La mécanique quantique et les nombres complexes.

[Deedee81]

Salut,

finalement il n'a pas ete tranche si les nombres complexes en MQ sont indispensables a un niveau fondamental

On ne pourra jamais trancher. C'est des maths, pas de la physique, et on peut toujours s'en passer (et souvent les utiliser car c'est quand même un objet mathématique extrêmement basique).

C'est comme si tu regardais des peintures d'un paysagiste et si tu demandais "est-ce que la peinture à l'huile est fondamentale dans les champs et les forêts"

Bonjour, l'équation de schrodinger a été établit pour répondre au besoin qu' un certain de Broglie avais établi à savoir associer une onde à chaque particule de masse m.
En se servant de la forme exponnentielle des ondes schrodinger a réussit à établir un lien mathématique entre les variations spatiales et les variations temporelles de l'onde, chose remarquable et ceci nécessite de travailler avec l'onde sous forme exponentielle complexe d'où le i dans l'équation.

Il me semble en effet que c'était la motivation originale de Schrödinger (je sais qu'il a aussi fait le lien avec l'équation de propagation/diffusion).

C'est parti de.....

Mais là£..... tu es sûr que Schrödinger est parti de là ?
-----

[stefjm]

Mais là£..... tu es sûr que Schrödinger est parti de là ?

(P+i.X).(P-iX)=P^2+X^2+i.(X.P-P.X)

Si classique : (P+i.X).(P-iX)=P^2+X^2
Si non commutation : (P+i.X).(P-iX)=P^2+X^2+i.(X.P-P.X)

et apparemment, Schrödinger est bien parti de l'équa diff d'ordre 2

2) Schrödinger a-t-il utilisé dans son article original une équation d'ordre 2 en temps comme étape intermédiaire avant d'obtenir "son"
équation d'ordre 1 par rapport au temps : OUI (lire Schrödinger)

[albanxiii]

Moi qui pensais que l'équation de Schrödinger venait de l'équation de Hamilton-Jacobi... Ce qui me rassure, c'est que je ne suis pas le seul : https://www.futura-sciences.com/scie...hamilton-4852/
ou page 63 de http://www.phys.ens.fr/~hare/FIP/Mec..._Hare_2007.pdf

[stefjm]

Ce n'est pas contradictoire.
La dérivation mathématique actuelle suit rarement les voies de la découverte historique.

[Deedee81]

Ce n'est pas contradictoire.
La dérivation mathématique actuelle suit rarement les voies de la découverte historique.

On parlait de Schrödinger, il est comme son chat, mort depuis longtemps
Il fallait préciser que tu parlais d'une dérivation différente et plus récente. Bonjour la confusion.

Perso, moi celle que je connais utilise :
- des arguments physiques, incertitude de Heisenberg, relations de de Broglie
- l'interprétation probabiliste
- des solutions de particules libres possibles
- une équation d'onde (différente de celle que tu donnais)
- la vérification qu'il y a des solutions non valides
- l'adaptation pour n'avoir que les solutions valides (c'est là que le "i" fait son apparition)

Je l'ai lu dans plusieurs bouquins.

Feynman fait encore d'une manière extrêmement différente (et que je trouve très physique et assez géniale, et je l'ai lu que chez lui mais d'autres ont dû reprendre l'approche.... moi notamment )

[syborgg]

Ok, mais la question initiale reste sans reponse :
les nombres complexes en MQ sont ils indispensables a un niveau fondamental, ou si ils sont un simple artifice pour simplifier les notations et calculs ?
si vous ne savez ou ne voulez pas repondre, avez vous des references bibliographiques sur cette question ?

[Deedee81]

Ok, mais la question initiale reste sans reponse :
les nombres complexes en MQ sont ils indispensables a un niveau fondamental, ou si ils sont un simple artifice pour simplifier les notations et calculs ?
si vous ne savez ou ne voulez pas repondre, avez vous des references bibliographiques sur cette question ?

M'enfin, tu lis les réponses ou quoi ???? Regarde le message 91.

[syborgg]

M'enfin, tu lis les réponses ou quoi ???? Regarde le message 91.

Oupps pardon j'avais pas vu....
mais tu est contradictoire, car dans la meme phrase tu dis qu'on ne saura jamais, et qu'on peut toujours s'en passer.... si on peut s'en passer comme tu dis, ce n'est pas necessaire a un niveau fondamental, et la question a sa reponse : c'est un artifice pour rendre les calculs et notations plus simples (ce qui est deja largement suffisant pour les utiliser).

[Sethy]

Serait-il possible de donner un exemple ?

Si je prends l'opérateur px :



Que devient-il si on fait sans les complexes ?

[Deedee81]

Oupps pardon j'avais pas vu....
mais tu est contradictoire, car dans la meme phrase tu dis qu'on ne saura jamais, et qu'on peut toujours s'en passer.... si on peut s'en passer comme tu dis, ce n'est pas necessaire a un niveau fondamental, et la question a sa reponse : c'est un artifice pour rendre les calculs et notations plus simples (ce qui est deja largement suffisant pour les utiliser).

Oui, t'as raison, j'ai dit un idiotie. Si on peut toujours s'en passer, si c'est purement un élément de la modélisation mathématique, la réponse est "ce n'est pas fondamental".

Hawking n'aurait pas été d'accord avec moi je pense (je n'ai pas lu en détail ses dernières publications mais il semblait donner un rôle fondamental à la notion de temps imaginaire.... quelque sens que cela puisse avoir... avec le modèle de Hartle-Hawking d'univers sans bord.... mais je connais TRES mal). Donc même après correction, peut-être à prendre avec des pincettes.

[syborgg]

Serait-il possible de donner un exemple ?

Si je prends l'opérateur px :



Que devient-il si on fait sans les complexes ?

Je me trompe peut etre, mais a mon avis le probleme n'est pas dans les operateurs differentiels, mais plutot en amont : est il absolument necessaire de prendre comme cadre de depart des fonctions a valeur complexe ?

[Deedee81]

Serait-il possible de donner un exemple ?

Si je prends l'opérateur px :



Que devient-il si on fait sans les complexes ?

Sous forme d'un doubler de réel (représentation avec le plan de Gauss par exemple) :

Oui, ça fait grosse astuce, mais on peut (c'est jamais que des maths après tout)

Avec une représentation plus proche de la réalité physique quantique, peut-être, la représentation polaire : amplitude et phase :


On pourrait même utiliser deux variables pour ne pas avoir ce "couple".

[syborgg]

Sous forme d'un doubler de réel (représentation avec le plan de Gauss par exemple) :

Oui, ça fait grosse astuce, mais on peut (c'est jamais que des maths après tout)

Avec une représentation plus proche de la réalité physique quantique, peut-être, la représentation polaire : amplitude et phase :


On pourrait même utiliser deux variables pour ne pas avoir ce "couple".

Si l'operateur s'applique a des fonctions a valeurs complexes a(x,y,z)+ib(x,y,z), ca serait plutot non ?

[syborgg]

Une question au passage : les fonctions d'etat en MQ, ce sont des fonctions a valeurs complexes de carre integrables. Mais les suppose t on continues, ou seulement mesurables ? En d'autres termes, l'espace de Hilbert considere est il le L^2 ou seulement un sous espace du L^2 ? J'imagine qu'on les suppose continues en physique, mais bon sait on jamais...

[invite69d38f86]

les ordinateurs jusqu'a présent (avant les ordinateurs quantiques) ont partaitement effectué tous les calculs possibles concernant
les modeles quantiques. les éléments de base de ces opérateurs étaient les calculs sur les nombres entiers 0 et 1. on est loin de
la nécessité des nombres réels et encore moins des nombres quantiques. ils ne donnent pas des résultats avec une précision infinie
mais meme la théorie indique que de tels résultats d'observations nécessiteraient une énergie infinie et sont donc exclus par principe.

[syborgg]

les ordinateurs jusqu'a présent (avant les ordinateurs quantiques) ont partaitement effectué tous les calculs possibles concernant
les modeles quantiques. les éléments de base de ces opérateurs étaient les calculs sur les nombres entiers 0 et 1. on est loin de
la nécessité des nombres réels et encore moins des nombres quantiques. ils ne donnent pas des résultats avec une précision infinie
mais meme la théorie indique que de tels résultats d'observations nécessiteraient une énergie infinie et sont donc exclus par principe.

"nombres quantiques".... tu voulais dire nombres complexes je suppose. Donc tu confirmes l'opinion de Deedee81 que les complexes en MQ ne sont qu'un outil pour rendre le formalisme plus simple ?

[yves95210]

"nombres quantiques".... tu voulais dire nombres complexes je suppose. Donc tu confirmes l'opinion de Deedee81 que les complexes en MQ ne sont qu'un outil pour rendre le formalisme plus simple ?

Ben il y a bien longtemps que je n'ai pas fait de maths sérieusement. Mais à partir du moment où on peut identifier un nombre complexe avec un élément de R², et le corps des complexes comme R² muni des opérations d'addition et multiplication définies par
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) x (c,d) = (ac-bd, ad+bc)
quelque soit leur domaine d'utilisation (dont la MQ), les complexes ne sont qu'un outil (puissant) pour rendre le formalisme plus simple...

[syborgg]

Ben il y a bien longtemps que je n'ai pas fait de maths sérieusement. Mais à partir du moment où on peut identifier un nombre complexe avec un élément de R², et le corps des complexes comme R² muni des opérations d'addition et multiplication définies par
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) x (c,d) = (ac-bd, ad+bc)
quelque soit leur domaine d'utilisation (dont la MQ), les complexes ne sont qu'un outil (puissant) pour rendre le formalisme plus simple...

A priori ce n'est pas du tout evident que les complexes soient utiles en MQ : si je ne m'abuse, ce qui interesse en derniere instance, ce sont la fonction de probabilite, et les mesures qu'on peut faire sur un systeme quantique. Ces grandeurs sont reelles. Le formalisme de la MQ de Von Neumann introduit des etres mathematiques qui n'ont rien a voir avec ceci (la fonction d'etat Psi, des operateurs qui "correspondent" a des "observables" -- j'entends des grandeurs mesurables..), et en plus ces etres fictifs vivent dans un espace de Hilbert complexe.... ensuite on retrouve les grandeurs qui ont un vrai sens physique a partir de ces etres fictifs, par exemple la mesure d'une grandeur comme une valeur propre de l'operateur associe. C'est un formalisme tres efficace bien sur, mais existe il un autre formalisme que celui de Von Neumann, qui n'utilise pas du tout les espaces complexes, seulement des objets mathematiques en lien avec les reels, et qui soit tout de meme raisonablement elegant (par exemple le fait de separer partie reelle et imaginaire a partir du formalisme complexe est peut etre possible -- encore faudrait il le verifier --, mais meme sans aucun doute a des horreurs en terme de notations) ??

[Sethy]

A priori ce n'est pas du tout evident que les complexes soient utiles en MQ : si je ne m'abuse, ce qui interesse en derniere instance, ce sont la fonction de probabilite, et les mesures qu'on peut faire sur un systeme quantique. Ces grandeurs sont reelles. Le formalisme de la MQ de Von Neumann introduit des etres mathematiques qui n'ont rien a voir avec ceci (la fonction d'etat Psi, des operateurs qui "correspondent" a des "observables" -- j'entends des grandeurs mesurables..), et en plus ces etres fictifs vivent dans un espace de Hilbert complexe.... ensuite on retrouve les grandeurs qui ont un vrai sens physique a partir de ces etres fictifs, par exemple la mesure d'une grandeur comme une valeur propre de l'operateur associe. C'est un formalisme tres efficace bien sur, mais existe il un autre formalisme que celui de Von Neumann, qui n'utilise pas du tout les espaces complexes, seulement des objets mathematiques en lien avec les reels, et qui soit tout de meme raisonablement elegant (par exemple le fait de separer partie reelle et imaginaire a partir du formalisme complexe est peut etre possible -- encore faudrait il le verifier --, mais meme sans aucun doute a des horreurs en terme de notations) ??

La probabilité se déduit de la fonction d'onde par le produit de celle-ci avec ... son complexe conjugué.

Si la fonction d'onde est réelle, son complexe conjugué est elle-même et donc cela se résume à l'élever au carré. Mais si la fonction est complexe, la multiplier par son complexe conjugué, rend le résultat réel.

[syborgg]

La probabilité se déduit de la fonction d'onde par le produit de celle-ci avec ... son complexe conjugué.

Si la fonction d'onde est réelle, son complexe conjugué est elle-même et donc cela se résume à l'élever au carré. Mais si la fonction est complexe, la multiplier par son complexe conjugué, rend le résultat réel.

Je ne comprends pas bien ton argument.... ce n'est surement pas pour cela que la fonction d'etat a ete choisie a valeurs complexe par les fondateurs de la MQ !

[Sethy]

Je ne comprends pas bien ton argument.... ce n'est surement pas pour cela que la fonction d'etat a ete choisie a valeurs complexe par les fondateurs de la MQ !

Bah, je ne suis pas le seul à le dire : https://cf.ppt-online.org/files2/sli...b6/slide-3.jpg

[syborgg]

Bah, je ne suis pas le seul à le dire : https://cf.ppt-online.org/files2/sli...b6/slide-3.jpg

Oui, mais quel rapport cela a t il avec ce que je dis dans #108 ?

[azizovsky]

Pour établir son équation indépendante du temps, il a recollé les morceaux, il a pris l'équation de Helmholtz (de l'équation d'onde) :
avec

à partir de relation d'Einstein et de De Broglie .

vitesse de phase (analogie optique-mécanique déjà connu par Hamilton....)

il injecte tous dans l'équation de Helmholtz et l'équation change de nom .

pour remonter à l'équation complète, il a sûrement essayer l'équation d'onde mais en vain... (désaccord avec les données expérimentaux), donc, il a recours à la façon de voir et faire des physiciens ('bricolage' des équations), une façon de faire, à partir de l'équation de dispersion déduite de l'équation d'onde :









avec cette correspondance (les ancêtres des actuelles...) de on'a l'équation de dispersion:



pour une particule libre (Einstein-De Broglie..)

à partie de cette équation de dispersion, on peut remonter à l'équation par la correspondance :



multipliée par i :



ce qui est l'équation de Schrödinger pour une particule libre, c'est une façon de faire, mais possible, il a utiliser une autre manière .

[yves95210]

Une pièce à verser au débat : Vers une mécanique quantique sans nombre complexe , publiée dans les annales de la fondation Louis de Broglie en 2001.

(je viens de tomber dessus en cherchant "mécanique quantique et nombres complexes" sur google, mais je ne l'ai pas lu, donc je ne sais pas ce que ça vaut)

[azizovsky]

correction :



possible je n'ai pas vue d'autres, j'ai trop carrelé aujourd'hui ...

[syborgg]

Une pièce à verser au débat : Vers une mécanique quantique sans nombre complexe , publiée dans les annales de la fondation Louis de Broglie en 2001.

(je viens de tomber dessus en cherchant "mécanique quantique et nombres complexes" sur google, mais je ne l'ai pas lu, donc je ne sais pas ce que ça vaut)

Dans cet article les auteurs disent dans l'intro a propos de la fonction d'etat Psi : "Pour obtenir une equation d'onde correcte au second ordre il dut introduire un facteur i dans l'equation du premier ordre. C'etait la premiere fois que les nombres complexes prenaient place en physique,de maniere intrinseque et non comme simple outil de calcul".

Cela relance donc le debat.....

Il serait interessant de savoir ce que cette piste a donne 18 ans apres la parution de cet article : a t on reussit a presenter une formulation de la MQ sans passer par des objets complexes ?
Si c'est le cas, cela repondrait definitivement a la question initiale, et cette discution serait close (a condition comme je le disais plus haut, qu'une eventuelle formulation reelle de la MQ soit un minimum elegante, comme l'est la formulation complexe) : les complexes ne seraient pas intrinsequement lies a la MQ...

[azizovsky]

[URL="http://aflb.ensmp.fr/AFLB-26j/aflb26jp149.pdf"]Vers une mécanique

ce lien est déjà donné au message 31 .

ps: , je commence à voir les petit carreaux comme x .

[coussin]

Une des manières de dériver la théorie de Bohm est tout simplement d'écrire la fonction d'onde Psi=R e^iS. L'équation de Schrödinger est remplacée par un couple d'équations pour R et S dans lesquelles il n'y a que des quantités réelles.
Bon, c'est assez trivial... Je ne sais pas si c'est utile à cette discussion.

[coussin]

C'est expliqué ici : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quantum_potential avec le lien vers l'équation de Hamilton-Jacobi usuelle (sans le terme de potentiel quantique).

[Deedee81]

Salut,

Si l'operateur s'applique a des fonctions a valeurs complexes a(x,y,z)+ib(x,y,z), ca serait plutot non ?

Non, l'opérateur ayant un "i", il est purement imaginaire (partie réelle nulle). Du moins dans la représentation position.

Une question au passage : les fonctions d'etat en MQ, ce sont des fonctions a valeurs complexes de carre integrables. Mais les suppose t on continues, ou seulement mesurables ? En d'autres termes, l'espace de Hilbert considere est il le L^2 ou seulement un sous espace du L^2 ? J'imagine qu'on les suppose continues en physique, mais bon sait on jamais...

Je n'ai pas l'habitude de voir l'espace de Hilbert comme ça, je préfère la représentation vectorielle. Je pense qu'il y a un lien avec les amplitudes. Mais je veux éviter de dire une grosse bêtise et je vais laisser d'autres répondre.