Calcul intégral

[invite819ec7bb]

Bonjour,

Soit une fonction f positive et continue sur un intervalle (a;b) avec a<b et x0 et x0+h compris dans cet intervalle, avec x0+h> à x0. Calculons l'intégrale de x0 à x0+h.

Si je comprends bien votre message, on définit une première primitive de f, qui associe une intégrale de a à x0 (par exemple). On définit ensuite une seconde primitive, mais qui cette fois si associe une intégrale de a à x0+h.

La première primitive c'est F(x0)= Intégrale de a à x0 de f(t)dt.

La seconde primitive c'est F(x0+h)= Intégrale de a à x0+h de f(t)dt.

Donc Intégrale de x0 à x0+h f(t)dt = F(x0+h)-F(x0).

C'est bien cela, rien à vraiment comprendre ? Par exemple F(x0+h)= Intégrale de a à x0+h f(t)dt est un résultat que l'on admet, c'est tout. Justement, c'est ce que l'on démontre: F'(x)=f. Quand je dérive par F(x0+h), je dérive également l'intégrale qu'elle associe.

Cordialement.
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[gg0]

Si je comprends bien votre message, on définit une première primitive de f, qui associe une intégrale de a à x0 (par exemple). On définit ensuite une seconde primitive, mais qui cette fois si associe une intégrale de a à x0+h.

Où as-tu vu ça ???? je n'ai jamais parler d'intégrer de x à x+h, c'est toi qui parles toujours de ça. Moi pas !
Et si tu tiens à intégrer sur un intervalle [x,x+h] contenu dans l'intervalle [a,b] où f est continue, tu appliques la méthode : g étant une primitive de f,

Tu noteras que j'ai changé de nom de variable pour f, puisque x sert déjà à autrte chose (bornes); on ne peut pas utiliser la même lettre pour 2 usages différents, sous peine de confusion.
Il n'y a donc pas deux primitives, mais une seule, n'importe laquelle parmi l'infinité des primitives de f sur [a,b].

S'il te plaît : Lis exactement ce que je dis, ne te fais pas des idées avant de lire, le sens de la phrase n'existe que quand on le lit, mot à mot.

Cordialement.

NB : je ne comprends rien à la fin de ton message, qui témoigne d'une grande confusion à laquelle tu sembles tenir à tout prix. On dirait vraiment que tu ne veux pas vraiment comprendre ce qui est, tu veux seulement retrouver tes idées aberrantes.

[invite819ec7bb]

Merci de votre réponse.

g(x+h) est l'aire comprise entre a et x+h ( entre Cf et l'axe des abscisses) et g(x) est l'aire comprise entre a et x ( entre Cf et l'axe des abscisses).

g(x+h)= Intégrale de a à x+h f(t)dt et g(x)= Intégrale de a à x f(t)dt.

Il faut alors supposer que g(x+h)= Intégrale de a à x+h f(t)dt et g(x)= Intégrale de a à x f(t)dt. existent. En dérivant la primitive ( théorème du calcul intégral) c'est comme cela qu'on peut démontrer que g(x+h)= Intégrale de a à x+h f(t)dt et g(x)= Intégrale de a à x f(t)dt. existent.

Cordialement.

[gg0]

"g(x+h) est l'aire comprise entre a et x+h ( entre Cf et l'axe des abscisses)" NON ! Il n'y a aucune raison pour qu'une primitive quelconque donne une aire précise.
"Il faut alors supposer que g(x+h)= Intégrale de a à x+h f(t)dt et g(x)= Intégrale de a à x f(t)dt. existent."
Si f est continue, les intégrales existent, mais ne donnent pas nécessairement g(x+h) et g(x) (g est une intégrale parmi d'autres)
"En dérivant la primitive ( théorème du calcul intégral)" ??? En dérivant la primitive, on obtient la fonction (définition de "primitive"). Le "théorème du calcul intégral", c'est autre chose.
"c'est comme cela qu'on peut démontrer que g(x+h)= Intégrale de a à x+h f(t)dt " Ben !! tu viens de supposer que c'est égal, donc il n'y a rien à démontrer.

Encore une fois, tu tournes en rond en manipulant des bouts de formules et racontant un peu n'importe quoi.

Si tu veux être sérieux, tu commences par apprendre et nous donner ici :
* la définition de "f est une primitive de g"
* La définition de l'intégrale d'une fonction f (disons continue; si tu veux positive, il faut le dire) sur [a;b] :
* Ce que tu veux démontrer.
Sans ces trois éléments clairement écrits, on ne peut pas t'aider, tu changes sans arrêt de façon de présenter.

[invite819ec7bb]

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle (a;b), avec a<b et C la courbe représentative de f sur (a;b).

On considère la portion du plan délimité par x=a, x=b, y=o=axe des abscisses et C : y =f(x) = Courbe de f. Alors l'aire de ce domaine précédemment délimité est appelé intégrale de f de a à b de f(x)dx.

Théorème du calcul intégral: Lien entre intégrale et primitive.

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a un élément de I. L'application x ---> Intégrale de a à x f(x)dx est une primitive de f sur I.

Jusque là, ça va ?

Cordialement.

[invite819ec7bb]

Je complète:

Soit F une fonction. On note le réel F(b)-Fa).

Toute fonction f continue sur un intervalle admet des primitives, et si F est l'une d'elles, on a (pour tous a et b dans cet intervalle) : Intégrale de a à b de f(x)dx =F(b)-F(a).

[gg0]

Attention à ce que tu écris : "est appelé intégrale de f de a à b de f(x)dx." tu mélanges encore nom et notation ! Revois ton cours.

Il manque
* la définition de "f est une primitive de g"
* Ce que tu veux démontrer.

[invite819ec7bb]

f'=g. La primitive c'est f et sa dérivée g.

Je veux démontrer que F(b)-F(a)= Intégrale de a à b de f(x)dt. C'est justement cela que je n'ai pas compris.

Cordialement.

[gg0]

Ok.

Tu as déjà tout :
"Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a un élément de I. L'application x ---> Intégrale de a à x f(x)dx est une primitive de f sur I." On appelle g cette primitive. Donc si F est une autre primitive, g(x)=F(x)+ c où c est une constante.
Intégrale de a à b de f(x)dx =g(b) et Intégrale de a à a de f(x)dx=g(a)=0
donc Intégrale de a à b de f(x)dx =g(b)=g(b)-g(a)=F(b)+c-(F(a)+c)=F(b)-F(a)

[invite819ec7bb]

Merci à vous gg0.

Je peux travailler avec des valeurs ? La fonction f continue sur un intervalle I est f(x)=2x+3

On n'a: g(x)=ax2+bx+c= 5x carré + 3x + 1 = Intégrale de a à x de f(x)dx qui est une primitive de f(x). Si a=2 et x=5, j'ai donc g(5)= Intégrale de 2 à 5 de f(x)dx= 141 u.a. Donc l'application x---> Intégrale de a à x f(x)dx=g(x)=141 u.a.

Vous êtes d'accord pour l'instant ? ( c'est incomplet, je fais au fur et à mesure).

Cordialement.

[gg0]

g(x)=5x²+3x+1 n'est pas une primitive de f. Vérifie, c'est évident si tu sais dériver. Et encore moins " Intégrale de a à x de f(x)dx " qui est déjà mal écrite (relis mon message #62 - C'est impoli d'écrire systématiquement de travers alors qu'on te l'a signalé) mais surtout dépend évidement du choix de a, alors que 5x²+3x+1 non.
Et ça continue avec des absurdités dont l'inénarrable "Donc l'application x---> Intégrale de a à x f(x)dx=g(x)=141 u.a."
Donc tu continues à écrire n'importe quoi et je commence à croire que tu ne lis pas ce qu'on t'écrit ! Et que tu ne sais pas non plus ce que veut dire ce que tu écris.

Donc soit tu travailles sérieusement, après avoir lu et relu et un cours, et ce qu'on t'écrit ici, et on pourra continuer, soit tu continues ce comportement maladif et il est inutile de continuer ("on ne fait pas boire un âne qui n'a pas soif !")

[invite819ec7bb]

"g(x)=5x²+3x+1 n'est pas une primitive de f. Vérifie, c'est évident si tu sais dériver.".

DÉRIVATION de "g(x)=5x²+3x+1": 5*2x + 3 + 0 = 10x +3.

"L'application x ---> Intégrale de a à x f(x)dx est une primitive de f sur I." On appelle g cette primitive." Donc, je peux réécrire cela: g : x ---> Intégrale de a à x f(x)dx ou encore g(x)= Intégrale de a à x f(x)dx. Maintenant que j'ai rectifié, je peux travailler avec des valeurs, en prenant une valeur pour la borne a et une autre pour la borne x ?

Je n'ose même plus écrire de peur de mettre des bêtises... Vous êtes mathématiquement intransigeant et très strict et vous avez raison

Cordialement.

[invite51d17075]

"g(x)=5x²+3x+1 n'est pas une primitive de f. Vérifie, c'est évident si tu sais dériver.".

DÉRIVATION de "g(x)=5x²+3x+1": 5*2x + 3 + 0 = 10x +3.

"L'application x ---> Intégrale de a à x f(x)dx est une primitive de f sur I." On appelle g cette primitive." Donc, je peux réécrire cela: g : x ---> Intégrale de a à x f(x)dx ou encore g(x)= Intégrale de a à x f(x)dx. Maintenant que j'ai rectifié, je peux travailler avec des valeurs, en prenant une valeur pour la borne a et une autre pour la borne x ?

Je n'ose même plus écrire de peur de mettre des bêtises... Vous êtes mathématiquement intransigeant et très strict et vous avez raison

Cordialement.

tu mélange encore dans ton écriture les valeurs des bornes de l'intégrale et la variable d'indice.
"x" ne peut être les deux à la fois !!!!!!

soit la fonction f définie par f(x)=10x+3
la fonction g définie par g(x)=5x²+3x+1 est bien une primitive de f ( tout comme l'est aussi h(x)=5x²+3x d'ailleurs )
d'où

( j'ai donc ici remplacé ton x par t sous l'intégrale )

[invite51d17075]

correction , car tu cherches semble t il l'intégrale de a à x, et non de 0 à x.
On a donc :

[gg0]

"La fonction f continue sur un intervalle I est f(x)=2x+3"
"DÉRIVATION de "g(x)=5x²+3x+1": 5*2x + 3 + 0 = 10x +3."
10 n'est pas 2.
la suite est du même acabit.

A ce niveau de mauvaise foi, je laisse tomber.

[invite51d17075]

salut gg0;
en fait, j'ai oublié volontairement cette première phrase.
il s'exprime mal, ( et je ne l'ai pas repris là dessus ).
je pense qu'il cherche du sens à tout cela.
en espérant que les différents mess lui donnent les idées plus claires.
Cordialement.

ps: pour moi, ce n'est pas de la mauvaise foi. mais l'envie de comprendre.

[gg0]

On ne peut pas comprendre les maths en n'en faisant pas. En refusant d'écrire correctement les notations, d'employer les mots corrects. Donc quand on fait ça, l'envie de comprendre n'est pas de comprendre des mathématiques, mais de découvrir une magie sous les mots et les formules. Un refus d'essayer de penser clairement. Une envie sans traduction dans le comportement. Déjà plus de 75 messages sans changement de comportement !!
Quand en plus on lit systématiquement de travers les réponses, je préfère qualifier ça de mauvaise foi, je suis moins insultant qu'en parlant de "envie de comprendre".
Bon courage si tu veux continuer !

Cordialement.

[invite819ec7bb]

Bonjour,

Cela peut paraitre comme étant de la mauvaise foi, et je comprends tout à fait gg0, j'aurai sans doute eu la même réaction si j'avais été à sa place, pour expliquer une notion à une personne qui aurait éventuellement eu le meme comportement. Mais comme le dit ansset, j'essaye de comprendre.

Donc, je vais reprendre le théorème du calcul intégral. J'ai une fonction f continue sur un intervalle I (a;b) avec a<b. x et x+h sont des réels appartenant à I avec x+h> à x bien évidemment. On note F(x)= Intégrale de a à x de f(t)dt et F(x+h)= Intégrale de a à x+h. F'=f. Démontrons cela:

F(x+h)-F(x)/h = Intégrale de a à x+h f(t)dt - Intégrale de a à x de f(t)dt = Intégrale de x à x+h de f(t)dt. Donc lim h ---> 0 de F(x+h)-F(x)/h=f(x) = Intégrale de x à x de f(t)dt + Intégrale de x à x+h f(t) dt (relation de Chasles). On change les notations, x devient "y" (et x+h devient "z").

Donc Donc lim h ---> 0 de F(x+h)-F(x)/h=f(x) = Intégrale de y à z de f(t)dt - Intégrale de y à y de f(t)dt = Intégrale de y à z de f(t)dt = F(z)-F(y).

[invite51d17075]

F(x+h)-F(x)/h = Intégrale de a à x+h f(t)dt - Intégrale de a à x de f(t)dt = Intégrale de x à x+h de f(t)dt. Donc lim h ---> 0 de F(x+h)-F(x)/h=f(x) = Intégrale de x à x de f(t)dt + Intégrale de x à x+h f(t) dt (relation de Chasles). On change les notations, x devient "y" (et x+h devient "z").
.

ça commence mal :


il n'y a pas à ce stade de


c'est ensuite, si on prend en compte la continuité de la fonction f en x que l'on peut ( avec précaution ) dire que

[invite51d17075]

il y a plus propre ,
c'est de dire que F est dérivable de dérivée f.
donc
F(x+h)=F(x)+hf(x) +0(h)
avec F'(x)=f(x)
et on en déduit ce que tu cherches.

[invite819ec7bb]

"il n'y a pas à ce stade de F(x+h)-F(x)/h". J'ai justement fait exprès de le prendre d'un bouquin de maths ( Barbazo) pour pas faire de faute, et on me dit que c'est faux ! .... Je vais fuir de ce forum, c'est la 6ème pages et je tourne en rond sans arrêt. Je vais aller voir directement ailleurs qu'on me l'explique avec des valeurs et non pas en pondant 60 000 fois les mêmes choses que je ne comprends pas.

[invite51d17075]

je suis désolé mais j'affirme que ( si F est une primitive de f ) alors:



et sans division par h !
si en plus tu t"énerves tout seul, ce n'est pas mon pb.

[invite819ec7bb]

Désolé...

Je vais réécrire en entier le cours qu'il y a dans le livre de maths "Barbazo" édition 2016.

1- NOTION D' INTEGRALE

Définition 1: Soit un repère orthogonal (O,I,J), soit K le point de cordonné (1;1). L'aire du rectangle OIKJ est appelé unité d'aire et est noté u.a.

Définition 2: Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle (a;b) et C sa course représentative dans un repère orthogonal. L'aire du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b est appelé Intégrale de a à b de la fonction f. Elle est noté: Intégrale de a à b de f(x)dx.

REMARQUE: Le nombre Intégrale de a à b de f(x)dx ne dépend que de a, b et f. On dit que "x" est une variable muette. On peut également écrire ce nombre Intégrale de a à b de f(t)dt ou Intégrale de a à b de f(u)du.

2-PROPRIETES DES INTEGRALES:

Propriété: Positivité

1-Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle (a;b). On a Intégrale de a à b de f(x)dx > ou = à 0.

2-Si a=b, alors Intégrale de a à a=f(x)dx=0.

PROPRIETE: Relation de Chasles

Soir f une fonction continue et positive sur un intervalle (a;c) et b appartenant à ( a;c).

On a Intégrale de a à c de f(x)dx= Intégrale de a à b de f(x)dx + Intégrale de b à c de f(x)dx.

PROPRIETE: INVARIANCE PAR SYMETRIE ET TRANSLATION

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle (a;b), C sa courbe représentative dans un repère orthogonal et T un réel.

Si C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, alors Intégrale de -a à 0 f(x)dx=Intégrale de 0 à a de f(x)dx.

Si C est invariante par translation de vecteur Ti, alors Intégrale de a à b de f(x)dx= Intégrale de a+T à b+T f(x)dx.

Voilà pour la première partie.

[invite51d17075]

pas de souci jusque là.
ce n'est pas ce que tu écris dans le fil....

par exemple, d'où sort ta division par h ?
comme si tu divisais par "(b-a)"

[invite819ec7bb]

SUITE:

2- PRIMITIVE D UNE FONCTION

1-Théorème fondamental de l'analyse

Théorème: Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle (a;b) et F la fonction définie sur (a;b) par F(x)= Intégrale de a à x de f(t)dt. La fonction F est dérivable sur (a;b) et a pour dérivée f.

Démonstration dans le cas ou f est croissance sur (a;b).

Soit x0 qui appartient à (a;b) et soit h un réel non nul tel que x0+h appartient à (a;b).

Cas 1: h>0.

F(x0+h)-F(x0)/h= 1/h(Intégrale de a à x0+h f(t)dt - Intégrale de a à x0 f(t)dt)

F(x0+h)-F(x0)/h= 1/h( Intégrale de x0 à x0+h d(t)dt). Comme f est croissance sur (a;b), l'aire sous la courbe de f entre x0 et x0+h est comprise entre l'aire des rectangles de largeur h et de hauteur respective f(x0) et f(x0+h). Donc h(fx0)< ou = Intégrale de x0 à x0+h< ou = hf(x0+h).

Donc f(x)< ou = F(x0+h)-F(x0)/h<ou = f(x0+h).

Voilà.

Donc, ma première question: F(x0+h)-F(x0)/h= f(x0) ?

[invite51d17075]

ben oui,
amusant parce que avant si tu écris par exemple :
f(x+bidule) -F(bidule) ) = G( bidule ) ça ne veut rien dire.
reviens stp sur ta "fameuse" division par h au début , parce que là c'est moi qui ait l'impression que l'on se fout de ma g.....le.

[invite819ec7bb]

"reviens stp sur ta "fameuse" division par h au début , parce que là c'est moi qui ait l'impression que l'on se fout de ma g.....le."
=
En faite, tu as écrit cela (message 79): "ça commence mal" : Intégrale de a à x+h f(t)dt - Intégrale de a à x f(t)dt= Intégrale de x à x+h f(t)dt = F(x+h)-F(x), il n'y a pas à ce stade de F(x+h)-F(x)/h.

Pourtant, dans le théorème du calcul intégral que j'ai copié, il y a écrit cela: F(x0+h)-F(x0)/h= 1/h(Intégrale de a à x0+h f(t)dt - Intégrale de a à x0 f(t)dt)

F(x0+h)-F(x0)/h= 1/h( Intégrale de x0 à x0+h d(t)dt).

[invite51d17075]

il faut te relire :
post #78

F(x+h)-F(x)/h = Intégrale de a à x+h f(t)dt - Intégrale de a à x de f(t)dt = Intégrale de x à x+h de f(t)dt.

post # 85

F(x0+h)-F(x0)/h= 1/h(Intégrale de a à x0+h f(t)dt - Intégrale de a à x0 f(t)dt)

dans l'un tu divises uniquement le premier terme par h, dans le second tu divises les deux termes.

Enfin, s'agissant de ta dernière question :

Donc, ma première question: F(x0+h)-F(x0)/h= f(x0) ?

C'est faux pour un h quelconque bien sur.

C'est la limite qui est juste ( et avec les bonnes parenthèses )


ce qui est bien normal puisque si F est une primitive de f , alors sa dérivée est la fonction f.
c'est d'ailleurs ce que j'avais écrit plus haut.

[invite819ec7bb]

Bonjour,

Désolé ansset si je n'ai pas été clair et désolé également pour mon comportement inapproprié...

Je vais désormais pouvoir éclairer quelques zones d'ombres.

F(x)= Intégrale de a à x de f(t)dt, ceci est un nombre, si j'ai compris, on fait tendre cette intégrale vers 0 ( en dérivant ), on se retrouve avec une intégrale nulle, qui rejoint cette propriété:

Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle (a;b). On a Intégrale de a à b de f(x)dx > ou = à 0. Si a=b, alors Intégrale de a à a=f(x)dx=0. ( bien sur, il faut que je face attention aux bornes qui ne correspondent pas). On a alors un segment de droite, dans notre cas c'est f(x0) ?

Cordialement.

[invite51d17075]

décidemment, je me demande si tu ne fais pas plus compliqué que nécessaire.

F(x)= Intégrale de a à x de f(t)dt, ceci est un nombre, si j'ai compris, on fait tendre cette intégrale vers 0 ( en dérivant ), on se retrouve avec une intégrale nulle, ....

telle que tu l'écris ici : si x est une variable, alors ton F(x) ici ( que je préfère appeler I(x) (*)) dépend de x donc est une fonction de x.
je l'appelle I(x) car c'est ici l'intégrale de a à x , et donc si F est une primitive de f comme on l'écrit depuis le début et ce qui est l'usage ) on a :
I(x)=F(x)-F(a)
ensuite , que fais tu "tendre vers 0".
l'intégrale tend vers 0 si x tend vers a , c'est tout ! ( car F(a)-F(a)=0 )

Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle (a;b). On a Intégrale de a à b de f(x)dx > ou = à 0. Si a=b, alors Intégrale de a à a=f(x)dx=0. ( bien sur, il faut que je face attention aux bornes qui ne correspondent pas). On a alors un segment de droite, dans notre cas c'est f(x0) ?

Ce n'est pas clair du tout :
quel rapport entre x0 et a ou b ?
supposons que tu ais voulu écrire f(a).....
quel mélange de concept :
f(x0) ou f(a) ( comme tu veux ) n'est pas = 0 , alors que

tu fais ( me semble t il ) encore une confusion entre une fonction de x ( ici l'intégrale de a à x de f(t)dt ) et sa dérivée qui vaut f(a)