Addendum.Envoyé par brhmagupta
De même que les irrationnels ont émergé spontanément de √2, les complexes ont émergés spontanément lors de la résolution de l'équation du 3ème degré : x3 -5X-3=0
Aussi, je ne vois pourquoi les uns seraient plus naturels que les autres.
Merci !Bien sûr, puisque la structure est la même.
Peut importe les représentants de la classe d'équivalence.
Ce que je veux dire est qu'on ne se passe pas des complexes en les remplaçant par des matrices, des vecteurs de Fresnel, des rapports de polynôme etc...
On les utilises sous diverses formesen le sachant ou en l'ignorant.
Je triche sans doute un peu, mais quand je vois vos relations, je devine des matrices des matrices de rotation, des rapports de polynôme avec 1+X^2, des complexes, etc...
Historiquement, la MQ a bien été formalisé avec des matrices (et encore, des tableaux de nombres, même pas dit que c'était les matrices d'aujourd'hui...) par Heisenberg.
A postériori, votre question est difficile.
C'est un peu se demander si le 1/4 de pizza avait été découvert seulement en utilisant la somme définie naturellement par (a,b)+(a',b')=(ab'+a'b,bb')
C'est à peu près sur que lorsque le formalisme est puissant et simple, on peut aller plus loin plus facilement.
L'avis de Médiat serait intéressant.
Cordialement.
Vos réponses sont toujours très pertinentes.
Cordialement.
Bonjour,
Bien que je m'intéresse depuis l'Université à la mécanique quantique, je ne suis pas physicien ainsi que je l'ai déjà précisé.
Je crois me souvenir qu'il s'agit d'une rotation de l'axe du temps t -> it afin de passer de Minkoxski à Euclide ou quelque chose dans ce gout là.
Pardonnez-moi et n'hésitez pas à me reprendre si, probablement, j'ai dit une sottise. Tout cela est bien loin ...
Cordialement.
De ce que je comprend, ça dépend de la loi de multiplication choisie "naturellement" et souvent implicitement.
Pour R^2 : (a,b)*(a',b')=(aa',bb')
Pour C : (a,b)*(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b)
Non?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Je suis tout à fait d'accord. On peut se passer des complexes mais pas du fait que la théorie et ses éléments ont une certaine structure. En se passant des complexes on met juste la poussière sous le tapis. Ce qui est intéressant c'est cette structure et sa raison. Et là les explications de Penrose sont de bon aloi (mais elles mériteraient au moins ici dans ce fil d'être approfondies).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Pas de sottise, c'est tout à fait ça. C'est une transformation utile dans les problèmes de calculs en théorie quantique des champs (c'est là qu'on la trouve le plus souvent). Elle montre même qu'il y a une relation formelle entre des problèmes de dynamique et de physique statistique https://en.wikipedia.org/wiki/Wick_r...s_and_dynamics je trouve ça assez profond.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Et ce ne sont "que" des nombres algébriques, il manque encore les transcendants (pi, e, sin(1), i^i, ln(3)/ln(2))
Ce sont des nombres et leur naturalité dépend de l'habitude à les manipuler.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est vrai. Les transcendants ont émergé eux aussi naturellement.
Pour ce qui concerne i^i, quelle ne fut ma surprise quand je me suis rendu compte (il y a longtemps), que sa valeur est bien réelle et égale à 0,2 et des poussières !
Il suffit de calculer la valeur de e puissance ilog(i). log désigne, comme autrefois, le log népérien (l minuscule), le log décimal était représenté par Log (L majuscule)
Je persiste à utiliser ces notations de même pour sh(x), ch(x) etc. que je préfère comme étant moins lourds que sinh(x), cosh(x) etc.
Je vous remercie ainsi que zazizovski qui m'invitez en quelque sorte à revoir en les approfondissant des notions plus ou moins oubliées.
Ce n'est pas la seule détermination :
Vous avez visiblement des centres d'intérêt proches des miens.
http://forums.futura-sciences.com/ph...ementaire.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html
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http://forums.futura-sciences.com/ma...scendance.html
http://forums.futura-sciences.com/ma...te-deuler.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...ine-unite.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...amplitude.html
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est vrai, j'ai tout simplement oublié 2kπ ! Je suis tout simplement impardonnable !!Ce n'est pas la seule détermination :
Vous avez visiblement des centres d'intérêt proches des miens.
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Cordialement.
Cordialement.
Bonjour stefm, bonjour à tous
Ok
As-tu connaissance de cette théorie "Non-Hermitian Quantum Mechanics" ?
Cordialement,Non-Hermitian quantum mechanics[1] is a theory that deals with two types of physical phenomena. One type of phenomena cannot be described by the standard (Hermitian) quantum mechanics since the local potentials in the hamiltonians are complex.
[1] N. Moiseyev, "Non-Hermitian Quantum Mechanics", Cambridge University Press, Cambridge, 2011
Bonjour,
J'ai lu le très court article cité.
La mise en garde au début m'invite à attendre plus de précisions : "This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources.
Cordialement.
C'est la référence qui importe [1] N. Moiseyev, "Non-Hermitian Quantum Mechanics", Cambridge University Press, Cambridge, 2011 plutôt que les 3 lignes de l'article wikipédia.
Cordialement,
Salut,
Je n'ai pas lu l'article référencé (pas accès). Mais est-ce que ça ne traite pas du cas où il y a "non conservation de la probabilité" ? (Comme en théorie des collisions ou les particules peuvent se retrouver liée et on peut le simuler en première approximation par utilisation d'un potentiel complexe. Ou comme dans la théorie des maisons K neutres où on utilise un hamiltonien non hermitien pour ternir compte du fait qu'ils se désintègrent, comme dans le travail de Gell-Man et Pais, repris dans le cours de Feynman de MQ)
L'utilisation des complexes même en physique classique dans des calculs où n'interviennent que les réels est parfois utilisé aussi pour ce genre de cas. C'est assez intéressant et ça entre tout à fait dans le cadre de la discussion.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
en MQ les opérateurs non hermitiens sont tres courants par exemple les opérateurs d'annihilation. et leurs valeurs propres sont
complexes. et leurs vecteurs propres sont tres intéressants.
pour cela voir leur image par fonction de wigner que tout le monde s'accorde ici a ignorer.
Arg, oui, ci-dessus j'aurais dû préciser observables non hermitiens. Qu'on rencontre souvent de ci de là.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Précision :
Non, juste (très) mal connu. Difficile de faire des commentaires quand on ne sait pas de quoi il s'agit.
Un ch'tit coup de google ne donne vraiment pas grand chose.
Tu n'aurais pas sous la main une référence expliquant cette approche au moins dans les grandes lignes ?
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
Je ne mets certainement pas en doute ce travail, mais je ne peux m'en faire une idée faute d'informations suffisantes. C'est ce que j'ai seulement voulu dire.
Cordialement.
wiki comme toujours ou presque
Ah zut, plus le temps. Je lirai demain.
Merci pour la référence (curieux que google ne m'a pas donné la ref, j'ai dû mal chercher)
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je me permet quelques interrogations d'un néophyte qui me semblent naturelles au vu du débat.
A partir de quel moment peut on dire qu'un concept devient veritablement un concept ? En maths les concepts ne sont que des "abbreviations" de choses plus fondamentales. On pourrait écrire toutes les mathématiques en utilisant que le langage de la théorie des ensembles. Pourtant il semble que certains abréviations, certains concepts aient un sens "profond" et ne soient pas qu'un simple raccourci de langage.
Les nombres complexes se sont peu à peu imposé comme un objet parmi les plus fondamentaux, plus que les nombres réels a bien des égards, parce qu'il présentait des propriétés qui se "packagent" bien, qui font sens en tant que telles. Il est interessant de voir le vocabulaire employé, on parle à l'envie de choses "naturelles", souvent pour parler de choses conformes à nos intuitions.
Est ce que les nombres réels relevent plus de notre intuition que les nombres complexes ? Je n'en suis véritablement pas persuadé. Pourtant personne (?) ici ne semble prétendre que les nombres réels ne sont qu'une astuce de calcul pour ne pas avoir à parler de classes de suites de Cauchy rationnelles.
En tant que matheux, il me semble qu'il y a "qqch" derrière les nombres complexes qui font que c'est bien un concept en tant que tel. Et l'utilisation des spécificités de ce concept semble être véritablement cruciales pour faire de la physique, pour ce que j'en connais. Au moins autant que les nombres réels.
Bonjour,
Je suis d'autant plus d'accord que, plus haut, j'ai déjà rappelé que :
- Les nombres irrationnels ont émergé naturellement de √2. Il paraîtrait que le pauvre Hippase de Metaponte aurait payé de sa vie le fait de l'avoir révélé.
- Les nombres complexes ont émergé naturellement de l'équation x3 - 15x - 4 = 0 qui admet la solution x = 4 alors qu'une racine carrée apparaissant dans la formule de Cardan porte sur un nombre négatif.
Cordialement.
c'est vrai que tout peut écrit uniquement avec le O barré de l'ensemble vide et les signes de parentheses.
Bonsoir,
L'article référencé c'est un livre de 410 pages que je viens de découvrir. A lire l'introduction cette alternative théorique semble bien connu des initiés.
CordialementNon-Hermitian quantum mechanics (NHQM) is an important alternative to the standard (Hermitian) formalism of quantum mechanics, enabling the solution of otherwise difficult problems.
The first book to present this theory, it is useful to advanced undergraduate and graduate students and researchers in physics, chemistry and engineering.
NHQM provides powerful numerical and analytical tools for the study of resonance phenomena – perhaps one of themost striking events in nature. It is especially useful for problems whose solutions cause extreme difficulties within the structure of a conventional Hermitian framework. NHQM has applications in a variety of fields, including optics, where the refractive index is complex; quantum field theory, where the parity-time (PT) symmetry properties of the Hamiltonian are investigated; and atomic and molecular physics and electrical engineering, where
complex potentials are introduced to simplify numerical calculations.
The standard formalism is based on the requirement that all observable properties of a dynamic nature are associated with the real eigenvalues of a special class of operators, called Hermitian operators. All textbooks use Hermitian Hamiltonians in order to ensure conservation of the number of particles. See, for example, the monumental book of Dirac on The Principles of Quantum Mechanics. The motivation for the derivation of the NHQM formalism is twofold.
The first is to be able to address questions that can be answered only within this formalism. For example:
– in optics, where complex index of refraction are used;
– in quantum field theory, where the parity–time (PT) symmetry properties of the Hamiltonian are investigated;
– in cases where the language of quantum mechanics is used, even though the problems being addressed are within classical statistical mechanics or diffusion in biological systems;
– in cases where complex potentials are introduced far away from the interaction region of the particles. This approach simplifies the numerical calculations and avoids artificial interference effects caused by reflection of the propagated wave packets from the edge of the grid.
The second is the desire to tackle problems that can, in principle, also be solved within the conventional Hermitian framework, but only with extreme difficulty, whereas the NHQM formalism enables a much simpler and more elegant solution.
Moreover it provides the insight that is required in order to predict novel physical phenomena and to design the corresponding experiments. It is most useful in exploration of the resonance phenomena, where particles are temporarily trapped by the potential.
In their book on non-relativistic quantum mechanics, Landau and Lifshitz wrote about the need for NHQM:
Until now we have always considered solutions of the Schrodinger equation with a boundary condition requiring the finiteness of the wavefunction at infinity. Instead of this, we shall look for solutions which represent an outgoing spherical wave at infinity; this corresponds to the particle finally leaving the system when it disintegrates. Since such a boundary condition is complex, we cannot assert that the eigenvalues of the energy must be real. (Section 132 on Resonance at a quasi-discrete level).
The resonance phenomena are some of the most striking phenomena in nature. Resonances are associated with metastable states of a system that has sufficient energy to break up into two or more subsystems. These systems can be nuclei, atoms, molecules, solids, nano-structured materials and condensates. The subsystems may contain elementary particles and/or neutral or negatively/positively charged atomic or molecular ions. The systems whose dynamics is controlled by the resonance phenomena can be as small as protonium (the exotic atom consisting
of a proton and an anti-proton) or a helium atom, or as large as a protein.
However, because of the exponential divergence of the asymptotes of the resonance solutions, the derivation of the NHQM formalism became possible only after the derivation of the complex scaling transformation by Balslev-Combes and by Barry Simon, with which resonance wavefunctions become square integrable as bound states in the standard formalism. The non-Hermitian formalism avoids the need to carry out complicated wave-packet-propagation calculations in order to describe resonance phenomena, and enables the association of a given resonance phenomenon as it appears in an atomic, molecular, nuclear or chemical system with a single square-integrable eigenfunction of the complex-scaling Hamiltonian. Therefore, the non-Hermitian formalism, based on this kind of transformation, enables the calculation of cross sections and dynamical properties of systems controlled by their resonance states, by using computational algorithms that were originally developed for bound states in conventional Hermitian quantum mechanics.
...
Nimrod Moiseyev is Bertha Hartz Axel Professor of Chemistry and Physics and a member of the Minerva Centre for Nonlinear Physics of Complex Systems at the Technion-Israel Institute of Technology. He has won numerous awards for his work, including the Humboldt Prize, the Marie Curie Prize, the Landau Award and the Centre de Mecanique Ondulatoire Appliquee (CMOA) medal for his “major contribution to the development of the non-Hermitian theory of quantum mechanics”.
Dernière modification par Paradigm ; 14/02/2018 à 19h40.
Un aperçu du Livre Non-Hermitian Quantum Mechanics
Cordialement
Je reprends cette discussion fort interessante : finalement il n'a pas ete tranche si les nombres complexes en MQ sont indispensables a un niveau fondamental, ou si ils sont un simple artifice pour simplifier les notations et calculs... je suis mathematicien et ne connait pas grand chose de MQ, mais ce genre de question m'interesse au plus haut point : qq'un peut t il m'eclairer ?
D'autre part, quand vous parlez d'espaces de Hilbert, je comprends que vous voulez parler plutot d'espaces de Hermite non ? sctictement parlant (en tout cas en maths), les espaces de Hilbert sont des espaces reels et non complexes.
Son argument n'explique pas pourquoi i apparait dans l'equation de S., ce qui est la question la plus interessante. Qq'un ici le sait il ?
Bonjour, l'équation de schrodinger a été établit pour répondre au besoin qu' un certain de Broglie avais établi à savoir associer une onde à chaque particule de masse m.
En se servant de la forme exponnentielle des ondes schrodinger a réussit à établir un lien mathématique entre les variations spatiales et les variations temporelles de l'onde, chose remarquable et ceci nécessite de travailler avec l'onde sous forme exponentielle complexe d'où le i dans l'équation.
La définition que donne Wikipédia pour espace de Hilbert englobe espace vectoriel complexe muni d'un produit hermitien.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hilbert
C'est parti de l'équation d'un oscillateur classique d^2x/dt^2+x=0, d'équation caractéristique X^2+1=0, de racine X=+-i.
X^2+1=(X+i).(X-i)=0
Par des considérations de symétries, n'a été gardé que X+i=0, qui correspond à l'équation différentielle dx/dt+i.x=0
Dans les très grandes lignes...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
