Causalité / instabilité du système défini par H(ω)=1/(1+(jω)^5)

[b@z66]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=bode+1%2F%28%28p%29^5%29

Je suis ok avec le Nyquist d'Alpha, mais pas trop avec la phase du bode et du Nichols.
1/p^5 déphase de car 5 intégrations (pas de raison de ne pas dérouler la phase ici aussi.)

Et donc aucune chance d'être stable en BF. (Le point -1 est laissé du mauvais coté et de très très loin...)

Merci pour l'illustration de WolframAlpha.Comme quoi, il ne devait pas exister 50 façons de le faire.

Les résultats de bode sont tout à fait normaux puisque l'argument(déphasage) de la fonctions H(w)=(-jw)⁵=j.w⁵ qui est affiché vaut bien pi/2 quel que soit la fréquence. La rotation de "phase"(mot que je trouve ici mal adapté) du diagramme de Nyquist est dû à la transformation par H d'un contour dans le plan de Laplace qui ne correspond pas à la TF et donc à l'analyse harmonique représentée notamment par Bode. Même remarque pour Nichols où le gain pour chaque fréquence est associé à l'unique déphasage de pi/2.
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[b@z66]

J'aurais plutôt tendance à interpréter le truc de deux manières :
- la moindre pichenette remet le système sur les rails, cela rejoint donc l'interprétation de b@z66 :

Pas du tout, tu n'as pas compris mon interprétation. Je considère bien toujours que ce système est instable. Pour remettre le système sur les rails, il faut appliquer une pichenette particulière calculée avec une telle précision que l'on arrive à remettre idéalement le système sur son état d'équilibre parfait. Cela est au contraire bien difficile et impossible à réaliser sur des durées très longues.

... avec un ajout qui son importance : le système ne commence par à diverger si la pichenette n'arrivera pas. (ça fait même bizarre de l'écrire... La langue elle-même nous enferme dans un carcan "causal" avec la concordance des temps )

La cause première de la divergence peut être considérée, sur le signal d'entrée, comme une perturbation infiniment petite et infiniment loin dans le passé de telle sorte que son importance soit négligeable sur la TF du signal d'entrée où ne subsiste que l'influence de l'impulsion appliquée en t égal zéro.

- la moindre pichenette renvoie de l'énergie dans le passé, qui s'amortit avec -t.

Je considère le système de façon causale avec toujours le temps orienté vers les t positifs.

[b@z66]

Une EDO caractérise toujours deux systèmes : un causal et un acausal.
Exemple : 1/(1+p) : causal stable ou acausal instable.
C'est curieux que ce soit toi qui fasse cette remarque puisque tu avais utilisé cet argument dans d'anciens fil. (avec moi)

Une EDO ne caractérise qu'un système. Par contre, si tu fais le changement de variable t -> -t. Tu obtiens une autre équation différentielle qui caractérise effectivement un autre système physique plausible(en vertu de la réversibilité temporelle).

[stefjm]

Bonjour à tous,
Je réponds au fur et à mesure en fonction du temps disponible.
Si je ne commente pas, c'est que je suis d'accord avec le propos. (ou que je n'ai rien compris)

Il est facile de trouver un système qui ne satisfait pas la limite vers 0 quand le module de p tend vers +inf et qui est réalisable, donc causal (n'importe quel passe-haut).

Un passe haut (1+Tp)/(Tp) n'est pas réalisable car fonction de transfert impropre, non strictement causale. Physiquement, il y a obligatoirement un pôle de plus qui a été négligé, car plus rapide, hors fréquences de travail ou atteignables. Ce passe haut serait capable de transmettre l'échelon instantanément dans les premiers instants ce qui est très peu physique. (physique classique)

Dans le livre que tu cites, la formulation ne fait pas de lien explicite entre la causalité et les conditions C1 et C2 : impossible de les relier.
La limite en 0 rejoint à priori l'analycité, pas la causalité :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_Paley-Wiener
Pour la causalité, je suis (à priori, je n'ai pas encore pris le temps de comprendre toute la démo) plus d'accord avec cela :
https://books.google.fr/books?id=5zO...wiener&f=false

Je ne connaissais pas ce critère. Je n'ai d'ailleurs pas bien compris quel était son sens physique?
Analycité et causalité sont duales.
Analycité : signal nul pour f négatives.
Causalité : signal nul pour t négatif.

En fait, je l'obtiens de mon côté de manière sûre en comparant parties réelle et imaginaire de l'amplitude complexe en Fourier (relations de Kramers-Kronig) : c'est d'ailleurs présent dans la figure présentée en #1, mais personne n'a pour l'instant réagi là-dessus.

Oui.
En lien avec
http://www2.ulg.ac.be/telecom/teachi...node30_mn.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_de_Hilbert
http://fr.wikipedia.org/wiki/Relatio...Kramers-Kronig

Concernant tes premiers graphes, ils n'ont aucun sens physique s'ils se rapportent au système 1/(1+p^5) qui est instable. Du coup, il est impossible d'obtenir les diagrammes de Bode expérimentalement et la mesure physique ne permet pas de dérouler la phase. (perte de 2pi.)
Tu as insisté pour dire que la FT 1/(1+(jw)^5) n'était pas la même, mais je n'ai pas encore saisi pourquoi.

Je ne réponds pas sur ces points, cela reviendrait à refaire le match :
http://forums.futura-sciences.com/ph...3-i4-2.html#27

Il faudrait d'ailleurs que je réponde aussi sur le fil là bas. Tu as une vision impédance et moi intégration.

Pour un système stable et causal, y'en a pas si on sait correctement manipuler les deux.
Pour un système stable et causal, on peut tranquillement remplacer p par jω, et retrouver la RI du système aussi bien en Fourier qu'en Laplace. Les deux formulations contiennent donc toutes les infos de la RI, et comme la RI représente totalement un système LTI => y'a toutes les infos aussi bien en Fourier qu'en Laplace.

Et pour les systèmes instables ou non causaux?

Cette égalité n'est gênante que si tu prends un point isolé de la fonction de transfert, pas si tu considères son ensemble.

Mais c'est impossible de considérer dans son ensemble une fonction de transfert en jw qui correspond à un système instable.

Pardon, ma question n'était pas claire : comment obtiens-tu les données de déphasage ? Comment les calcules-tu ? (pas de piège, réponse niveau collège attendue)

C'est pas niveau collège!
Le logarithme complexe n'est défini qu'à une coupure près. En général, on exclue les réels négatifs. Quand la FT est stable, on passe de 0 à -5pi/2 de façon continue. Dans le cas instable, cela me parait plus dur : on perd 2pi dans le calcul niveau terminal et on n'a pas de courbe expérimentale pour trancher.

Nous ne sommes pas dans le cas d'une phase déroulée, puisqu'elle ne varie pas avec la fréquence, mais plutôt dans le choix pertinent d'une origine des phase vis-à-vis d'une interprétation aisée de la courbe de phase. Au point où j'en suis de la compréhension de la courbe de phase, je dirais que pour une intégration pure et dure, et ne change rien du tout. En effet, dans ce cas, pas de retard de groupe qui interviendrait sur l'enveloppe, donc pas plus de retard temporel pour que pour
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_d...nd_phase_delay

J'en suis à me demandé si on parle bien de la même chose.
Une intégration dans une Boucle fermée unitaire, cela donne e^(-t)
Deux intégration dans une BF unitaire, cela donne sin(t)
C'est quand même pas pareil!
Avec 5 intégrations, c'est méchamment instable.

... et même avec un burst (enveloppe type "porte") dont la vitesse de variation de l'enveloppe n'est pas lente devant la vitesse de variation du signal, ça fonctionne parfaitement dans le cas d'intégrations (ou même de dérivations).

Ce sont des approximations.

[stefjm]

Tu as dû mal utiliser l'outil de la TF en ne mettant pas les bons paramètres. En "copiant" les paramètres pris sur une de tes interventions anciennes(sans que je sache à quoi ils servent), je trouve au contraire le bon résultat.

Exact. La TF de alpha est paramétrable. J'avais effectivement bataillé avec l'outil quand on avait discuté stabilité et causalité de 1/((1+p)(1-p)).
Du coup cela ne simplifie pas la discussion si on ne parle pas de la même TF!

Par contre le résultat affiché pour la transformée de Laplace inverse me choque bien plus avec une réponse temporelle non nulle pour t inférieur à 0. J'imagine que cela est calculé par prolongement de la dynamique temporelle du système mais quand même...

Même pas.
Quand on utilise la TL monolatérale, il ne faut regarder que pour t positif.
Je m'en était ému pour la TL de Maple et les mathématiciens m'avait répondu cela :
http://forums.futura-sciences.com/ma...heaviside.html

Je suis moins d'accord sur ce dernier critère mais je ne le connais pas trop donc je vais d'abord l'étudier un peu et voir sur quoi il se base avant d'affirmer quoi que ce soit.

C'est un classique chez les automaticiens.

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,
Ma contribution de ce jour.

Encore faut-il que l'on ait la même définition du "principe de causalité". J'utilise la définition de ce principe donné par Étienne Klein et qui me semble la plus correcte dans le contexte du problème qui nous intéresse.
Le principe de causalité dit juste que si l'on peut définir un ordre(avant, après) entre différents événements reliés causalement, alors cet ordre doit toujours rester le même quel que soit le point de vue adopté. Principe de causalité et réversibilité temporelle sont deux choses distinctes.

Cette définition n'est pas forcément adaptée dans le cadre des filtres, ou plutôt, il faudrait se ramener à une définition opérationnelle pour les filtres.

Tout filtre causal est de la forme .
Comme la gestion d'un retard pur est pénible dans les boucles fermées (cela induit mémoire et/ou oscillation), on préfère souvent approximer ce retard pur par une fraction rationnelle 1/(1+Tp) et éventuellement augmenter l'ordre. (valable pour de petit retards.)

Les systèmes qui "produisent" de l'énergie(qui produisent en réalité plutôt une forme d'énergie à partir d'une autre, conservation de l'énergie oblige) existent, je ne vois pas en quoi, ils remettent en cause le principe de causalité. L'exemple de la force d'Abraham-Lorentz ne donne rien d'autre que l'équation différentielle d'un système instable dont tu t'accorderas bien à dire qu'il existe une solution, en utilisant Laplace, causale et divergente en t=+ l'infini. La solution évoquée dans l'article n'est au fond que la solution issue de la transformée de Fourier inverse. Je ne vois pas de paradoxe dans tout ça qui remette en question le principe de causalité. Le véritable paradoxe serait plutôt que l'on observe pas de particules qui s'auto-accélèrent en absorbant de l'énergie de leur environnement, comme le suggère cette force.

Il y a des tonnes d'articles qui parlent de la non causalité de cette force. (Je ne suis pas d'accord avec ces articles et suis plutôt d'accord avec toi, mais bon, 100 ans de palabres quand même...) gatsu et coussin pourraient en dire un peu sur le sujet?
Ce qui m'avait le plus choqué étaient le réglages fins des conditions initiales pour faire disparaitre le terme divergent. (faire en sorte que son coefficients soient nuls parce que non physique!...)

s(t)=0.e^(+t) +....

PS: l'expansion de l'univers s'auto-accélère aussi à cause de l'énergie noire, cela ferait t-il que l'on devrait considérer que notre univers ne respecterait pas le principe de causalité?

Je ne sais pas appliqué ce principe à l'univers...

Cordialement.

[stefjm]

Je ne suis pas d'accord. Pour moi, l'opérateur dérivée est un opérateur qui agit dans l’instantanéité. Sa réponse impulsionnelle(définie au sens des distributions) ne devrait donc donc elle-même être ni "causale", ni "acausale" au sens du physicien. Je pense que ta définition relève plus des habitudes prises par les automaticiens.

Sans doute.
C'est l'habitude de ne générer que des commandes réputées physiquement acceptables, ie sans discontinuité (ou sans dirac, ou dirac dérivée)

Je ne vois pas où est le problème: une très grosse partie des lois de la physique utilise des dérivées, cela ne remet pas en cause le principe de causalité(même si on pourrait considérer que c'est juste "à la limite" de le faire).

Pour la force http://en.wikipedia.org/wiki/Abraham–Lorentz_force, le soucis n'est pas la dérivée en elle même (une grande partie des lois physiques se modélise avec une dérivée) mais le fait qu'il intervienne une dérivée de l'accélération dans le modèle. (ou une dérivée seconde de la vitesse, ou une dérivée troisième de la position)
C'est un ordre 3 et apparemment, cela gène les physiciens qui n'ont que deux constantes d'intégration (position, vitesse) avec rien qui spécifie l'accélération initiale.
D'où des spéculations qui paraissent bien bizarre à un automaticien habitué à des ordres élevés. (supérieurs à deux en tout cas...)
C'est un thème qui mériterait son fil de comparaison entre l'approche physique et l'approche commande de procédé.

Voir ici (Armen92) http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2843535
et là http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2848498
Je cite
Armen92
L'inertie accompagne les dérivées du second ordre, et c'est d'ailleurs pourquoi on ne peut pas trop faire joujou avec : figurant ordinairement dans le terme de plus haut degré, elle constitue une "perturbation" singulière pour laquelle il faut, si l'on veut exploiter le fait qu'elle est petite dans le problème considéré, recourir à des méthodes d'approximation particulièrement chevelues (du genre BKW), et où les canulars peuvent surgir à tout instant.
D'ailleurs, c'est pareil pour la MQ : dans l'équation aux valeurs propres en représentation-q, la constante de Planck est en facteur de la plus haute dérivée.
Et on sait bien que la limite classique de la MQ est ultra-singulière (c'est typiquement bourré de singularités essentielles).
<Fin de citation>

Je suis d'accord, la reproduction en pratique de l'expérience est difficile voir impossible à réaliser(bien plus certainement, en tout cas, que pour la mesure d'une RI "causale") mais la théorie dit que oui.

La théorie s'appuie sur la pratique et si en pratique un camion ne recule pas aussi facilement qu'il avance, une théorie qui affirme le contraire est tout simplement fausse.
http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html

Cordialement.

[stefjm]

Une EDO ne caractérise qu'un système. Par contre, si tu fais le changement de variable t -> -t. Tu obtiens une autre équation différentielle qui caractérise effectivement un autre système physique plausible(en vertu de la réversibilité temporelle).

C'est un peu curieux ce que tu dis là, curieux dans le sens où je le vois contradictoire avec ce que tu dis d'habitude.
Ex :
dx/dt+x=0 caractérise aussi bien le système de réponse impulsionnelle e^(-t) h(t) causal stable que le système e^(-t)h(-t) acausal (et pour la stabilité, je ne sais plus...)

Je vois donc bien deux Réponses Impulsionnelles et deux systèmes pour une seule EDO. Une RI plus physique que l'autre, d'où l'habituel raccourci : 1 EDO = 1 système causal.

La méthode de résolution des EDO par transformée de Laplace monolatérale coupe R en 2 : On ne travaille que sur R+ ou sur R-. C'est pour moins le principal inconvénient, avec le fait que cela ne marche qu'avec des EDO linéaires.
Cordialement.

[phuphus]

Bonsoir,

@ b@z66 : tu te méprends sur le sens et le contenu de mes interventions, et j'ai le sentiment d'une opposition systématique plus qu'une compréhension de mes arguments pour discussion. Relis bien mes messages depuis le début, tu verras que tes deux dernières réponses "point par point" font fausse route.
Je ne vais pas continuer à "alimenter la boucle", car encore une fois nous nous basons tous les deux sur des principes de base qui sont incompatibles, et clairement pour moi certains de tes fondamentaux sont faux (et notamment la notion de fonction de transfert, incluant la réponse impulsionnelle). Je vais donc juste reprendre les éléments les plus importants, pour pouvoir ensuite avancer.

Il n'y a pas besoin de calculs, il suffit juste de suivre le raisonnement que je m'évertue à vous indiquer depuis le début: l'original d'une TF ne peut pas diverger en en t égal - l'infini et t égal + l'infini, la seule explication "physique" pour expliquer cela c'est que la sortie du système diverge au départ naturellement et que l'impulsion en entrée ne fait que remettre le système dans un état d'équilibre parfait.

Ce n'est vraiment pas le sens de la RI non causale de 1/(1-jω). La sortie du système ne bouge que si une impulsion se produira, et revient à 0 au moment de l'impulsion. Et ceci est parfaitement en accord avec la vidéo d'Etienne Klein que tu as mentionnée.

Après pour ce qui est de la démonstration mathématique, cela consiste à déterminer "une" des réponses impulsionnelles en calculant la transformée de Fourier inverse de la fonction de transfert(ce qui est possible contrairement à ce que tu dis)

Je n'ai jamais affirmé que calculer une RI à partir de la TF était impossible, bien au contraire : c'est exactement ce que j'ai fait dès ma première intervention.
Ce que j'affirme, c'est que dans le cas qui nous intéresse (circuit RC à résistance négative), cette RI n'est plus celle du système initial.
C'est à dire : poser "p = jω" pour un système instable aboutit à une fonction de transfert en Fourier qui ne correspond plus au système décrit par la FT en Laplace.

Et un système LTI ne possède pas plusieurs RI : par définition même de la linéarité, il ne peut en exister qu'une seule. Merci de me présenter un système LTI possédant indubitablement plusieurs RI (ton argumentaire : "TL inverse et TF inverse donnent des RI différentes donc un système possède bien plusieurs RI" n'est pas valable. La bonne conclusion est : ces deux fonctions de transfert ne correspondent pas au même système).
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_system

C'est là, l'un de nos gros points d'achoppement. Tu ne considères que les réponse impulsionnelles causales et exclues d'office celle "acausales" parce que tu ne les considères pas comme physiques(et ce sans donner d'explication)

Je n'ai pas affirmé cela ; pourrais-tu m'indiquer où selon toi ?

Au niveau calculs :
- si les hypothèse permettant d'appliquer un TL sont réunies, on peut étudier le système en Laplace et déterminer une RI théorique en inversant.
- si les hypothèse permettant d'appliquer un TF sont réunies, on peut étudier le système en Fourier et déterminer une RI théorique en inversant.

Tu fixes des règles sans les justifier.

Ton affirmation est ici une des choses qui me font considérer que tes fondamentaux sont faux : ce sont les "règles" de base du calcul des TF et TL.
TF : faut que l'intégrale converge, ce qui n'est pas le cas pour un système instable.
TL : comme on utilise la monolatérale, faut que le système soit causal, sinon on tronque la partie de la RI pour t<0 et on ne représente plus le système original

Par exemple, sur wikipédia à propos de la TF : "Si est une fonction intégrable sur , sa transformée de Fourier est ..."
De même pour la TL : "Elle converge pour toutes les fonctions qui, pondérées par une exponentielle, admettent une transformée de Fourier ; par conséquent les fonctions admettant une transformée de Fourier admettent toutes une transformée de Laplace, mais la réciproque n'est pas vraie."

Ben mince ! On a une fonction qui n'admet pas de transformée de Fourier à la base, on la pondère par une exponentielle, et hop ! La TF existe. Et devine ce que représente la partie réelle de p dans la TL ? Une pondération par une exponentielle...

Donc :
- t'as un système instable avec une RI qui n'admet pas de TF
- tu la pondères par une exponentielle lorsque tu fais la TL, mais du coup il faut Re(p) > 0 pour que ça marche (zone de convergence)
- tu trouves bien une TL correspondant à la TF avec pondération
- à ce stade, remplacer p par jω revient à prendre Re(p) = 0, c'est à dire à supprimer la pondération = revenir à la RI initiale qui n'admet pas de TF
- l'expression en Fourier que tu trouves ne peut donc à aucun moment correspondre à la RI initiale : tu n'es plus sur le même système

Réponds à cette question: pourquoi pense tu que la RI devrait être unique? Je t'ai déjà expliquer ma vision des choses là dessus en montrant l'arbitraire qui subsiste dans ton interprétation.

Elle est unique pour un système déterministe : "un système déterministe est un système qui réagit toujours de la même façon à un événement entrant". Elle est donc unique pour les systèmes de type :
- LTI
- chaotique (!!!)
- voire même non linéaire (dans ce cas, il faut fixer le "niveau" du Dirac)
- etc.
à partir du moment où tu considères que "réponse impulsionnelle" est la réponse à une "impulsion", et que cette "impulsion" est définie, ce qui est le cas.

Et tes considérations sur d'éventuelles difficultés de mesure ne changent rien à tout cela.

Peux-tu aussi me confirmer que pour toi, la TF de -exp(t).H(t) existe ?

Oui, cette TF existe

Ce sera soit le point d'arrêt de mes réponses envers tes interventions nourrissant la "boucle", soit le point de convergence entre nous deux. Je te demande juste de (re-)répondre à deux questions :

Quelle est la TF de -exp(t).H(t) ?
Quelle est la TF inverse de 1/(1-jω) ?

[b@z66]

C'est un peu curieux ce que tu dis là, curieux dans le sens où je le vois contradictoire avec ce que tu dis d'habitude.
Ex :
dx/dt+x=0 caractérise aussi bien le système de réponse impulsionnelle e^(-t) h(t) causal stable que le système e^(-t)h(-t) acausal (et pour la stabilité, je ne sais plus...)

Je vois donc bien deux Réponses Impulsionnelles et deux systèmes pour une seule EDO. Une RI plus physique que l'autre, d'où l'habituel raccourci : 1 EDO = 1 système causal.

La méthode de résolution des EDO par transformée de Laplace monolatérale coupe R en 2 : On ne travaille que sur R+ ou sur R-. C'est pour moins le principal inconvénient, avec le fait que cela ne marche qu'avec des EDO linéaires.
Cordialement.

Il n'y a pas de contradiction. Pour moi, les deux solutions à cette équation participe de la même dynamique: on a bien pour chacune d'elle une décroissance exponentielle du signal en l'absence de signal d'entrée de la forme e^(-t). Pour avoir une dynamique opposée, il aurait fallu faire un changement de variable t -> -t directement dans l'équation différentielle, on aurait alors effectivement eu une divergence en e^(t) qui aurait caractérisé un autre système, instable cette fois. Je vois donc personnellement une seule EDO et deux solutions différentes qui caractérisent deux situations d'application différentes(à la manière des conditions initiales). La première de ces situations impose que toutes les grandeurs du système se soient amorties avant l'application de l'impulsion en entrée(et théoriquement, même, depuis une éternité...), la deuxième impose que ce soit après cette impulsion que toutes les grandeurs du système deviennent nulles. Ce qui change, ce n'est pas le système mais les conditions qu'on applique au système par l'intermédiaire de ses signaux d'entrée et de sortie.

Après, tout dépend de ta façon de voir la solution "acausale" à un système causal. Si tu vois ça comme un signal qui "remonte le cours du temps", notre quiproquo perdurera puisque je reste toujours pour ma part dans une vision où le temps va uniquement des t négatifs vers les t positifs. Je me tiens à cette convention du sens du cours du temps que j'ai choisi au départ et je n'en change pas pour interpréter les différentes solutions à une EDO.

Enfin, pour ce qui est du principe de causalité, j'en reste sur l'idée qu'il est d'office protégé à partir du moment où on représente le temps avec un axe orienté qui ne reboucle par sur lui même.

[stefjm]

Il n'y a pas de contradiction. Pour moi, les deux solutions à cette équation participe de la même dynamique: on a bien pour chacune d'elle une décroissance exponentielle du signal en l'absence de signal d'entrée de la forme e^(-t). Pour avoir une dynamique opposée, il aurait fallu faire un changement de variable t -> -t directement dans l'équation différentielle, on aurait alors effectivement eu une divergence en e^(t) qui aurait caractérisé un autre système, instable cette fois. Je vois donc personnellement une seule EDO et deux solutions différentes qui caractérisent deux situations d'application différentes(à la manière des conditions initiales). La première de ces situations impose que toutes les grandeurs du système se soient amorties avant l'application de l'impulsion en entrée(et théoriquement, même, depuis une éternité...), la deuxième impose que ce soit après cette impulsion que toutes les grandeurs du système deviennent nulles. Ce qui change, ce n'est pas le système mais les conditions qu'on applique au système par l'intermédiaire de ses signaux d'entrée et de sortie.

Ca me va.
Cela revient à superposer la réponse impulsionnelle causale à la réponse impiulsionnelle acausale pour avoir la répons globale. (d'ailleurs, la réponse à quoi? )
Comme en auto, on identifie système et RI, normal que je vois deux systèmes là où un physicien ne voit qu'une EDO.
Pas choquant, on peut s"entendre.

Après, tout dépend de ta façon de voir la solution "acausale" à un système causal. Si tu vois ça comme un signal qui "remonte le cours du temps", notre quiproquo perdurera puisque je reste toujours pour ma part dans une vision où le temps va uniquement des t négatifs vers les t positifs. Je me tiens à cette convention du sens du cours du temps que j'ai choisi au départ et je n'en change pas pour interpréter les différentes solutions à une EDO.

Je n'aime pas trop retourner le temps non plus.

Enfin, pour ce qui est du principe de causalité, j'en reste sur l'idée qu'il est d'office protégé à partir du moment où on représente le temps avec un axe orienté qui ne reboucle par sur lui même.

Les TL et TF passe le temps en complexe.
TF : t se transforme en i.w
TL : t se transforme en 1/Tau + i.w

On se retrouve avec des contours fermés dans le plan complexe qui généralise la notion de temps à C.

Cordialement.

[b@z66]

Ca me va.
Cela revient à superposer la réponse impulsionnelle causale à la réponse impiulsionnelle acausale pour avoir la répons globale. (d'ailleurs, la réponse à quoi? )
Comme en auto, on identifie système et RI, normal que je vois deux systèmes là où un physicien ne voit qu'une EDO.
Pas choquant, on peut s"entendre.

Bonne remarque. Je ferais juste alors remarquer en plus que ce n'est pas en superposant(additionnant) les deux solutions que l'on obtient la solution globae e^(-t) quelque soit t mais en les soustrayant puisque l'une des deux solutions(correction) était -e^(-t).H(t). On obtient alors, en vertu du principe de superposition, la signal en sortie qui correspond à un signal en permanence nulle en entrée(où l'impulsion en t=0 a disparu). On peut alors effectivement se poser la question de à quoi la sortie est -elle véritablement la réponse mais on peut y répondre en considérant que l'origine de cette divergence est repoussée en t=-l'infini et que le signal en entrée que nous considérons n'est que la limite mathématique de cela, c'est à dire que le signal d'entrée est nul pour t > -l'infini.

Je n'aime pas trop retourner le temps non plus.

Alors, on peut se comprendre.

Les TL et TF passe le temps en complexe.
TF : t se transforme en i.w
TL : t se transforme en 1/Tau + i.w

On se retrouve avec des contours fermés dans le plan complexe qui généralise la notion de temps à C.

Cordialement.

Je suis d'accord.

[phuphus]

Bonsoir,

Un passe haut (1+Tp)/(Tp) n'est pas réalisable car fonction de transfert impropre, non strictement causale. Physiquement, il y a obligatoirement un pôle de plus qui a été négligé, car plus rapide, hors fréquences de travail ou atteignables. Ce passe haut serait capable de transmettre l'échelon instantanément dans les premiers instants ce qui est très peu physique. (physique classique)

OK, je comprends, un passe-haut n'est jamais qu'un passe-bande qui s'ignore, car dans tous les cas on ne peut pas indéfiniment monter en fréquence.
Pour la transmission de l'échelon, tu sais que cela ne me pose pas de problème conceptuel à partir du moment où on reste au niveau modèle. Je n'ai jamais prétendu que le système décrit en préambule de ce fil existait en dur (mais il est parfaitement "implémentable" au niveau filtrage).

Je ne connaissais pas ce critère. Je n'ai d'ailleurs pas bien compris quel était son sens physique?

Pour un système à phase mini, il y a un lien entre partie réelle et partie imaginaire (Kramers-Kronig). C'est équivalent à faire le lien entre courbe d'amplitude et déphasage via la transformée de Hilbert. Si le déphasage d'un système est "au dessus" de la phase mini, c'est que l'excès de phase (le déphasage que prend le système en moins par rapport à une phase mini) est positif : ça permet de conclure sur la causalité.
Donc, quand tu compares la courbe de déphasage sur la figure en #1 avec la "phase surprise", les choses sont claires.

Analycité et causalité sont duales.
Analycité : signal nul pour f négatives.
Causalité : signal nul pour t négatif.

Tu considères ici l'analycité au niveau signal. Le lien que tu as donné en #74 parle de fonction analytique, et non pas de signal analytique. Ces deux notions ont toutefois quelques liens :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo...ion_analytique

En lTien avec
http://www2.ulg.ac.be/telecom/teachi...node30_mn.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_de_Hilbert
http://fr.wikipedia.org/wiki/Relatio...Kramers-Kronig

L'application la plus intéressante de la transformée de Hilbert pour le présent fil n'est malheureusement pas présentée dans ces liens :
http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_phase

Concernant notre différence de point de vue à propos d'un critère de causalité lié aux degrés du numérateur et du dénominateur, le lien précédent est particulièrement intéressant ici :
"a linear, time-invariant system is said to be minimum-phase if the system and its inverse are causal and stable"
Compte tenu qu'un passe-bas type butterwoth :
- est à D°(N) < D°(D)
- est à phase mini

Alors son inverse est causal. Hors, quand on compare les degrés D et N de l'inverse...

Concernant tes premiers graphes, ils n'ont aucun sens physique s'ils se rapportent au système 1/(1+p^5) qui est instable. Du coup, il est impossible d'obtenir les diagrammes de Bode expérimentalement et la mesure physique ne permet pas de dérouler la phase. (perte de 2pi.)

Cela fait partie des quelques ambiguïtés sur lesquelles je me suis appuyé pour ce fil, et on arrive (enfin) à une de mes interrogations :

Pour ma part, ce n'est pas cela qui me choque sur cette réponse en fréquence mais plutôt le fait qu'elle soit au même niveau que celle en "FFT" malgré une RI divergente. La réponse se situe dans le code de la fonction "freqz" de Matlab, mais je ne m'y suis pas encore plongé. Cela fait partie des "zones d'ombre" dont je parle en première intervention. Rien de bien compliqué, il me faut juste un peu de temps pour m'y atteler, donc si quelqu'un connaît de base, ça m'arrangerait.

Je serais quand même curieux de voir si on peut donner un sens physique au déphasage d'un système instable sur des bursts

Tu as insisté pour dire que la FT 1/(1+(jw)^5) n'était pas la même, mais je n'ai pas encore saisi pourquoi.

J'ai donné une réponse à b@z66 dans #99. Je recopie ici :
- t'as un système instable avec une RI qui n'admet pas de TF
- tu la pondères par une exponentielle lorsque tu fais la TL, mais du coup il faut Re(p) > 0 pour que ça marche (zone de convergence)
- tu trouves bien une TL correspondant à la TF avec pondération
- à ce stade, remplacer p par jω revient à prendre Re(p) = 0, c'est à dire à supprimer la pondération = revenir à la RI initiale qui n'admet pas de TF
- l'expression en Fourier que tu trouves ne peut donc à aucun moment correspondre à la RI initiale : tu n'es plus sur le même système

Où tu peux simplement partir du fait qu'un système LTI est totalement représenté par sa RI, et qu'ici les RI ne sont pas les mêmes.

Et pour les systèmes instables ou non causaux?

Remplace ton "ou" par un "et" et on arrivera sur ma deuxième interrogation :

Une des (nombreuses) questions que je me pose à l'étude de cette fonction de transfert est : existe-t-il un critère de stabilité en TL bilatérale ?
Je n'ai trouvé que ceci en français, et rien en anglais :
http://www.montefiore.ulg.ac.be/systems/SYST002/ex7.pdf

Mais c'est impossible de considérer dans son ensemble une fonction de transfert en jw qui correspond à un système instable.

Entièrement d'accord, puisque la TF n'est pas définie !
(pour rappel, je n'ai pas cité le fait de considérer la courbe dans son ensemble à propos d'un système instable).

C'est pas niveau collège!
Le logarithme complexe n'est défini qu'à une coupure près. En général, on exclue les réels négatifs. Quand la FT est stable, on passe de 0 à -5pi/2 de façon continue.

Oui, entièrement d'accord pour le cas stable. Ce qui me pose encore problème, c'est de trouver une méthode "universelle" de définition l'origine des phases pour que le retard de phase soit interprétable physiquement (sil l'est...), mais c'est plus une question à se poser sur le fil "Déphasage en physique".

Dans le cas instable, cela me parait plus dur : on perd 2pi dans le calcul niveau terminal et on n'a pas de courbe expérimentale pour trancher.

Dans le cas instable, on n'a de toutes façons rien pour appliquer l’arc-tangente (niveau collège) : c'est cela que je veux mettre en exergue depuis 2 échanges avec toi sur ce sujet, le support de calcul de la phase n'existe de toutes façons pas, sauf à réussir à sortir une courbe amplitude / phase qui ait un sens avec Re(p) > 0. Un tel outil existe-t-il ??

J'en suis à me demandé si on parle bien de la même chose.
Une intégration dans une Boucle fermée unitaire, cela donne e^(-t)
Deux intégration dans une BF unitaire, cela donne sin(t)
C'est quand même pas pareil!
Avec 5 intégrations, c'est méchamment instable.

En effet, on ne parle pas de la même chose, je parle d'une intégration pure et dure 1/p⁵.

[b@z66]

Bonsoir,

Je ne vais pas continuer à "alimenter la boucle", car encore une fois nous nous basons tous les deux sur des principes de base qui sont incompatibles, et clairement pour moi certains de tes fondamentaux sont faux (et notamment la notion de fonction de transfert, incluant la réponse impulsionnelle). Je vais donc juste reprendre les éléments les plus importants, pour pouvoir ensuite avancer.

Tu me parles de fondamentaux mais je te parle de maths de preuves mathématiques. . Ne fais pas dire à Étienne Klein, ce qu'il ne dit pas. Il dit clairement que, lorsque l'on a affaire a des phénomènes réversibles, on peut faire la transformation t en -t(en transformant par exemple une réponse "causale" en une réponse "acausale", termes qui n'ont encore une fois rien à voir avec le principe de causalité) sans pour cela autant considérer que l'on inverse le sens du temps. On considère simplement que les phénomènes inversés de cette manière sont tout aussi plausibles physiquement. Une réponse "acausale" (qui n'a rien à voir avec le principe de causalité) est donc tout autant physique! On a donc le droit de considérer une réponse impulsionnelle "acausale" et la TF inverse de la fonction de transfert d'un système instable en est la preuve. CQFD.

Ce n'est vraiment pas le sens de la RI non causale de 1/(1-jω). La sortie du système ne bouge que si une impulsion se produira, et revient à 0 au moment de l'impulsion. Et ceci est parfaitement en accord avec la vidéo d'Etienne Klein que tu as mentionnée.

Cite-moi le passage? De plus, je te dis que(et je LE RÉPÈTE POUR LA CINQUANTIÈME FOIS), le principe de causalité est toujours respecté si l'on considère que la divergence observée en sortie d'un système instable(dans la réponse impulsionnelle "acausale") est dû à une impulsion infiniment petite, infiniment loin dans le passé et le signal d'entrée considéré n'est que la limite mathématique de cette considération(signal nul pour t plus grand que moins l'infini, à l’exception de en t égal zéro).

Je n'ai jamais affirmé que calculer une RI à partir de la TF était impossible, bien au contraire : c'est exactement ce que j'ai fait dès ma première intervention.
Ce que j'affirme, c'est que dans le cas qui nous intéresse (circuit RC à résistance négative), cette RI n'est plus celle du système initial.

C'est bien le même système qui est décris que l'on fasse une TF inverse de la fonction de transfert d'un système ou bien sa TL inverse. Ce qu'on obtient, c'est des réponses impulsionnelles faites dans des conditions différentes bien que le signal d'entrée semble le même: dans le premier cas(le plus classique), on a attendu que la sortie soit complètement nulle avant d'appliquer l'impulsion en entrée, dans le deuxième cas, on fait en sorte que la sortie soit nulle après application de l'impulsion(ce qui implique qu'elle ne l'était pas avant). Si tu veux me répondre, réponds moi sur ce raisonnement car sinon j'abandonnerai de me répéter à l'infini.

C'est à dire : poser "p = jω" pour un système instable aboutit à une fonction de transfert en Fourier qui ne correspond plus au système décrit par la FT en Laplace.

C'est une affirmation. Aurais-tu une démonstration?

Et un système LTI ne possède pas plusieurs RI : par définition même de la linéarité, il ne peut en exister qu'une seule.

Tu confonds bijectivité et linéarité déjà et ce que tu dis est encore juste une affirmation. De plus, la bijectivité est toujours bien respectée puisque l'on a affaire a deux situations différentes d'un même système qui donne chacune une RI. Comme j'en ai marre de me répéter: "dans le premier cas(le plus classique), on a attendu que la sortie soit complètement nulle avant d'appliquer l'impulsion en entrée, dans le deuxième cas, on fait en sorte que la sortie soit nulle après application de l'impulsion(ce qui implique qu'elle ne l'était pas avant)."

Merci de me présenter un système LTI possédant indubitablement plusieurs RI (ton argumentaire : "TL inverse et TF inverse donnent des RI différentes donc un système possède bien plusieurs RI" n'est pas valable. La bonne conclusion est : ces deux fonctions de transfert ne correspondent pas au même système).
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_system

Un même système LTI peut être considéré dans 2 cas suivant la réponse impulsionnelle que l'on veut déterminer: "dans le premier cas(le plus classique), on a attendu que la sortie soit complètement nulle avant d'appliquer l'impulsion en entrée, dans le deuxième cas, on fait en sorte que la sortie soit nulle après application de l'impulsion(ce qui implique qu'elle ne l'était pas avant)."

Ton affirmation est ici une des choses qui me font considérer que tes fondamentaux sont faux : ce sont les "règles" de base du calcul des TF et TL.

Toujours tes histoires de "fondamentaux", aucune preuve mathématique ou logique derrière. Le fait que l'on puisse calculer logiquement la TF inverse de la fonction de transfert d'un système instable me suffit personnellement.

TF : faut que l'intégrale converge, ce qui n'est pas le cas pour un système instable.

Uniquement si tu considères la RI du premier cas: "dans le premier cas(le plus classique), on a attendu que la sortie soit complètement nulle avant d'appliquer l'impulsion en entrée, dans le deuxième cas, on fait en sorte que la sortie soit nulle après application de l'impulsion(ce qui implique qu'elle ne l'était pas avant)". Et oui, c'est plus facile de faire des copier-coller...

...
Donc :
- t'as un système instable avec une RI qui n'admet pas de TF
- tu la pondères par une exponentielle lorsque tu fais la TL, mais du coup il faut Re(p) > 0 pour que ça marche (zone de convergence)
- tu trouves bien une TL correspondant à la TF avec pondération
- à ce stade, remplacer p par jω revient à prendre Re(p) = 0, c'est à dire à supprimer la pondération = revenir à la RI initiale qui n'admet pas de TF
- l'expression en Fourier que tu trouves ne peut donc à aucun moment correspondre à la RI initiale : tu n'es plus sur le même système

Toujours le même problème, tu ne considères pas qu'il puisse y avoir plusieurs RI solutions à l''équation différentielle qui décrit le système pour une même réponse impulsionnelle en entrée(les différences se faisant sur les conditions d'applications que j'ai RÉPÉTÉ), cela ne sert donc à rien de te répondre si 'l'on ne part pas sur les mêmes hypothèses...

Elle est unique pour un système déterministe : "un système déterministe est un système qui réagit toujours de la même façon à un événement entrant". Elle est donc unique pour les systèmes de type :
- LTI
- chaotique (!!!)
- voire même non linéaire (dans ce cas, il faut fixer le "niveau" du Dirac)

Oui, oui, oui. Bijectivité, OK, tout ça. Je t'ai déjà répondu...

à partir du moment où tu considères que "réponse impulsionnelle" est la réponse à une "impulsion", et que cette "impulsion" est définie, ce qui est le cas.

Et tes considérations sur d'éventuelles difficultés de mesure ne changent rien à tout cela.

Les conditions de mesure sont différentes, les résultats sont donc différents.

[b@z66]

PS: phuphus, si te ne te donnes pas la peine de considérer ou de commenter directement les deux situations distinctes que je t'ai présenté pour expliquer l'existence de plusieurs solution à l' EDO représentant notre problème de la réponse d'un système à un dirac, ce n'est pas la peine de me répondre car je ne le ferais plus de mon côté sinon.

[b@z66]

La théorie s'appuie sur la pratique et si en pratique un camion ne recule pas aussi facilement qu'il avance, une théorie qui affirme le contraire est tout simplement fausse.
http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html

Cordialement.

Cette partie de la théorie en soit est juste puisqu'elle permet juste de déterminer un équilibre possible(ici en vertu de la réversibilité). Après, il y a heureusement un autre volet à la théorie qui permet de dire si un équilibre est stable ou non.

PS: je vais étudier un peu l'équation de la force d'Abraham-Lorentz pour comprendre son origine mais, ce qui me parait évident, c'est qu'on peut la représenter sous la forme d'une fonction de transfert entre la force appliquée et la vitesse.

[b@z66]

Pour phuphus, je vais détaillé deux protocoles simples pour étudier les deux réponses impulsionnelles que je soutiens(et laisser ainsi à phuphus la soin de les commenter pour que la conversation soit véritablement constructive). Prenons le système de fonction de transfert qui est donc instable et unique.

-Dans le premier protocole, j'attends pendant une éternité que la sortie de mon système soit nulle ou amortie(en pratique, on attend une durée limitée) avant d'appliquer à son entrée un dirac(en pratique une impulsion se rapprochant le plus possible d'un dirac). Après, cette impulsion, j'enregistre toutes les valeurs de la sortie sur un temps infini(en pratique fini) sachant que l'amplitude en sortie diverge vers l'infini.

Ce protocole n'a appliqué, quelque soit t fini, qu'une impulsion en t=0, on peut donc considérer que l'enregistrement de la sortie correspond bien à une réponse impulsionnelle.

-Dans le deuxième protocole, je laisse diverger pendant une éternité(en pratique pendant un temps limité) le système instable à partir d'une perturbation infinitésimale situé à l'infini dans le passé(en pratique à partir d'une perturbation pas tout à fait infinitésimale et dont l'origine dans le passé est finie) avant d'appliquer un dirac en entrée(en pratique une impulsion) au moment tel que je sais qu'après la sortie retombera dans son état d'équilibre(instable) parfait et le restera pour l'éternité(en pratique durant un temps limité). J'aurais bien sûr pris le soin d'enregistrer toutes les valeurs de la sortie du système durant un temps infini(en pratique un temps fini) avant l'application de l'impulsion.

Ce protocole n'a appliqué, quelque soit t fini, qu'une impulsion en t=0, on peut donc considérer que l'enregistrement de la sortie correspond bien à une réponse impulsionnelle.

Conclusion: deux protocoles différents permettent de mesurer ce qui peut être qualifié de deux RIs différentes d'un même système.





Pour en revenir aux deux réponses impulsionnelles théoriques qui correspondent aux deux réponses impulsionnelles ainsi obtenues expérimentalement, ce sont et qui sont respectivement la TF et la TL inverse de la fonction de transfert du même système. Je te pose donc ma question::

Comment expliquerais-tu que, pour toi, il ne s'agisse pas du même système représenté alors que la dynamique dans les deux cas de RI est la même?


Pour illustrer cette même dynamique, on remarque que pour les deux RI:
-la sortie diverge à partir d'une valeur non nulle de façon exponentielle et de constante de temps 1s, en l'absence de signal d'entrée().
-la sortie subie un écart de -1 quand on applique l'impulsion en entrée.

J'ai personnellement tendance à penser que deux systèmes qui ont la même dynamique correspondent en fait au même système.

[phuphus]

Bonsoir,

PS: phuphus, si te ne te donnes pas la peine de considérer ou de commenter directement les deux situations distinctes que je t'ai présenté pour expliquer l'existence de plusieurs solution à l' EDO représentant notre problème de la réponse d'un système à un dirac, ce n'est pas la peine de me répondre car je ne le ferais plus de mon côté sinon.

Ne te moque pas de moi, b@z66, je t'ai fourni les preuves mathématiques de ce que j'avançais en #99, et tu les as tout simplement ignorées en #104. Tu m'as demandé de répondre à l'unicité de la RI, et je l'ai fait : tu as encore une fois ignoré mon argument en confondant système déterministe et bijectivité. Je préfère mettre de côté le reste du message #104, qui est à peu de choses près à vomir tellement il passe à côté de ce que j'écris.

Pour phuphus, je vais détaillé deux protocoles simples pour étudier les deux réponses impulsionnelles que je soutiens(et laisser ainsi à phuphus la soin de les commenter pour que la conversation soit véritablement constructive). Prenons le système de fonction de transfert qui est donc instable et unique.
[...]
J'ai personnellement tendance à penser que deux systèmes qui ont la même dynamique correspondent en fait au même système.

J'accepte de jouer le jeu, alors fais de même, bordel. Je t'ai posé deux questions en #99, et encore une fois tu les as ignorées.

Donc, pour jouer le jeu :
Je ne suis pas d'accord pour répondre telle quelle à ta question #107, car le problème est mal posé : les cas 1 et 2 ne correspondent pas à la FT que tu donnes. Je te propose donc de modifier l'énoncé du problème est définissant le système par son EDO. Compte tenu de tout ce que tu as affirmé précédemment, je pense que tu ne seras pas contre. Je te propose aussi de préciser que l'on oriente la flèche du temps positivement. Encore une fois, compte tenu de tes interventions, je pense que c'est OK. Là, l'énoncé peut commencer à être traité.

Je te mets en PJ 4 graphes sur une figure, correspondant à une résolution pas à pas des cas 1 et 2. Donc pas de Laplace, pas de Fourier, juste du temporel dans Matlab. Les graphes sont :
- en haut à gauche : excitation cas 1
- en bas à gauche : réponse cas 1 (résolution pas à pas en bleu, courbe théorique analytique en rouge)
- à droite : idem cas 2

Remarque : la fréquence d'échantillonnage est choisie à 10 kHz, c'est pour cela que l'amplitude du Dirac est de 10 000.

Pour l'excitation cas 2, la perturbation "infinitésimale" est à -80, on ne la voit donc pas sur le graphe. En faisant une simulation plus longue que sur t = [-5 5], elle aurait été encore plus petite.

Donc :
- réponds aux deux questions à la fin de #99
- l'énoncé modifié que je propose te convient-il ? On dégage toute considération de Laplace ou Fourier, et on simule le comportement temporel (pour reprendre ton texte : la dynamique du système). Comme ça, pas d'équivoque.
- les figures en PJ correspondent-elles bien aux cas 1 et 2 ?

La suite quand tu auras répondu. Si tu le souhaites, je te fournis le code Matlab qui a servi à générer les figures.

[b@z66]

Donc :
- t'as un système instable avec une RI qui n'admet pas de TF

Tu pars déjà de l'hypothèse que la RI est unique or, du fait que je t'ai déjà démontrer que cette hypothèse est fausse, je sais que je serais en désaccord avec toi sur la suite même si le raisonnement est juste.

- tu la pondères par une exponentielle lorsque tu fais la TL, mais du coup il faut Re(p) > 0 pour que ça marche (zone de convergence)
- tu trouves bien une TL correspondant à la TF avec pondération

Sur ces deux derniers tirets, j'ai l'impression que tu me prends pour un demeuré pour me ressortir des considérations qui n'ont rien de nouveau.

- à ce stade, remplacer p par jω revient à prendre Re(p) = 0, c'est à dire à supprimer la pondération = revenir à la RI initiale qui n'admet pas de TF

Sauf que tu n'as pas le droit. La TL pour "ta" RI n'est pas défini pour p=jw(je ne te ferai pas l'offense de te rappeler pourquoi). Tu n'as donc pas le droit d'en déduire la fonction de transfert harmonique du système instable qui pourtant existe...mais que l'on peut déduire seulement à partir de "ma" RI.

- l'expression en Fourier que tu trouves ne peut donc à aucun moment correspondre à la RI initiale : tu n'es plus sur le même système

"L'expression en Fourier que tu trouves ne peut donc à aucun moment correspondre à (je corrige) "TA RI initiale"... Je suis tout à fait d'accord, miracle, elle correspond à MON autre RI qui caractérise le même système donc au final on est bien sur le même système.

Démontres moi par a+b ton hypothèse de départ que la RI d'un système est unique(c'est à dire mathématiquement la réponse à un dirac) et je me donnerais la peine de considérer ton raisonnement avec moins d'amusement. Personnellement, je t'ai déjà démontré le contraire avec la résolution de l'équation différentielle et les interprétations physiques réalistes que l'on pouvait faire des solutions en remarquant que les deux solutions participent de la même dynamique.

Quelle est la TF de -exp(t).H(t) ?

Il n'y en a pas mais je pars de l'hypothèse que c'est la fonction de transfert(en Laplace bilatérale) qui caractérise le système donc d'office cela règle le problème: je pars de 1/(1-p) et non de la RI.

Quelle est la TF inverse de 1/(1-jω) ?

En posant p=jw pour la TL bilatérale, je me restreins à utiliser la TF et donc d'office je restreins à retrouver une seule des RI en faisant la transformée inverse qui est e(t).H(t).

[b@z66]

En posant p=jw pour la TL bilatérale, je me restreins à utiliser la TF et donc d'office je restreins à retrouver une seule des RI en faisant la transformée inverse qui est e(t).H(-t).

Correction...

[b@z66]

les cas 1 et 2 ne correspondent pas à la FT que tu donnes. Je te propose donc de modifier l'énoncé du problème est définissant le système par son EDO.

Je pars du principe que la fonction de transfert se caractérise d'abord par la TL bilatérale définie pour "tout p". Cela donc laisse la possibilité d'avoir plusieurs signaux temporels antécédents(qui sont les deux solutions de l'EDO considérée ainsi que toutes leurs combinaisons linéaires pondérées).

Compte tenu de tout ce que tu as affirmé précédemment, je pense que tu ne seras pas contre. Je te propose aussi de préciser que l'on oriente la flèche du temps positivement. Encore une fois, compte tenu de tes interventions, je pense que c'est OK.

Parfait.

Là, l'énoncé peut commencer à être traité.

Je te mets en PJ 4 graphes sur une figure, correspondant à une résolution pas à pas des cas 1 et 2. Donc pas de Laplace, pas de Fourier, juste du temporel dans Matlab. Les graphes sont :
- en haut à gauche : excitation cas 1
- en bas à gauche : réponse cas 1 (résolution pas à pas en bleu, courbe théorique analytique en rouge)
- à droite : idem cas 2

Remarque : la fréquence d'échantillonnage est choisie à 10 kHz, c'est pour cela que l'amplitude du Dirac est de 10 000.

Pour l'excitation cas 2, la perturbation "infinitésimale" est à -80, on ne la voit donc pas sur le graphe. En faisant une simulation plus longue que sur t = [-5 5], elle aurait été encore plus petite.

Donc :
- réponds aux deux questions à la fin de #99
- l'énoncé modifié que je propose te convient-il ? On dégage toute considération de Laplace ou Fourier, et on simule le comportement temporel (pour reprendre ton texte : la dynamique du système). Comme ça, pas d'équivoque.
- les figures en PJ correspondent-elles bien aux cas 1 et 2 ?

La suite quand tu auras répondu. Si tu le souhaites, je te fournis le code Matlab qui a servi à générer les figures.

Cela me semble correct effectivement même si un seul détail apparaît mal, sans doute à cause de l'échelle, sur la réponse impulsionnelle du cas 1: le décrochage de -1 en t=0. Sinon, la dynamique est bien la même: quand le signal d'entrée est nul, on voit bien sur tes graphes que la sortie diverge par seconde d'un facteur environ égal à 8. Je suis donc tout à fait d'accord. Je t'applaudis d'ailleurs pour le placement et l'intensité de la perturbation infinitésimale que tu as dû régler très précisément pour que le dirac en t=0 provoque ce retour aussi précis de la sortie sur la valeur 0.

Je suis donc pour l'instant tout à fait en accord avec toi, j'attends donc la suite avec impatience(je serais aussi intéressé par le code matlab).

Merci à toi.

[b@z66]

PS: je reviens juste un peu sur tes graphes pour me corriger. Le facteur de divergence par seconde est bien sûr égal à e=2,718... La valeur approximative 8 que j'avais remarqué au départ n'est valide, comme indiqué sur ton axe en abscisse, que pour 2s (e²).

Pour en revenir sur le fond de tes dernières questions du #99, tu pars de l'hypothèse que la RI(réponse à un dirac) est unique et caractérise à elle seule le système. C'est pour ça que nous ne pouvons pas ainsi arriver à nous comprendre.

Je vais donc t'exposer à mon tour ma façon de voir les choses. Je pars moi de l'hypothèse que le système se caractérise par la fonction de transfert en Laplace bilatérale défini pour "tout p". A partir de cette fonction de transfert, je retrouve chacune des RI solutions individuelles de l'EDO en me restreignant à un calcul de transformée inverse sur une certaine zone du plan de Laplace. Quand je me restreins à l'axe des imaginaires(p=jw), je suis obligé d'utiliser la TF inverse qui donne donc un type de RI(qui s’amortit en t=+ou- l'infini. Quand je me restreins à une autre droite de la forme p=alpha+jw avec alpha non nul, je trouve une RI antécédente causale si les pôles de la fonction se trouvent à gauche de cette "droite"(forme géométrique) et acausale dans le cas contraire(utilisation du théorème des résidus). Comme dans la TL classique, on peut trouver une droite de ce type en cherchant jusqu'à a=+l'infini, cela signifie que la TL classique inverse permet de retrouver n'importe quel type de réponse impulsionnelle causale quel que soit son degré de divergence exponentielle(ce que nous apprenons tous à nos début). On a donc la possibilité de trouver plusieurs RIs avec cette TL bilatérale inverse en fonction de la zone du plan de Laplace que l'on a choisi. Quand on fait ensuite une TF ou une TL classique directe à partie de chacune de ces RIs, le fait que ces opérations divergent(zone de non-convergence en Laplace) traduit simplement que ces RIs ne pouvaient pas être trouvées initialement grâce à cette zone en faisant la transformée de Laplace bilatérale inverse de la FT, cette zone servant au calcul de l'autre RI.

Quand, en automatique, on se sert uniquement de la TL, on le fait en se disant que l'on se restreint d'office aux signaux "causaux". Ceci est un choix de bon-sens par le côté pratique qu'il apporte mais il n'empêche que l'on s'impose malgré tout inconsciemment une restriction en faisant cela. Cela n'est d'ailleurs pas en soit une mauvaise chose puisqu'on fait ainsi disparaitre le côté non-bijectif de la TL bilatérale. Toutefois, les signaux "acausaux" que l'on négligent ainsi peuvent toujours garder un "sens physique" même si leur intérêt pratique est, comme je l'ai déjà dit, quasi-nul.

PS: mes excuses pour le ton employé mais le fait que l'on ne parle pas vraiment de la même chose sur nos différents commentaires finit aussi par m’exaspérer.

[phuphus]

Cela me semble correct effectivement même si un seul détail apparaît mal, sans doute à cause de l'échelle, sur la réponse impulsionnelle du cas 1: le décrochage de -1 en t=0.

En PJ la même figure zoomée sur les transitions.

Je t'applaudis d'ailleurs pour le placement et l'intensité de la perturbation infinitésimale que tu as dû régler très précisément pour que le dirac en t=0 provoque ce retour aussi précis de la sortie sur la valeur 0.

En fait, la perturbation initiale est réglée de manière à avoir exp(t). Ensuite, j'adapte l'impulsion en t=0 pour annuler la sortie. En pratique, pour le cas 2 avec le code tel qu'il est actuellement, on a une impulsion d'amplitude 10 003 au lieu des 10 000 théoriques. C'est directement lié au schéma explicite de résolution pas à pas.
Faire ça permet de choisir arbitrairement la perturbation initiale et d'avoir un système qui revient toujours à 0 pour t=0, c'était pour respecter cela :

Pour remettre le système sur les rails, il faut appliquer une pichenette particulière calculée avec une telle précision que l'on arrive à remettre idéalement le système sur son état d'équilibre parfait

Je suis donc pour l'instant tout à fait en accord avec toi, j'attends donc la suite avec impatience(je serais aussi intéressé par le code matlab).

Le code est en fin de message.

Cas 1 :
Le système est au repos (sortie à 0), et en l'absence d'impulsion la sortie serait restée à 0. Le signal de sortie du cas 1 est donc bien uniquement dû à l'impulsion en t=0, et représente donc la réponse impulsionnelle du système. Pas de problème ici.

Cas 2 :
l'EDO est linéaire, on peut appliquer le principe de superposition. La sortie est le résultat de la perturbation infinitésimale et de l'impulsion en t=0.
Notations :

: produit de convolution

: perturbation infinitésimale loin dans le passé

: distribution de Dirac

: réponse impulsionnelle du système


On a donc :



La réponse globale du système est :



Dans la description de ton cas 2, la perturbation infinitésimale est choisie telle que le système diverge en exp(t) :



La distribution de Dirac étant l'élément neutre de la convolution :



En remplaçant dans la première équation :



D'où (je laisse de côté les subtilités sur H(0), ça ne change rien à la démonstration) :





CQFD.

Et avant que tu me sortes que je n'ai pas le droit d'écrire ma première équation car RI(t) n'est pas unique :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...n_de_transfert

La relation évoquée plus haut entre l'entrée u et la sortie y d'un système est un opérateur de convolution dont le noyau est la réponse impulsionnelle du système. Sauf dans le cas d'un système stable ou marginalement stable, celle-ci n'est pas une distribution tempérée (dans le cas de variables continues) ou une suite à croissance lente (dans le cas de variables discrètes), et n'admet donc pas de transformée de Fourier.

Compte tenu de la démo que je viens de faire et de la citation wikipédia, je ne me contenterai certainement plus de "par définition de b@z66, la RI n'est pas unique".

Quelques questions :
- sais-tu comment, en pratique, on peut mesurer des réponses impulsionnelles ? En as-tu déjà mesuré ?
- as-tu déjà implémenté des filtres FIR ?

% http://forums.futura-sciences.com/physique/676932-causalite-instabilite-systeme-defini-h-1-1-j-5-a-8.html
% Etude de -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)
% Laplace : 1/(1-p)
% 2 schémas explicites possibles à l'ordre 1 :
%  Strictement causal : d(s(t))/dt = Fech * (s(n+1)-s(n))
%    => s(n+1) = s(n) + (1/Fech) * (s(n) - e(n))
%  Causal : d(s(t))/dt = Fech * (s(n)-s(n-1))
%    => s(n) = (1/(1-Fech)) * (e(n) - Fech.s(n-1))

close all ;
clear all ;
clc ;

% Constantes
  Fech    = 10000                                ;
  Duree   = 10                                   ;
  t       = [-(Duree/2):1/Fech:(Duree/2)-1/Fech] ;
  Taille  = size(t,2)                            ;
  Ind_0   = find(t==0)                           ;
  Freq    = [0:1/Duree:Fech-1/Duree]             ;

% Cas 1 : Excitation nulle (histoire de...)
  entree_1         = zeros(1,Taille) ;
  sortie_1         = zeros(1,Taille) ;

% Cas 2 : perturbation infinitésimale dans le passé telle que s(t) = exp(t)
  entree_2         = zeros(1,Taille) ;
  entree_2(2)      = -exp(t(2))*Fech ;
  sortie_2         = zeros(1,Taille) ;  
  
% Cas 3 : réponse à un Dirac
  entree_3         = zeros(1,Taille) ;
  entree_3(Ind_0)  = Fech            ;
  sortie_3         = zeros(1,Taille) ;

% Cas 4 : perturbation infinitésimale dans le passé, et remise sur les rails à t = 0
  entree_4         = zeros(1,Taille) ;
  entree_4(2)      = -exp(t(2))*Fech ;  %  Indice 2 pour le départ pour pouvoir initier le schéma 2
  % entree_4(Ind_0)  = Fech            ;
  sortie_4         = zeros(1,Taille) ;
  
% Calcul des réponses
  % ----- Schéma 1 -----
  % 1 - 2 - 3
  for ii = 1:Taille-1
      sortie_1(ii+1) = sortie_1(ii) + (1/Fech)*(sortie_1(ii)-entree_1(ii)) ;
      sortie_2(ii+1) = sortie_2(ii) + (1/Fech)*(sortie_2(ii)-entree_2(ii)) ;
      sortie_3(ii+1) = sortie_3(ii) + (1/Fech)*(sortie_3(ii)-entree_3(ii)) ;
  end
  
  % 4
  for ii = 1:Ind_0-1
      sortie_4(ii+1) = sortie_4(ii) + (1/Fech)*(sortie_4(ii)-entree_4(ii)) ;
  end
  
  ii           = Ind_0                 ;
  entree_4(ii) = sortie_4(ii)*(1+Fech) ;
  
  for ii = Ind_0:Taille-1
      sortie_4(ii+1) = sortie_4(ii) + (1/Fech)*(sortie_4(ii)-entree_4(ii)) ;
  end
  
  % ----- Schéma 2 -----
  % => on écrase les calculs précédents
  % il faut donc mettre en commentaire toute cette section pour garder le schéma 1
  for ii = 2:Taille
      sortie_1(ii) = (1/(1-Fech)) * (entree_1(ii) - Fech*sortie_1(ii-1)) ;
      sortie_2(ii) = (1/(1-Fech)) * (entree_2(ii) - Fech*sortie_2(ii-1)) ;
      sortie_3(ii) = (1/(1-Fech)) * (entree_3(ii) - Fech*sortie_3(ii-1)) ;
  end
  
  % 4
  for ii = 2:Ind_0-1
      sortie_4(ii) = (1/(1-Fech)) * (entree_4(ii) - Fech*sortie_4(ii-1)) ;
  end
  
  ii           = Ind_0                 ;
  entree_4(ii) = Fech * sortie_4(ii-1) ;
  
  for ii = Ind_0:Taille
      sortie_4(ii) = (1/(1-Fech)) * (entree_4(ii) - Fech*sortie_4(ii-1)) ;
  end


% Tracés

  %-----------------------------------------------------------------------
  figure(1)
  
  subplot(2,2,1)
  plot(t,entree_3,'LineWidth',1)                                         ;
  axis      ([-(Duree/2)-1 Duree/2 -1000 11000])                         ;
  grid      on                                                           ;
  legend    ('Excitation')                                               ;
  title     ('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Excitation (Dirac)') ;
  
  subplot(2,2,3)
  th_3                  = -exp(t)                                        ;
  th_3(1:Ind_0-1)       = 0                                              ;
  plot(t,th_3,'r','LineWidth',2)                                         ; hold on
  plot(t,sortie_3,'LineWidth',1)                                         ;
  axis                 ([-(Duree/2)-1 Duree/2 -150 100])                 ;
  grid                 on                                                ;
  legend               ('-exp(t).H(t)','Résolution pas à pas')           ;
  title                ('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Réponse') ;
  
  subplot(2,2,2)
  plot(t,entree_4,'LineWidth',1)                                         ;
  axis                              ([-(Duree/2)-1 Duree/2 -1000 11000]) ;
  grid                 on                                                ;
  legend               ('Excitation')                                    ;
  title('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Excitation (perturbation + Dirac)') ;
  
  subplot(2,2,4)
  th_4                  = exp(t)                                         ;
  th_4(Ind_0:Taille)    = 0                                              ;
  plot(t,th_4,'r','LineWidth',2)                                         ; hold on
  plot(t,sortie_4,'LineWidth',1)                                         ;
  axis                 ([-(Duree/2)-1 Duree/2 -1 2])                     ;
  grid                 on                                                ;
  legend               ('exp(t).H(-t)','Résolution pas à pas')           ;
  title                ('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Réponse') ;
  
  %-----------------------------------------------------------------------
  figure(2) % Zoom
  
  subplot(2,2,1)
  plot(t,entree_3,'LineWidth',1)                                         ;
  axis      ([-1 1 -1000 11000])                                         ;
  grid      on                                                           ;
  legend    ('Excitation')                                               ;
  title     ('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Excitation (Dirac)') ;
  
  subplot(2,2,3)
  th_3                  = -exp(t)                                        ;
  th_3(1:Ind_0-1)       = 0                                              ;
  plot(t,th_3,'r','LineWidth',2)                                         ; hold on
  plot(t,sortie_3,'LineWidth',1)                                         ;
  axis                 ([-1 1 -15 10])                                   ;
  grid                 on                                                ;
  legend               ('-exp(t).H(t)','Résolution pas à pas')           ;
  title                ('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Réponse') ;
  
  subplot(2,2,2)
  plot(t,entree_4,'LineWidth',1)                                         ;
  axis                 ([-(Duree/2)-1 -(Duree/2)+1 -100 100])            ;
  grid                 on                                                ;
  legend               ('Excitation')                                    ;
  title('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Excitation (perturbation + Dirac)') ;
  
  subplot(2,2,4)
  th_4                  = exp(t)                                         ;
  th_4(Ind_0:Taille)    = 0                                              ;
  plot(t,th_4,'r','LineWidth',2)                                         ; hold on
  plot(t,sortie_4,'LineWidth',1)                                         ;
  axis                 ([-(Duree/2)-1 -(Duree/2)+1 -0.1 0.1])            ;
  grid                 on                                                ;
  legend               ('exp(t).H(-t)','Résolution pas à pas')           ;
  title                ('Système -d(s(t))/dt + s(t) = e(t)  -  Réponse') ;

[phuphus]

Bonsoir,

Sauf que tu n'as pas le droit. La TL pour "ta" RI n'est pas défini pour p=jw(je ne te ferai pas l'offense de te rappeler pourquoi). Tu n'as donc pas le droit d'en déduire la fonction de transfert harmonique du système instable qui pourtant existe...mais que l'on peut déduire seulement à partir de "ma" RI.

Sauf que "ta" RI est déduite à partir d'une TF inverse (alors que la TF n'est pas définie). Ça tourne en boucle

Il n'y en a pas mais je pars de l'hypothèse que c'est la fonction de transfert(en Laplace bilatérale) qui caractérise le système donc d'office cela règle le problème: je pars de 1/(1-p) et non de la RI.

Manque de recul sur les outils mathématiques... Les TL et TF sont déjà des couches d'abstraction supplémentaires par rapport à la RI, avec des conditions d'application.

Dans ton EDO, quand tu remplaces e(t) ou s(t) par :
- e(p)
- s(p)
ou :
- e(jω)
- s(jω)

Il faut déjà t'assurer que toutes ces entités existent et qu'on n'altère rien au passage (donc que l'on représente bien le système : terrain glissant si tu t'embarques sur la TL bilatérale, qui n'est pas bijective car son inverse dépend de la ROC considérée). Là, tu passes directement à dérivée = multiplication par p / jω et intégrale = division par p / jω (ou raisonnement en impédances complexes, c'est pareil). Cela masque la première étape indispensable de l'existence des transformées et de leur représentativité.

En gros, ce que tu fais, c'est du même acabit que cela mais en moins évident à détecter car un peu plus touffu :
http://www.lifl.fr/~delahaye/LNA/LNA44.pdf

On finit par un point qu'il va falloir clarifier :

Peux-tu aussi me confirmer que pour toi, la TF de -exp(t).H(t) existe ?

Oui, cette TF existe

Quelle est la TF de -exp(t).H(t) ?

Il n'y en a pas

[phuphus]

Bonsoir,

Je vais donc t'exposer à mon tour ma façon de voir les choses. Je pars moi de l'hypothèse que le système se caractérise par la fonction de transfert en Laplace bilatérale défini pour "tout p". A partir de cette fonction de transfert, je retrouve chacune des RI solutions individuelles de l'EDO en me restreignant à un calcul de transformée inverse sur une certaine zone du plan de Laplace. Quand je me restreins à l'axe des imaginaires(p=jw), je suis obligé d'utiliser la TF inverse qui donne donc un type de RI(qui s’amortit en t=+ou- l'infini. Quand je me restreins à une autre droite de la forme p=alpha+jw avec alpha non nul, je trouve une RI antécédente causale si les pôles de la fonction se trouvent à gauche de cette "droite"(forme géométrique) et acausale dans le cas contraire(utilisation du théorème des résidus). Comme dans la TL classique, on peut trouver une droite de ce type en cherchant jusqu'à a=+l'infini, cela signifie que la TL classique inverse permet de retrouver n'importe quel type de réponse impulsionnelle causale quel que soit son degré de divergence exponentielle(ce que nous apprenons tous à nos début). On a donc la possibilité de trouver plusieurs RIs avec cette TL bilatérale inverse en fonction de la zone du plan de Laplace que l'on a choisi. Quand on fait ensuite une TF ou une TL classique directe à partie de chacune de ces RIs, le fait que ces opérations divergent(zone de non-convergence en Laplace) traduit simplement que ces RIs ne pouvaient pas être trouvées initialement grâce à cette zone en faisant la transformée de Laplace bilatérale inverse de la FT, cette zone servant au calcul de l'autre RI.

J'avais bien compris cela depuis quelques pages.

Pour toi : formalisme en p = représentation totale du système, et interchangeabilité p / jω inconditionnelle
Pour moi : RI = représentation totale du système, et gaffe à l'existence de la TF / représentativité de la TL si RI non causale

Par contre, c'est ben la première fois depuis le début que tu parles de la TL bilatérale, et apparemment tu as l'air de dire que tu étudies tous tes systèmes comme cela. Du coup, je repose ma question : critère de stabilité en TL bilatérale ? Et éventuel critère de causalité ?

[b@z66]

: produit de convolution

: perturbation infinitésimale loin dans le passé

: distribution de Dirac

: réponse impulsionnelle du système


On a donc :



La réponse globale du système est :



Dans la description de ton cas 2, la perturbation infinitésimale est choisie telle que le système diverge en exp(t) :



La distribution de Dirac étant l'élément neutre de la convolution :



En remplaçant dans la première équation :



D'où (je laisse de côté les subtilités sur H(0), ça ne change rien à la démonstration) :





CQFD.

Et avant que tu me sortes que je n'ai pas le droit d'écrire ma première équation car RI(t) n'est pas unique :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...n_de_transfert

Joli tour de passe-passe tentré de ta part mais je sais déjà que la réciproque peut aussi être faite. Tu as repris le même raisonnement(voir la première remarque de ce commentaire) que nous avions déjà fait avec stefjm. Je me donnerai la peine de réécrire plus tard le même raisonnement que toi en me servant du principe de superposition mais en inversant les rôles et la boucle sera ainsi bouclée, on aura montré l'équivalence des deux RIs. Merci à toi.

[b@z66]

Par contre, c'est ben la première fois depuis le début que tu parles de la TL bilatérale, et apparemment tu as l'air de dire que tu étudies tous tes systèmes comme cela. Du coup, je repose ma question : critère de stabilité en TL bilatérale ? Et éventuel critère de causalité ?

J'en avais déjà parlé là et là. Pour ce qui est du critère de stabilité, puisque la TL bilatérale englobe déjà la TL classique, cela ne change rien et même cela permet de faire le lien que j'ai déjà indiqué entre stabilité et "causalité" justement(grâce au théorème des résidus).

[phuphus]

Bonjour,

Joli tour de passe-passe tentré de ta part mais je sais déjà que la réciproque peut aussi être faite. Tu as repris le même raisonnement(voir la première remarque de ce commentaire) que nous avions déjà fait avec stefjm. Je me donnerai la peine de réécrire plus tard le même raisonnement que toi en me servant du principe de superposition mais en inversant les rôles et la boucle sera ainsi bouclée, on aura montré l'équivalence des deux RIs. Merci à toi.

Mauvaise foi et aveuglement, quand vous nous tenez...
1 - Je n'ai pas repris le raisonnement de #102, puisque je me suis servi d'une seule RI.
2 - Relis bien tout ce qui précède #102 avec stefjm, et tu verras de base que déjà tu ne parlais pas des cas 1 et 2 que tu as décrits en #107. On peut refaire le même genre de raisonnement foireux avec le RC à R négative, mais ce n'est pas ce dont il est question en #102.

Ensuite, pour #107 :

Dans le premier protocole, j'attends pendant une éternité que la sortie de mon système soit nulle

Suivi quelque lignes plus loin par :

Dans le deuxième protocole, je laisse diverger pendant une éternité

Pour finir par un magnifique :

J'ai personnellement tendance à penser que deux systèmes qui ont la même dynamique correspondent en fait au même système

Mais mince ! Que je suis bête ! Bien entendu, une même dynamique peut évidemment donner dans le premier cas un système dont la sortie finit par être nulle (as-tu voulu dire : "j'attends une éternité pour vérifier que le système ne diverge pas ? Si oui, alors les choses ne sont vraiment pas claires pour toi pour que tu les exprimes de manière aussi floue), et dans le deuxième cas un système qui diverge ! Et diverge, c'est beaucoup, surtout pour un seul homme (Desproges).

On continue le bêtisier de février 2015 :

-Dans le deuxième protocole, je laisse diverger (...) le système instable à partir d'une perturbation infinitésimale situé à l'infini dans le passé(en pratique à partir d'une perturbation pas tout à fait infinitésimale et dont l'origine dans le passé est finie) avant d'appliquer un dirac en entrée(en pratique une impulsion) au moment tel que je sais qu'après la sortie retombera dans son état d'équilibre(instable) parfait et le restera pour l'éternité(en pratique durant un temps limité).

Ce protocole n'a appliqué, quelque soit t fini, qu'une impulsion en t=0, on peut donc considérer que l'enregistrement de la sortie correspond bien à une réponse impulsionnelle.

Mais encore une fois c'est évident ! Comment n'ai-je pas vu avant que la combinaison d'une petite perturbation dans le passé et d'un Dirac à t=0 n'était en fait qu'une seule impulsion ! Je manque franchement d'imagination en ce moment...

Je me donnerai la peine de réécrire plus tard le même raisonnement que toi en me servant du principe de superposition mais en inversant les rôles et la boucle sera ainsi bouclée, on aura montré l'équivalence des deux RI

Non, tu auras juste montré que sur un cas particulier (le cas 2), on peut trouver deux RI qui produisent la même sortie. Si tu veux, je t'en fais des tonnes comme ça. Si tu démontres l'équivalence des deux RI à la fois pour les cas 1 (donc sans perturbation initiale et avec un système initialement au repos !!! C'est le bien fondé de la situation "1" de mon code Matlab...) et 2, on aura un début d'équivalence. Donc :
- dans le cas 1, les deux RI donnent le même résultat
- dans le cas 2, les deux RI donnent le même résultat
- pour l'équivalence : pour toute entrée, les deux RI donnent le même résultat...

La conclusion est triviale puisque le cas 1 à lui-seul est un contre-exemple à ce que tu affirmes.
Et si tu as du temps à perdre, je t'en prie, généralise ton raisonnement à 1/(1-p^n).

J'ai montré de mon côté qu'une et une seule RI décrivait parfaitement les deux cas. Pas une combinaison linéaire des deux comme tu le sous-entends, non :
- une seule RI
- les deux cas

[b@z66]

Si, si... Tu as repris le même raisonnement du principe de superposition pour déduire l'une des RI à partir de l'autre mais l'inverse est également possible puisque rien ne permet de privilégier mathématiquement l'une des solutions de l'EDO par rapport à l'autre. Tu auras beau t’escrimer, tu n'arriveras pas à prouver que l'une a plus de sens que l'autre.

Chose promise, chose due, je te réécris ton raisonnement en inversant les rôles.

Cas 2:
On a laissé le système diverger d'infiniment loin dans le passé. On a appliqué l'impulsion en t=0 pour ramener la sortie en zéro après. Le signal de sortie du cas 2 est donc bien uniquement dû à l'impulsion en t=0, et représente donc la réponse impulsionnelle du système. Pas de problème ici.

Cas 1 :
l'EDO est linéaire, on peut appliquer le principe de superposition. La sortie est le résultat d'une perturbation infiniment grande dans l'avenir et de l'impulsion en t=0.
Notations :

: produit de convolution

: perturbation infiniment grande et loin dans l'avenir

: distribution de Dirac

: réponse impulsionnelle du système


On a donc :



La réponse globale du système est :



Dans la description de mon cas 1, la perturbation infiniment grande est choisie telle que le système diverge en -exp(t) :



La distribution de Dirac étant l'élément neutre de la convolution :



En remplaçant dans la première équation :



D'où (je laisse de côté les subtilités sur H(0), ça ne change rien à la démonstration) :





CQFD.

J'espère que tu m'excuseras pour le côté paresseux de ma démonstration et tu remarqueras, si tu ne l'as pas déjà remarqué, que je n'ai utilisé qu'une RI.

On vient donc de démontrer que l'on peut retrouver l'une des RI à partir de l'autre et réciproquement. Normal puisqu'elles sont toutes les deux issues de la même EDO qui caractérise le même système.

[b@z66]

Après avoir montré que les deux RI participent donc bien de la même dynamique qui caractérise le même système, on peut dire que l'habitude d'utiliser l'une des RI plutôt que l'autre(cela est fait implicitement dans la TL) est d'ordre pratique: on a plus l'habitude et il est plus facile d'agir pour influencer directement sur l'avenir que de corriger les perturbations venant du passé(ce que l'on sait malgré tout faire indirectement en automatique à l'aide des boucles de contre-réaction). L'intérêt pratique de n'utiliser que des RI causales, et donc plus largement des réponses causales, est sans commune mesure plus grand du fait qu'à notre échelle la flèche du temps fait qu'il n'est pas possible pour nous de trop anticiper sur l'avenir et ce même si les lois de la physique sont réversibles. On fait donc en sorte de se limiter aux signaux causaux et de faire comme si les signaux "acausaux" n'existait pas(même si la réversibilité temporelle des lois physiques leur donne du sens) alors qu'ils peuvent contenir la même dynamique. Ceci est beaucoup plus simple ainsi en nous épargnant des complications d'ordre pratique inutiles.