La mécanique quantique et les nombres complexes.

[coussin]

A ma connaissance, oui les fonctions d'onde doivent être continues. Justement pour éviter d'avoir des quantités de mouvement infinies.
Notons qu'un des outils préféré des physiciens sont les ondes planes qui ne sont pas L²
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[Deedee81]

A ma connaissance, oui les fonctions d'onde doivent être continues. Justement pour éviter d'avoir des quantités de mouvement infinies.
Notons qu'un des outils préféré des physiciens sont les ondes planes qui ne sont pas L²

Ah bah oui, biesse (le biesse, c'est moi ) c'est juste les fonctions d'onde.

Merci coussin d'avoir réparé un court-circuit entre deux de mes neurones.

Il peut y avoir des discontinuités mais localisées et uniquement pour la dérivée. Donc oui elles sont continues.

[syborgg]

Corrigez moi si je dis des conneries, mais une fonction d'etat typique est de la forme , ou x,y,z sont les variables spaciales non ?
Ma question etait : doit on supposer la continuite en les variables spaciales (pour t fixé) ?
Bien sur qu'en la variable t elle doit etre continue, car derivable : c'est l'equation de S. qui l'impose.

[syborgg]

Je n'ai pas l'habitude de voir l'espace de Hilbert comme ça, je préfère la représentation vectorielle. Je pense qu'il y a un lien avec les amplitudes. Mais je veux éviter de dire une grosse bêtise et je vais laisser d'autres répondre.

Qu'est ce que tu entends par representation vectorielle ?

[coussin]

Ma question était : doit on supposer la continuité en les variables spatiales (pour t fixé) ?

J'ai répondu non ? La réponse est oui, à mon avis.

[syborgg]

J'ai répondu non ? La réponse est oui, à mon avis.

Non c'etait juste pour preciser ma question car je me suis rendu compte qu'elle etait imprecise.
Donc quel espace de Hilbert considrere t on en MQ exactement ? car les fonctions continues en les variables spaciales de module au carre sommable ne forment pas un espace de Hilbert (il manque la clause de completude : c'est justement pour avoir un ev complet qu'on passe aux fonctions mesurables de carre sommable et a l'integrale de Lebesgue...).
A t on besoin d'un espace de Banach (i.e. complet) en MQ ou ev muni d'un produit Hermitien non complet est il suffisant ?

[Sethy]

Corrigez moi si je dis des conneries, mais une fonction d'etat typique est de la forme , ou x,y,z sont les variables spaciales non ?
Ma question etait : doit on supposer la continuite en les variables spaciales (pour t fixé) ?
Bien sur qu'en la variable t elle doit etre continue, car derivable : c'est l'equation de S. qui l'impose.

Continue ... mais jusqu'à quelle granularité ? A l'échelle atomique, oui certes mais 10 ou 20 décades au dessous ?

C'est comme pour le temps, continu ... alors que des phénomènes de créations/disparitions de particules "virtuelles" seraient tellement fugaces qu'ils (si j'ai bien compris) violeraient le principe de conservation d'énergie. A titre d'exemple, la charge de l'électron "e" n'est pas sa "vraie" charge mais bien la version "écrantée" par toutes ces particules virtuelles qui apparaissent et disparaissent sans fin. Donc, même le potentiel électronique dans l'équation de Schrödinger est biaisé en quelque sorte.

Il est normal d'aborder une sciences connexes à celle qu'on connait en partant de ses connaissances. Mais il faut faire attention et dans ce cas-ci, il faut surtout se méfier des absolus.

[Deedee81]

Qu'est ce que tu entends par representation vectorielle ?

Un état = un vecteur (d'un espace vectoriel de Hilbert)

[syborgg]

Un état = un vecteur (d'un espace vectoriel de Hilbert)

Tu veux dire que si on choisissais L^2 comme espace de Hilbert, certains vecteurs ne seraient pas des etats (fonctions non continues) ?
Mais alors, comme je demandais plus haut, quel est exactement l'espace de Hilbert considere en MQ ?

[jacknicklaus]

comme je demandais plus haut, quel est exactement l'espace de Hilbert considere en MQ ?

Usuellement, on définit H comme l'espace des fonctions dont la norme est finie (= espace des fonctions de carré sommable). car physiquement, on veut que la probabilité qu'une particule soit quelque part dans tout l'espace est 1.



H = L²(R), et H a alors la structure d'un espace de Hilbert


référence :
Cohen-Tanoudji chapitre II-A

[Sethy]

En relisant la discussion, je me pose une autre question.

Est-ce que la fonction d'onde (j'édite pour ajouter des vecteurs qui forment la base) est bien à 4 variables (enfin, oublions les spins pour le moment) ?

Est-ce "qu'habituellement", la manière de voir les phénomènes ne peut pas plutôt se décrire par un combili dont éventuellement les coefficients sont dépendants du temps mais que la base elle-même ne l'est pas.

Si on imagine une transition électronique entre deux états, disons 1s et 2p, ne voit-on pas habituellement les choses comme une fonction |Psi> = A(t).|1s>+B(t).|2p> avec au début B(0) = 0 et A(0) = 1 (je considère les fonctions comme normées) et à la fin, B(fin)=1 et A(fin) = 0 et dans lesquels les fonctions l1s> et |2p> sont indépendantes du temps (mais dépendantes de x,y,z et du spin) ?

[Deedee81]

Tu veux dire que si on choisissais L^2 comme espace de Hilbert, certains vecteurs ne seraient pas des etats (fonctions non continues) ?

Non, non. Regarde :

Usuellement, on définit H comme l'espace des fonctions dont la norme est finie (= espace des fonctions de carré sommable). car physiquement, on veut que la probabilité qu'une particule soit quelque part dans tout l'espace est 1.



H = L²(R), et H a alors la structure d'un espace de Hilbert

L'espace des fonctions continues de ce type a une structure d'espace vectoriel. Tout vecteur (en fait les rayons, mais peu importe) = état possible.

Est-ce que la fonction d'onde (j'édite pour ajouter des vecteurs qui forment la base) est bien à 4 variables (enfin, oublions les spins pour le moment) ?

Pour une seule particule oui, pour deux particules c'est Psi(t, x1, y1, z1, x2, y2, z2)
etc...
(et pour un nombre variables de particules, faut se tourner vers un espace de Fock).

Heu, en fait, faut enlever le temps (paramètre externe, le changement au cours du temps étant un changement de vecteur).

Les combinaisons linéaires ne sont rien d'autre que des combinaisons linéaires de vecteur donnant un autre vecteur. Là au moins c'est facile

[syborgg]

Usuellement, on définit H comme l'espace des fonctions dont la norme est finie (= espace des fonctions de carré sommable). car physiquement, on veut que la probabilité qu'une particule soit quelque part dans tout l'espace est 1.



H = L²(R), et H a alors la structure d'un espace de Hilbert


référence :
Cohen-Tanoudji chapitre II-A

Ben c'est pas clair encore pour moi : si on prend L^2, on a bien un espace de Hilbert, mais on a aussi des fonctions mesurables non continues. Mais si on prend le sous espace des fonctions continues de carre sommable, on a plus un espace de Hilbert (manque la completude)... Alors quel espace de fonctions on considere exactement ?
Ce n'est pas un coupage de cheveux en quatres de matheux, c'est fondamental de savoir de quel espace on parle...

[syborgg]

Tout vecteur (en fait les rayons, mais peu importe) = état possible.

Donc on considere plutot l'espace projectif associe a l'espace de Hilbert ? oui ca semble logique, vu qu'on ne veut que des vecteurs de norme 1 pour la probabilite.

[Deedee81]

Donc on considere plutot l'espace projectif associe a l'espace de Hilbert ? oui ca semble logique, vu qu'on ne veut que des vecteurs de norme 1 pour la probabilite.

C'est tout à fait ça.

Bon, je suis parti et je serai absent demain et du week-end. A+

[invite69d38f86]

les physiciens adorent les ondes planes qui sont continues mais ils adorent tout autant les transformations de Fourier qui font qu elles deviennent des distributions de Dirac. la physique actuelle utilisent tous les outils mathématiques qui peuvent lui etre utiles.
il n'y a pas a choisir entre onde et particule, entre réels et complexes, entre heisenberg et schrodinger. d autant plus qu'il y a la plupart du temps des choses qui mixtent les deux. je pense aux matrices densité qui vont du cas pur au pur mélange
aux spectres d'atomes ou on a une partie discrete superposée a une partie continue.

ceci dit rien n'empeche d'avoir des préférences esthétiques. les miennes vont plutot vers Heisenberg.
et par rapport a ce qui est le plus fondamental pesonnellement je mettrais d'abord les nombres entiers > 0. ceux qu'on a commencé enfant a compter sur les doigts.

[syborgg]

les physiciens adorent les ondes planes qui sont continues mais ils adorent tout autant les transformations de Fourier qui font qu elles deviennent des distributions de Dirac. la physique actuelle utilisent tous les outils mathématiques qui peuvent lui etre utiles.
il n'y a pas a choisir entre onde et particule, entre réels et complexes, entre heisenberg et schrodinger. d autant plus qu'il y a la plupart du temps des choses qui mixtent les deux. je pense aux matrices densité qui vont du cas pur au pur mélange
aux spectres d'atomes ou on a une partie discrete superposée a une partie continue.

ceci dit rien n'empeche d'avoir des préférences esthétiques. les miennes vont plutot vers Heisenberg.
et par rapport a ce qui est le plus fondamental pesonnellement je mettrais d'abord les nombres entiers > 0. ceux qu'on a commencé enfant a compter sur les doigts.

Oui je cpmprends tout ca, mais il n'empeche qu'il doit y avoir une definition claire et precise qq part : quel espace de fonctions L^2 considere t on exactement en MQ ?
Peut tu developper ta pensee sur les nombres entiers en physique ?

[albanxiii]

Bonjour,

Si personne ne l'a encore mentionné, essayez de trouver Mathematical Foundations of Quantum Mechanics de John von Neumann.

[yves95210]

Bonjour,

Oui je cpmprends tout ca, mais il n'empeche qu'il doit y avoir une definition claire et precise qq part : quel espace de fonctions L^2 considere t on exactement en MQ ?

Je pense que la bonne définition est celle-ci (à confirmer par un spécialiste : c'est vrai que ça ne saute pas au yeux quand on lit un cours de MQ...).
Ce n'est donc qu'un sous-espace de L². Et pour répondre à ton message précédent, il est complet (cf. Espace de Schwartz).

[invite69d38f86]

Oui je cpmprends tout ca, mais il n'empeche qu'il doit y avoir une definition claire et precise qq part : quel espace de fonctions L^2 considere t on exactement en MQ ?
Peut tu developper ta pensee sur les nombres entiers en physique ?

rien de mieux que de voir les choses
ici un spectre continu parsemée de raies discretes.
pour l'histoire des fonctions utilisées en QFT il faut voir qu'on utilise des fonctions de test pour les distributions. les distributions appliquées a ces fonttions donnent des opérateurs. le probleme de la définition se ramene ainsi au choix des fonctions a associer aux distributions.

on choisit souvent des fonctions indéfiniment dérivables a support compact

[AncMath]

Tu veux dire que si on choisissais L^2 comme espace de Hilbert, certains vecteurs ne seraient pas des etats (fonctions non continues) ?
Mais alors, comme je demandais plus haut, quel est exactement l'espace de Hilbert considere en MQ ?

Il n'y a essentiellement qu'un seul espace de Hilbert interessant.
En MQ on regarde un espace de hilbert complexe de dimension infinie séparable. Il n'existe qu'un seul tel espace à isométrie prés.
Bon, c'est vrai qu'on regarde parfois ses quotients finis.

A ma connaissance on ne considère jamais des espaces inséparables.

Mais ca n'est pas du tout suffisant en vrai pour déterminer la "structure quantique" associé. En vrai une bonne notion d'espace d'états quantique est donné par un triplet spectral (au sens de Connes).

[invite69d38f86]

il faut noter que les fonctions tests (a support compact et infiniment dérivables) ne sont pas les fonctions d'onde.

[yves95210]

Je viens de tomber sur ce papier, qui me semble faire le tour de la question.

[andretou]

On sait que la mécanique quantique a un besoin impérieux des nombres complexes.

Impérieux mais jusqu'à quel point ?
Est-ce que l'équation de Schrödinger aurait quand même vu le jour (mais alors sous une forme différente) sans les nombres complexes ?

[syborgg]

Mon modeste point de vue sur tout ceci est le suivant : qu'un etudiant en physique soit laisse dans un certain flou en ce qui concerne les details mathematiques du formalisme des espaces de Hilbert et de l'analyse fonctionelle en general, est tout a fait comprehensible.
Mais il faut qu'au moins dans des livres de reference sur le sujet, les details mathematiques soient menes jusqu'au bout sans aucune concession, car sinon tout le monde (y compris les chercheurs en MQ) restent dans ce flou, et cela presente le danger d'entretenir des incoherences qui peuvent etre fatales quand on les decouvre finalement... et on peut tres facilement dire des conneries en maths quand on ne sait pas exactement de quoi on parle (par exemple se baser sur des proprietes d'operateurs hermitiens ou auto-adjoints qui arrangent les physiciens, mais qui ne sont valables que dans certains cadres tres stricts et sous des hypotheses contraignantes qu'il faudrait pouvoir verifier)
Par exemple, je trouve extremement leger le livre de Cohen Tanoudji a cet egard, qui parle "d'espace de fonctions de carre sommable" sans plus de precisions pour definir l'espace de Hilbert dans lequel il va travailler durant tout le cours.

[AncMath]

C'est pas du tout un probleme en pratique.
Parce que justement les "vraies" bonnes bases mathématiques pour faire tout ça sont compliquées, certaines n'ont été comprises que récemment (le théoreme d'équivalence entre la catégorie des triplets spectraux commutatifs et des variétés riemanniennes n'a qu'une dizaine d'années).
Les physicens et les matheux ont compris tres vite qu'il y avait des problèmes aux entournures vis à vis de la notion d'état et d'observable. Il y a eu bcp de travaux tres profonds pour rendre tout ca clair (et le bouquin de Von Neumann n'en effleure que la surface).
Est ce qu'on aurait du attendre que ce soit finalisé pour commencer à faire de la MQ? Bien sur que non.
Et pis, je pense que sans la MQ, jamais cette formalisation n'aurait jamais vu le jour. C'est bien de la volonté des mathématiciens de clarifier tout ce que faisaient les physiciens qu'elle est née.

Tout ceci se nourrit l'un de l'autre. De la recherche quoi.

[syborgg]

C'est pas du tout un probleme en pratique.
Parce que justement les "vraies" bonnes bases mathématiques pour faire tout ça sont compliquées, certaines n'ont été comprises que récemment (le théoreme d'équivalence entre la catégorie des triplets spectraux commutatifs et des variétés riemanniennes n'a qu'une dizaine d'années).
Les physicens et les matheux ont compris tres vite qu'il y avait des problèmes aux entournures vis à vis de la notion d'état et d'observable. Il y a eu bcp de travaux tres profonds pour rendre tout ca clair (et le bouquin de Von Neumann n'en effleure que la surface).
Est ce qu'on aurait du attendre que ce soit finalisé pour commencer à faire de la MQ? Bien sur que non.
Et pis, je pense que sans la MQ, jamais cette formalisation n'aurait jamais vu le jour. C'est bien de la volonté des mathématiciens de clarifier tout ce que faisaient les physiciens qu'elle est née.

Tout ceci se nourrit l'un de l'autre. De la recherche quoi.

Oui tu as raison, mais tout de meme, a chaque etape de ce processus historique de va et vient, il faut un minimum de certitudes sur les objets qu'on manipule et leurs proprietes, sous peine de construire un edifice qui repose sur du sable. Je ne dis pas que ca n'a pas ete le cas en MQ, je m'interroge simplement...

[stefjm]

Une partie de la MQ s'appuyait sur un théorème de von Neumann qui s'est avéré faux plus tard (réfuté par Bohm?).

J'imagine qu'on peut trouver d'autres exemples?

[syborgg]

Une partie de la MQ s'appuyait sur un théorème de von Neumann qui s'est avéré faux plus tard (réfuté par Bohm?).

J'imagine qu'on peut trouver d'autres exemples?

Ah ben voila, ca confirme mon intuition....

[AncMath]

Oui tu as raison, mais tout de meme, a chaque etape de ce processus historique de va et vient, il faut un minimum de certitudes sur les objets qu'on manipule et leurs proprietes, sous peine de construire un edifice qui repose sur du sable. Je ne dis pas que ca n'a pas ete le cas en MQ, je m'interroge simplement...

Pouvoir faire des calculs qui permettent des prédictions, contre intuitives de surcroit et ensuite réaliser des expériences qui les confirme, c'est pas assez comme minimum de certitudes?
Pour moi, c'est justement le signe qu'il y a qqch d'interessant à creuser. Si on arrive pas à proposer une bonne définition mathématiques des objets en jeu, c'est justement un signe que l'arsenal mathématique n'est pas assez riche.

Peu importe que Cohen-Tanoudji ne sache pas vraiment (i.e de manière mathématiquement satisfaisante) définir un état quantique dans son bouquin. Déjà, ca aurait pas été possible à l'epoque à mon avis. C'est justement grace à cela que cela a pu être dégagé.

Mais on s'éloigne du sujet principal.

Mais la situation n'est pas fondamentale différente en mathématiques... L'intuition précède quasi systématiquement le formalisme et lui dicte ce qu'il doit etre. On fait pas du formalisme "à l'aveugle".