définition du vrai en math

[Noress]

Salut Deedee,

Précision sur ma dernière remarque.

Il est vrai que les mathématiques se sont parfois inspirées du "monde réel" par exemple avec les nombres naturels pour compter.
Mais ça reste limité. Et ce n'est même pas le cas de la mesure car la théorie de la mesure ne prend que trèèèèèès indirectement inspiration de la mesure des longueurs, aires,....
C'est en fait venu de besoin dans la théorie de l'intégration.[/COLOR]

Lorsque je parlais d'aide c'était au sens inspiration que tu précises de façon très pertinente avec les nombres naturels. Je veux dire que je n'était pas dans l'idée d'un copier-coller.
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[Deedee81]

Salut Deedee,
Lorsque je parlais d'aide c'était au sens inspiration que tu précises de façon très pertinente avec les nombres naturels. Je veux dire que je n'était pas dans l'idée d'un copier-coller.

J'avais compris et c'est aussi pour ça que j'ai précisé mon message, c'est toi qui m'y a fait penser

Notons qu'il y a aussi beaucoup d'inspiration indirecte. Par exemple, Fourier a construit sa théorie (des transformations qui portent son nom) à partir de son travail sur l'équation de la chaleur (qui est aussi appelée théorie de Fourier, y a des hommes comme ça, très prolifique ). Mais les transformations de Fourier ne sont pas inspirées du phénomène physique..... juste de la résolution des équations.

On sait aussi que la géométrie s'est fortement inspirée de la physique au départ, mais elle s'en est totalement détachée et même très tôt (avec Euclide) et encore plus au temps moderne (dans sa formulation axiomatique, comme Médiat aime à le rappeler, les "objets premiers" tels que les points par exemple, peuvent être appelés "chaises, tables...." pour bien rappeler que ça n'a en fait qu'un rapport très lointain avec le concept physique de "point").

Et à contrario, beaucoup de théories physiques prennent des gants dans la modélisation à l'aide des mathématiques. Par exemple, Kip Thorn dans son livre sur la relativité générale précise bien que la notion ponctuelle d'événement est une approximation valable tant qu'on reste dans le domaine de validité de la théorie mais uniquement là.
(EDIT c'est pour ça que des affirmations comme "la déraisonnable efficacité des mathématiques" me semblent un peu surfaite, même si le sujet reste intéressant)

Et pour rester dans le sujet, je pense que la notion de "vrai" en mathématique ne devrait certainement pas faire référence aux concepts philosophiques ou au concept de "réalité physique". Ca se limite à deux choses et uniquement à deux choses :
- le sens commun : "ce théorème xyz est vrai car il a été démontré"
- le sens utilisé en théorie des modèles

Bien entendu, on peut broder, mais on le fait un peu trop souvent sur Futura (surtout ici ou dans le forum de débat)

[Médiat]

Salut,

comme Médiat aime à le rappeler, les "objets premiers" tels que les points par exemple, peuvent être appelés "chaises, tables...." pour bien rappeler que ça n'a en fait qu'un rapport très lointain avec le concept physique de "point").

Effectivement j'aime à le rappeler, mais c'est Hilbert qui l'a dit avant moi (de peu )

c'est pour ça que des affirmations comme "la déraisonnable efficacité des mathématiques" me semblent un peu surfaite, même si le sujet reste intéressant

https://forums.futura-sciences.com/epistemologie-logique/191658-linfini-2.html#post4169531

[Noress]

Bonjour Médiat,

(...) A aucun moment, dans le discours du mathématicien, "monde réel" n'a la moindre signification.

En effet, et c'est la raison pour laquelle je me demande dans quoi je me suis embarqué, sous la condition que mon approche peut-être constructiviste soit correcte car ce n'est évidemment pas parce que je ne vois pas d'erreur qu'il y en a pas.

[Deedee81]

Attention de na pas confondre approche constructive et philosophie platonicienne, le premier est normal le deuxième est loin d'être accepté par tout le monde
(je ne suis pas platonicien, plutôt formaliste....)

[Médiat]

Attention de na pas confondre approche constructive et philosophie platonicienne,

Constructive ou constructivisme ?

[Deedee81]

Constructive ou constructivisme ?

Ah oui, là aussi il y a une différence !!!! Zut alors !

[Matmat]

Oui et non, on dit bien démonstration constructive (et non constructiviste) pour désigner une démonstration valide selon les critères constructivistes .

Ou aussi on a "l'analyse constructive" par exemple

[Médiat]

Oui et non, on dit bien démonstration constructive (et non constructiviste) pour désigner une démonstration valide selon les critères constructivistes .

C'est exact, mais on dit démonstration constructive pour désigner une démonstration qui construit explicitement un exemple (ou un contrexemple) sans se soucier si certaines parties de la démonstration ont ou non violé quelque critère constructivistes.

Il faut juste se souvenir que
1) le platonisme est une philosophie (épistémologie) donc pas des mathématiques et ne devrait jamais être présent dans un article mathématique
2) le constructivisme est une logique (les constructivismes sont basés sur l'intuitionnisme), certains font le choix du constructivisme par philosophie, les raisons de ce choix sont donc étrangères aux mathématiques
3) les méthodes constructives qui désignent les méthodes de démonstration se terminant par l'exhibition d'un objet et qui peuvent apparaître dans toutes les formes de logique


Par exemple pour démontrer, en logique classique, qu'il existe deux irrationnels et tels que soit rationnels, ont peut soit faire une démonstration non constructive :
Soit est rationnel et c'est gagné, soit est irrationnel mais alors finit de démontrer le théorème, l'autre solution consiste à trouver explicitement et

Aucune des 2 méthodes n'ayant le moindre lien avec le platonisme.

[ansset]

le fil redevient fort instructif ! merci

[invite84127968]

2) le constructivisme est une logique (les constructivismes sont basés sur l'intuitionnisme), certains font le choix du constructivisme par philosophie, les raisons de ce choix sont donc étrangères aux mathématiques

Et ceux qui le font pour d'autres raisons, le mot "certains" ayant cette implication, vous ne l'avez pas laissé trainer ici par hasard à mon avis
Quelles sont les raison d'un tel choix pour les "autres"? Si mathématiques, s'agit-il de logique intuitionniste?

Je rajoute un petit lien pour le fil général qui j'espère apportera un peu et sera en phase à ce stade de la conversation:
https://www.youtube.com/watch?v=bmZzPLcLAWg

https://www.youtube.com/watch?v=bmZzPLcLAWg

[Médiat]

Et ceux qui le font pour d'autres raisons, le mot "certains" ayant cette implication, vous ne l'avez pas laissé trainer ici par hasard à mon avis
Quelles sont les raison d'un tel choix pour les "autres"? Si mathématiques, s'agit-il de logique intuitionniste?

Oui, il m'est arrivé de travailler en logique intuitionniste (base des constructivismes) par curiosité mathématique, sans aucun arrière plan philosophique, Gödel aussi (voir son théorème sur la non-non traduction).

Pour moi, choisir d'étudier la logique classique ou la logique intuitionniste a aussi peu d'arrière plan philosophique que de choisir entre étudier les anneaux ou les corps finis.

[invite84127968]

Le choix de telle ou telle logique, (je ne suis pas du tout instruit sur le sujet), est-il induit par la problématique rencontrée?
J'ai déjà fait émergé de mes réflexions cette approche dans laquelle on se passe du tiers exclu, je ne sais plus de quoi il s'agissait mais il me semble que le problème de fond était une insuffisance de preuve.
La non-non traduction serait une démarche intermédiaire?

[Médiat]

Le choix de telle ou telle logique, (je ne suis pas du tout instruit sur le sujet), est-il induit par la problématique rencontrée?

Non, c'est juste une façon différente de travailler (ou un choix philosophique)

La non-non traduction serait une démarche intermédiaire?

Non non, c'est une traduction de la logique classique vers la logique intuitionniste (dans l'autre sens il n'y a rien à faire)

[Deedee81]

Salut,

Non non, c'est une traduction de la logique classique vers la logique intuitionniste (dans l'autre sens il n'y a rien à faire)

De mémoire, à confirmer, tout ce qui peut être démontré dans l'un l'est aussi dans l'autre. Mais il peut y avoir des facilités dans un des deux (et comme tu l'as dit c'est aussi un choix philosophique).

Il me semble aussi, à confirmer, que la logique intuitionniste a permit de donner une définition solide des infinitésimaux et consor. Mais ça me semble bizarre car les définitions à travers les topologies (ouverts, voisinages) me semblent impeccables et ne font pas appel à la logique intuitionniste.

Si j'ai tout compris de travers, n'hésitez pas à le dire

[Médiat]

Bonjour,

De mémoire, à confirmer, tout ce qui peut être démontré dans l'un l'est aussi dans l'autre.

Non, on ne peut pas dire les choses comme cela, la non-non traduction permet de "traduire" un théorème (et sa démonstration) de la logique classique vers la logique intuitionniste, mais ce n'est plus le même théorème, il a été traduit

Il me semble aussi, à confirmer, que la logique intuitionniste a permit de donner une définition solide des infinitésimaux et consor. Mais ça me semble bizarre car les définitions à travers les topologies (ouverts, voisinages) me semblent impeccables et ne font pas appel à la logique intuitionniste.

Oui la logique intuitionniste permet de donner une définition intéressante des infinitésimaux (la ligne lisse (Smooth Infinitesimal Analysis), mais c'est une théorie où toutes les fonctions sont continues …), personnellement, je préfère l'analyse non-standard.

lisse.pdf

[Deedee81]

Non, on ne peut pas dire les choses comme cela, la non-non traduction permet de "traduire" un théorème (et sa démonstration) de la logique classique vers la logique intuitionniste, mais ce n'est plus le même théorème, il a été traduit

D'accord, c'est plus subtil que je ne pensais.

personnellement, je préfère l'analyse non-standard.

Confusion de ma part entre intuitionnisme et analyse non standard. Et après avoir vérifié dans wikipedia je vois mieux.

Merci,

[Médiat]

D'accord, c'est plus subtil que je ne pensais.

Très exactement : Si alors

Où C désigne la logique classique et I la logique intuitionniste, et la puissance non-non sur une formule désigne la traduction non-non de cette formule

[Deedee81]

J'avais du mal à comprendre ce "non-non", mais j'ai regardé ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logiqu...intuitionniste

Et c'est beaucoup plus clair (en fait ça correspondait bien à ce que je pensais si ce n'est que ce n'était pas très clair dans p'tit tête).

[Médiat]

C'est exactement cela, les 7 formules établissent les règles de traduction (par induction) et le théorème est celui que j'ai cité.

[Médiat]

Oups je n'avais pas fait attention, il y a une énorme "maladresse" (ma mansuétude me jouera des tours) dans l'article pointé par Deedee, je vous laisse la trouver

[pm42]

Oups je n'avais pas fait attention, il y a une énorme "maladresse" (ma mansuétude me jouera des tours) dans l'article pointé par Deedee, je vous laisse la trouver

Oui, je l'ai vue du 1er coup d'oeil

Blague à part, j'ai parcouru rapidement et c'est intéressant mais toi, tu as apparemment été jeté dans la marmite petit ou en tout cas sérieusement étudié le sujet.
Donc une pensée émue pour ceux qui ont perdus leurs neurones avec l'âge en faisant des trucs faciles comme l'informatique (sauf Deedee81 dont les neurones résistent encore et toujours à l'envahisseur apparemment bien qu'il soit cerné par son activité professionnelle) ?

J'ai au moins appris la filiation entre cette logique et des programmes comme Coq ce que je ne savais pas mais qui ne manque pas d'élégance.

[Médiat]

J'ai au moins appris la filiation entre cette logique et des programmes comme Coq ce que je ne savais pas mais qui ne manque pas d'élégance.

Vous pouvez aussi jeter un oeil à la correspondance de Curry-Howard 'qui a commencée par la logique intuitionniste

[shub22]

Oui, deux fois.
c'est évidemment faux en math, car si la suite de 9 est interrompue , ce ne sera jamais le nb 1. c'est trivial
en physique, le pb est d'un autre ordre.
on fait face à une incertitude , ce qui n'a rien à voir avec un nb de décimales.
et celle-ci ( liée entre autres à nos diff mesures ) tourne autour de 1 et sans chiffre précis même si l'intervalle couvre d'avantage une valeur potentielle >1 ( mais qui n'exclus pas l'opposé ).

donc la comparaison est au mieux maladroite, et au pire "à coté de la plaque". (désolé )

Merci d'avoir rectifié je me suis mal exprimé pensant que tout le monde comprendrait ce que je voulais dire qui se référait plus à une vision intuitive qu'autre chose.
Effectivement le problème est épistémologique au sens où la physique se base sur des mesures entachées inévitablement d'incertitudes.
Tout le monde sait cela (ou est supposé le savoir ici je pense) donc je ne suis pas allé le répéter stricto sensu.
Mais comme il y a des vrais maniaques de l'exactitude de la formulation "exacte" pure et sans taches (donc sans ambiguité) merci pour la rectification

P.S. C'est bien que ici il y ait des gens qui parlent comme des manuels scolaires: j'ai oublié que c'était l'usage ici.
sans doute ce qui fait le côté "rigoureux" de ce forum mais sans doute froid et un peu académique où les gens ne cherchent pas à comprendre les formulations en dehors du binome vrai/faux

[pm42]

Vous pouvez aussi jeter un oeil à la correspondance de Curry-Howard 'qui a commencée par la logique intuitionniste

Merci. Est ce que tu sais qu'on utilise massivement le "currying" en programmation fonctionnelle, le paradigme qui grimpe en ce moment ? C'était juste à titre culturel.
J'avais découvert Curry à cause de cela.

[ansset]

P.S. C'est bien que ici il y ait des gens qui parlent comme des manuels scolaires: j'ai oublié que c'était l'usage ici.
sans doute ce qui fait le côté "rigoureux" de ce forum mais sans doute froid et un peu académique où les gens ne cherchent pas à comprendre les formulations en dehors du binome vrai/faux

c'est bien la première fois qu'on me prête cette nature de "maniaque".
il arrive bien plus souvent qu'on corrige mes propres dires quand je ne suis pas très "propre" dans mes réponses ( surtout sur des sujets complexes que je ne maitrise pas en totalité ).
quand je parlais de valeur autour de 1, j'évoquais le paramètre de densité
la courbure spatiale de l'univers y étant liée.

quand à l'approximation qui avait été proposée concernant les maths, cela n'a rien de "maniaque", c'était juste objectivement faux, et méritait une correction.

ps: et il y a beaucoup de sujets de discussion qui n'impliquent pas de réponse dichotomique, contrairement à ce que tu avances.

[ansset]

aparté sans grand intérêt :
curieux qu'on l'ait nommée logique "intuitionniste".
au sens commun dans l'"intuition" primale ( désolé du terme, faute de mieux ) , le tiers exclu semble aller de soi ( tautologique dirait wiki )
d'un autre coté , l'approche par la preuve constructive y correspond.

[pm42]

curieux qu'on l'ait nommée logique "intuitionniste".
au sens commun dans l'"intuition" primale ( désolé du terme, faute de mieux ) , le tiers exclu semble aller de soi ( tautologique dirait wiki )

C'est ce qu'explique le lien Wikipedia donné par Deedee81 : Brouwer considérait lui cela comme contre-intuitif.

Cela peut nous étonner mais c'est justement cette originalité qui a développé une approche féconde.

[Matmat]

C'est exact, mais on dit démonstration constructive pour désigner une démonstration qui construit explicitement un exemple (ou un contrexemple) sans se soucier si certaines parties de la démonstration ont ou non violé quelque critère constructivistes.

D'accord

aparté sans grand intérêt :
curieux qu'on l'ait nommée logique "intuitionniste".
au sens commun dans l'"intuition" primale ( désolé du terme, faute de mieux ) , le tiers exclu semble aller de soi ( tautologique dirait wiki )
d'un autre coté , l'approche par la preuve constructive y correspond.

Le fondement c'est la philosophie des mathématique. Tout le monde n'est pas d'accord sur la façon de répondre au réalisme ( pas besoin d'aller jusqu'au platonisme , il suffit de parler d'indépendance à l'esprit d'un objet pour qu'il y ait déjà un problème de "réalisme" ) comment y répond t'on , de ces deux façons très distinctes :

il y a les formalistes (et logicistes) qui répondent que "on ne sait pas de quoi on parle" alors que Brouwer (et Poincaré) disent au contraire qu'on sait de quoi on parle: on parle de construction mentale, donc en tant que tel il doit exister un processus (mental) de création de l'objet, un objet existe s'il peut être imaginé par l'esprit,s'il est accessible à l'intuition, l'intuitionnisme est l'opposition rigoureuse au réalisme , alors que le formalisme ressemble plus à un agnosticisme .

[ansset]

merci pour ton explication ( dernier paragraphe ).