devoir maison maths bonnet phrygien

[invitecc780067]

En 1989, pour commémorer les 200 ans de la République française, un imprimeur devait réaliser une affiche. Il souhaitait que le fond de l'affiche représente un bonnet phrygien, emblème de la république. Il réalisa le croquis ci-dessous.

A partir d'un triangle rectangle isocèle ABC, il construisit l'arc de cercle DE de centre B et de rayon BA, puis l'arc EF de centre A et de rayon AE. Il retraça ensuite le demi-cercle de centre A et diamètre [CF] et enfin l'arc CG de centre D.

L'imprimeur voulait de l'air du bonnet soit 1789 cm².

Comment a-t-il choisi AB pour qu'il en soit ainsi.Explique ton raisonnement et ta recherche.


Si vous pouviez m'aider en m'expliquant clairement les choses ce serait génial pour moi! Je ne vous demandes de me donner directement la réponse je veux comprendre !
Merci d'avance


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Devoir maison maths bonnet phrygien
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[gg0]

"Explique ton raisonnement et ta recherche."

A toi de nous dire ce que tu as trouvé dans ta recherche. Donc de chercher à comprendre l'énoncé seul. Tu es grand maintenant, tu n'as pas besoin qu'on lise à ta place, tu sais faire. Donc si tu n'es pas fainéant, tu cherches ....

[invitecc780067]

Je ne suis pas du genre a me faire mâcher le travail merci, j'ai cherché seul puis avec ma mère hier soir sans fin. Comme ce dm représente une grosse note dans ma moyenne je ne veux pas le rendre sans la réponse...

Bref, je sais que le bonnet est décomposé en 4 morceaux. Alors je sais que pour le triangle ABC il faut chercher avec Pythagore mais comme on a aucune longueur je ne vois pas j'avais trouvé sur un autre topic si la longueur AB= c soit BC=cracine carré de 2 mais je ne vois pas pourquoi racine carré de 2 ?? Et je n'arrive pas a calculer les autres morceaux... Je sais je ne suis pas très doué!!

Après j'ai trouvé que l'angle CDG est égale a 45 degré soit 1/8 de 360°ce qui veut dire que l'aire DCG= 1/8 de l'aire du cercle de centre D et de rayon DC.

Voila la seule chose que j'ai compris !

[gg0]

Ok.

Cependant, vu le schéma, il y a des tas de relations évidentes, par exemple le triangle ABC a des propriétés qui donnent immédiatement l'angle à 45°.
Puisqu'on te demande la longueur AB, et que tu ne la connais pas, tu peux lui donner un nom (soit AB, soit x qui est plus simple). Puis tu vas appliquer les théorèmes de ton cours (tu es en troisième, n'est-ce pas ?) et traduire les égalités de longueur avec x (ou AB). Ce qui va te permettre de calculer la longueur BC puis les aires BDE, AEF, ...(je suis l'énoncé) et de les additionner en n'oubliant pas de soustraire celles qui apparaissent deux fois.

Bon travail.

Déjà, combien vaut BC, et pourquoi ? et combien vaut l'aire BDE et pourquoi ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gerald_83]

Bonsoir,

En prêtant un petit peu d'attention à cet exercice tu verras qu'il n'est pas aussi difficile qu'il t'y parait.

En effet essaye de décomposer le bonnet en plusieurs éléments distincts dont tu pourras calculer les surfaces (aide toi du dessin qui est très explicite). N"oublie pas de retrancher une des surfaces qui est présente plusieurs fois. A toi de voir laquelle.

Pour te faciliter la tâche pose par exemple AB = x, calcule les surfaces élémentaires, déduis en la surface du bonnet en fonction de x : S = f(x), puis tu n'auras plus qu'à résoudre S = 1789.

A toi la main

Edit : oups je n'avais pas rafraîchi l'écran avant de poster ma réponse et n'avais pas vu que gg0 t'avait déjà donné toutes ces informations - Sorry

[gg0]

T'inquiète Gérald,

deux fois valent mieux qu'une.

Cordialement.

[invitecc780067]

Merci de me répondre. Je suis en seconde mais quand le prof nous donnes un devoir maison nous ne faisons pas de cours avant donc je ne vois pas quoi utiliser ..

Dans le tr rect ABC,:
AB²+AC²=BC²=> x²+x²=BC²=>BC²=2x²=>BC=2x²=x2.

DC=DG=x+x2=x(1+2)

Voila ce que je sais a présent, j'ai compris qu'il faut décomposer la figure en plusieurs morceaux puis additionner les aires .. Et à la fin cela donnera une aire totale, a laquelle je devrais soustraire l'aire de ABC.

[invitecc780067]

Merci beaucoup de me répondre ! Vu mon niveau en maths deux personnes valent mieux qu'une c'est sure !!

Le problème est que je n'arrive pas a calculer mes surfaces élémentaires après quand je les aurait je saurais comment faire je pense (soustraire aire ABC)

[gerald_83]

BC²=2x²=>BC=2x²=x2.

horreur. Là il faut revoir tes bases

A part le triangle ABC ce ne sont que des surfaces de parties de cercles à calculer. Si tu te souviens comment calculer la surface d'un cercle le résultat ne devrait pas t'échapper trop longtemps.

Allez, courage tu vas y arriver

[gg0]

Ce devoir repose sur des connaissances de collège donc si tu es en seconde, tu peux le faire. Tu dois être capable d'utiliser le théorème de Pythagore et de calculer l'aire d'un quart de cercle, d'un demi cercle ou d'un demi quart de cercle.

Cordialement.

NB / le calcul de BC aurait dû te faire comprendre d'où vient le racine de 2 dont tu parlais au message 3. Avec les règles de calcul de collège.

[invitecc780067]

La formule pour trouver l'aire d'un cercle est x rayon au carré donc x DC au carré !

Donc DC au carré = x au carré (1+2) au carré c'est ça ??????????!!!

[gerald_83]

La formule pour trouver l'aire d'un cercle est x rayon au carré donc x DC au carré !

En es tu sûr(e) ?

Depuis que j'ai quitté l'école les règles ont peut-être changé ?

De mon temps l'aire d'un cercle était donné par la relation "Pi * rayon au carré" voire plus ésotériquement "pi * diamètre au carré /4"

A toi d'appliquer l'une de ces formules mais n'oublie pas que ce que tu as à calculer ce sont les aires de portions de cercles.

Allez ne cauchemarde pas tu tiens le bon bout

[invitecc780067]

J'avais mis le pi mais l'ordinateur ne me l'as pas pris en compte excusez moi.

[gerald_83]

OK,

Alors tu en es où ?

[danyvio]

J'avais mis le pi mais l'ordinateur ne me l'as pas pris en compte excusez moi.

Elle est bien bonne

[invitecc780067]

J'en suis a :
Le secteur DCG a pour aire 1/8 * pi x au carré (3+2 racine carré de 2) (je n'arrive pas a mettre les symboles)

Le secteur (AEF) a pour aire 1/4 pi (2x au carré)

Voila ou j'en suis pour l'instant il faut maintenant que je trouve pour l'arc FC avec son rayon x/2.

[gerald_83]

Re,

Ca avance :

Je ne comprends pas ce que tu as écrit pour le secteur DCG,

Pour le AEF tu mets que la surface est 1/4 * Pi * (2x au carré), afin d'éviter tout risque d'erreur de te conseille de faire attention aux parenthèses. Ecrit plus rationnellement ça donne :

Surface AEF = 1/4*pi*(2x)² --> après simplification : pi * x²

Continue tu es sur la bonne voie

[invitecc780067]

Pour le secteur DCG 1/8*pi [x(1+2)]²
=1/8*pi x²(3+22)

Merci pour le reste, il reste maintenant l'arc FC mais j'ai du mal pour la surface est-ce 1/2 ?

[gerald_83]

Pour le secteur DCG 1/8*pi [x(1+2)]²
=1/8*pi x²(3+22)

Il y a des erreurs. Reprends toi.

Quelle est la longueur du segment DC ?

[invitecc780067]

Je veux dire 1/8*pi x²(3+2racine carré de 2) et non 22

DC= x + BC = x + x racine carré de 2 = x(1+ racine carré de 2)

[gerald_83]

DC= x + BC = x + x racine carré de 2 = x(1+ racine carré de 2)

OK, quelle est donc la surface de DCG ?

Merci pour le reste, il reste maintenant l'arc FC mais j'ai du mal pour la surface est-ce 1/2 ?

A ton avis quel est le rayon (ou le diamètre de ce cercle) ?

[invitecc780067]

Donc aire DCG = (1/8) pi* x au carré (3+2 racine carre de 2 )
Ou sans simplifier (1/8) pi* x au carré (1+ racine carre de 2)


Pour FC le diamètre est x et le rayon est x/2 non ?

[gerald_83]

Donc aire DCG = (1/8) pi* x au carré (3+2 racine carre de 2 )
Ou sans simplifier (1/8) pi* x au carré (1+ racine carre de 2)

non c'est faux, il manque une mise au carré dans la formule (1/8) pi* x au carré (1+ racine carre de 2)

Pour FC le diamètre est x et le rayon est x/2 non ?

Oui c'est ça

Après avoir corrigé ta petite erreur tu auras tous les éléments en main pour terminer le calcul des surfaces élémentaires et terminer ainsi la résolution du problème qui t'a été posé

[invitecc780067]

Ah oui mince : (1/8) pi* x au carré (1+ racine carre de 2)au carré

Donc l'aire de FC = (1/2) pi* (x/2)au carré soit (1/2) pi* (x au carré /4)

C'est cela ?

Il ne reste maintenant plus que EBD son aire est : (1/8) pi x au carré ?

[gerald_83]

Voilà tu n'as plus qu'à continuer

[invitecc780067]

Très bien. Donc aire totale : 1/8* pi x au carré (3+2 racine carré de 2) + 1/4* pi (2x) au carré + 1/8* pi x au carré + (1/2)* pi (x au carré /4) - (x au carré /2) ? Juste pour l'aire de AEF comment arrivez-vous a simplifier a pi*x au carré ?

[gerald_83]

N'ayant pas fait l'exercice jusqu'au bout (je te laisse cette joie ) tu vas probablement tomber sur une équation du second degré du type ax² + bx + c = 1789 qu'il faudra résoudre. Ca je pense que tu sais faire.

[invitecc780067]

Oui je sais résoudre l'équation au second degré le problème est que je n'arrive pas a simplifier l'aire totale avec les pi etc.. Pouvez- vous juste m'aider a commencer a simplifier pour que je comprenne la méthode s'il vous plaît ?

[gerald_83]

Je ne vois pas ce qui te bloque. Tu développes le tout et tu vas avoir comme je te l'ai dit plus haut quelque chose de la forme ax² + bx + c avec a, b et c étant des constantes fonction de pi avec
par exemple a = 14*pi/8, b = 1.5*pi, etc...

Ces valeurs sont des exemples (je n'ai pas fait l'exo jusqu'au bout). Ensuite tu résous l'équation du second degré que tu trouveras probablement

[invite51d17075]

bonjour tous.
toutes les surfaces sont en x² , donc il n'y a même pas de polynôme de degré 2
simplement x²=u/v à la fin.