Fini sans bord

[invite76543456789]

Bon, je comprends toujours pas

Deja ton message 76, le dessin est tres joli, mais je sais pas trop ce qu'il signifie en fait.
Reprenons calmement étape par étape. Pour l'instant parlons de l'espace temps.

Deja, es tu d'accord pour dire que l'espace de minkowski "classique" muni de la métrique de minkowski, n'est pas courbé.

Ensuite tu ne pourras pas mettre de métrique sur la sphere S4, qui soit plate (ca on peut le prouver mathématiquement).

Donc si tu veux changer l'espace euclidien de minkowski en un analogue sphérique, tu vas introduire de la courbure.

Es ton d'accord jusque la?
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[vaincent]

Heu, de quoi parlez vous exactement, l'espace temps de minkowski est bien plat.

Oui en effet, je retire ce que j'ai dit dans mes 2 derniers messages! (la fièvre ne me réussi pas!)

[Mailou75]

Deja, es tu d'accord pour dire que l'espace de minkowski "classique" muni de la métrique de minkowski, n'est pas courbé.
(...)
Est on d'accord jusque la?

Oui l'espace de Minko (2D+t) est un plan 2D

[Mailou75]

Oui en effet, je retire ce que j'ai dit dans mes 2 derniers messages!

Domage !

[invite76543456789]

Oui l'espace de Minko (2D+t) est un plan 2D

Ca n'a pas vraiment de rapport (enfin ca en a un mais qu'incidement).
L'espace de minkowski est un espace de dimension 4 deja, si tu lui retires une dimension spatiale, en 2d spatiale+1d temporelle, ca devient un espace de dimension 3, donc pas vraiment un "plan", disons un plan de dimension 3 si tu preferes
Ensuite le fait qu'il soit courbé va dépendre de la métrique que tu vas le munir. Intuitivement c'est la façon dont on mesure les distances qui indique si un espace est courbé ou pas.
Muni de la métrique de minkowski, l'espace de minkowski n'est pas courbé. Muni d'une autre métrique il pourrait tout a fait l'etre et pourtant ca resterai le meme espace, le meme plan de dimension 3, mais il serait alors courbé.

En fait je crois qu'on a mis le doit sur (au moins une partie) du souci.
Tu as la donnée de la "forme" de l'espace qui est profondément topologique, mais sur un tel "substrat" il n'y a pas de notion de courbure. On rajoute ensuite de la structure additionnelle sur cet espace i.e la notion de longueur avec la métrique, et là on peut parler de courbure.
Mais tu peux mettre sur le meme substrat topologique, differente métrique qui n'auront pas la meme courbure.

[Mailou75]

Je ne sais pas bien ce que tu entends par là, ça fait appel à des notions que je n'ai pas

[invite76543456789]

Tant que tu comprendras pas ca, tu ne pourras pas veritablement avancer.
L'espace de minkowski, c'est un espace (4D) ET une métrique, et des que tu veux parler de courbure tu as besoin des deux, un espace et une métrique (enfin en vrai il suffit d'un peu moins, mais c'est un peu plus sophistique je prefere pas rentrer dans ces details).

Maintenant, au final, qu'est ce que tu essaie de faire "en vrai" (quel est le but de tout ca, introduire un analogue de l'espace de minkowski qui soit sphérique?)

[Mailou75]

quel est le but de tout ca, introduire un analogue de l'espace de minkowski qui soit sphérique?

Oui en première partie, mais ça vu les formules trigo c'est acquis je pense...
Comme je le disais plus haut il y a deux choses que je vous soumets : la représentation RR + notion de comobillité et les notions de distances en cosmo

[invite76543456789]

Heu, je vois pas du tout en quoi c'est acquis.
C'est pas parce que des formules font intervenir de la trigo que tu es sur un espace spherique hein.

[invite6754323456711]

Mais tu peux mettre sur le meme substrat topologique, differente métrique qui n'auront pas la meme courbure.

L'Holonomie n'est elle pas un outil permettant de mesurer la courbure sans faire référence à une métrique ?

Patrick

[invite76543456789]

L'Holonomie n'est elle pas un outil permettant de mesurer la courbure sans faire référence à une métrique ?

Patrick

Si l'holonomie est en soi une mesure de la courbure, qui est différente de la courbure au sens tenseur de Riemann.
Il n'y a pas besoin d'une métrique pour la définir, mais on doit quand meme rajouter de la structure additionnelle, une simple variété differentielle n'est pas équipée d'un groupe d'holonomie de façon canonique (sauf cas particulier type groupe de Lie par exemple, ou le fibré tangeant est equipée d'une connexion naturelle, celle de maurer-cartan), il faut un fibré dessus (ca on en a un canonique, le tangent ou le cotangent) et surtout une connexion dessus. Et en ce sens là l'holonomie ne difffere pas de la courbure au sens riemannien.
D'ailleurs on peut relier tres precisement l'holonomie à la courbure (au sens riemannien) de la connexion choisie.
La courbure riemannienne, n'a pas non plus besoin stricto sensu d'une métrique, un simple fibré muni d'une connexion suffit, et la métrique sert a en choisir une de facon naturelle.

[Mailou75]

L'Holonomie n'est elle pas un outil permettant de mesurer la courbure sans faire référence à une métrique ?

C'est quoi encore ce bestiau ?

MissPacMan tu parles une langue vraiment étrange

[invite6754323456711]

C'est quoi encore ce bestiau ?

Faut demander à K. Cartan

Patrick

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir Patrick,

Si je ne me trompe pas, l'Holonomie est associée à une connexion, elle-même associée à une métrique (via les symboles de Christoffel). C'est juste une autre manière de décrire une courbure.

Quoiqu'il en soit, et même si je me trompe, un physicien parlera toujours de métrique pour décrire un espace courbe, car celle-ci est directement utilisable pour des calculs concrets (mesures de distances).

Je propose donc d'en rester là afin de ne pas assombrir la lanterne de Mailou75 que MissPacMan essaie d'éclairer.

[invite76543456789]

C'est quoi encore ce bestiau ?

MissPacMan tu parles une langue vraiment étrange

Le langage technique est certes complexes, mais le sujet est riche et complexe, il faut un langage a la hauteur, qui permette de saisir finement les nuances.

Maintenant si on en reste au niveau de l'heuristique (oublions les groupes d'holonomie dans tout ca), ce qu'il faut que tu comprennes, c'est que pour parler de courbure, il te faut un espace ET de quoi définir la notion de distance sur cet espace. C'est dans ce contexte que tu peux parler de courbure.
Maintenant, il faut te poser la question "quelle métrique tu voudrais mettre sur la sphere de Mailou-Minkowski?" et surtout pour répondre à quelle question ou examiner quel phénomène?

[Mailou75]

"quelle métrique tu voudrais mettre sur la sphere de Mailou-Minkowski?"

Distance = ct avec =sin où est l'angle entre la ligne d'univers de l'objet et celle de l'observateur
(Ce n'est ni la distance d'émission ni la distance comobile, c'est l'équivalent de v=HD en cosmo...)
C'est une "métrique" ça ?

(Sinon pour le lien avec Shwarschild, tu as ce dessin http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4136217
si c'est ça "appliquer une métrique sur un substrat" ? )

et surtout pour répondre à quelle question ou examiner quel phénomène?

L'expansion avec l'image du ballon qui gonfle et des objets fixes (comobiles) dessus

[Mailou75]

Je propose donc d'en rester là afin de ne pas assombrir la lanterne de Mailou75 que MissPacMan essaie d'éclairer.

Merci pour le geste

[invite6754323456711]

Quoiqu'il en soit, et même si je me trompe, un physicien parlera toujours de métrique pour décrire un espace courbe, car celle-ci est directement utilisable pour des calculs concrets (mesures de distances).

Cela semble être le cas effectivement en physique qui fait usage de Connexion de Levi-Civita reposant sur des espaces métriques. Voir plus exactement en physique sur une métrique pseudo-riemannienne.

Patrick

[invite06459106]

Bonjour,

Distance = ct avec =sin où est l'angle entre la ligne d'univers de l'objet et celle de l'observateur
(Ce n'est ni la distance d'émission ni la distance comobile, c'est l'équivalent de v=HD en cosmo...)
C'est une "métrique" ça ?

Ta métrique varie ou me gourre-je?
Cordialement,

[Mailou75]

Comme je ne suis pas chauvin je vous ai fait la même figure que la #76 mais pour Minkowski : l'observateur voit la même chose !

Ceci pour bien montrer la distinction qu'il faut faire entre les questions:

-La figure #76 donne une explication au mouvement comobile : la position de l'objet dans l'espace lui donne une vitesse, pouvant atteindre c.
Quand un objet est à 90° de l'observateur, son axe de temps est perpendiculaire à celui de l'observateur.
Or un objet immobile (comobile) n'a qu'une seule composante de déplacement 4D, celle du temps, il va à c sur son axe de temps dans son référentiel (le ballon gonfle à c).
Et bien quand deux lignes d'univers sont perpendiculaires chaque objet immobile va à c pour l'autre, c'est l'horizon !

-Cette figure traduit ce que verrait un observateur si les objets s'éloignaient les uns des autres dans le vide sans qu'on en cherche la cause...
On est chez Minkowski et on a un horizon visible à une distance ct/2 (si t est l'âge de l'observateur)
On tente de définir des distances d'émission (cône) et comobile (position de l'objet à l'age de l'observateur)
On compare ça à l'observation : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4261312
C'est comparable mais pas directement car l'horizon est deux fois moins loin donc D_AB est à mettre en rapport de D_A et non D_LT
En plus il y a des chances pour que je me plante sur le sens de l'aberration (qui modifierait la distance angulaire d'émission D_A en D_AB en fonction de la vitesse relative)
Bref... pas gagné !

Voilà pour le résumé de la situation

[invite23876543123]

Désolé, je suis un peu tout bête car j'essayais de mettre la main sur un schéma, mais je ne le retrouve plus, alors je vous l'ai dessiné, en grand gros c'est pour montrer la structure de l'espace-temps si vous voyez de quoi je veux parler :

[Mailou75]

Ta métrique varie ou me gourre-je?

Entre deux objets comobiles l'angle ne varie pas, donc =sin ne varie pas non plus.
Par contre comme t évolue, alors la distance D=ct augmente
(C'est l'équivalent de v=H.D si H=1/t -> c=D/t)
C'était ça ta question ?

[invite06459106]

Oui c'était ça, donc, pour répondre à ta question précedente, non ce n'est pas une métrique(m'enfin attends confirmation), au sens de métrique qui est un invariant, sinon comment "reporter" une longueur si elle varie?
Cordialement,

[Mailou75]

Oui c'était ça, donc, pour répondre à ta question précédente, non ce n'est pas une métrique(m'enfin attends confirmation), au sens de métrique qui est un invariant, sinon comment "reporter" une longueur si elle varie?
Cordialement,

Ben la distance relative (cad par rapport à l'horizon) ne varie pas, on pourrait dire qu'un facteur d'échelle varie, la relation (expansion) est homothétique
C'est marrant j'ai l'impression de comprendre à peu près Schwarzschild (en 2D) et pourtant le terme de "métrique" ne m'évoque rien

[invite23876543123]

Bah la métrique c'est ce qui permet de mesurer !
Par exemple : ds² = cdt²-dx²-dy²-dz² : ds² est invariant et c'est la métrique (+,-,-,-) !

@ +

[invite76543456789]

Non, ca n'est pas une métrique que tu définis.
Je doute que tu puisses en définir une "sans le vouloir", encore une métrique sur un plan ou un R^4 ou R^n c'est assez facile a définir, mais le probleme c'est que pour une variété quelconque la définition est plus retorse, et fait intervenir des trucs que tu n'auras probablement pas envie de regarder (à en juger par le fait que les choses trop mathématiques te rebutent ), d'ailleurs les physiciens font rarement les choses proprement dans ce domaine là, à commencer par la métrique de schwrazshild ou FLRW qui telle qu'elle est présentée habituellement est assez "salement" introduite.

Si tu veux définir une métrique sur la sphere ce sera plus compliqué que sur le plan, et je vois pas trop comment te simplifier la vie.

Par contre en general une métrique peut varier d'un point à l'autre, c'est meme tout l'interet de la chose, et de la notion de courbure, la métrique indique comment on mesure les choses au point ou on est, mais elle peut varier en fonction du point.

Je vais expliquer cela dans le fil que j'ai ouvert sur la RG des que j'ai un moment.

[invite76543456789]

Bah la métrique c'est ce qui permet de mesurer !
Par exemple : ds² = cdt²-dx²-dy²-dz² : ds² est invariant et c'est la métrique (+,-,-,-) !

@ +

Le probleme avec la métrique de minkowski (mais qui n'est pas specifique a cette dernière) c'est qu'elle masque un peu les difficultés car elle est trop simple.

En fait l'espace de minkowski est identifé en tout point de ce dernier avec son espace tangeant, et donc la métrique (au sens produit scalaire) dessus, donne la métrique (au sens métrique sur les variété) et on ne voit pas bien la difference entre les deux parce que les objets sont confondus.
Mais en realité il faut voir qu'il y a plusieurs choses cachées derrière.
Sur une variété quelconque (une sphere par exemple) en chaque point de cette variété on a un espace tangeant, et la métrique est un produit scalaire (ou un pseudo produit scalaire) sur cet espace tangeant, qui varie de manière lisse avec le point.
Donc quand on dit une métrique sur une variété cela sous entendu une infinité de produits scalaires, un sur chaque espace tangent en chaque point.

Dans le cas de minkowski, cette infinité devient une unité, puisque l'espace tangent en chaque point est identifié a l'espace de départ et le produit scalaire sur l'espace tangent, une fois l'denitification faite, ne varie pas.

Mais dans le cas d'une sphere, c'est plus compliqué.

[invite23876543123]

Le probleme avec la métrique de minkowski (mais qui n'est pas specifique a cette dernière) c'est qu'elle masque un peu les difficultés car elle est trop simple.

En fait l'espace de minkowski est identifé en tout point de ce dernier avec son espace tangeant, et donc la métrique (au sens produit scalaire) dessus, donne la métrique (au sens métrique sur les variété) et on ne voit pas bien la difference entre les deux parce que les objets sont confondus.
Mais en realité il faut voir qu'il y a plusieurs choses cachées derrière.
Sur une variété quelconque (une sphere par exemple) en chaque point de cette variété on a un espace tangeant, et la métrique est un produit scalaire (ou un pseudo produit scalaire) sur cet espace tangeant, qui varie de manière lisse avec le point.
Donc quand on dit une métrique sur une variété cela sous entendu une infinité de produits scalaires, un sur chaque espace tangent en chaque point.

Dans le cas de minkowski, cette infinité devient une unité, puisque l'espace tangent en chaque point est identifié a l'espace de départ et le produit scalaire sur l'espace tangent, une fois l'denitification faite, ne varie pas.

Mais dans le cas d'une sphere, c'est plus compliqué.

Un peu comme les variétés de fibrés (tranches d'espace) en RG ... non ?

[invite76543456789]

C'est exactement ca oui, la notion qu'il y a derrière est la notion de fibré tangent et dit de manière abrupte (mais non ambigue et qui est vraiment la notion avec laquelle il faut travailler) une métrique sur une variété c'est juste une section de la deuxième puissance symétrique du fibré cotangent, qui soit partout definie positive (non dégénérée pour une pseudo-métrique).
Pour l'espace de minkowski le fibré est trivial et la métrique est constante fibre a fibre.
En fait je doute vraiment qu'on puisse parler de géométrie differentielle (et donc de RG) sans parler un minimum de fibrés, c'est vraiment un objet fondamental.

En fait on se rend pas compte mais y a des questions pas si triviales que ca derrière tout ca.
Par exemple si on se donne une variété differentielle, peut on toujours trouver une métrique dessus? La réponse est oui, mais je doute que le sujet soit abordé dans un cours de RG (en tout cas dans aucun que j'ai vu) or c'est vraiment un probleme fondamental (et le pire c'est qu'avec les définitions edulcorées que l'on rencontre en general dans certains cours de RG, on serait bien en peine de prouver un tel resultat).

[Mailou75]

Si tu veux définir une métrique sur la sphère ce sera plus compliqué que sur le plan, et je vois pas trop comment te simplifier la vie.

Je n'y tiens pas... c'est vous qui parlez de ça, moi je mesure déjà tout ce que je veux sur la figure

Je vais expliquer cela dans le fil que j'ai ouvert sur la RG des que j'ai un moment.

Lequel ?

(...) une métrique sur une variété c'est juste une section de la deuxième puissance symétrique du fibré cotangent, qui soit partout definie positive (non dégénérée pour une pseudo-métrique).