Alain Connes: coexistence discret / continu

[La Limule]

Bonjour,
Moi aussi je me suis demandé pourquoi la coexistance du disscret et du continu.
En effet en physique on peut avoir une densité linéque ou surfacique juxtaposée avec des poins massiques disposés ca et la
sur l'objet considé et ca se gère tres bien.
on a meme des spectres en partie discrets quand l'élection est lié au noyau et qui devient continu si l'énergie augmente.

Le problème n'est donc pas là.
Ca vient peut etre du coté variable aléatoire.
Prenons la corde de longueur L (1g par cm) avec des petites masses tous les cm
On peut définit sur le segment 0 L la fonction P(x) donnant la masse totale a gauche du poins x.
La fonction P est discontinue mais peux servir pour définit une variable aléatoire.

Est ce que ca peut s'étendre en dimension 2 ou 3? et commen?
prenez un cubr avec une densité volumique, des poins massiques ca et la et en plus des "bulles" avec des densités surfacique dépendant de la position sur la bulle...

Le probleme se trouve peut etre a ce niveau: quel objet mathématique pour dire au joueut combien il a gagné?
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[ThM55]

Bonjour. Pourquoi mentionnez-vous Alain Connes dans le titre? La coexistence de spectres discrets et continus était bien connue longtemps avant la naissance de ce mathématicien, notamment en mécanique quantique. Cela a été formalisé par Von Neumann avec le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert, décrivant l'opérateur par une famille de projecteurs qui dépendent du paramètre spectral (une valeur propre discrète apparaissant comme une simple discontinuité dans cette famille).

[La Limule]

Bonjour Thm55

le titre fait rérérence a une question posée dans ce fil
https://forums.futura-sciences.com/p...-connes-2.html
par Christian Arnaud (fil ou tu es intervenu)
à propos de la situation préquantique (sans usage des opérateurs) . Connes rappelait que la coexistence du discret et du continu
posait un probleme de cardinalité sans expliciter vraiment les détails du probleme.
Missjenny avait écrit que pour elle il était évident que sur meme espace probabilisé on pouvait y mettre des variables discretes et d'autres continues
ellt ajoute que le probleme vient sans doute du mot coexister qu'elle soupconne d'avoir une définition précise en maths.
On pourrait aussi ajouter la définition de espace probabilisable, mesure de probabilité etc.

c'est pourquoi je cherche des situations concrètes ou une définition classique de variables aléatoirs coexisretaient de maniere
problematique
j'ai indiqué qu'un segment avec densité linéique plus des petites masses ponctuelles de ci de la ne possaient
pas de probleme pour répartir les pertes et les gains lors de paris
Si a la place d'un segmant je prenns maitenant un disque avec une densité surfacique
plus quelques segments avec des densitiés liniéques pour chacun
plus des petites masses parsemées,
Peut on répantir pertes eet gains et comment?

[ThM55]

Aucune idée concernant les probabilités. Mais la mécanique quantique regorge d'exemples. Ils correspondent tous à des situations physiques bien concrètes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Ca ne répond pas au problème.
Si Connes affirme que la coexistence du continu et du discret posais un problème préquantique, on peut le croire.
C'est peut etre de l'histoire des sciences mais j'aimerais avoir l'énoncé précis menant à une contradiction logique.

Si personne ne trouve dans le forum de physique , je pourrais demaner plus tard une migration vers les maths.

[coussin]

De manière évidente, cela a à voir avec la différence de cardinalité entre N et R. C'est vraiment un truc de mathématicien. En effet, la physique quantique regorge "d'objets" mêlant discret et continu (à commencer par le premier truc qu'on apprend en MQ, le spectre de l'atome d'hydrogène...) et pour être honnête on se moque pas mal de la cardinalité de quoi que ce soit quand on fait des expériences de spectroscopie atomique...

[La Limule]

Et c'est bien le problème:
pourquoi un physicien se poserait un problème qu'il n'a pas?
Et d'ailleurs Connes ne s'adresse pas à des physiciens.
Si je vais sur le forum de maths , on va me demander d'énoncer une affirmation
sur les variables aléatoires, combien j'en ai, si c'est sur un espace mesuré , comment la mesure de probabilité fonctionne
bref ce sera a moi de montrer ou se situe le probleme alors que je sais simplement
qu'il y en a un....

[stefjm]

Espace temporel ou fréquentiel?

Périodique en temps T <=> échantillonné en fréquence 1/T
Échantillonné en temps T <=> périodique en fréquence 1/T
Périodique et échantillonné en temps T <=> Périodique et échantillonné en fréquence 1/T

[La Limule]

Quel rapport avec la conexistence discret et continu?

[stefjm]

Si on respecte le théorème d’échantillonnage, il y a la même information dans le signal continu et dans le signal échantillonné discret.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...chantillonnage
Si on respecte la limite de Shannon en fréquence, c'est kif kif.

Le sujet est sympa!

https://www.lptmc.jussieu.fr/user/lesne/MSCS-Lesne.pdf

[La Limule]

Tu pourrais parler un peu de variables aléatoires au lieu de fréquences?
et faire de la proba?
Connes parle de maths ou le temps n'apparait pas.

[stefjm]

Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences.
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...cassim002.html

Pour se passer du temps en physique, il faut que le processus soit stationnaire, voir mieux ergodique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Processus_ergodique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Processus_stationnaire

L'analyse spectrale est un des outils possibles.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_spectrale

Pour aller plus loin sur la cardinalité de R ou de N, je passe et cite trois fils de FSG mathématiques.

Bonjour,

Pour moi la notion de discret/continu n'a rien à voir avec le cardinal (si ce n'est pas l'expression malheureuse, mais historique, "puissance du continu").

La définition de "ensemble discret" est claire : ensemble muni de la topologie discrète (on peut donc munir IR, qui n'est pas dénombrable, d'une structure discrète).

Pour continu, il n'y a pas de définition aussi claire, à ma connaissance, on peut penser à la définition de la densité d'une relation d'ordre, ou avec des notions plus topologiques (comme la connexité ou la complétude).

Je suis parfaitement d'accord que la notion "d'espace continu" dépende de la structure disponible sur cet espace (relation d'ordre (dense plutôt que continu), topologie ou espace métrique.
Mais pour les espaces discrets, je suis moins d'accord, certes les 3 structures citées ci-dessus donnent la même notion d'espace discret, mais si on ne dispose d'aucune de ces trois structures ? Voire si on dispose de plusieurs structures (IR est discret lorsqu'il est muni de la topologie discrète )

Restons dans le domaine des statistiques élémentaires. La notion de continu dans le reste des mathématiques ne peut pas toujours s'expliquer ... avec des mots faciles à comprendre, sans recourir à un langage technique.
Les résultats statistiques concrets pour une variable quantitative, sont de trois sortes :
* des comptages (discrets par nature)
* des repérages sur des échelles (par exemple les pointures des chaussures
* des mesurages. A priori, on pourrait penser que la mesure est continue, mais en pratique, on a une limite de précision qui fait que l'ensemble des mesures effectivement possibles est fini. Par exemple, pour la taille des humains, on aura de 30 à 300 cm, 300 valeurs (la taille varie dans la journée, aller au delà d'une précision centimétrique n'a pas de sens).

Donc en statistiques, il n'y a pas de variables continues en elles-même. Seulement la décision de traiter la variable statistique par intervalles ou pas. Et on le fait pour des variables de comptage, comme le revenu brut annuel déclaré aux impôts : C'est un nombre entier d'euros, mais le détail n'a pas d'intérêt. Si on tre donne la liste des 30 millions de revenus déclarés, tu n'en feras rien.

Par contre, quand on veut modéliser une situation statistique à l'aide des probabilités, on utilise des variables aléatoires qui peuvent être continues (sens bien précis) ou discrète.

Ce qui les différencie, ce n'est donc pas ce qu'on va en faire, la façon de les traiter, mais ce à quoi elles correspondent : est-ce bien cela ? Je te disais le contraire dans le message précédent !

Je reviens maintenant sur une de tes déclarations : expliquer ... comme toutes choses mathématiques d'ailleurs, avec des mots faciles à comprendre, sans recourir à un langage technique. Elle semble dire que tu crois qu'on peut expliquer tout en mathématiques sans langage technique. Désolé, mais c'est faux, et il y a de nombreuses parties des mathématiques qui ne sont pas du tout explicables avec des mots simples. C'est désolant, mais c'est la réalité.

Cordialement.

[La Limule]

vers la fin de ton post il y a une sitation de gg0 disant qu'on ne peut tout expliquer avec des mots faciles a conprendre?

tu termines semble t il en m'attribuer l'origine de cette demande de mots faciles a comprendre.
ggo répondait à un aure forumeur ici
https://forums.futura-sciences.com/m...-continue.html

[stefjm]

Toutes mes excuses.
J'ai oublié de couper la fin de la citation de gg0.

[La Limule]

pas de problème.