Calcul intégral

[invite51d17075]

ps: j'adore les néologismes associant deux mots ; ici "mélangé" et "malentendu" .....
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[invite819ec7bb]

Ce sera plus simple:



C'est le sesamaths consultable gratuitement sur internet.

[gg0]

C'est du grand n'importe quoi !
Dériver, ce n'est pas diviser par h.

Ansset, je crois qu'il est inutile d'essayer d'expliquer quoi que ce soit à Baptiste², il a des idées farfelues (morceaux d'un vrai cours de maths, mais déconnectés de leur contexte) auxquelles il tient bien plus que de savoir la vérité. Il y a quelque chose de maladif dans son comportement, car il revient sur ce qui a été vu dans une discussion précédente (http://forums.futura-sciences.com/ma...primitive.html). Autre aspect maladif : il refuse de traiter d'autre exemple de fonction à intégrer que des fonctions affines. jamais un polynôme de degré 2 ou 3 ou une fonction trigo. Ce refus ne permet pas de le faire progresser.

Il se dit candidat libre au bac, mais pour l'instant, il serait probablement très proche de 0 dans une épreuve actuelle, faute de comprendre de quoi ça parle.

Cordialement.

[invite819ec7bb]

Vous avez raison gg0, j'abandonne.

[invite51d17075]

Ansset, je crois qu'il est inutile d'essayer d'expliquer quoi que ce soit à Baptiste²,........

ben, j'ai essayé !
peut être mal.
c'est dommage tout ça.

[invite819ec7bb]

Bonjour,

Je me permets de revenir sur cette discussion. Tout d'abord, je m'excuse de la foie dernière. Si vous considérez une nouvelle fois, que cela ne vaut pas le peine de me répondre, pour les raisons déjà évoquées, je comprendrais. J'ai repris les notions qui n'étaient pas maitrisées, puis j'ai repris un cours sur les intégrales, du début bien attendu.

Bon, si on reprend depuis le début cette notion là, avec une fonction f positive et continue sur un intervalle I, avec a et b des réels appartenant à I avec a<b. Sous cette courbe, on a une suite de rectangle ( de longueur différente), comme l'image ci-dessous le montre:



Calculer l'aire sous la courbe Cf de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b, revient à calculer la somme de l'aire des rectangles sous Cf. Si j'appelle b2-b1 la largeur du rectangle, "m" la Longueur, finalement pour avoir l'aire de ce dernier, cela revient à faire m*(b2-b1)= f(b)-f(a). Ensuite, pour calculer l'aire du second rectangle, cela revient à faire b3-b2*m2=f(b3)-f(b2). Pour calculer l'aire du 3ème rectangle, on fait b4-b3*m3=f(b4)-f(b3) et ainsi de suite... Cela revient donc à faire cette somme pour avoir l'aire sous Cf.

Mais, c'est une aire qui reste approximative, par conséquent, il faut se rapprocher le plus possible de la courbe Cf. Donc, f(b)-f(a) devient ainsi: F(a+h)-F(a). Autrement dit, la limite quand h --> 0 =F(a+h)-F(a)/h . Donc, c'est comme si l'on fesait F(a+h)-F(a) + F(2a+2h)-F(2a) + F(3a+3h)-F(2a) etc... Cela revient à faire cette somme là.

Mon raisonnement est-il bon jusque là ?

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

il faut se rapprocher le plus possible de la courbe Cf.

Oui, mathématiquement, ça s'appelle passer à la limite. Connais-tu le cours sur les limites (même intuitif) ?

Donc, f(b)-f(a) devient ainsi: F(a+h)-F(a)

Incompréhensible ! Qui est F ? Qui est h ?
Ne joues pas avec les lettres, les écritures, définis clairement chaque lettre que tu emploies.

Tu es en train de définir ce qu'on appelle l'intégrale de Riemann. Il te manque juste une précaution : Comment être sûr que la somme des aires des rectangles va bien approcher l'aire sous la courbe. C'est là que la notion de fonction continue est utile. Sais-tu ce que ça veut dire ?

Cordialement.

[invite51d17075]

c'est dommage, ça partait d'une bonne intention , mais c'est devenu faux.
comme ceci :

Mais, c'est une aire qui reste approximative, par conséquent, il faut se rapprocher le plus possible de la courbe Cf. Donc, f(b)-f(a) devient ainsi: F(a+h)-F(a). Autrement dit, la limite quand h --> 0 =F(a+h)-F(a)/h . Donc, c'est comme si l'on fesait F(a+h)-F(a) + F(2a+2h)-F(2a) + F(3a+3h)-F(2a) etc... Cela revient à faire cette somme là.
.

reprenons
appelons En(x) ta fonction en escalier issue de f(x) ( avec 0<=x<1 ) telle que
En(x)= f(k/n) pour
la surface représentée par l'ensemble des p premiers rectangles vaut

la différence entre Fn((k/n+1/n) et Fn(k/n) vaut simplement (1/n)f(k/n)
d'ou

et plus généralement pour



et donc , en passant à la limite quand n->inf les fonctions Fn(x) tendent vers une primitive de f(x) ( f(x) dérivée de .. )

tu as écris un truc bizarre et inverse en divisant par n et non par (1/n)

[invite51d17075]

correction ce n'est pas ton h qui pose pb ( suf que tu ne dis pas à quoi il correspond ) c'est ton addition curieuse qui suit.

[gg0]

Ansset : Il y a quand même un f qui devient F subrepticement, et quand on sait que beaucoup croient que F est la notation pour une primitive de f (laquelle ??) ...

Baptiste² ne peut progresser que s'il est totalement rigoureux dans ce qu'il écrit.

Cordialement.

[invite819ec7bb]

C'est vraiment bizarre, plus j'essaye de comprendre et plus je comprends de moins en moins...

De ce fait, je vais directement poser les questions, sur le théorème du calcul intégral, étant donné que mes difficultés semblent démarrer de là.

Soit une fonction f positive et continue sur un intervalle (a;b) avec a<b.

La fonction F qui à x associe l'intégrale de a à x de f(t)dt est définie et dérivable sur (a;b) et on a F'=f.

Question 1: Cette fonction F est donc une primitive de la fonction f positive et continue sur (a;b) ?. Ce qui signifie que, quand je la dérive, je retombe sur la fonction f ?

Pour répondre à gg0, la limite de f(x) quand x tend vers a = f(a).

[gg0]

Pour répondre à gg0, la limite de f(x) quand x tend vers a = f(a).

Oui, c'est une des définitions, mais c'est sa traduction qui va servir ici : Si on se place sur un intervalle suffisamment petit contenant a à l'intérieur, f(x) est proche de f(a) avec la précision voulue.

Question 1: Cette fonction F est donc une primitive de la fonction f [..] ?. Ce qui signifie que, quand je la dérive, je retombe sur la fonction f ?

Oui, ça n'a jamais été contesté.

D'ailleurs, ce serait vrai aussi pour f continue, mais pas particulièrement positive.

Cordialement.

[invite819ec7bb]

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

Donc, si la limite de f(x) quand x tend vers a = f(a), cela signifie que, la dérivée d'une fonction est l'image de sa primitive. Je ne sais pas si mathématiquement c'est juste ce que je viens de dire. Par exemple: f'(x)= 2x+b est l'image de f(x)=ax2+bx+c, avec "a" différent de 0.

Mais je ne sais pas si il n'y a pas un erreur dans ce que je viens de dire, parce qu'on ne fait tendre que "h" vers 0 ( et non pas les "x") lorsqu'on dérive, mais il me semble que cela ne change rien. f(x)=ax2+bx+c se approcherait de f'(x)=2ax+b.

Cordialement.

[invite51d17075]

Par exemple: f'(x)= 2ax+b est la dérivée de f(x)=ax2+bx+c, avec "a" différent de 0.

Mais je ne sais pas si il n'y a pas un erreur dans ce que je viens de dire, parce qu'on ne fait tendre que "h" vers 0 ( et non pas les "x") lorsqu'on dérive, mais il me semble que cela ne change rien. f(x)=ax2+bx+c se approcherait de f'(x)=2ax+b.

Cordialement.

non, la fonction ne se rapproche pas de sa dérivée.
en revanche :
soit f(x)=ax²+bx+c
f(x+h)=ax²+2axh +h²+bx+bh +c
d'où
f(x+h)-f(x)=2axh+bh+h²
(f(x+h)-f(x))/h=2ax+b+h
et la limite de cette fraction tend vers 2ax+b quand h tend vers 0.

[invite819ec7bb]

Merci.

Donc 2x+b est bien une image de F ?

[invite51d17075]

Merci.

Donc 2x+b est bien une image de F ?

qu'est ce que F ici ?
f(x)=ax²+bx+c a pour dérivée la fonction f'(x)=2ax+b.
@gg0:

Ansset : Il y a quand même un f qui devient F subrepticement, et quand on sait que beaucoup croient que F est la notation pour une primitive de f (laquelle ??) ...
.

me suis je mal exprimé ? ou bien cette remarque s'adressait à Batiste² ?
j'ai juste essayer d'expliquer comment la suite des fonctions Fn convergeait vers une primitive de f .

[gg0]

Bonjour.

"si la limite de f(x) quand x tend vers a = f(a), cela signifie que, la dérivée d'une fonction est l'image de sa primitive." Cette phrase ne veut rien dire !! Il n'y a aucun rapport entre le début de la phrase (avant "donc") et la fin.
la suite montre que tu recommences à vouloir mettre des rapports entre des choses qui n'en ont pas. Sans compter les erreurs du genre :
" f'(x)= 2x+b est l'image de f(x)=ax2+bx+c, avec "a" différent de 0."
La dérivée de f(x)=ax²+bx+c, que a soit nul ou non, c'est f'(x)=2ax+b. Pourquoi parler d'image, alors que tu sais dire que c'est la dérivée ?

C'est tellement simple : F est une primitive de f si f est la dérivée de F
Un point c'est tout ! Il n'y a rien de plus. Arrête de chercher, surtout que tu n'as manifestement pas compris les notions de limite et de dérivée.

"Quand le sage montre la lune, l'imbécile regarde le doigt". Tu es trop intelligent pour continuer à regarder le doigt.

[invite819ec7bb]

Bon, je vais faire simple alors pour ne pas m'embrouiller l'esprit. Je reprends le théorème du calcul intégral.

Soient une fonction f continue et positive sur un intervalle I (a;b) avec a<b et F la fonction définie sur (a;b) par F(x)= Intégrale de a à x f(t)dt. La fonction F est dérivable sur (a;b) et a pour dérivée f.

CE QUE JE DOIS COMPRENDRE: F(x) c'est l'aire comprise entre la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et ce, de a, à x. POURQUOI ? Car F'(x)=f(x), de a à x ?

[invite51d17075]

POURQUOI ? Car F'(x)=f(x), de a à x ?

ben oui !
tu peux t'amuser à te représenter tout cela en prenant.
D(T) distance parcourue en un temps T
V(t) la vitesse instantanée au temps t
A(t) l'accélération ( ou son inverse ) tj à l'instant t .
quelles sont les primitives et les dérivées ?

[invite819ec7bb]

La vitesse instantanée c'est la dérivée de la vitesse moyenne . Et justement, la primitive c'est la distance parcourue.

[invite51d17075]

La vitesse instantanée c'est la dérivée de la vitesse moyenne . Et justement, la primitive c'est la distance parcourue.

et ben non !

[invite819ec7bb]

De la distance parcourue ?

[invite51d17075]

non, ce que j'ai mis en gras.
si tu as une vitesse constante, sa dérivée est nulle.
et la vitesse "instantanée" est constante et égale à la vitesse moyenne.

[gg0]

CE QUE JE DOIS COMPRENDRE: F(x) c'est l'aire comprise entre la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et ce, de a, à x. POURQUOI ?

Ce que tu dois comprendre surtout c'est que ce théorème est vrai même si f n'est pas positive sur [a,b]; et que on n'est pas obligé de prendre a comme première borne. je ne sais pas où tu prends tes documents, mais à chaque fois c'est trop particulier.

Dans tes documents, quelle est la définition de ? Dans le cas général, bien évidemment.

Car ton "POURQUOI ? " n'a pas de sens à priori (on définit cette aire par justement cette intégrale car ça généralise de façon évidente la notion d'aire des rectangles (prendre f constante). Comme c'est une définition, ça ne se justifie pas. Donc si tu ne npous dis pas quelle est ta définition de l'intégrale, on ne peut pas t'expliquer (on ne sait même pas de quoi tu parles !).

[invite819ec7bb]

Bonjour,

Je reviens après une petite absence, je m'en excuse auprès des contributeurs de cette discussion.

J'en ai profité pour reprendre le cours sur les intégrales.

Donc, si j'ai une fonction dans un repère définie sur (a;b) avec a<b, et que je veux calculer l'intégrale entre la courbe de f, l'axe des abscisses et entre les droites d'équations x=a et x=b, dans un premier temps, cela revient à calculer la somme des aires des rectangles, mais, cette aire reste approximative, donc je fais tendre vers 0 l'aire de chacun de ces rectangles, de manière à ce qu'il se rapproche le plus possible de la courbe de la fonction f.

Cela revient à faire la lim h ---> 0 de f(a+h)-f(a)/h=f'(a) de a à b entre la courbe de f et l'axe des abscisses. f'(a) représente alors l'aire du rectangle que l'on a fait tendre vers 0 de manière à ce que l'on se rapproche le plus possible de f.

Mon raisonnement pour comprendre le principe du calcul d'aire ( calcul infinitésimal) est il correct ?

Cordialement

[gg0]

Ce serait à reprendre sérieusement.


Déjà, tu sembles confondre aire et intégrale : " je veux calculer l'intégrale entre la courbe de f, l'axe des abscisses et entre les droites d'équations x=a et x=b". l'intégrale de f de a à b n'est pas liée à un dessin quelconque, à un axe des abscisses ou quoi que ce soit. Elle est définie dès qu'on a f, a et b.
Et si tu considères que l'intégrale de f de a à b est "l'aire entre la courbe de f, l'axe des abscisses et entre les droites d'équations x=a et x=b", ce n'est vrai que pour une fonction positive.

Donc prenons comme définition de l'intégrale de f de a à b où f est positive, la notion intuitive " c'est l'aire entre la courbe de f, l'axe des abscisses et entre les droites d'équations x=a et x=b". Ce n'est qu'une fausse définition, mais admettons, elle est bien apparue ainsi au dix-septième siècle.
On peut effectivement l'approximer par des aires de rectangles, mais même en faisant tendre vers 0 l'aire de ces rectangles (au fait, comment ?), il n'est pas sûr que l'on obtienne l'aire sous la courbe. Pour cela, avoir une fonction continue sur [a,b] arrange bien les choses. Donc on va supposer la fonction continue.

Ensuite, ça déraille, tu reviens à tes absurdités habituelles, y compris les défauts de parenthésage. Depuis le temps, c'est décourageant ! Tu n'as donc aucune honte à écrire " f(a+h)-f(a)/h" qui n'est pas "( f(a+h)-f(a) ) /h" ?
"Cela revient à faire la lim h ---> 0 de f(a+h)-f(a)/h=f'(a)" Non, absolument pas. D'ailleurs, ce n'est pas la dérivée de f qui intervient dans l'intégrale de f. Et l'intégrale va de a à b, donc ce n'est pas a qui devrait intervenir. Les rectangles, il y en a partout.

Autrement dit :
* Tu te moques de ce que tu écris, tu reprends des expressions fausses.
* Tu n'as pas compris ce que tu as lu (comme tu ne comprends pas les explications qu'on te donne).
* Et ces deux points sont liés : Si tu n'es pas capable de comprendre ce qui est écrit, tu ne comprends pas non plus ce que tu écris.
* De plus, je ne sais pas où tu trouves tes références, mais tu sembles mélanger deux notions très différentes : la définition d'une intégrale et le moyen de la calculer. Les rectangles donnent une meilleure définition de l'intégrale que de dire que c'est une aire, mais ne permettent qu'un calcul approché; ils n'expliquent pas le théorème que tu as tant cité liant intégrale et primitive.

Cordialement.

[invite819ec7bb]

Bonsoir,

Je pense qu'effectivement je me complique la vie avec ce théorème du calcul intégral...

En gros: Comment expliquer le mécanisme que multiplier f(x) par la différentiel dx ( de a à b) revient à soustraire deux primitives sur un intervalle ?

Cordialement.

[gg0]

On ne peut pas !

Ce que tu dis mélange l'écriture (mais tu as oublié le signe somme, le symbole d'intégration et rajouté une multiplication qui n'existe pas) et l'idée de l'intégrale.

Intuitivement, on multiplie la valeur en x de f(x) par un infiniment petit dx et on additionne tout ça. C'est de là que vient la notation, et c'est très ancien (dix-septième siècle); on ne s'en sert plus (c'était malsain). Techniquement, on peut utiliser des "sommes de Riemann", sommes de produits de valeurs de f(x) sur un intervalle par la largeur de l'intervalle, puis passer à la limite en faisant tendre la largeur maximale des intervalle vers 0. Pour certaines fonctions, en particulier les fonctions continues, la limite existe indépendamment du choix des intervalles. Mais pas de dx dans cette affaire.
Puis on peut démontrer que si f est continue, est une primitive de f. C'est un résultat pas du tout évident, qui n'a pas à être compris. Il n'y a rien à "comprendre".
Enfin, on en déduit que si h est une autre primitive de f, alors
La première égalité est la définition de g, l'autre de h(x)=g(x) + c où c est une constante (propriété des primitives), qui donne, en prenant x=a : h(a)= g(a)+c=0+c=c donc h(b)-h(a)=g(b)+c-c=g(b).

Si tu comprends ces calculs et ne cherches plus de mystère dans le théorème, tu sais tout !

Cordialement.

[invite819ec7bb]

Ah d'accord

L'intégrale que l'on veut calculer n'est rien d'autre que la primitive de cette dernière. Je m'explique: Calculer l'intégrale entre la courbe de Cf, l'axe des abscisses de x0 à x0+h, revient à trouver une primitive F de f qui soit égale à l'aire que l'on veut calculer. C'est pour cela que l'on fait F(x0+h)-F(x0)= Intégrale de x0 à x0+h de f(t)dt. C'est sans doute très mal dit ce que j'ai dit, je m'excuse...

Cordialement.

[gg0]

Oublie un instant l'aire, elle te perturbe. et ne reviens pas à tes écritures sans signification (F(x0+h)-F(x0)) où tu veux retrouver la dérivée. Ce ne sont pas des formules magiques.

Et tu ne peux pas dire clairement les choses sans utiliser soit des mots précis, soit des notations. Ta phrase "L'intégrale que l'on veut calculer n'est rien d'autre que la primitive de cette dernière." n'a aucun sens pour moi. Une intégrale est un nombre, une primitive est une fonction (regarde bien comment j'ai écrit g au message #58).
Pour l'instant, tu brasse des mots, mais c'est peine perdue.

"C'est sans doute très mal dit ce que j'ai dit, je m'excuse..." Au lieu de t'excuser, ce qui est quand même très impoli (c'est aux autre de t'excuser, s'ils veulent bien), essaie de construire des phrases ou des calculs qui ont un sens.