composée de fonctions

[invite675cf495]

dis moi ce qui est pas bon dans ma démo j'en ai vraiment besoin!!!
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[invite675cf495]

g(2x)= 2x^2

pourquoi c'est pas sa??? j'ai bien remplacé y par 2x pourtant!

[fritzlm]

Il faut remplacer y par (2x) ce qui donne g(f(x))=(2x)^2 ce qui donne après avoir développé g(f(x))= 4 x^2

Mais effectivement, va plutôt voir ton prof de math pour qu'il t'explique de vive voie parce que tu ne maîtrises pas bien la notion de fonction....

[invite675cf495]

donne moi en plusieurs pour que je vois si j'ai compris! stp
peux tu me dire qu'est-ce qui est pas bon dans ma derniere démo?

[fritzlm]

Pour ta démo, promis je t'aide quand tu seras OK avec les fonctions et les composées.

1)
Fonctions définies de R dans R
f(y)=y-2
g(truc)=truc/4

2)
Fonctions définies de R dans R
f(z)=1
g(t)=3t

3)
Fonctions définies de R dans R
f(l)=3
g(x)=1

Dans les 3 cas donne moi ce que tu trouves pour fog(x) et gof(x).

Courage

[Gwyddon]

Si g(x)=3x^2+1 et f(x)=-3x (le tout sur R)

fog (x) = ?

gof (x) = ?

[fritzlm]

Décidément...

[invite675cf495]

ouh la la!!! dur dur!!!

[invite675cf495]

Si g(x)=3x^2+1 et f(x)=-3x (le tout sur R)

fog (x) = ?

gof (x) = ?

fog(x)= f(g(x))= f(3x^2+1)= -3(3x^2+1)= -9x^2-3

gof(x)= g(f(x))= g(-3x)= 3(-3x)^2+1= 3(9x^2)+1= 27x^2+1

ouh la je sens que je vais me faire taper sur les doigts!!!!

[fritzlm]

Super je crois que tu y es
Alors maintenant attaquons nous à ta démonstration!
Sans t'occuper de ton exercice, quelle est la méthode pour montrer qu'une fonction est croissante/décroissante?

[invite675cf495]

lorsque f(a)<f(b) elle est croissante
losque f(a)>f(b) elle est décroissante

[fritzlm]

Ca dépend... Que sont ton a et ton b?

[invite675cf495]

a et b sont deux réels

[fritzlm]

Et rangés comment?

[invite675cf495]

tels que a<b

[fritzlm]

Yes, on est d'accord
Alors prenons le cas où f et g sont croissantes pour commencer. Que veux-tu montrer pour fog?

[invite675cf495]

pour fog
f et g sont croissantes
on a: g fonction croissante donc f(a)<f(b)
f fonction croissante donc f(a)<f(b)
j'associe à g la fonction f donc f(g(a))<f(g(b))
donc la fonction fog est croissante.

[fritzlm]

pour fog
f et g sont croissantes
on a: g fonction croissante donc f(a)<f(b)
f fonction croissante donc f(a)<f(b)
j'associe à g la fonction f donc f(g(a))<f(g(b))
donc la fonction fog est croissante.

Alors, reprenons:

1)

on a: g fonction croissante donc f(a)<f(b)

Tu parles d'une propriété de g pour en déduire quelque chose sur f, y a un truc qui va pas

2)
Tu cherches à montrer que fog est croissante apparemment donc qu'est-ce que tu dois montrer?

[invite675cf495]

Que comme les deux sont de meme signes elles sont croissantes!

[fritzlm]

Effectivement si deux fonctions f et g ont le même sens de variation, la composée des deux est croissante.

Restons dans le cas où f et g sont croissantes. On veut montrer que fog est croissante. Pour ce faire on procède comme suit:

Soient a et b appartenant à Dg (domaine de définition de g) tels que a<b.
...
...
Donc fog(a)<fog(b)

Comment complèterais-tu les ...

[invite675cf495]

Effectivement si deux fonctions f et g ont le même sens de variation, la composée des deux est croissante.

Restons dans le cas où f et g sont croissantes. On veut montrer que fog est croissante. Pour ce faire on procède comme suit:

Soient a et b appartenant à Dg (domaine de définition de g) tels que a<b.
...
...
Donc fog(a)<fog(b)

Comment complèterais-tu les ...

g fonction croissante donc g(a)<g(b)
f fonction croissante donc f(a)<f(b)

[fritzlm]

g fonction croissante donc g(a)<g(b)

OK pour cette étape.

f fonction croissante donc f(a)<f(b)

Celle-là par contre... N'oublie pas que tu cherches à montrer que f(g(a))<f(g(b)). Tu n'as pas besoin de calculer f(a) ni f(b).

[fritzlm]

On en est donc à

Soient a et b appartenant à Dg (domaine de définition de g) tels que a<b.
g fonction croissante donc g(a)<g(b)
...
Donc fog(a)<fog(b)

[invite675cf495]

j'associe à g la fonction f donc f(g(a))<f(g(b))

[fritzlm]

et quelle hypothèse te permet de dire ça?

[invite675cf495]

et quelle hypothèse te permet de dire ça?

elles sont de même signe donc f(g(a))<f(g(b))

[fritzlm]

non ça c'est ce que tu veux démontrer. Il te reste une hypothèse sur f que tu n'as pas utilisée, cherche de ce côté là

[invite675cf495]

franchement la je vois pas!

[fritzlm]

Je pense que ça vient encore du fait que tu maîtrises pas tout à fait les fonctions...

En fait, une fonction h croissante définie sur R est une fonction qui conserve l'ordre c'est à dire que si tu regardes deux réels rangés dans un certain ordre leurs images par la fonction le seront aussi.

En terme "mathématiques" cela donne:

Pour tout x de R.
Pour tout y de R.

Si x<y alors h(x)<h(y).

Là encore, le nom de tes variables n'a aucune importance, j'aurais pu prendre a et b, truc et bidule, nicolas et pimprenelle, ça ne change rien!

C'est bon ou pas pour ça?

[invite675cf495]

sa oui c'est bon!