Les plus belles formules

[Sephi]

On dit parfois que les maths et les sciences sont belles. On pense souvent à une beauté "fonctionnelle", c.-à-d. qu'un concept est beau lorsqu'il symbolise une propriété puissante. Ceci dit, je suis sûr que beaucoup d'entre vous trouvent que certaines formules sont belles "esthétiquement" C.-à-d. qu'il y a une certaine harmonie ou symétrie dans leur écriture, ou bien qu'elles relient entre eux des éléments qui n'ont a priori rien à voir.

Je vous propose donc de mettre vos plus belles formules et éventuellement de les commenter un peu !



Je commence l'exposition avec l'identité d'Euler :

Identité très simple qui découle de la formule d'Euler que je trouve moins jolie, mais plus puissante :

Elle est célèbre car elle contient essentiellement tous les concepts élémentaires des maths : les 3 opérations de base (+, x, ^), les 2 nombres transcendants les plus importants ( et ) et les neutres pour + et x.

Mon second coup de coeur est pour les 4 équations de Maxwell sous forme vectorielle :

Quatre formules simples pour expliquer l'ensemble des phénomènes électromagnétiques, je trouve ça vraiment pas mal. Bon, ça se réduit à 2 équations si on passe sous forme tensorielle, mais c'est beaucoup moins joli, je trouve.

À vous
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[martini_bird]

Salut,

ayant un faible pour la théorie des nombres, mon coup de coeur revient à l'identité d'Euler (et oui encore lui ) :

où et où le produit s'étend sur l'ensemble des nombres premiers.

Cette formule n'est autre qu'une reformulation analytique du théorème fondamental de l'arithmétique : tout nombre entier est le produit de nombres premiers, l'écriture étant unique à l'ordre des facteurs près.

Le truc, c'est que cette formule se généralise à tout un tas d'objets : anneaux de Dedekind, fonctions L associées à des formes modulaires ou automorphes, fonctions L d'Artin, etc...

Cordialement.

[matthias]

Moi j'aime bien la formule de Minac et Willans parce qu'elle ne sert à rien (totalement inutilisable) :



p_n étant le n^ème nombre premier.

Je la trouve belle bien que non puissante, non harmonieuse, ni quoi que ce soit qui corresponde de près ou de loin aux critères de Sephi

[Sephi]

matthias > Hé, c'est la 1ère fois que je vois une formule donnant le n-ième nombre premier !

Alors une formule qui ne sert probablement à rien, mais qui titille l'intuition :

Je ne comprends toujours pas comment c'est possible en fait (je l'ai vu dans un bouquin dont je n'ai pas terminé la lecture)

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Petite précision, dans la formule de Minac et Willans tous les crochets réprésente la fonction partie entière, ce ne sont pas des parenthèses.

[yat]

Je ne comprends toujours pas comment c'est possible en fait

Je t'avoue que ça me parait très louche aussi... je pense que pour tout n positif, la valeur de est x, tel que soit x²=n+x, ce qui donne sauf erreur de ma part
Donc moi non plus, je ne vois pas trop comment ça peut tendre vers 1 quand n tend vers zéro.

[matthias]

Et comme n tend vers 0 .... (et oui 0, pas + infini).

[Sephi]

Je dis ce que l'auteur du bouquin raconte :

Si on note , en ajoutant , en prenant la racine puis le carré, on obtient

Ainsi, pour connaître le développement en racines continues d'un nombre , il suffit de calculer le correspondant. Si , on a :

c.-à-d. que , d'où :

Là, l'auteur dit qu'il ne faut pas se précipiter dans l'interprétation. Si on fait l'opération inverse, c.-à-d. choisir et calculer le correspondant, on a deux solutions et .

Il explique alors succinctement qu'en réalité, la limite dépend de la manière dont on construit la suite de racines. Elle vaut si on la construit en prenant des racines successives de :

Mais elle vaut lorsqu'on part d'un que l'on fait tendre vers , d'où la formule initiale. Mais je ne sais pas d'où sort cette explication ...

[yat]

Si on fait l'opération inverse, c.-à-d. choisir et calculer le correspondant, on a deux solutions et .

Je ne vois vraiment pas comment...

Mais elle vaut lorsqu'on part d'un que l'on fait tendre vers , d'où la formule initiale. Mais je ne sais pas d'où sort cette explication ...

Vu la formule que ça donne en fonction de n, moi non plus.

[matthias]

Je ne vois pas trop le problème, les explications du bouquin ne sont pas claires, mais le problème est simple.
On a, pour tout n, une suite convergente dont la limite a été donnée par yat (pour n non nul, 0 pour n=0), ce qui permet d'écrire le développement en racine continues sans ambiguité.
On a donc une fonction de n qui n'est pas continue en 0, rien de dramatique.

[Sephi]

yat > L'équation possède deux solution qui sont :

Lorsque , elles deviennent et ...

[yat]

Eh oui, c'est bien un + et pas un -... c'est donc avec un immense plaisir que j'accepte ce

[Sephi]

matthias > C'est aussi simple que ça ?

Tu dis que c'est une fonction de non continue en où ça vaut . Mais si on calcule le correspondant à , on obtient et donc ça vaut en ?!



Ça a l'air de ne pas poser de problème pour un autre , genre :

[matthias]

Tu dis que c'est une fonction de non continue en où ça vaut . Mais si on calcule le correspondant à , on obtient et donc ça vaut en ?!

Ca ne marche pas dans ce sens là. Tu pars de n et tu calcules le x qui va bien (ce qu'a fait yat).
Si tu pars de x=1, la seule chose que tu montres, c'est qui si il existait un n tel que la limite de la suite soit 1 alors n serait égal à 0. Or ça ne marche pas pour n=0, donc il n'y a aucun n tel que la limite de la suite soit 1.

[invite06fcc10b]

Et voici une de mes formules préférées :

(define (compte e l)
(cond ((null? l) 0)
((equal? e (car l)) (+ 1 (compte e (cdr l))))
(#t (compte e (cdr l))))

Cette fonction en langage Lisp compte simplement le nombre d'occurences de l'élément e dans la liste l.
Par exemple (compte 'a '(b a a b a b a)) renvoie 4 car il y a 4 'a'.
Symboliquement, cette formule ne traite pas de nombres mais de symboles quelconques. Un pas important est donc franchi vers l'abstraction. De plus, le Lisp a été inventé par les premiers spécialistes de l'I.A. pour traiter les symboles et les listes, et les listes de listes, c'est à dire les graphes. On peut dire en quelques sortes que c'est un petit pas vers l'intelligence. Et l'intelligence n'est-elle pas une des plus belles choses qui soit en cet univers ?

[Coincoin]

Salut,
Je vote aussi pour les équations de Maxwell ! Quand je les ai apprises, j'ai regardé pendant plusieurs secondes le tableau en me disant "voici l'électromagnétisme, puissant...".

[matthias]

Je vote aussi pour les équations de Maxwell ! Quand je les ai apprises, j'ai regardé pendant plusieurs secondes le tableau en me disant "voici l'électromagnétisme, puissant...".

Enfin ça, c'est une fois qu'on les a comprises, parce qu'avant, on se demande plutôt ce que c'est que ce charabia. Mais c'est vrai que c'est beau.

[Coincoin]

C'est d'autant plus beau qu'on comprend rien... (il faut quand même savoir la portée de la chose)
Après les quelques secondes d'émerveillement, il a fallu que je me remette à écouter ce que disait le prof.

Je pense que le fait que ça résume tant de chose en si peu d'équations ne se retrouve pas ailleurs.

[invite2367a221]

Personnellement, la formule que je trouve la plus belle, c'est la formule permettant de résoudre une équation du troisième degré du type
ax³ + bx² + cx + d = 0:

[Sephi]

Je pense que le fait que ça résume tant de chose en si peu d'équations ne se retrouve pas ailleurs.

T'as oublié :

F = m a

[Coincoin]

C'est vrai... que de concepts en si peu de lettres !

[invitefa5fd80c]

Que dire alors du principe d'Hamillton :

del I = 0

où "del I" est une variation de I entre deux chemins pris par un système entre
deux instants t1 et t2, I étant l'intégrale d'action.

Cette équation est applicable autant en théorie quantique des champs qu'en physique classique.

Elle semble d'ailleurs avoir fasciné Hilbert (avec sa "world function")

[wolfgangouille]

Franchement, vous auriez pu penser à la formule la plus connue du monde !
E=m.c² !

[invite9fc497b1]

Dans les théorèmes, il y a celui de GHIYATH AL-DIN JAMSHIO MAS'ÛD AL KASHI ... Certainement plus connu sous le théorème d'Al Kashi ... Mais c'est toujours plus impréssionnant!!

[invite06fcc10b]

C'est vrai... que de concepts en si peu de lettres !

Dans F=m.a, il y a effectivement plein de choses :
- il y a d'abord sous-entendu la formule reliant la somme des forces à l'accélération de manière vectorielle
- et il y a l'erreur humaine qui oublie le symbole de la somme sans lequel la formule est fausse
... ce qui sous-entend l'existence d'un être intelligent tentant de comprendre le monde.

Question :
Je n'ai eu aucune réaction après avoir proposé une fonction Lisp comme belle formule pleine d'abstractions et n'ont été proposées que des fonctions mathématiques simples, taxées qui plus est elles-aussi d'un grand pouvoir d'abstraction. Y aurait-il une discrimination envers les symboles informatiques ou une simple incompréhension de la place de l'informatique dans les mathématiques ?
En particulier, je note qu'il n'y a aucun "si alors sinon" dans les formules proposées, comme si ces symboles n'appartenaient pas à l'univers des formules mathématiques ?
Il est d'ailleurs remarquable qu'en physique, aucune formule ne comporte explicitement de "si alors sinon", et de plus aucune formule n'est récursive. Comment expliquer cette discrimination ?
(ah non pardon, il y a un théorème proposé dans le dernier message, donc l'honneur est sauf en maths ... mais toujours pas en physique ...)

[Sephi]

J'ai l'impression que tu vois de la discrimination un peu partout ... personne n'a réagi sur E=mc² ou sur le principe d'Hamilton, ça signifie pas qu'on les discrimine. On dirait que tu es complexé vis-à-vis des maths ... Mais note que ce sujet a été créé dans "Débats scientifiques" et non "Mathématiques", ce n'est pas pour rien.

Pour la fonction Lisp, je ne la trouve pas "esthétiquement belle" (c'est le sujet du topic) donc je n'ai pas réagi dessus, bien que les quelques mots sur l'I.A. aient retenu mon attention. De plus, des fonctions calculant le nbre de symboles dans une liste, ça se fait dans n'importe quel langage ...

[Sephi]

Mais pour te faire plaisir, voici un programme que je trouve joli également, car à côté des instructions informatiques barbares, on trouve soudainement une expression directement compréhensible et chaleureuse :

#include <iostream.h>

main()
{
    cout << "Hello World!";
    return 0;
}

De plus, c'est ceci qui marque l'entrée de tout apprenti dans le monde informatique, une des énormes révolutions du XXe siècle. Ça, c'est cool.

[invite06fcc10b]

J'ai l'impression que tu vois de la discrimination un peu partout ...

Discrimination est sans doute un peu fort, disons plutôt qu'il y a sans doute un problème épistémologique avec les physiciens.
Cite moi une seule formule de physique comportant un "si alors sinon" ?
Je pose donc simplement la question, pourquoi n'y en a t-il pas ?

[Sephi]

Ben je prends au hasard le cours de RG que j'ai suivi l'an dernier :

"Si on est dans le vide et si la distribution de masse est à symétrie sphérique, alors la solution aux équations d'Einstein est blablabla (la métrique de Schwarzschild)."



Les maths et la physique, c'est différent, a priori la physique ne doit pas "ressembler" aux maths. De plus, des hypothèses en physique, il y en a plein, donc il y a toujours des "si ... alors" implicites ...

Alors c'est quoi le problème finalement ? Qu'on voit rarement des "si ... alors" écrits en toutes lettres dans des cours de physique ?

[invite06fcc10b]

Alors c'est quoi le problème finalement ? Qu'on voit rarement des "si ... alors" écrits en toutes lettres dans des cours de physique ?

C'est EFFECTIVEMENT le problème ! Le si alors sinon n'est pas considéré comme un élément d'une formule, il est placé dans le texte explicatif de la théorie, alors que les mathématiques, à travers un langage informatique, propose d'exprimer ce test conditionnel de manière formelle.
Je pense qu'il s'agit sincèrement d'un problème épistémologique, car le "si alors sinon" n'est introduit qu'en informatique, il n'est pas introduit en mathématiques de manière formelle comme une fonction quelconque. Soyons clair, pendant nos études au lycée ou à l'université, on n'apprend pas en maths la fonction SiAlorsSinon(e,r1,r2) qui renvoie r1 si e est vraie et r2 si e est faux. Qu'est-ce qui empêche les mathématiciens d'introduire cette fonction et de l'utiliser si ce n'est un problème épistémologique ?
Et cependant, lorsqu'il est nécessaire de démontrer un théorème, on voit un "si alors sinon" apparaître à plusieurs endroits, mais de manière informelle, comme si cela ne faisait pas partie du théorème. Ce n'est qu'en informatique, où on est obligé de tout formaliser, que tout ceci devient carré et que le sialorssinon est défini comme il se doit.

Quelles conséquences me direz vous ? Elles sont potentiellement très importantes, ne serait-ce que pour la compréhension et la modélisation des phénomènes d'un point de vue philosophique.
Exemple : le problème de la détermination de la trajectoire de N-corps à partir de leur influence gravitationnelle réciproque est un problème non résolu en physique, parce qu'on obtient une équation différentielle qu'on n'arrive pas à résoudre. En pratique cependant, on connait des techniques mathématiques (un algorithme) qui permettent d'approcher la solution en faisant varier le temps petit à petit et de façon discrète.
Pour autant que je sâche, l'équation différentielle fait partie des formules de la physique alors que l'algorithme de résolution non. Pourtant, fondamentalement, on peut obtenir n'importe quelle précision demandée, la "formule" a donc un pouvoir de prédiction très bon. Pourquoi diable alors ne pas la considérer dans le modèle ?

Autre exemple : en physique, on manipule souvent des formules comme X=cos(2*Pi*W*t+phi). En pratique, les physiciens se sentent obligés de passer à l'application numérique, en précisant que le résultat est approché.
Pourtant, mathématiquement, on ne connait aucun procédé qui permette de calculer Pi de façon exacte, à moins de ne jamais arrêter les calculs. Mais si on n'arrête pas les calculs pour trouver Pi, comme peut-on passer au calcul de X ? Ce problème apparaîtrait sans doute au grand jour si les physiciens prenaient la peine d'essayer d'écrire une formule complète (un algorithme), incluant le calcul de Pi.
Et pourquoi aucun physicien ne propose t-il d'ajouter une fonction "arrondi" dans le modèle ? Parce qu'une fonction arrondi se définit avec un sialorssinon ?
Et pourquoi aucun physicien ne propose t-il d'inclure le calcul symbolique dans le modèle, c'est à dire finalement à ne pas passer à l'app. num. et à garder l'expression ci-dessus autant que possible ? Parce que cela suppose l'inclusion d'un algorithme de calcul formel dans le modèle ?