrale allant à l'infini.

[La Limule]

Ce fil est également avec une inégalité à la Heinsenberg et on y parle aussi de transformation de Fouriet pour les espaces de Hilbert séprables.
une transformation de Fourier et son inverse échangent une base (deq suites complexes a carré sommable) disctetes avec
une base (de fonctions continues sur le cercle S1)

[ThM55]

Une raie parfaitement discrète n'existe pas en physique, il y a mille raisons pour qu'elle s'étale. La plus fondamentale, c'est le temps de la mesure. C'est vrai pour toutes les raies spectrales, de la RF ou de la lumière.....Ce n'est pas une bizarrerie, c'est le principe de la transformée de Fourier , l'intégrale allant à l'infini.

Je suis entièrement d'accord. Il faut garder à l'esprit que la physique est aussi une question d'approximation par des modèles qui sont suffisamment simplifiés pour pouvoir faire des calculs et ainsi prédire des choses à vérifier. Le modèle de l'atome donné par l'équation de Schrödinger (ou celle de Dirac) n'est qu'une approximation de la réalité. Dans ce modèle les niveaux d'énergie discrets ont une durée de vie infinie et donc des raies purement discrètes. C'est une propriété de l'opérateur H. Mais évidemment ce n'est pas la réalité, il ne faut pas confondre nos modèles calculables et intégrables avec la réalité. Une des causes de l'élargissement des raies est l'émission spontanée, qui s'explique en théorie quantique des champs, qui n'est elle-même qu'un modèle de la réalité (très bon mais pas parfait). Je me demande parfois si les mathématiciens qui volent très haut dans les algèbres d'opérateurs restent conscients de ces réalités.

[stefjm]

Deux dirac symétriques en +-w0 en fréquence n'existe pas non plus à ce compte là, mais c'est quand même bien pratique de pouvoir parler de la fonction temporelle cos(w0.t) ou de deux dirac symétriques en +-w0...

https://www.wolframalpha.com/input?i=fouriertransform%5Bcos %28w0*t%29%2Ct%2Cw%5D