Utilisation de nombres réels ou complexes en physique

[invitee0b658bd]

bonjour,
une vitesse quadratique moyenne n'est elle pas tout aussi alambiquée qu'un nombre imaginaire ?
et en effet j'aurai du ecrire statistique plutot que probabilité.
personnellement j'adopterai plutôt aussi la position de Galilée et Descartes quand au fait que les maths sont "le langage de la nature" et l'emploi de concepts mathématiques n'ayant pas une correspondance évidente parfaite avec le phénomène ne me dérange pas dans la mesure ou l'expérience valide cette utilisation et que le modèle est en adéquation avec ce qui est cherché.
Je souligne juste qu'il n'y a pas besoin d'aller chercher les complexes pour tomber sur l'emploi de concepts qui ne sont pas en lien étroit et direct avec l'observation
cordialement fred
-----

[invité576543]

Petite question : existe-t-il des calculs ne pouvant être produit avec des nombres réels mais uniquement imaginaires ?

Non, puisque toute opération sur des complexes peut s'exprimer à partir des deux fonctions Re() et Im() et des opérations sur des réels.

Cordialement,

[invitebd2b1648]

Merci !

[invite6754323456711]

Non, puisque toute opération sur des complexes peut s'exprimer à partir des deux fonctions Re() et Im() et des opérations sur des réels.

Cordialement,

Pourtant :

Par exemple l'équation x3 - 3x+1 = 0 admet trois solutions réelles. Mais pour déterminer ces solutions par le calcul, vous êtes obligés de passer par les nombres complexes ! Les parties imaginaires s'éliminent, ce qui fait que le résultat du calcul est un réel, mais vous ne pouvez pas faire le calcul autrement.

Pour résoudre une équation à coefficients réels et dont les solutions sont toutes réelles, les nombres complexes sont un intermédiaire incontournable.

Patrick

[invité576543]

Pourtant :

Par exemple l'équation x3 - 3x+1 = 0 admet trois solutions réelles. Mais pour déterminer ces solutions par le calcul, vous êtes obligés de passer par les nombres complexes ! Les parties imaginaires s'éliminent, ce qui fait que le résultat du calcul est un réel, mais vous ne pouvez pas faire le calcul autrement.

Pour résoudre une équation à coefficients réels et dont les solutions sont toutes réelles, les nombres complexes sont un intermédiaire incontournable.

Pourquoi? Il s'agit d'un "bête algorithme". Si je le programme, ce ne sera que des manipulations de symboles. Seuls les symboles en entrée et en sortie ont besoin d'être interprétés comme des réels. La cuisine interne n'a pas à être interprétée d'une manière ou d'une autre.

Le passage par les complexes est lié à la démonstration, ou la compréhension de l'algorithme.

Mais même cela est contournable : si on fournit la réponse sans expliquer le "pourquoi" de cette réponse, il suffit de vérifier l'équation pour démontrer la validité de la réponse, et cela ne demande que des calculs réels.

Et on peut fournir la réponse, ou décrire l'algorithme, avec uniquement des calculs sur des réels.

Pour moi, c'est juste commode d'y voir des complexes intermédiaires (et encore, juste pour la compréhension de l'algo), pas incontournable.

Cordialement,

[invitea774bcd7]

Tss tss…
2*cos(2*pi/9) est une racine évidente, voyons…

[stefjm]

Petite question : existe-t-il des calculs ne pouvant être produit avec des nombres réels mais uniquement imaginaires ?

Je vais répondre le contraire de Michel!
C'est différent en terme de nombre de solutions.

x^2+1=0 n'a pas de solutions dans R, alors qu'il en a dans C.

En physique, c'est un aspect important.
En acceptant les complexes, on unifie la réponse des systèmes linéaires grâce à l'exponentielle complexe.

Non, puisque toute opération sur des complexes peut s'exprimer à partir des deux fonctions Re() et Im() et des opérations sur des réels.

On peut toujours dire que Re(x)=0 et Im(x)=+-1, et qu'il n'y a donc pas de solutions réelles mais cela me semble bien artificiel!

[mach3]

Tss tss…
2*cos(2*pi/9) est une racine évidente, voyons…

alors là ça me laisse sans voix. Pensant que tu déconnais, j'ai mis cette racine dans l'équation et ... =0...
Quelqu'un peut m'expliquer comment la racine d'un polynome du troisième degré se trouve être un cosinus c'est dingue quand même...

sinon pour apporter ma pierre au sujet, tout calculs effectués sur des complexes revient à faire des calculs sur des couples de réels avec des règles particulières ou encore mieux, des calculs classiques sur des matrices 2x2 réelles et antisymétrique.

m@ch3

[invité576543]

Pour revenir à la notion de mesure et les réels...

Je ne sais pas (pas moyen de retrouver) si j'avais présenté l'argument suivant dans une discussion précédente. Si c'est le cas, désolé du radotage, et désolé de ne plus me souvenir des réponses éventuelles.

Les mesures usuelles sont des rapports à des étalons. Un étalon, ça se duplique, se multiplie, et même, indirectement, ça se divise. S'il n'y a pas de limite pratique à la division, on a tous les ingrédients pour que la représentation de la mesure soit un réel positif.

La question est alors s'il existe des étalons de nature différente?

Il me semble qu'on peut répondre oui, en citant un nuancier. Un nuancier peut être vu comme un étalon pour mesurer une couleur perçue. La notion d'étalon s'applique bien, il en est de publiés et couramment utilisés comme le nuancier Pantone.

La mesure ne se fait pas par duplication ou division, mais par comparaison directe. Le résultat de la mesure est un symbole représentant la nuance. C'est juste un élément d'un ensemble fini, sans structure autre.

Certes c'est très grossier comme mesure, mais cela ne me semble pas une raison pour l'exclure de la notion de mesure.

Le point important (et qui explique l'existence même des nuanciers) est que les résultats potentiels de la mesure ne peuvent pas être ordonnés, et donc qu'un étiquetage par un réel (ce qui est toujours possible, on peut toujours construire un ensemble fini avec des réels!) ne peut pas se faire de manière à ce qu'il y ait une relation directe entre la structure "avancé" de R et ce qui est mesuré. (I.e., au mieux, on utilise R comme ensemble, ce qui est bien une structure, mais qui ne privilégie en rien R.)

Même une représentation par trois réels n'est pas une approche satisfaisante, toujours comme le montre l'existence même des nuanciers. Mais de toute manière, la représentation par trois réels est largement arbitraire (suffit de voir la multitude de solutions apportées).

A bien regarder, ce qu'on "mesure" c'est une "transformation entre spectres" (entre celui de la lumière incidente et celui de la lumière réfléchie). Un spectre est un objet non descriptible par un nombre fini de réels, et une transformation encore moins. La mesure grossière par comparaison avec un nuancier et donnant juste un symbole "non structuré" en sortie est une approche raisonnable pour ce genre d'objet.

Certes, on est loin des complexes. Mais cela me semble être un argument contre l'idée que tout résultat de mesure est donné par un ou plusieurs réels.

Cela reste une exception(1), l'écrasante majorité des mesures physiques est bien avec un résultat soit de type entier, soit de type réel, je n'en disconviens pas.

Et je ne vois pas trop (en fait pas du tout) comment cela se transposerait en un cas "d'étalon complexe" non interprétable comme un "étalon R²".

Cordialement,

(1) D'autres exemples me semblent un peu similaires, mais pas aussi "net", comme les noms de constellations utilisées comme "mesure" grossière de direction spatiale.

[invité576543]

Je vais répondre le contraire de Michel!
C'est différent en terme de nombre de solutions.

La question portait sur la notion de calcul, pas d'équations à résoudre ou de nombre de solutions.

Cordialement,

[invité576543]

Quelqu'un peut m'expliquer comment la racine d'un polynome du troisième degré se trouve être un cosinus c'est dingue quand même...

Polynômes de Tchebychev...

Cordialement,

[invite6754323456711]

sinon pour apporter ma pierre au sujet, tout calculs effectués sur des complexes revient à faire des calculs sur des couples de réels avec des règles particulières ou encore mieux, des calculs classiques sur des matrices 2x2 réelles et antisymétrique.

Oui sur R² et non sur R. R² et C sont isomorphe. Tout corps isomorphe à un corps de nombres complexes est aussi un corps de nombres complexes.

Patrick

[stefjm]

alors là ça me laisse sans voix. Pensant que tu déconnais, j'ai mis cette racine dans l'équation et ... =0...

Guerom00 est aussi fort qu'Alpha!
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%282*pi%2F9%29

Guerom00 est plus fort qu'Alpha! (Alpha donne les trois solutions réelles en fonction de i ! cliquer sur forme exacte) :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x3+-+3x%2B1+%3D+0

Quelqu'un peut m'expliquer comment la racine d'un polynome du troisième degré se trouve être un cosinus c'est dingue quand même...

Il doit y avoir un rapport avec les complexes...
Il faudrait un mathématicien au pays des physiciens...

sinon pour apporter ma pierre au sujet, tout calculs effectués sur des complexes revient à faire des calculs sur des couples de réels avec des règles particulières ou encore mieux, des calculs classiques sur des matrices 2x2 réelles et antisymétrique.

Puisqu'on parle de matrice, j'en profite aussi pour signaler que la résolution des systèmes différentiels linéaires peut aussi se faire par exponentielle de matrice.

[invité576543]

Oui sur R² et non sur R. R² et C sont isomorphe.

NON. Et cela a déjà été rectifié plein de fois.

Les notations R² et C désignent des structures différentes.

Tout corps isomorphe à un corps de nombres complexes est aussi un corps de nombres complexes.

Certes, mais R² n'est PAS la désignation d'un corps.

Cordialement,

[invitea774bcd7]

Quelqu'un peut m'expliquer comment la racine d'un polynome du troisième degré se trouve être un cosinus c'est dingue quand même...

C'est analogue à ce genre de choses

[stefjm]

C'est analogue à ce genre de choses

Merci.
J'adore cette numérologie.
Le discriminent en -1/256 est assez bluffant...

[invité576543]

R² et C sont isomorphe.

Pour en rajouter, si tu te permets ce genre d'affirmation, la suivante est tout aussi correcte (pas plus, pas moins):

R et C sont isomorphes.

Je laisse les lecteurs comprendre pourquoi.

Cordialement,

[invite6754323456711]

R et C sont isomorphes.

Je laisse les lecteurs comprendre pourquoi.

C'était implicite et qu'un rappel. Je parlais d'isomorphisme de corps bien sur.

Patrick

[invite6754323456711]

R et C sont isomorphes.

Tu as raison il faut être précis.

Si on s'intéresse apparemment à faire des calculs. Il nous faut donc munir nos ensembles de deux lois de composition interne addition et multiplication. Dans ce cas le corps C défini comme l'ensemble des couples de réels (a,b). Il est muni de deux lois internes, notées + et (ou l'absence de symbole) définies par:




Ainsi défini, est un corps commutatif.

Ce que je voulais faire remarquer c'est qu'il est possible d'identifier x et (x,0) du fait que l'application de qui a tout réel x associe le complexe (x,0) est injective et est un morphisme de corps.

Mais pas x et (x,y)

Patrick

[Universus]

Bonsoir,

Quelqu'un peut m'expliquer comment la racine d'un polynome du troisième degré se trouve être un cosinus

En fait, c'est pire que cela : les trois racines de ce polynôme s'écrivent sous forme trigonométrique! Nommons et et ses racines (de telle sorte que ). On pourrait remarquer que mise à part le 1, les puissances de P sont impaires, cela ressemblant drôlement au (troisième ici) polynôme de Tchebychev (de première espèce), soit (je vois que Michel en a déjà parlé). Les polynômes de Tchebychev de la première espèce sont définis par (n un entier naturel):



et on peut montrer que ces polynômes n'ont que des puissances paires si est pair et impaires sinon, le degré du polynôme étant . Bref, on a dans le cas qui nous intéresse :



On peut donc chercher à voir par quel nombre et quel changement de variable on peut passer du polynôme à :



la dernière égalité étant par hypothèse que a et b existent. Par l'unicité de l'écriture des polynômes, on en déduit que , soit en substituant pour le terme en puissance 3 , soit , donc . Il suffit de trouver quelques solutions en y à :



Pour ce faire, on revient à la définition des polynômes de Tchebychev. On remarque tout d'abord que (au signe de l'argument et au modulo près) et . Cela implique, par définition des polynômes, que et . Ainsi, en revenant à la variable x (et en associant convenablement la valeur de b au y_i correspondant), on a et (la valeur de guerom00 ). Ces deux valeurs étant déterminées, la troisième racine de P, soit , s'obtient aisément en développant l'expression de donnée par rapport aux zéros de (on trouve en fait plusieurs 3 différentes expression de , l'une d'elles étant ).

Bref, il peut s'agit d'une méthode pour trouver des racines à une certaine classe de polynômes sans passer par les complexes (quoique la façon la plus simple que je connaisse pour obtenir les polynômes de Tchebychev passe par l'identité de De Moivre, donc par les complexes ).

[invite6754323456711]

Bref, il peut s'agit d'une méthode pour trouver des racines à une certaine classe de polynômes sans passer par les complexes

Ce n'est pas une méthode générale par le calcul. C'est plus une méthode de type ad-hoc non générale dans la famille de recherche d'une racine évidente.

Patrick

[invite6754323456711]

Les mesures usuelles sont des rapports à des étalons. Un étalon, ça se duplique, se multiplie, et même, indirectement, ça se divise. S'il n'y a pas de limite pratique à la division, on a tous les ingrédients pour que la représentation de la mesure soit un réel positif.

Comment fais-tu avec les nombres incommensurables tel que ?

Patrick

[Universus]

Ce n'est pas une méthode générale par le calcul. C'est plus une méthode de type ad-hoc non générale dans la famille de recherche d'une racine évidente.

D'où mon ''une certaine classe'' dont je ne connais pas l'étendue puisque toute la complexité du problème réside à trouver le bon changement de variable (ici relativement simple, mais qui peut être passablement plus complexe, rendant la démarche d'autant plus étendue). En aucun cas cela ne peut être une méthode générale (puisqu'on peut par exemple l'appliquer à certains polynômes de degré supérieur à 4 alors qu'aucune solution générale en termes d'opérations ''communes'' n'existe pour ces polynômes). De là à dire que c'est ad hoc, c'est une question d'impression ; je vois ça plutôt comme une stratégie intéressante pour trouver des racines qui peuvent n'avoir rien d'évidentes (en quel cas je dirais que toute racine peut être qualifiée d'évidente).

Je comprends néanmoins que l'idée est de débattre la nécessité de passer par les complexes pour obtenir les solutions à certaines classes générales de polynômes, dans quel cas le type de démarche esquissée dans mon précédent message serait un bien faible argument contre la nécessité des complexes. Néanmoins, dire que cette démarche, faute d'être générale, ne peut servir d'argument n'est pas un argument en soi (à ma connaissance), puisque rien n'indique (à ma connaissance) qu'il n'existe pas une méthode non générale applicable à tout polynôme (de degré inférieur à 5 du moins) qui ne fasse pas appel aux complexes. Enfin, cela sort quelque peu du contexte de la discussion.

[invité576543]

Comment fais-tu avec les nombres incommensurables tel que ?

Penses-tu qu'il n'existe pas de masse de valeur kg ?

Cordialement,

[invité576543]

annulé, doublon

[invité576543]

Bref, il peut s'agit d'une méthode pour trouver des racines à une certaine classe de polynômes sans passer par les complexes

Ce n'est pas une méthode générale par le calcul. C'est plus une méthode de type ad-hoc non générale dans la famille de recherche d'une racine évidente.

Quel est le point que tu fais là, plus précisément?

La relation avec la discussion est loin d'être claire, pour ce message comme pour toute la sous-partie du fil relative aux pôlynomes (qui mériterait d'ailleurs un autre fil...).

Principalement parce que l'expression "passer par les complexes" est très peu claire. Très insuffisamment pour que le terme "incontournable" que tu as utilisé dans un message plus ancien soit réfutable.

Cordialement,

[invitee0b658bd]

Bonjour,

Penses-tu qu'il n'existe pas de masse de valeur kg ?

je vais peut etre dire une betise, mais une masse n'est elle pas quantifiée ?
fred

[invité576543]

je vais peut etre dire une betise, mais une masse n'est elle pas quantifiée ?

Pas que je sache.

Il me semble que la quantification des masses est équivalente à la quantification des durées, donc aussi des longueurs. C'est un domaine "non quantifié" de la physique actuelle, non?

Cordialement,

[mach3]

Il me semble que la quantification des masses est équivalente à la quantification des durées, donc aussi des longueurs. C'est un domaine "non quantifié" de la physique actuelle, non?

a priori elle est quantifiée pour les nano-objets (clusters de quelques atomes/molécules). Leurs composants ont des masses fixes (proton neutron electron) et leurs interactions étant quantifiées, les défauts de masse résultant le sont aussi. On se retrouve donc surement avec un spectre discontinu d'objets de masse faible. En revanche, ce n'est plus vrai pour les solide macroscopique où les niveaux d'énergie forment des bandes continues (ceci dit, c'est juste une approximation non??)

Ceci dit, cela n'exclue pas des masses irrationnelles voire transcendante. Pourquoi le développement décimal de la masse du proton (par exemple) finirait par s'arreter ou se repeter? cela voudrait dire que l'on a choisi un étalon commensurable avec la masse du proton, ce qui sauf si on choisi le proton comme étalon est totalement improbable pour ne pas dire impossible.

On peut d'ailleurs mener le même raisonnement pour toutes les grandeurs physique, exprimée dans une unité donnée (donc par rapport à un étalon), il y a plus de chances qu'elles soient irrationnelles ou transcendantes qu'entière ou rationnelles (sauf cas particuliers bien sur). Le problème c'est que nos mesures étant limités en précision, on n'aura jamais que les premiers chiffres et les mesures sont donc toujours des rationnels...

m@ch3

[invité576543]

et les mesures sont donc toujours des rationnels...

C'est une manière de voir (et peut-être un point d'achoppement dans le discussion).

Pour moi un résultat de mesure est un indicateur statistique pour une distribution de probabilité. (E.g., une estimée de la moyenne par exemple)

C'est continu (et donc représentable par un réel dans le cas d'une échelle naturellement ordonnée), simplement parce qu'on sait (cela fait partie du modèle) que l'erreur est une somme de plein de termes, dont des tellement petits et mal connus qu'on peut les modéliser comme une convolution de la distribution (hors ces erreurs) par une gaussienne continue.

Le résultat est alors automatiquement continu (et plus!).

L'indicateur statistique peut alors appartenir à un intervalle continu de R.

(Cette approche marche très bien pour les quantités effectivement quantifiées comme la charge électrique par exemple. Elle implique que le résultat de la mesure d'une charge peut être un élément quelconque de R. Ce qui ne préjuge en rien de la nature de la mesure idéale, qui n'est qu'une vue de l'esprit.)

Par ailleurs, il me semble qu'il est faux qu'un résultat de mesure soit un rationnel parce qu'on représente ce résultat par un nombre rationnel. Il faut distinguer l'objet et sa représentation. Par exemple, si je compte un nombre exact de tours de rotation, l'angle en radian est irrationnel, et en le représentant comme 2npi (la représentation usuelle!), par exemple, la représentation elle-même est irrationnelle.

Cordialement,