Spé Maths Terminale S Exercices

[invitec053041c]

2) Pourver que l'entier (15-1)! + 1 n'est pas divisible par 15.

Tu t'es bien compliqué la vie pour celui-là:

 Cliquez pour afficher

C'est suicidaire la décomposition en facteurs premiers .

On sait que 3 et 5 apparaissent dans 14!, donc 14! est multiple de 15. Donc 14!+1 n'est pas multiple de 15 (sinon la différence le serait, soit 1 multiple de 15, bref classique).

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[invite787dfb08]

Exercice 25

Notion à utiliser : ...

Critère de divisibilité par 13

a) Soit N le nombre dont l'écriture décimale est :



et soit N' le nombre dont l'écriture décimale est :



Montrer que N est divisible par 13 si et seulement si, l'est...

b) Utiliser cette méhode plusieurs fois de suite pour déterminer rapidement et sans calculatrice si 1 631 216 est divisible par 13.

 Cliquez pour afficher

a) Il faut tout d'abord remarquer que :




Ensuite, on sait que






car

Ce qui conclut....

b) Reste à appliquer ce qu'on vient de démontrer : Je ne détail pas.... On conclut que ce grand nombre n'est pas divisible par 13. Il suffit de "décomposer" :
1 631 216, on prend 1 631 21+24, etc.....

Par contre la méthode du a) est à connaitre, elle revient souvent !

[invite787dfb08]

Plop

Alors j'ai pas mal d'exos à poster, mais bon, ça prendra un peu de temps pour ceux qui sont nostalgiques d'arithmétique pendant les vacances, ou alors pour la relève qui se prépare à la terminale

EXERCICE 26

Exercice de Bac

Partie A. Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la mutliplication.

Partie B

On note l'écriture d'un nombre en base 12. Par exemple : en base 10.

1)a). Soit N1 le nombre en base 12 s'écrivant : . Déterminer l'écriture de N1 en base 10.
b). Soit N2 le nombre s'écrivant en base 10 : N2 = 1131 = 1*10^3 + 1*10²+3*10+1. Déterminer l'écriture de N2 en base 12.

Dans toute la suite un entier naturel N s'écrira de manière générale :

2)a). Démontrer que . En déduire un critère de divisibilité par 3 d'un nombre écrit en base 12.
b). A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3)a). Démontrer que . En déduire un critère de divisibilité par 11 d'un nombre écrit en en base 12.
b). A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4) Un nombre N s'écrit Déterminer les valeurs de x et y pour lesquelles N est divisible par 33.

 Cliquez pour afficher

Question de cours :

Soit
(1) : et
(2) : et
(3) :

Démonstration (2) :



Or
D'où : . CQFD

Partie B.

1)a).

en base 10.

b).



2)a).

or :
d'où :

b).
Le chiffre des unités est 3, or 3 congrue à 0 modulo 3, donc 3|N2.

3)a).
or
d'où :
Un nombre en base 12 est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 11...

b).

or
d'où
D'ailleurs, 1595 = 11*145...

4).


Toutes mes excuses pour les fautes éventuelles.... Le gros y est...

[inviteec581d0f]

Salut Galaxie !

nouvelle calédonie 2008 non ?

dans la 1)a), rien de grave, juste une erreur de calcul c'est 1606

[invite85d09bae]

Quel courage!! Perso, je ne vais plus travailler jusqu'aaaaauuuuuuuuuu...2 septembre!

[invite787dfb08]

Lol, les exos que je vais poster je les ai déja fait pour préparer le bac, c'est un moyen de ne pas trop oublier, de réviser un peu, cool. Par contre c'est un peu lourd de tout taper avec LaTex, mais bon, le résultat est agréable à consulter par la suite

Pour les futures TS qui galèreront un moment avant d'apprécier l'Arithmétique

+++

[invite787dfb08]

Exercice 27

La Réunion, Juin 2005

Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats suivants :
"Etant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si a^b=1 alors a²^b²=1"
Une suite Sn est définie pour n>0, par . On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus grand commun diviseur de et .

1). Démontrer que, pour tout n>0, on a

2). Etude du cas où n est pair. Soit k l'entier naturel non nul tel que n=2k.
a) Démontrer que
b) Calculer
c) Calculer

3). Etude du cas où n est impair. Soit k l'entier naturel non nul tel que n = 2k+1
a) Démontrer que les entiers 2k+1 et 2k+3 sont premiers entre eux.
b) Calculer

4). Déduire des questions précédentes qu'il éxiste une unique valeur de n, que l'on déterminera, pour laquelle et sont premiers entre eux.

Bonne marâde !!!

 Cliquez pour afficher

*a^b=1 => a²^b²=1
*

1). Raisonement par récurrence...
Initialisation : .
or (1(1+1))/2)² = 1. Donc c'est bon pour l'initialisation .
Hérédité : On suppose que . Montrons que .



Or, on a supposé que
D'où :
, en développant...

Conclusion. .

2).
a)

d'où :


b) k et k+1 sont deux entiers naturels consécutifs donc premiers entre eux... Algo d'euclide très facile...

c)
Or
d'où :

3).
a) On pose :
alors et . Donc d divise toute combinaison linéaire...
entre autre..., d'ou d = 1 ou d = 2...
Supposons que d=2, alors par définition, 2|2k+1, ce qui est absurde. Donc d=1...
d'où :

b)

d'où :

or
d'où :

4). Si n=2k

et (2k+1)²=1 si et seulement si k=0, donc n=1.
Si n = 2k+1

et (k+1)²=1 si et seulement si k=0, donc n=1.

D'où :

J'espère ne pas avoir fait trop de fautes en recopiant, ce fut assez long et le soleil m'appelle dehors (je suis en vancances quand même). Merci de signaler d'éventuelles erreurs ou incompréhensions. +++

[invite2220c077]

Exercice 28

Nombres de Fermat

a) Montrer que si est premier, alors est une puissance de 2

b) On pose (nombres de Fermat). Montrer que les sont deux à deux premiers entre eux.

 Cliquez pour afficher

a) Avant de commencer, énoncons un lemme qui nous servira à la résolution de l'exercice et qui plus généralement, est très utile en Arithmétique. Cette formule est donc à retenir :

Lemme : Pour tout entier naturel et , un entier naturel impair, nous avons :

La démonstration est laissée au lecteur (récurrence par exemple).

L'entier peut s'écrire sous la forme avec un entier naturel impair, un entier naturel. Ainsi et compte tenu du lemme nous avons :

Par conséquent, ne peut être premier, d'où . Ainsi, est bien une puissance de 2 si le nombre en question est premier.

b) Remarquons que

On pose avec . Nous avons , et donc d'après la formule précédante ou encore . Puisque les sont clairement impairs, . Ce qui conclut.

[invite7ffe9b6a]

Exercice 28

Nombres de Fermat

a) Montrer que si est premier, alors est une puissance de 2

b) On pose (nombres de Fermat). Montrer que les sont deux à deux premiers entre eux.

 Cliquez pour afficher

a) Avant de commencer, énoncons un lemme qui nous servira à la résolution de l'exercice et qui plus généralement, est très utile en Arithmétique. Cette formule est donc à retenir :

Lemme : Pour tout entier naturel et , un entier naturel impair, nous avons :

La démonstration est laissée au lecteur (récurrence par exemple).

L'entier peut s'écrire sous la forme avec un entier naturel impair, un entier naturel. Ainsi et compte tenu du lemme nous avons :

Par conséquent, ne peut être premier, d'où . Ainsi, est bien une puissance de 2 si le nombre en question est premier.

b) Remarquons que

On pose avec . Nous avons , et donc d'après la formule précédante ou encore . Puisque les sont clairement impairs, . Ce qui conclut.

On peut même en déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.

 Cliquez pour afficher

On construit une suite avec , est un diviseur premier de .
Les Fn étant clairement en quantité infinie, la suite p est composé d'une infinite de nombres premiers (distinct deux à deux car les nombres de fermat sont premiers entres eux deux à deux)

[bubulle_01]

Dans le même genre, on pourrait étudier les nombres de Mersenne (Prouver que les nombres de la forme ne peuvent être premiers que si est premier).

[invite2220c077]

Exercice 29

Equations diophantiennes

a) Résoudre dans , avec premier :

b) Résoudre dans :

c) Résoudre dans :

d) Résoudre dans le système suivant :

 Cliquez pour afficher

a) Remarquons les équivalences suivantes :


Or si , les facteurs sont strictement supérieurs à 1 et donc ne peut être premier. Ainsi ce qui nous donne les couples solutions suivants :

b) Remarquons les équivalences suivants :




Il nous reste alors à résoudre ces systèmes :







qui se réécrivent encore :







On trouver alors les couples solutions suivants : , , ,

c) Remarquons les équivalences suivantes :




Il nous reste alors à résoudre les systèmes suivants :

2y^2 - 2x^3 - 3 = -5
2y^2 + 2x^3 + 3 = 1

2y^2 - 2x^3 - 3 = -1
2y^2 + 2x^3 + 3 = 5

On en déduit alors les couples solutions et

d) Remarquons les équivalences suivantes :

:







Nous avons alors à résoudre ces systèmes :

1-x = 1
1-y = 1
1-u = 1
1-v = 1

1-x = -1
1-y = -1
1-u = 1
1-v = 1

1-x = 1
1-y = 1
1-u = -1
1-v = -1

1 - x = -1
1 - y = -1
1 - u = -1
1- v = -1

Ce qui nous donne respectivement les couples (0,0,0,0), (2,2,0,0), (0,0,2,2), (2,2,2,2). On en déduit alors les couples finaux (x,y,z,u,v) : (0,0,0,0,0), (0,0,-4,2,2), (0,2,0,0,2), (2,0,0,0,2), (2,0,0,2,0), (2,2,-4,0,0) et (2,2,24,2,2)

[invite787dfb08]

C'est cool que Zweig soit de retour. Sa participation à ce fil est extrêment appréciable

[invite2220c077]

Merci !!

[invite2220c077]

Exercice 30

Equation diophantienne

Soient avec et premiers. Résoudre :

 Cliquez pour afficher

Clairement, ou est pair. Mais puisque et sont premiers, alors, sans perté de généralité, . Nous sommes alors ammené à résoudre

* Si et sont pairs, et , alors :

Or , ainsi l'égalité ne peut avoir lieu.

* Si est impair alors

Or le premier facteur de droite est clairement impair et plus grand que 1, ainsi l'égalité ne peut avoir lieu. Par conséquent, est pair, avec impair, et est impair.

Nous allons montrer que :



On conclut de la même manière que précédemment, ce qui implique que

Notre équation se réécrit alors : avec impair. Il nous reste alors deux cas à traiter :

Cas 1 :


Cette relation implique que et sont des puissances de 2. Or les seules puissances de 2 espacées de 2 nombres sont 2 et 4, d'où et . On en tire alors , d'où

Cas 2 :


Or un carré impair est toujours congru à 1 mod 4, d'où l'impossibilité de cette égalité.

Conclusion : L'unique couple solution est

[invite92f7164c]

Je crois que j'ai un exo simpa mais je ne me rappelle plus de la solution... donc si quelqu'un pouvait me la donner svp parce que ca commence a me trotter...

Si x et y sont premiers entre eux, montrer que leur produit est premier avec la somme.

Merci d'avance

[invite2220c077]

Exercice 31

Divisibilité

Soient et des entiers premiers entre eux. Montrer que et sont aussi premiers entre eux.

 Cliquez pour afficher

Soit et . On veut montrer que .

Puisque alors , et d'où

Puisque alors et , d'où , c'est-à-dire ou encore . On montre d'une manière analogue que . On en déduit que , et puisque nous avons montré que , on en tire alors . Ainsi, et sont premiers entre eux.

[invite92f7164c]

Merci pour l'exercice précédent, jaurai du mieux lire les exos davant parce que la solution était plus ou moins esquissée dans un autre exo, mais faut me comprendre ca fait un an que je n'ai pas fait d'arithmétique...lol
pourrais tu détailler la solution de l'exercice "équations diophatienne" avec la valeur absolue stp...
le deuxieme cas me parrais flou.
Comment déduie tu la parité de r et comment conclus tu que le cas r+1>1 est a écarter???

lerci d'avance

[invite92f7164c]

Ok c'est bon, je suis vraiment rouillé...

[invite92f7164c]

Juste : comment sais tu que tu peux écrire ??
Ca parait assez intuitif mais comment le prouver?

[invite2220c077]

Bah c'est une "version simplifiée" de la décomposition en facteurs premiers d'un nombre.

Tout nombre entier s'écrit sous la forme



avec des nombres premiers et des entiers naturels

Si est pair, alors :



On pose alors , qui est bien impair.

[invite2220c077]

Plus généralement même, toute entier s'écrit sous la forme de la dernière relation (si est impair, )

[invite2220c077]

Exercice 32

Valuation p-adique - Olympiade d'Autriche 2002

Soit un entier impair donné. Résoudre dans l'équation suivante :



avec la partie entière du réel .

 Cliquez pour afficher

Supposons qu'il existe un rationnel x vérifiant l'équation. Clairement, x > 0. De plus, nous avons :





Or, , d'où

Si , alors . Or , d'où l'impossibilité.

Si , alors , ce qui est impossible puisque

Dans tous les cas, nous avons démontré l'inexistence de rationnels x vérifiant l'équation.

[invite425270e0]

ou encore .

Ah bon? ça marche que si d' est premier non?

[invite787dfb08]

D'accord avec Universmaster, il y a un beug la non ????
Je me repencherai sur l'exo quand j'aurai un peu plus de temps...

+++

[invite2220c077]

Yo,

Bon, j'ai commencé à rassembler tous le sproblèmes avec leur solution dans un PDF, pour plus de clarté. Ce n'est pas encore fini, loin d elà, donc patience ! Y'a un petit formulaire (et des références) à la fin aussi avec des résultats qui permettent de résoudre certains exos (le smiens en fait surtout ) Il sosnt donnés sans démo ... Laissées au lecteur .. Non en fait je les donnerais quan dj'aurais tout fini, ça ne presse pas !

Le PDF en question

[invite787dfb08]

Super Zweig !!! Très bonne idée ...
J'ai peur de n'avoir pas le beaucoup de temps pour t'aider, mais je posterai d'autres exos

Comment procèdes-tu, tu reprend les sources LaTex du forum que tu repasses en pdf ou tu retapes tout ????

En tout cas super initiative pour le pdf, merci à toi

+++

[invite2220c077]

Super Zwezig !!! Très bonne idée ...
J'ai peur de n'avoir pas le beaucoup de temps pour t'aider, mais je posterai d'autres exos

Comment procèdes-tu, tu reprend les sources LaTex du forum que tu repasses en pdf ou tu retapes tout ????

En tout cas super initiative pour le pdf, merci à toi

+++

Oué je copie/colle la source J'suis un peu fleimmard faut dire ...

[invite787dfb08]

nan mais c'est nettement plus rapide, tant mieux

Euh, tu as peut être besoin que je fasse quelque chose, dans la mesure de mon possible ???

[invite2220c077]

Bah en fait, non C'est juste que je suis assez maniac sur la mise en forme, et il s epeut que tu ne le sois pas autant que moi, donc en fait si je dois repasser derrière toi à chaque fois ... c'est comme si je le faisais moi-même ^^

Mais merci de t'être proposé !

[invite787dfb08]

Okayy

+++ et bon courage alors