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définition du vrai en math



  1. #1
    christianautodidacte

    définition du vrai en math


    ------

    bonjour,

    j'aimerais avoir la définition logique du vrai en math, je sais que la question a déjà été posé ici https://forums.futura-sciences.com/e...hematique.html, mais cela est un débat d'expert, je n'ai que des connaissances niveau terminal S.

    J'ai une définition personnelle mais j'ignore si elle est juste, "une proposition est vrai dans une théorie" si elle peut être démontré via des règles d'inférences et des implication => dans cette théorie.

    Excusez la naiveté et l'inélégance de ma définition. Dans ce cas les axiomes ne sont pas "vrai", puisque non démontrable ????

    Comment sont appelé les axiomes dans ce cas ??

    -----

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  3. #2
    Matmat

    Re : définition du vrai en math

    Bonjour,
    un axiome est bien vrai en appliquant la définition du vrai que tu as proposé puisque l'axiome implique lui même .

  4. #3
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Bonjour,

    Je serais tenté de dire que les mathématiques ne se préoccupent pas du vrai (à cause des connotations qui accompagnent ce mot.

    Dans votre définition vous utiliser le mot "vrai" comme synonyme de "démontrable" (ce qui n'est pas idiot, mais inutile). personnellement je préfère utiliser le mot "vrai" que lorsque l'on parle des modèles d'une théorie (se demander si la commutativité est vraie dans la théorie des groupes est sans signification, se demander si la commutativité est "vraie" dans Z munie de son addition habituelle a du sens (et la réponse est oui))

    Le théorème de complétude de Gödel rend la distinction précédente un peu artificielle dans certains cas


    Les axiomes sont parfaitement démontrables dans une théorie (a ==> a) : pas de problème ici.
    Dernière modification par Médiat ; 17/05/2019 à 17h45.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    christianautodidacte

    Re : définition du vrai en math

    bonjour,

    Mr Médiat, je crois qu'un modèle est un "domaine d'application particulier d'une théorie".

    Eh oui, à mon niveau je considère en effet le mot vrai et démontrable comme équivalent. J'ai longtempts considéré vrai comme tout simplement le contraire du faux. Mais si j'ai bien compris la notion de proposition indécidable, ce n'est pas le cas, puisque les propositions indécidables sont artificiellement décidé vrai, car en réalité ni vrai mais ni fausse. C'est du moins ce que j'ai compris avec mon modeste niveau en mathématique.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par christianautodidacte Voir le message

    je crois qu'un modèle est un "domaine d'application particulier d'une théorie".
    Soyons simple : un modèle de la théorie des groupes est un groupe, tout simplement (il y a bien sûr, une définition formelle)

    les propositions indécidables sont artificiellement décidé vrai,
    Ca c'est complètement faux,
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    Deedee81
    Modérateur

    Re : définition du vrai en math

    Salut,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ca c'est complètement faux,
    En effet, on peut construire un nouvelle théorie aussi bien en considérant un indécidable comme vrai (comme la géométrie euclidienne pour l'axiome des parallèles) qu'en le considérant comme faux (comme les géométries non euclidiennes).

    A noter que ces mots "vrai et faux", ici, là je pense comme Mediat, n'ont guère de sens autre que le sens commun : stricto sensus un axiome n'est ni vrai ni faux : on l'adopte ou pas, c'est tout.

    Le vrai et faux est un concept des modèles mathématiques. Et c'est extrêmement formel (c'est a priori très différent du sens commun).

    Evidemment je suis physicien et dans ce domaine et d'autres, ce concept de vérité est très différent. Mais la question initiale est mathématique et il faut (c'est mon avis) respecter le sens utilisé dans le domaine concerné sinon on ne se comprend plus. C'est..... "vrai" n'est-ce pas ?
    Keep it simple stupid

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  10. #7
    invite84127968

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message


    Les axiomes sont parfaitement démontrables dans une théorie (a ==> a) : pas de problème ici.
    La définition donnée sur FUTURA est "(Du grec axioma : j'estime, je crois vrai) Vérité admise sans démonstration et sur laquelle se fonde les théories mathématiques. L'axiome est une " évidence ", contrairement au postulat qui ne l'est pas forcément." et pour le postulat: "(du latin postulare : demander) Proposition première indémontrable ou indémontrée, et que le mathématicien demande au lecteur d'accepter. Le postulat n'est pas forcément " évident ", contrairement à l'axiome."

    Le fait d'enlever la propriété évidente d'un axiome serait-il un acte consistant à le transformer en postulat?

  11. #8
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    La définition donnée sur FUTURA est "(Du grec axioma : j'estime, je crois vrai) Vérité admise sans démonstration et sur laquelle se fonde les théories mathématiques. L'axiome est une " évidence ", contrairement au postulat qui ne l'est pas forcément." et pour le postulat: "(du latin postulare : demander) Proposition première indémontrable ou indémontrée, et que le mathématicien demande au lecteur d'accepter. Le postulat n'est pas forcément " évident ", contrairement à l'axiome."
    Définition des mathématiciens grecs, vieille de plus de 2500 ans, les choses ont évoluées depuis.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    invite84127968

    Re : définition du vrai en math

    Quelles sont les définitions actuelles? Je n'arrive pas à fixer le concept. Je pense le situer dans un contexte mais pas dans une entité.

  13. #10
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    invite84127968

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Un axiome est une proposition faisant partie d'un système d'axiomes (non je ne me moque pas, lisez la suite ).

    En fait, être un axiome est une fonction et non une identité : une proposition n'est pas un axiome intrinsèquement, mais elle joue le rôle d'axiome pour telle théorie dans tel système d'axiomes.

    Une même proposition peut être un axiome dans un système d'axiome d'une théorie T et un théorème dans un autre système d'axiomes de cette même théorie.

    Je ne vois aucune autre définition pertinente que celle de système d'axiomes (famille génératrice, par forcément libre, même si c'est mieux) pour une théorie, un axiome étant tout simplement un élément de ce système d'axiomes (vous voyez, je ne me moquais pas).
    J'ai l'impression que je commence à comprendre certaines choses.
    Est-il défini des règles d'édiction d'une axiomatique au delà de la cohérence des axiomes entre eux?

  15. #12
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    Est-il défini des règles d'édiction d'une axiomatique au delà de la cohérence des axiomes entre eux?
    Formellement la consistances(cohérence) est seule exigée (et je devrais dire la non inconsistance, puisque l'on ignore si des théories célèbres (ZF et Peano par exemple) sont consistantes ou non).
    Après on peut se poser d'autres questions (je ne rentre pas dans les détails):
    finiment axiomatisable
    complète
    catégorique
    stable
    etc.

    Il y a une autre question, moins formelle : est-ce que cela va intéresser quelqu'un ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    invite84127968

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message

    Il y a une autre question, moins formelle : est-ce que cela va intéresser quelqu'un ?
    J'ai l'intuition d'une syntaxique "nécessaire", peut-être les linguistes ? L'univers du langage est cependant étendu, peut-être que tout le monde peut s'y intéresser du coup?

  18. #14
    ThM55

    Re : définition du vrai en math

    Quand on étudie cette question, je crois qu'on ne peut pas ignorer les travaux d'Alfred Tarski.
    Wikipedia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...C3%A9rit%C3%A9
    Stanford Encyclopedia of philosophy: https://plato.stanford.edu/entries/tarski-truth/

  19. #15
    karlp

    Re : définition du vrai en math

    Bonjour très cher Médiat

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Formellement la consistances(cohérence) est seule exigée (et je devrais dire la non inconsistance, puisque l'on ignore si des théories célèbres (ZF et Peano par exemple) sont consistantes ou non).
    Après on peut se poser d'autres questions (je ne rentre pas dans les détails):
    finiment axiomatisable
    complète
    catégorique
    stable
    etc.

    Il y a une autre question, moins formelle : est-ce que cela va intéresser quelqu'un ?
    Oui

    Je ferais volontiers l'hypothèse qu'une axiomatique complète est une axiomatique dans laquelle tout énoncé (bien formé) est décidable ? Mais j'aimerais en être assuré ou détrompé.
    Et je n'ai pas la moindre idée de ce qu'est une axiomatique stable ou catégorique

  20. #16
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Bonjour très cher karlp (cela faisait trop longtemps)

    Vous avez raison une théorie complète est une théorie sans indécidable.

    Les points suivants ne sont pertinents que pour les théories complètes :

    Une théorie catégorique dans un cardinal infinie est une théorie qui n'a qu'un seul modèle de ce cardinal (il n'y a que 4 cas possibles : catégorique dans aucun cardinal, -catégorique, -catégorique (et dans ce cas la théorie est catégorique dans tous les cardinaux , catégorique dans tous les cardinaux infinis)
    La stabilité (Shelah) "compte" le nombre de types (nombre infini de formules) sur une ensemble de paramètres de cardinal donné

    La stabilité est une notion plus subtile et plus complexe que les autres notions
    Dernière modification par Médiat ; 23/05/2019 à 17h42.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    invite84127968

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par ThM55 Voir le message
    Quand on étudie cette question, je crois qu'on ne peut pas ignorer les travaux d'Alfred Tarski.
    Wikipedia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...C3%A9rit%C3%A9
    Stanford Encyclopedia of philosophy: https://plato.stanford.edu/entries/tarski-truth/
    Et dans le domaine qui nous intéresse ici son théorème : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...A8me_de_Tarski avec lien sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...wenheim-Skolem
    Et à ce stade il y a longtemps que j'ai décroché faute de connaissances..: L'évidence me semble être une utopie et je perçois un peu la limite évoquée.

  22. #18
    karlp

    Re : définition du vrai en math

    Bonjour très cher Médiat

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour très cher karlp (cela faisait trop longtemps)

    Vous avez raison une théorie complète est une théorie sans indécidable.

    Les points suivants ne sont pertinents que pour les théories complètes :

    Une théorie catégorique dans un cardinal infinie est une théorie qui n'a qu'un seul modèle de ce cardinal (il n'y a que 4 cas possibles : catégorique dans aucun cardinal, -catégorique, -catégorique (et dans ce cas la théorie est catégorique dans tous les cardinaux , catégorique dans tous les cardinaux infinis)
    La stabilité (Shelah) "compte" le nombre de types (nombre infini de formules) sur une ensemble de paramètres de cardinal donné

    La stabilité est une notion plus subtile et plus complexe que les autres notions
    Je pense comprendre ce qu'est une théorie catégorique.
    En revanche je vous avoue que la notion de stabilité me reste fermée. Je crois entendre qu'un type correspond ici à un ensemble infini de formules : pourriez vous donner un exemple de ce que vous entendez par "un ensemble de paramètres de cardinal donné" ?
    Avec tous mes remerciements !

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  24. #19
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Bonjour très cher karlp,

    C'est très technique, mais je vais essayer de faire "simple"

    Soit A un sous ensemble de nombres premiers de IN et l'ensemble de formules qui dit qu'il existe un élément divisible par tous les éléments de A et par aucun des éléments du complémentaire de A.

    Si A est fini cet ensemble de formules est réalisé par le produit des éléments de A, mais si A est infini, on ne peut plus dire cela (un produit infini n'est pas défini), par contre on peut facilement (théorème de compacité) démontrer que cet ensemble de formules peut être ajouté aux axiomes de Peano, sans changer sa consistance ; d'autre part chaque modèle dénombrable de Peano ne peut réaliser qu'un nombre dénombrable de ces ensembles de formules qui elles sont au nombre de , il existe donc(*) (sous réserve de consistance) modèles non standard de l'arithmétique de Péano.

    (*) Si je ne me fais pas engueuler par les spécialistes, c'est qu'ils ne passent pas par ici, ou qu'ils ne sont pas attentifs
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #20
    karlp

    Re : définition du vrai en math

    Merci très cher Médiat pour vos efforts pédagogiques !

    Je parviens à me faire une représentation de la première partie de votre explication.

    S'agissant de la consistance de l'ensemble de ces formules et des axiomes de Peano, je vous crois sur parole

  26. #21
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par karlp Voir le message
    S'agissant de la consistance de l'ensemble de ces formules et des axiomes de Peano, je vous crois sur parole
    C'est très simple par le théorème de compacité (un ensemble infini de formules est consistant si toutes ses parties finies le sont), or ici, un sous-ensemble fini de formules est réalisé par le produit (fini) des éléments de A qui apparaissent dans ce sous-ensemble fini de formules
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    oxycryo

    Re : définition du vrai en math

    il n'y a pas de vrai en math "en particulier" le vrai est un concept qui relève des formes du jugement général que reprennent tant les maths que d'autre sciences... et en principe en science, l'on ne devrait pas reprendre des concepts pour re-définir un mot (soit ne pas agir dans sa classification autrment que selon les usage de la taxonomie générale)

    le vrai et le faux peuvent-être défini linguistiquemnt comme des "confirmateurs" d'état dans une comparaison entre une norme et une question
    rien n'est vrai ou faux par soi-même, l'on a de véracité qu'en vertu d'une norme pré-établie... ici c'est l'usage commun qui donne la valeur d'usage des termes vrai et faux, usage repris ensuite par les mathématiques pour confirmer ou infirmer des états particulier en regard de sa propre normativité disciplinaire

    l'algebre de boole par exemple, est assez funeste "formellement" parlant en usant de vrai et de faux dans ses "tables" de vérité" là ou ces table de logique ne devrait jamais montre que des états logique et ce, de manière uniforme (et [0,0,0,1]=0) ; ou [0,0,1,1], [0,0,1,0]=1 ; xou [0,1,0,0]=1 [0,0,1,1]=0) etc...(j'ai la flemme de typer tout les cas)

    ces confirmateurs d'état non pas besoin d'être redéfinie spécifiquement en maths, le faire serait leur enlever leur universalités propre, donc une démarche plus sophistique que scientifique demandant la création d'un vocabulaire ad-hoc propre à une discipline

    voir le voeux de prodicos, maitre sophiste de socrate, source de toute taxonomie bien tempérée

  28. #23
    LeMulet

    Re : définition du vrai en math

    Un exposé qui devrait répondre à la question ici :
    Citation Envoyé par David Madore
    Ce que « vrai » veut dire en mathématiques

    Une des difficultés que rencontrent les gens qui font un peu de logique mathématique mais qui n'en ont pas trop l'habitude — et une difficulté qui sous-tend beaucoup de discussions sur la philosophie des mathématiques — c'est que les gens ne savent plus ce que « vrai » veut dire.

    Par exemple, quand on discute du théorème de Gödel ou de la différence entre l'ensemble des théorèmes de l'arithmétique de Peano et l'ensemble des énoncés vrais de l'arithmétique, ceci cause souvent un certain malaise (voir par exemple la note #2b de l'entrée précédente).

    J'ai souvent tourné autour de cette question dans ce blog, mais je n'ai jamais essayé de présenter les choses de façon synthétique.
    En réponse à une question, je vais donc essayer de dissiper la confusion (ce qui me permettra de renvoyer à la présente entrée quand la question se reposera à l'avenir).
    http://www.madore.org/~david/weblog/...ematiques.html
    Bonjour, et Merci.

  29. #24
    iharmed

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par christianautodidacte Voir le message
    bonjour,

    j'aimerais avoir la définition logique du vrai en math, je sais que la question a déjà été posé ici https://forums.futura-sciences.com/e...hematique.html, mais cela est un débat d'expert, je n'ai que des connaissances niveau terminal S.

    J'ai une définition personnelle mais j'ignore si elle est juste, "une proposition est vrai dans une théorie" si elle peut être démontré via des règles d'inférences et des implication => dans cette théorie.

    Excusez la naiveté et l'inélégance de ma définition. Dans ce cas les axiomes ne sont pas "vrai", puisque non démontrable ????

    Comment sont appelé les axiomes dans ce cas ??
    Bonjour

    Tu as reçu pas mal repenses, j’ajoute la mienne.

    Les mathématiques est une construction en chaine faite depuis le début des temps.

    On part des axiomes et on construit des théorèmes puis de nouveaux théorèmes qui se basent sur d’autres théorèmes et axiomes et ainsi de suite jusqu’à avoir un nuage ou tout est lié qu’on appelle les maths.

    Tous les éléments de ce nuage sont supposés vrais. Ceci est les maths.

    Revenons à l’utilisation des maths, on fait une proposition c’est un énoncé quelconque que nous écrivons avec les symboles du nuage des maths.
    On confronte la proposition au nuage des maths on la faisant entrer en réaction les éléments du nuage et on regarde s’elle y a des éléments qu’ils l’a prouvent et on dira qu’elle est vrai ou s’elle entre en contradiction avec un élément on dira qu’elle est absurde (fausse)
    Dernière modification par iharmed ; 21/12/2019 à 18h16.

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  31. #25
    aygline

    Re : définition du vrai en math

    bonjour,

    La vérité en mathématiques c’est la cohérence logique et est donc correspondance aux « faits » mais aux faits mathématiques qui sont des idées.

    Maintenant si j’écris 1 + 1 = 2, cela est vrai d’un point de vue mathématique mais cela sort-il de nulle part pour autant ?

    En effet que sont les « faits » mathématiques, les idées mathématiques : serait-ce qu'elles sortent de nulle part ? Ne sont-elles pas plutôt direct issues de l’expérience physique ?

    1 + 1 = 2 ça sort de nulle part, croyez-vous cela ?

    Qui croit cela

    Moralité le néant est une grande idée à redécouvrir ne, croyez-vous pas cela ?
    Ne laissez pas les pros de la flûte à bec en bandes organisées, penser à votre place.

  32. #26
    karlp

    Re : définition du vrai en math

    Vous confondez les conditions empiriques d'une découverte avec la nature de celle ci.

    Si vous prétendez fonder les mathématiques sur la réalité empirique (1 caillou + 1 caillou font 2 cailloux) vous ne pourrez répondre à la question suivante : comment saviez vous qu'il y a avait "un " caillou si vous n'aviez d'abord présupposé le "un" ? Ce n'est pas parce que vous interprétez la réalité empirique avec des idées (dont le "nombre") que les idées en sont tirées: il y a là un problème de circularité
    Il vous faudrait ensuite admettre qu'une preuve mathématique est de nature empirique - ce qui reste d'être très ennuyeux avec certains nombres ou avec une géométrie non euclidienne ( à n dimensions)- c'est à dire que vous subordonnez les mathématiques au monde physique :ce que RIEN ne justifie - si ce n'est une croyance métaphysique (qui constitue un fâcheux obstacle épistémologique).

    D'autre part, la "cohérence" est une notion purement formelle et n'a strictement rien à voir avec la "correspondance avec les faits"

  33. #27
    aygline

    Re : définition du vrai en math

    Citation Envoyé par karlp Voir le message

    D'autre part, la "cohérence" est une notion purement formelle et n'a strictement rien à voir avec la "correspondance avec les faits"
    Ca dépend comment on voit les choses, en effet une idée mathématique peut être considérée comme un "fait" d'un certain point de vue. Le rapport avec le "fait" empirique ou d'expérience, parfois n'est pas difficile à voir, exemple l'aire d'un carré A= a fois a mais encore le volume d'un cube V=(a fois a) fois a. Et si quelqu'un dit que l'aire d'un carré ou le volume d'un cube, sont des choses difficiles à comprendre ou à s'imaginer, alors il est très bête ou alors on lui aura mal expliqué.
    Ne laissez pas les pros de la flûte à bec en bandes organisées, penser à votre place.

  34. #28
    minushabens

    Re : définition du vrai en math

    une vidéo de Laurent Lafforgue où il parle de la notion de vérité selon Alexandre Grothendieck. Elle est longue et il y et surtout question de philosophie plus que de mathématiques, mais dans les premières minutes LL dit des choses amusantes, notamment que ce sont les physiciens qui sont les plus opposés à ce qu'on parle de vérité dans leur discipline. https://www.youtube.com/watch?v=irNEJwh2_No

  35. #29
    Médiat

    Re : définition du vrai en math

    Bonjour,

    Je n'ai pas le temps de regarder 2h de vidéo, mais cet exposé est tiré du manuscrit de Grothendiek appelé "Dialogue avec le Bon Dieu" ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    aygline

    Re : définition du vrai en math

    Autre exemple je considère un triangle « pythagoricien » https://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet_pythagoricien le fameux (3,5,5) pourquoi pas.

    Donc maintenant je prends une feuille quadrillée genre petits carreaux, A4 ou autre peu importe et donc facile je choisis une unité de longueur genre 0,5cm ou 1cm pourquoi pas et donc je place O, A et B et là direct je suis les lignes et trace les diagos et là bingo tout baigne, je vérifie direct 3² + 4² = 5²

    Donc là la feuille de papier, le crayon dont j’use après l’avoir taillé et donc direct j’ai une pointe très fine, dites qu’est-ce que tout ceci ? Tout ceci ça sort de nulle part ou du néant, croyez-vous cela ? N’est-ce pas plutôt de la réalité physique en bonne et due forme ?

    Donc maintenant je change l’unité de longueur genre je prends 1ul = 2cm ou quoi d’autre ou 1ul = 1 al (année-lumière) et donc là encore si je pouvais tracer l’hypoténuse donc là encore je vérifierais direct 3² + 4² = 5²


    ce sont les physiciens qui sont les plus opposés à ce qu'on parle de vérité dans leur discipline.
    Les physiciens jonglent avec des idées mathématiques ET avec des unités de mesure.

    La notion de « vérité » connait des « ratés » ou rencontre des « trous d’air » en quelque sorte, en Physique en raison du choix des unités de mesure justement. Et donc en Physique il faut approximer, arrondir ou considérer comme nulles ou inopérantes des tas de choses.

    C’est parce que ces unités de mesure ne sont jamais « vérifiées » à 100% que ça coince à ce niveau-là en Physique et les Mathématiques qui font travailler dans l’abstrait pur mais ne sont pas déconnectées du tout de la réalité physique pour autant en effet rien ne peut être abstrait de rien et encore moins du comme qui dirait ... « néant » n’ont pas ces problèmes, sont toujours très vraies
    Ne laissez pas les pros de la flûte à bec en bandes organisées, penser à votre place.

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