Calcul intégral

[BaptisteBaptiste]

Bonjour,

J'essais de comprendre le calcul intégral.

J'ai une fonction polynôme de degré 2: F(x)=ax2 +bx + c, définie sur R, avec "a" différent de 0. Je trace la courbe représentative de cette dernière dans un repère. Maintenant, dans ce même repère, je trace la courbe Cf représentative de sa dérivée: F'(x)=f(x)=2x+b. Donc F(x) et une primitive de f(x) car F'(x)=f(x).

J'ai un intervale I, avec a<b.

J'ai un point A, de coordonnée (a;F(a)) et un point B, de coordonnée (b;F(b)). Je trace une droite qui relie le point A ou point B. Maintenant, si je calcule le coefficient directeur ( aussi appelé "pente") de la droite: F(b)-F(a)/b-a=P, ou "P"="Pente" (de la droite).

Maintenant, je veux calculer l'intégrale de la fonction f, entre Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b. Calculer cette intégrale là, revient à faire l'égalité suivante: P*(b-a), cet-à-dire calculer F(b)-F(a).

Maintenant, ce que je voudrais savoir, c'est si ma compréhension de cette notion est bonne.

Cordialement.
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[Dynamix]

Salut

Calculer cette intégrale là, revient à faire l'égalité suivante: P*(b-a)

P*(b-a) n' est pas une égalité .

[gg0]

Bonjour.

On ne peut pas dire que ta compréhension est bonne, tu as tellement compliqué la question que ce serait miraculeux que tu y retrouves quelque chose de bon.

Pourquoi perds-tu ton temps à des dessins qui ne servent à rien ? et avec, à chaque fois la même fonction affine à intégrer. On n'a pas besoin d'intégrales pour trouver l'aire sous une droite.

Tant que tu ne travailleras pas avec un vrai cours et une réflexion simple, tu perdras ton temps. Il n'y a aucun mystère caché dans cette notion d'intégrale, on l'apprend puis on l'utilise.

[Stakhanov21]

je pense que ce qui est important dans le calcul intégral c'est surtout de comprendre les dérivées et primitives, une fois que tu connais bien les deux ça coule de source, l'intégrale est une primitive entre 2 bornes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[BaptisteBaptiste]

Bonjour à vous,

Pour répondre à Dynamix: yB-yA/xB-xA=a, xB-xA*a=yB-yA ?.

Effectivement, ce n'est pas clair, je m'en excuse.

En faite, je voulais utiliser directement le théorème du calcul intégral, mais vu que je ne le comprends pas vraiment, je ne l'ai pas fait. Il me semble alors plus judicieux de dire ce que je n'ai pas compris dans cela.

Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle ab, avec a<b. La fonction F: -> x l'intégrale de a à x de f(t)dt est définie et dérivable sur ab, et F'(x)=f(x).

Je ne comprends pas pourquoi cette fonction F n'est pas représenté dans le graphique dans ce théorème. On nous dit que F(x) est l'aire comprise entre Cf, l'axe des abscisses et de a jusqu'à x. Et puis on nous dit qu'elle est définie sur ab.

Stakhanov21, j'ai bien compris le lien mais alors avec l'intégrale, je ne comprends pas pourquoi.

[Stakhanov21]

Bonjour à vous,

Pour répondre à Dynamix: yB-yA/xB-xA=a, xB-xA*a=yB-yA ?.

Je suis du même niveau que toi j'ai peut être un peu plus d'avance mais donc ce que je dit n'est pas a prendre à la lettre. d'ailleurs si quelqu'un de qualifier pourrait me relire...

yb-ya/xb-xa c'est la formule pour calculer le coefficient directeur d'une droite, dans ces chapitres de limites,dérivée,ect.. on utilise cette formule pour calculer le coefficient directeur de la tangente à une courbe en UN POINT, la tangente à une courbe en un point c'est LA DERIVEE, en fait on fait tendre la droite vers 0 pour justement avoir cette pente en UN POINT, ensuite les primitives ça te permet de calculer cette dérivée sur une infinité de point, comme si tu balayait la fonction avec toutes les tangente à la courbe, et ça ça devient aussi une fonction. Et l'integrale c'est le fait de mettre des bornes aux primitive pour ne pas aller jusqu'à l'infini, j'espère t'avoir aidé sans avoir dit de connerie mais dans l'ensemble je suis quasi certain d'avoir raison

[Stakhanov21]

avec les primitives je pense avoir dit en partie de la merde, arrête toi aux dérivées sur ce que j'ai dit

[BaptisteBaptiste]

Mais non, ne dis pas cela.

En faite, c'est étrange, j'ai bien compris la relation primitive/dérivée, mais alors la relation primitive/intégrale, moins. Pourquoi F(b)-F(a)= L'intégrale de a à b de f(t)dt ?

[Dynamix]

Pourquoi F(b)-F(a)= L'intégrale de a à b de f(t)dt ?

Par définition .

[BaptisteBaptiste]

Merci pour votre réponse... J'espérais une certaine logique

[gg0]

Bonjour à vous,

Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle ab, avec a<b. La fonction F: -> x l'intégrale de a à x de f(t)dt est définie et dérivable sur ab, et F'(x)=f(x).

Je ne comprends paspourquoi cette fonction F n'est pas représenté dans le graphique dans ce théorème. On nous dit que F(x) est l'aire comprise entre Cf, l'axe des abscisses et de a jusqu'à x. Et puis on nous dit qu'elle est définie sur ab.

"pourquoi cette fonction F n'est pas représenté dans le graphique dans ce théorème" Pourquoi serait-elle représentable dans le graphique ? Si tu t'obstine à vouloir voir la primitive, tu vas y passer des années pour rien. C'est déjà pas mal qu'on soit capable de calculer ces primitives dans un certain nombre de cas, avec les fonctions déjà connues.
Tu te comporte comme celui qui cherche dans le chiffre 3 où sont cachés les chiffres 1 et 2 parce que 1+2=3.

"On nous dit que F(x) est l'aire comprise entre Cf, l'axe des abscisses et de a jusqu'à x" A priori, non !! Sauf à rajouter pas mal d'hypothèses. D'ailleurs, comme la notion intuitive d'aire est très mal définie, c'est plutôt le calcul de primitives qui permet de définir des aires comme celle dont tu parles.

Je ne sais pas quel est ton niveau d'études, mais tu ferais bien de prendre un vrai cours d'intégration, quitte à apprendre les mathématiques qui y sont utilisées quand tu ne les connais pas.

Cordialement.

[BaptisteBaptiste]

Théorème: Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle (a;b) et F la fonction définie sur (a;b) par F(x)=Intégrale de a à x de f(t)dt. La fonction F est dérivable sur (a;b) et a pour dérivée f.

Démonstration dans le cas ou h>0 et la fonction croissance sur (a;b).

F(x0 +h)-F(x0)/h=1/h( Intégrale de a à x0+h f(t)dt - Intégrale de a à x0 de f(t)dt) = 1/h( Intégrale de x0 à x0 +h de f(t)dt).

Voilà ce que j'ai trouvé dans un livre de maths "Hachette" Term s.

[Stakhanov21]

tu vas trop loin, connaître la démonstration est inutile. Et honnêtement même le fait de connaître et/ou d'essayer de comprendre toutes ces formules de yb-ya/xb-xa ça ne me sert en rien à la résolution d'exercice, tu as vu ou verra que il existe des formules de dérivée et primitives que je te conseille d'apprendre par coeur, à force ça deviendra comme un réflexe tel une résolution d'équation du second degré. les intégrales c'est un outil, si tu es capable de l'utiliser pour répondre à des exercices, rien ne sert de se torturer le cerveau ^^ remercie Newton c'est lui qui l'a fait pour toi

[ansset]

bjr,
il est certain que beaucoup s'emmêlent un peu les pinceaux avec ces histoires "d'aire sous la courbe".
il existe d'autres moyens de "visualiser" le rapport entre une intégrale et une surface.
prenons un disque de rayon R.
on le découpe en petits anneaux concentriques de rayon r et d'épaisseur infinitésimale dr.
la surface infinitésimale de chaque anneau vaut 2pi*r*dr
si on intègre toutes ces surfaces entre r=0 et r=R, on retrouve normalement la surface totale du disque et de fait


étant bien une primitive de

[BaptisteBaptiste]

Bonjour,

F(x)=ax2+bx+c et f(x)= 2x+b. Je veux calculer l'aire sous f(x) entre a et b. Pour cela, c'est comme si je dérivais F(x) en chaque point de a jusqu'à b. Supposons a=1 et b=4. C'est comme si je devais faire F'(x) au point 2, 3 et 4. Je répète cela 3 fois. Quel rapport avec F(b)-F(a) ?

En faite, je voudrais tout simplement la démonstration de F(b)-F(a).

[ansset]

justement, ce n'est pas avec trois points que tu vas saisir le truc.
soit F une primitive de f
alors Lim(F(x+dx)-F(x)/dx =f(x) , donc
Lim (F(x+dx)-F(x)) =Lim f(x)dx
entre a et b:
le principe de l'intégration est de "sommer" les termes sur des variations infinitésimales dx.
d'où
la "somme" des (F(x+dx)-F(x)) revient à F(b)-F(a) (*)
et par ailleurs la "somme" des f(x)dx s'écrit formellement par une intégrale.

(*) F(a+dx) -F(a) +F(a+2dx)-F(a+dx) + F(a+3dx)-F(a+2dx )+.....
à la fin il ne reste que F(b)-F(a)

[gg0]

Encore une fois, tu perds ton temps avec les dessins; sans compter que tu sembles oublier qu'entre 1 et 4 il y a une infinité de nombres : "C'est comme si je devais faire F'(x) aux points 2, 3 et 4" !!!
C'est pour toute valeur de x, y compris 5/3 ou pi que f(x) est le nombre dérivé de F en x.

"Quel rapport avec F(b)-F(a) ?" Aucun ! Quand tu véas en voiture de paris à Marseille, ta vitesse à la sortie du tunnel de Fourvière à Lyon ne dit rien sur la distance parcourue (la distance totale est l'intégrale de la vitesse). Elle peut être de 2 km/h ou de 80 km/h, ça ne changera pas la distance Paris-Marseille.

Aucun livre de terminale actuelle ne peut faire une démonstration sérieuse du théorème dont tu parles. Tout au plus, une explication intuitive du lien entre les primitives et les aires sous les courbes de fonctions positives sur l'intervalle considéré.
Ton livre (message #12) triche un peu (*) avec les élèves, et la preuve (très incomplète) que tu cites ne justifie rien. Elle donne seulement une idée de ce qui a été découvert au dix-septième siècle, quand la notion d'aire était considérée comme intuitivement évidente (ce n'est pas vrai) et qu'on ne connaissait même pas l'idée de limite (d'où des contorsions dans les phrases, avec des "quantités évanouissantes" ou des "infiniment petits", pas nuls mais nuls quand même).

Je te le répète, tu cherches quelque chose qui n'existe pas (voir mon exemple de la vitesse).

(*) Comme je ne l'ai pas sous les yeux, je suis peut-être un peu dur, tout dépend s'il définit l'intégrale par l'aire (ce qui revient à ne rien prouver) précédemment et s'il admet que les élèves n'ont pas de théorie sur la continuité, ou pas.

[BaptisteBaptiste]

Je commence à comprendre le truc:

J'ai la course Cf de ma fonction f dans un repère. Je veux calculer l'aire entre x et x+h. On note un intervalle (a;b) ou x et x+h sont compris dans ce dernier. F(x+h)-F(x)/h= L'intégrale de a à b ( sous Cf). Pourquoi ? Car On retombe sur Cf quand on dérive en chaque point F(x) . De même, - F(x)= Intégrale de a à x, car quand je dérive ( en chaque point) F(x), je retombe sur Cf. Finalement, F(x+h)-F(x)= Intégrale de x à x+h. On peut revoter ainsi x=a et x+h=b. Donc F(b)-F(a). C'est bien cela ?

[gg0]

"F(x+h)-F(x)/h= L'intégrale de a à b ( sous Cf)." Non !!
Et même si tu écris "(F(x+h)-F(x))/h= L'intégrale de a à b ( sous Cf)." c'est encore faux !

Au lieu de copier de travers des bouts de calculs et de leur attribuer une signification qui te plaît, mais fausse, reprends depuis le début sans tricher.

"Car On retombe sur Cf quand on dérive en chaque point F(x)" Non !! On obtient f(x) quand on dérive F en x; on obtient, quand on dérive x-->F(x) en a le nombre f(a). Cf est la courbe de la fonction dérivée F'. Qui n'a qu'un rapport indirect avec les intégrales..


La fin a plus de sens, et c'est une évidence : Si F(y)-F(z)=intégrale de f de y à z, alors Si F(b)-F(a)=intégrale de f de a à b (on a remplacé y par b et z par a, ce qui ne change rien à la formule, puisque y et z n'ont pas de signification fixée. Mais le fait de parler de x+h et x est-il utile ? En fait, c'est que tu cherches à relier des calculs entre eux sans vraiment vouloir comprendre de quoi il s'agit, pourquoi les auteurs des textes dont tu prends des morceaux ont écrit ça et ce que ça signifie.
Fais des maths !

[BaptisteBaptiste]

Pardon, je ne sais pas pourquoi j'ai écrit "F(x+h)-F(x)/h= L'intégrale de a à b ( sous Cf). F(x+h)-F(x)/h=f(x)...

En faite, j'ai très mal dit ce que je voulais dire et c'est bourré de fautes... Désolé gg0.

[Stakhanov21]

j'ai moi même parfois essayé de comprendre pourquoi on fait cela et pas cela, mais ça ne sert à rien, en math ça ne sert a rien de manipuler une formule pour essayer de faire des liens avec autre chose, ect. surtout avec des nombres abstrait ! ton cerveau va comprendre quand tu sauras résoudre des exercices, pas avec des a et des b mais avec des chiffres, tu feras 100 exercices et tu comprendras tout, commence par apprendre les formules de dérivée par coeur, c'est ce que j'ai fait et une fois que tu les connais, il n'y a plus de "blocage".ensuite apprend celles des primitives (tu verras qu'avec de la reflexion si tu connais les formule de dérivée il est très facile de connaitre celles des primitives) tu pourrais passer une semaine à essayé de donner un sens à tout, ou une après midi à savoir tout résoudre.

f(b)-f(a)=delta Y=dy c'est l'écart sur l'axe des ordonnée(y) entre 2 points.
b-a=delta X=dx c'est l'écart sur l'axe des abscisses (X) entre ces même 2 points
le rapport entre les deux (yb-ya/xb-xa)=dy/dx c'est la pente d'une droite(y=Mx+p( qui peut être une sécante ou une tangente dans ces chapitres)
dans cette formule (dy/dx) si tu fait la limite de x qui tend vers 0, ça va te donner cette pente de la tangente en un point infinitésimal vu qu'il tend vers 0, tu fait tendre l'écart vers 0 pour l'obtenir en un point(très très petit) et ça c'est la dérivée, voilà le rapport.

[BaptisteBaptiste]

Stakhanov21, apprendre bettement sans comprendre, ce n'est pas mon truc, sans etre méchant à ton égard bien sur . C'est comme ça que les difficultés et en particulier en maths arrive. Par exemple, certains diront: "je ne comprends pas pourquoi lorsqu'on multiplie le haut et le bas d'une fraction par un meme nombre, ça ne change pas la valeur de cette dernière. Certains prof diront: Ne cherche pas, c'est comme ça !. Et d'autres expliqueront qu'il y a une égalité entre le résultat d'une fraction et son dénominateur qui donne le numérateur. Par conséquent, lorsqu'on multiplie les deux membres d'une "égalité par un même nombre, les égalités restent les mêmes.

[Stakhanov21]

Attention je ne dis pas d'apprendre bêtement sans comprendre(ce qui ce passe malheureusement dans la plupart des systèmes scolaire) ! je dit que l'on comprends en appliquant avec du concret, en faisant des exercices ! essayé de refaire le chemin que Newton à fait pour arriver à démontrer/découvrir tout ça, si tu veux fait le, mais tu perdras ton temps. Et quand tu sauras résoudre les exercices, les démonstrations seront beaucoup plus claire pour toi, c'est le chemin inverse. je me permet de te donner ce conseil car j'étais dans le même cas que toi il y a une semaine, et je t'explique comment j'ai réussi à avancer. Après libre à toi de faire ce que tu veux bien entendu.

La pensée abstraite, il n'y a que les mathématiciens qui savent la maîtrisée.

[BaptisteBaptiste]

Je vais réécrire une dernière fois au propre, ce que j'ai compris de ce théorème du calcul intégral. Soit une fonction f de courbe Cf, positive et continue sur un intervalle (a;b) avec a<b. Donc, on veut calculer l'aire comprise entre x et x+h.

On n'a F(x+h)-F(x)/h=f(x)= Intégrale de a à x+h f(xt)dt - Intégrale de a à x f(t)dt = Intégrale de x à x+h de f(t)dt.

Donc; F(x+h) c'est l'aire entre a et x+h. Pourquoi ? Car quand on dérive F(x) en x on obtient f(x). On peut reproduire cela tout le long de la courbe de F(x) ( de a jusqu'à x+h) dans mon exemple).

F(x), c'est l'aire entre a et x. Pourquoi, car quand je dérive F(x) en x on obtient de la même manière f(x) ( de a jusqu'à x dans mon exemple).

Finalement, F(x+h)-F(x) c'est l'aire entre x et x+b ( celle qu'on cherchait). On change les notations: x=y et x+h=z. Donc l'intégrale de y à z de f(t)dt= F(z)-F(y).

[gg0]

Toujours des erreurs, dont une t'a déjà été signalée maintes fois dans un autre fil :

On n'a F(x+h)-F(x)/h=f(x)

avec en plus une énorme faute de français !

Si tu as compris de travers, on ne pourra jamais t'expliquer.

Tu n'as même pas compris la notion de dérivée (ne dis pas non, si tu avais compris, tu n'écrirais pas cette énormité) Donc, comme on te l'a déjà dit, apprends ce qu'est une limite, puis (quand tu auras vraiment compris) une dérivée. Après, tu pourras chercher à comprendre les notions de primitive et d'intégrale.

Tu ne progresses pas, tu restes sur des idées "à toi" qui n'ont rien à voir avec les maths. Ça ne sert à rien de vouloir t'expliquer, tu ne veux pas savoir, tu veux seulement rester sur tes absurdités.

[BaptisteBaptiste]

gg0, F(x+h)+F(x)/h, là, je suis bien en train de dériver ? Je fais tendre h vers 0. La limite ce quotient c'est la dérivée ?

F(x+h)-F(x)/h= Intégrale de x à x+h.

[ansset]

F(x+h)-F(x)/h= Intégrale de x à x+h.

non.
d'une part tu ne précise pas l'intégrale de quoi !
d'autre part la division par h du premier terme ne correspond pas une intégrale.

[ansset]

reprenons, puisque tu cherches à "visualiser".
prenons ( pour simplifier ) une courbe à valeurs positives et continue entre les point a et b, ou plus simplement pour mieux comprendre entre 0 et 1.

tu découpes ta courbe en 100 petits rectangles de taille horizontale de 1/100 et de hauteur f(k/100) pour k=1 à 100
l'ensemble ( la surface) de tes 100 rectangles est "proche" de la surface sous ta courbe.
plus tu multiplies n ( ici =100), plus tu te rapproches de ta surface "sous la courbe".
le principe du calcul infinitésimal est justement d'étendre ce concept avec une infinité de n.
cette "somme" au départ visualisable devient par définition une intégrale en notant dx l'intervalle infinitésimal 1/n quand n tend vers + l'inf.

[BaptisteBaptiste]

Là je ne comprends plus rien, c'est ce qui est écrit le bouquin....

On va prendre concrètement alors. J'ai une fonction f positive et continue sur un intervalle (a;b) avec a<b. On va dire que f(x)=2, et a=1 et b=4. F(x)=2x+1.

On nous dit qu'il existe une fonction, noté F qui à x lui associe l'intégrale de a à x de f(t)dt. On nous dit également F'=f. On va supposer que x=2 et x+h=3.

Maintenant, on démontre que F est dérivable pour f croissante. Pour tout x appartement à l'intervalle (a;b), F(x) existe bien puisqu'il s'agit de l'aire comprise entre Cf, l'axe des abscisses et l'intervalle (a;x). Pout h différent de 0 et a+h compris dans l'intervalle, on démontre donc que F est dérivable:

F(x+h)-F(x)/h. Il est dit maintenant que F(x+h)-F(x) représente l'aire entre Cf, l'axe des abscisses sur l'intervalle x et x+h.

Donc, je reprends mon exemple: 2(2+1) + 1 - ( 2*2) + 1/ 1 = 7-5/1=2. Donc F(x+h)-F(x)/h= F'(x)=f(x)=2.

En calculant la dérivée de F, il reste l'intégrale entre x et x+h. Elle vaut 2*1= 7-5 = F(x+h)-F(h).

[ansset]

Ce n'est pas ce que tu as écrit précédemment :

gg0, F(x+h)+F(x)/h, là, je suis bien en train de dériver ? Je fais tendre h vers 0. La limite ce quotient c'est la dérivée ?

F(x+h)-F(x)/h= Intégrale de x à x+h.

tu dérives ou tu intrègres dans ces propos...
ça semble "mélandu" comme dirait ma copine.