Aberration. Ce qui est vu. En RR et en RG

[Mailou75]

SVP, faites un calcul d'aberration est décrivez le avec des mots.
On verra bien quel terme vous utiliserez pour Z et Z' ...
-----

[externo]

Ton calcul part d'une "distance vue" pour obtenir une autre "distance vue". Cela ne nous définit toujours pas ce que c'est qu'une "distance vue" au départ.

Je crois bien que c'est ce que tu appelles toi-même une distance métrique :

"C'est la distance entre l'évènement d'émission et l'évènement de réception dans le référentiel de l'observateur."

[Pio2001]

Dernière tentative : Une distance vue (expérience de pensée) est l'équivalent d'une distance angulaire, si l'objet observé n'est pas ponctuel (cas réel).
Sinon : relire ce fil, je suis à cours d'arguments

Exactement, x' et y' sont les coordonnées spatiales de l'évènement d'émission dans le repère du voyageur.

Ok, je te suis. J'ai fait le calcul en relativité restreinte.

Soit un segment de droite AB de longueur 0.1, dont le milieu est situé à 1 mètre d'un observateur O1 immobile. On considére que cet observateur reçoit simultanément, au temps t=0, deux flashs lumineux issus de A et de B. Soit un second observateur O2 se dirigeant à 0.9c dans la direction du segment, et croisant l'observateur 1 à t=t'=0.
Je calcule, avec les transformations de Lorentz, la distance entre l'observateur O2 au temps t'=0 et le milieu du segment AB dans le référentiel R2 de l'observateur O2. Je trouve 4.36 mètres.
Je calcule ensuite la distance angulaire entre l'observateur O2 et le segment AB, de longueur 0.1 dans le référentiel R2 comme dans le référentiel R. J'utilise pour cela les formules de l'aberration des rayons lumineux, que j'applique à l'angle sous lequel l'observateur O1 a reçu les rayons lumineux.
Je retrouve bien 4.36 mètres.

On a donc distance "métrique" = distance angulaire dans ce cas de figure.

d est la distance propre, somme des distances propres locales de tous les immobiles, la longueur d'une parabole de Flamm
r est la coordonnée radiale de Scwh, c'est aussi la distance vue par l'observateur éloigné
voir cette image https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6451284 pour comprendre le rapport entre les deux.

Ok, je pense que je te suis. Et donc ce que tu appelles la "distance vue", c'est la distance r, coordonnée de Schwarzschild ? En contradiction avec cette citation de 2020 où tu disais (peut-être après avoir mélangé les distances) :

Si tu mets bout à bout 30 règles de 1m tu verras l'extrémité à 30m. En espace plat on voit "ce qui est", 30m c'est une distance angulaire vue. Ensuite en espace courbe on verra des trucs bizarres mais à cet emplacement on pourra dire qu'un objet est "vu à 30m".

Ben non, du coup. Là, 30 mètres, c'est d, la distance propre, "arpentable". C'est aussi la distance "vue" en espace plat, mais ce n'est pas la distance "vue", r, en espace courbe.

[Mailou75]

Re,

Ok, je te suis. J'ai fait le calcul en relativité restreinte.
(...) la distance entre l'observateur O2 au temps t'=0 et le milieu du segment AB dans le référentiel R2 de l'observateur O2. Je trouve 4.36 mètres.
(...) Je retrouve bien 4.36 mètres.
On a donc distance "métrique" = distance angulaire dans ce cas de figure.

z+1=exp(atanh(0,9))=4,36
Tu viens de vérifier le cas radial
Alors distance "métrique" si tu veux, mais j'y entend "coordonnées" et les temps et distance coordonnées sont en général faux ou simplement utiles comme intermédiaires de calcul. Ici il s'agit de quelque chose de bien réel : ce qui est perçu. Mais comme je l'ai dit le terme importe peu, on est d'accord sur le sens et ça me va bien.

Ben non, du coup. Là, 30 mètres, c'est d, la distance propre, "arpentable". C'est aussi la distance "vue" en espace plat, mais ce n'est pas la distance "vue", r, en espace courbe.

C'est ça. C'est étrange parce qu'à la date de la citation j'avais déjà compris ça, y'a eu un méli mélo... dsl.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
En RR c'est plutôt simple, il faut utiliser les TLs.
prenons le cas simple d'un observateur passant à v=0.8c au centre d'un champ circulaire, on obtient ce genre de schéma:
et ce que Wolfgang Rindler nous dit est que peu importe que Vert situé sur le wagon accélère ou pas, il voit la même chose qu'un observateur inertiel comobile avec lui.

[Zefram Cochrane]

La question qu'on se pose avec Mailou est de savoir : sachant que si je suis un observateur à l'infini et que je vois Mailou stationnaire à la coordonnée R d'un champ de gravitation au centre d'un cercle arbitrairement grand: comment Mailou percevra t'il ce cercle?

[externo]

Soit un segment de droite AB de longueur 0.1, dont le milieu est situé à 1 mètre d'un observateur O1 immobile. On considére que cet observateur reçoit simultanément, au temps t=0, deux flashs lumineux issus de A et de B. Soit un second observateur O2 se dirigeant à 0.9c dans la direction du segment, et croisant l'observateur 1 à t=t'=0.
Je calcule, avec les transformations de Lorentz, la distance entre l'observateur O2 au temps t'=0 et le milieu du segment AB dans le référentiel R2 de l'observateur O2. Je trouve 4.36 mètres.
Je calcule ensuite la distance angulaire entre l'observateur O2 et le segment AB, de longueur 0.1 dans le référentiel R2 comme dans le référentiel R. J'utilise pour cela les formules de l'aberration des rayons lumineux, que j'applique à l'angle sous lequel l'observateur O1 a reçu les rayons lumineux.
Je retrouve bien 4.36 mètres.
On a donc distance "métrique" = distance angulaire dans ce cas de figure.

J'avoue que je n'y comprends rien.
D'après la relativité, la distance entre O2 et le segment AB mesurée dans le référentiel R2 de O2 est plus courte du facteur gamma.
Or ici il est écrit :

Je calcule, avec les transformations de Lorentz, la distance entre l'observateur O2 au temps t'=0 et le milieu du segment AB dans le référentiel R2 de l'observateur O2. Je trouve 4.36 mètres.

Comment est fait ce calcul à l'aide des transformations de Lorentz ?

[mach3]

Je suis assez consterné par la tournure que prend ce fil. Heureusement certains commentaires sont intéressants comme celui-ci :

Comment veux-tu qu'on arrive à te suivre ? Tu changes la question posée toutes les 5 minutes.

Pose toi calmement et définis une fois pour toutes ce que tu appelles "distance vue", point par point, lentement et clairement : imagine que tu t'adresses à un assistant ou à un robot qui n'a aucune notion en physique ou en math.
Tu veux lui faire mesurer la "distance vue" à quelque chose (un évènement ou un objet).
Il dispose d'un téléscope avec une monture graduée, d'un chronomètre, il peut observer et mesurer tous les angles et durées que l'on veut, mais sans réfléchir. Il ne comprend rien à ce qu'il fait et ne sait faire que noter ce qu'indique un cadran ou une règle.
Il dispose aussi d'une calculette. Tu peux lui demander de faire des opérations sur les nombres qu'il a relevés sur ses instruments. Il sait reconnaître les degrés et les radians et les entrer correctement dans la calculette.
Il peut se déplacer dans l'espace aussi vite qu'il veut (sans atteindre la vitesse de la lumière), mais à condition de lui donner un plan de vol. "Avance de 10 mètres", il ne comprend pas. "Accélère instantanément dans la direction {theta, phi} à la vitesse de v mètres par seconde, attends 15 secondes, puis décélère d'autant", ça il comprend.
Et il est immortel.

Choisis une tâche à accomplir, par exemple mesurer la "distance vue" à un flash lumineux, ou à un objet.
Que dois-tu lui dire de faire, point par point, avec ses instruments, sa fusée et sa calculette pour qu'il te donne le résultat final "distance vue" ?

C'est typiquement le genre d'approche que je suis en train d'échafauder pour essayer de rationaliser le gloubi-boulga.
Pour l'instant j'essaie de caractériser la mesure des angles avec deux tiges rectilignes portant des miroirs réglables en position et orientation, attachées à un émetteur-récepteur. On émet un signal le long de la première tige, il se réfléchi sur le premier miroir vers sur le second miroir qui le renvoie le long de la 2e tige pour être finalement reçu (la trajectoire du signal est un triangle dans le référentiel du dispositif). On chronomètre le temps entre l'émission et la réception. On compare avec les durées d'aller retour du signal le long de chaque tige en changeant seulement l'orientation des miroirs et pas leur position. Cela permet de caractériser opérationnellement le cosinus de l'angle entre les deux tiges (on passe par la loi des cosinus d'Al Kashi). Le travail n'est pas encore finalisé.
Une fois ce dispositif de mesure d'angle "virtuellement" au point, je vais m'en servir pour décrire opérationnellement la mesure de distance angulaire (tout court, un angle, pas une distance de diamètre angulaire) entre deux évènements et voir comment cette mesure est modifiée entre deux observateurs en mouvement relatif partageant le même évènement de perception.
On verra ensuite comment cette distance angulaire témoigne de la distance à laquelle se produisent les deux évènements en fonction de si l'espace-temps est plat ou non. La platitude permettant d'utiliser les bipoints comme des vecteurs, le traitement est relativement simple dans ce cas. Moins évident est le cas courbé...

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci à vous,

La question qu'on se pose avec Mailou est de savoir (...) comment Mailou percevra t'il ce cercle?

On en est pas là, dans un premier temps la question est plus simple : comment Zef va voir Mailou, compressé ou non ?
Ta question est une seconde étape, à laquelle on viendra plus tard, forcément...

..........

D'après la relativité, la distance entre O2 et le segment AB mesurée dans le référentiel R2 de O2 est plus courte du facteur gamma.

Quand un objet en mouvement relatif est vu avec un blueshift 1/X il est aussi vu étiré de X. Ce n'est pas ce qui EST dans l'espace euclidien (facteur de Lorentz) mais ce qui est VU (Doppler).

..........

Heureusement certains commentaires sont intéressants comme celui-ci :

Mais comme tu peux le voir, Pio a compris de quoi je parlais et on a pu tomber d'accord.

La platitude permettant d'utiliser les bipoints comme des vecteurs, le traitement est relativement simple dans ce cas. Moins évident est le cas courbé...

Ton dispositif a l'air intéressant. Je dirais que c'est un bazooka pour tuer une mouche mais peu importe, tu retomberas a coup sûr sur les mêmes égalités que j'ai énoncées et que Pio a pu vérifier.
Toutefois en espace courbe il pourra être tout a fait efficace, je ne saurais en utiliser les résultats pour l'heure mais ça viendra et toute confirmation sera alors bienvenue, je ne voudrais donc pas te freiner dans cette démarche. Bon courage quand même

A+

[externo]

Je calcule, avec les transformations de Lorentz, la distance entre l'observateur O2 au temps t'=0 et le milieu du segment AB dans le référentiel R2 de l'observateur O2. Je trouve 4.36 mètres.

Mais c'est quoi ce calcul de distance de 4,36 mètres avec les transformation de Lorentz ? C'est l'effet doppler ? Mais alors ce n'est pas une distance...
J'aimerais le détail des calculs SVP.

[Lansberg]

Un simple calcul d'aberration de la lumière. On calcule l'angle A, sous lequel on voit la moitié de la distance AB (0,1 /2 = 0,05 m) à 1 m de distance. On trouve A = 2,86°.
Pour l'observateur en déplacement à 0,9c, soumis au phénomène d'aberration lumineuse, l'angle A' sous lequel il voit les 0,05 m est donnée par la relation suivante :
tan(A'/2) = ((c-v)/(c+v))^1/2 x tan (A/2). (confère : Rindler - relativity, pour les détails)

Une fois A' calculé, trouver 4,36m est un jeu d'enfant.

Pour calculer le rapport Doppler (toujours Rindler) : f'/f = z + 1 = (1 + (v/c)cosA) / ((1 - v^2/c^2)^1/2))

[Pio2001]

Mais c'est quoi ce calcul de distance de 4,36 mètres avec les transformation de Lorentz ? C'est l'effet doppler ? Mais alors ce n'est pas une distance...
J'aimerais le détail des calculs SVP.

Bien sûr, mais avant tout, un petit bémol, je m'aperçois que je n'ai pas calculé la distance au centre du segment AB, mais la coordonnée x' de l'évènement A, or, je crois qu'il y a une petite différence entre les deux.

Voici ce que j'ai fait : j'ai besoin des coordonnées {x, y, z, t} d'un évènement dans le référentiel de l'observateur O1 pour calculer les coordonnées dans le référentiel de l'observateur O2 avec les transformations de Lorentz.
J'ai donc posé un segment de droite AB, et j'ai posé qu'au temps t = 0, l'observateur recevait un flash lumineux en provenance de l'extrémité A du segment.
Le segment étant immobile par rapport à l'observateur O1, à 1 mètre devant lui et de longueur 0.1 mètre, j'ai les coordonnées x=1, y=0.05, z=0 pour l'évènement A. Il me manque t.
Je calcule la longueur de l'hypoténuse avec Pythagore. La distance entre O1 et A est de 1.001249
La coordonnée t de l'émission du flash lumineux est donc t = - 1.001249 / c = -0.00000000333981

L'évènement A a donc pour coordonnées {x; y; z; t} = {1; 0.05; 0; -0.00000000333981)

Je pose v = 0,9 c et j'applique les transformations de Lorentz données ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...ons_de_Lorentz
J'obtiens les nouvelles coordonnées pour l'observateur O2, en mouvement par rapport à O1 à la vitesse de 0.9 c, s'il reçoit le flash à t'=0 au moment où il croise O1.
{x'; y'; z'; t'} = {4.36148, 0.05, 0, -0.0000000145493}

Et là j'ai pris un raccourci : j'ai dit x' = 4.36148, donc le segment est à 4.36148 mètres devant O2 à ce moment-là.
Est-ce que c'est plus clair ? Je n'ai pas tout détaillé pour ne pas avoir à écrire les racines et tout. En fait j'ai fait les calculs avec une calculette scientifique.


Mais en fait, si je refait le calcul pour un évènement C qui est l'émission d'un flash par le milieu du segment (et non par une extrémité), je trouve, en partant des coordonnées {1; 0; 0; -0.00000000333564} (notez que pour l'observateur O1, le flash C a été émis un peu après les flashs A et B, car il vient d'un peu plus près), les coordonnées transformées {4.3589; 0; 0; -0.0000000145397}.

Là, j'ai une distance au centre du segment de 4.3589 mètres, qui ne correspond PAS à la distance de diamètre angulaire de 4.36148 mètres.

[Mailou75]

Salut,

f'/f = z + 1 = (1 + (v/c)cosA) / ((1 - v^2/c^2)^1/2))

En fait l'inverse, j'ai vérifié



valable pour tout angle (red et blueshift), simple, efficace, je ne connaissais pas, j'adopte, merci

..........

Là, j'ai une distance au centre du segment de 4.3589 mètres, qui ne correspond PAS à la distance de diamètre angulaire de 4.36148 mètres.

Plus précisément tu n'as pas une distance au centre égale à la distance au bord, c'est normal. C'est déjà vrai pour l'immobile

En fait ton objet est gros (10% de la distance) et ne peut donc plus être considéré comme un objet ponctuel, tu as maintenant deux points. Si ton objet est petit et/ou loin le calcul va tendre à donner le même résultat. Avec de toutes petites billes, distance angulaire = distance vue.

C'est lié au fait qu'une "droite" perpendiculaire au déplacement relatif ne sera pas vue comme une droite au delà d'une certaine taille, elle sera vue courbe. Par exemple ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5950944 la perpendiculaire au déplacement passant par la planète grise du haut, en pointillés noirs, va devenir la courbe en pointillés bleu foncé.

Donc techniquement tu as raison, le centre est vu plus près que les bords, ils n'auront pas le même shift, on parle de deux points différents. Et même de pleins d'autres, suivant le degré de précision souhaité de la courbe vue à la place de la droite. C'est cohérent avec ton calcul, 4,3589m c'est bien la distance vue du centre (et 1/4,3589 son shift).

Toutefois tu t'es mélangé un peu les pinceaux, j'ai vérifié et 4,36148m c'est x', la coordonnée radiale du point vu. La distance vue (l’hypoténuse) c'est 4,36176 (et 1/4,36176 son shift). Enfin, quelque part la démarche est honnête, c'est bien la coordonnée du centre entre les deux extrémités donc si on devait évaluer une distance en fonction de l'angle vu c'est bien ce qu'on obtiendrait. Dans le détail, pour un "gros" objet, il faut tenir compte du fait que le centre n'est plus vu entre les extrémités. C'est ce que montre ton calcul.

A+

[Lansberg]

En fait l'inverse, j'ai vérifié

Non, parce qu'alors √(1- ß^2) passe au numérateur et on ne retrouve pas l'expression de départ.

[mach3]

Ton dispositif a l'air intéressant. Je dirais que c'est un bazooka pour tuer une mouche mais peu importe, tu retomberas a coup sûr sur les mêmes égalités que j'ai énoncées et que Pio a pu vérifier.
Toutefois en espace courbe il pourra être tout a fait efficace, je ne saurais en utiliser les résultats pour l'heure mais ça viendra et toute confirmation sera alors bienvenue, je ne voudrais donc pas te freiner dans cette démarche. Bon courage quand même

A+

L'objectif est d'une part d'être rigoureux de bout en bout sans jamais faire un sous-entendu involontaire et d'autre part que ce soit applicable peu importe la courbure. Forcément dans le cas plat, le bazooka se simplifiera en simple tapette...

m@ch3

[externo]

Ok pour le calcul.
Mais alors ça n'est pas correct :

Je calcule, avec les transformations de Lorentz, la distance entre l'observateur O2 au temps t'=0 et le milieu du segment AB dans le référentiel R2 de l'observateur O2. Je trouve 4.36 mètres.

La distance de 4,36 mètres n'est pas la distance au temps t' = 0 mais t' =-0.000000014549

Ce que je comprends c'est que la distance du segment "vue" par l'observateur O2 en t'=0 lorsqu'il reçoit le signal et calculée par l'abération correspond à la distance réelle qu'il y avait entre O2 et le segment au moment de l'émission du signal en t' =-0.000000014549.

[Pio2001]

La distance de 4,36 mètres n'est pas la distance au temps t' = 0 mais t' =-0.000000014549

Ce que je comprends c'est que la distance du segment "vue" par l'observateur O2 en t'=0 lorsqu'il reçoit le signal et calculée par l'abération correspond à la distance réelle qu'il y avait entre O2 et le segment au moment de l'émission du signal en t' =-0.000000014549.

Ah oui, c'est vrai.

[Mailou75]

Salut,

Non, parce qu'alors √(1- ß^2) passe au numérateur et on ne retrouve pas l'expression de départ.

Ton calcul donne un résultat > 1 or ici on a un blueshift : z+1<1
Avec la formule "inversée" ça fonctionne, quel que soit l'angle de visée, j'ai vérifié tkt

Forcément dans le cas plat, le bazooka se simplifiera en simple tapette...

J'imagine que ton bazooka va tenir compte de la courbure spatiale des rayons non radiaux (têtu comme tu es), t'es sur d'arriver à faire marcher un truc pareil ?
Bon, au cas où, j'ai le mode d'emploi de la tapette

La distance de 4,36 mètres n'est pas la distance au temps t' = 0 mais t' =-0.000000014549

Les deux. Dans la citation de Pio, je pense qu'il parlait de la distance "vue" à t=0. C'est aussi la distance "métrique" dans l'espace euclidien à l'émission, à un t inférieur. Tu trouves la même valeur que lui au message 42 (dans le repère du voyageur). Tout ça a l'air normal.

[Archi3]

Je crois bien que c'est ce que tu appelles toi-même une distance métrique :

"C'est la distance entre l'évènement d'émission et l'évènement de réception dans le référentiel de l'observateur."

sauf cas très particuliers (dont les référentiels galiléens pour des observateurs inertiels) il n'est pas possible de donner une signification non ambiguë au "référentiel de l'observateur", donc la définition est inapplicable.

[mach3]

sauf cas très particuliers (dont les référentiels galiléens pour des observateurs inertiels) il n'est pas possible de donner une signification non ambiguë au "référentiel de l'observateur", donc la définition est inapplicable.

En espace-temps plat avec un observateur en mouvement rectiligne uniforme, cela revient à tracer un "carré", dont un côté de genre temps est sur la ligne d'univers de l'observateur, l'autre côté de genre temps est sur une ligne d'univers droite et parallèle à celle de l'observateur qui passe par l'évènement observé et une diagonale est la geodesique nulle passant par l'événement observé et l'évènement d'observation. On trace les côtés de genre espace par orthogonalité et leur longueur est la distance recherchée.

Essayer de faire la même construction en espace-temps courbe montre bien toute l'ambiguïté, il y aura forcément un côté pas droit ou un angle pas droit ou des côtés non égaux au choix.

m@ch3

[Archi3]

oui on peut quand même définir ça plus largement, même en espace courbe , si la métrique est stationnaire, mais ce n'est pas le cas général.

[mach3]

oui on peut quand même définir ça plus largement, même en espace courbe , si la métrique est stationnaire, mais ce n'est pas le cas général.

oui, par exemple on peut accepter une définition où le "carré" possède des côtés de genre temps non géodésiques correspondant à la stationnarité dans le cas d'une métrique stationnaire, mais ce n'est qu'une des définitions possibles valable pour un observateur stationnaire.
Il n'y a pas une distance métrique unique si on prend comme définition "C'est la distance entre l'évènement d'émission et l'évènement de réception dans le référentiel de l'observateur" : cette définition spécifie de façon univoque la diagonale du "carré" et la ligne d'univers (pas forcément géodésique) qui contient un de ses côtés de genre temps, mais le reste dépend de ce qu'on définit arbitrairement comme le référentiel de l'observateur, sachant qu'il y a une multitude de choix qui conviennent.

m@ch3

[Lansberg]

Salut,

Ton calcul donne un résultat > 1 or ici on a un blueshift : z+1<1

Reprenons. Petite erreur de signe, au tout début, dans la relation que j'avais donnée :
f'/f = (1 - (v/c)cosA) / ((1 - v^2/c^2)^1/2))

f' est la fréquence à la réception pour l'observateur en mouvement, soit fr.
f, est la fréquence à l'émission, soit fs.
A est l'angle sous lequel on voit la source au repos, soit Θs

fr = γ(1 - β.cosΘs).fs
Ç'est finalement l'expression donnée par Einstein dans son article de 1905 et qu'il nomme" le principe Doppler pour toute vitesse".

Pour l'exemple proposé, β < 0. On trouve fr = 4,35.fs
Pour le shift : z = (fs - fr)/fs < 0 puisque fr > fs. On a bien un blueshift.

[Mailou75]

Salut,

Reprenons. Petite erreur de signe, au tout début

Ok... comme à la fin tu prends un B négatif, ça ne change rien, je préfère garder une vitesse positive et un "+". Qu'importe.

On trouve fr = 4,35.fs

Je comprends... au départ tu avais donné un rapport de fréquences (je n'avais pas tilté que c'était f'/f et pas f/f') valant "z+1", et pour moi (et pas que...) z+1 c'est un rapport de longueurs d'ondes. Donc il est normal que la formule fonctionne une fois "inversée". La formule d'Einstein reste juste puisqu'il parle de fréquences.

En fait c'est juste que tu n'as pas le droit de noter z+1=f'/f car sa valeur est f/f', simple convention de notation :
Pour un blueshift 0<z+1<1
Pour un redshift 1<z+1<oo

Pour le shift : z = (fs - fr)/fs < 0 puisque fr > fs. On a bien un blueshift

Avec correction z = (fs - fr)/fr ça donne z+1=fs/fr ok.
Le z n'est pas un shift c'est une "classification" pour les objet cosmo. On a enlevé "+1" pour que les objets proches aient un z=0
Et le z+1 aurait mieux fait d'être une lettre grecque

Bref, le blueshift de ton calcul c'est donc l'inverse de ta fréquence z+1=1/4,35~0,23

A+

[Lansberg]

Décidément quand ça ne veut pas ! (mélange avec λ).

[mach3]

Je reviens sur ce sujet. Pour déterminer les tailles angulaires vues par un observateur aux environs d'un trou noir, on va procéder en étapes :

1-c'est quoi l'angle entre deux rayons lumineux incidents pour un observateur, d'abord en considérant la métrique de Minkowski, ensuite dans le cas de la métrique de Schwarzschild
2-comment sont les géodésiques nulles non radiales en géométrie de Schwarzschild et quelles sont celles qui rasent un objet de dimensions et positions connues et qui aboutissent à un observateur immobile de Schwarzschild, on pourra en déduire la taille angulaire de cet objet, et donc parler de ce que voit l'immobile de Schwarzschild


Abordons le premier point.

Un rayon lumineux est une géodésique nulle, qu'on peut considérer comme une courbe de paramètre . En tout point de cette courbe, on peut définir un 4-vecteur tangent, dont les composantes seront les dérivées des 4 coordonnées des évènements de la géodésique par rapport au paramètre . La géodésique étant de genre nul, le 4-vecteur aussi, et donc le carré scalaire de ce 4-vecteur est nul. D'une manière générique, on a :


On peut redéfinir à loisir, c'est à dire le remplacer par une fonction affine de lui-même sans que cela n'affecte la nullité du carré scalaire ci-dessus : cela reviendrait simplement à multiplier les composantes du vecteur tangent par une même constante. Par exemple on peut poser arbitrairement qu'en l'évènement considéré, est tel que , ou, plus précisément, tel que le produit scalaire entre le 4-vecteur tangent et le vecteur de base vaut 1 :



Dans le cas où la métrique est celle de Minkowski, on aura :



Si on choisit le paramètre tel que , il ne reste donc que :



Considérons maintenant deux rayons lumineux qui se croisent en un même évènement, l'un dont la géodésique est de paramètre tel que en cet évènement et l'autre dont la géodésique est de paramètre tel que en cet évènement. Le produit scalaire entre les 4-vecteurs tangent p1 et p2 de ces géodésiques est :




Pour simplifier les choses, on va considérer que le premier rayon se déplace suivant l'axe x et le second dans le plan xy (une simple rotation euclidienne permettra de généraliser). Pour le premier rayon, les composantes en y et z du 4-vecteur tangent sont donc nulles. Pour le second, seul la composante en z est nulle. Cela donne le produit scalaire :


et les carré scalaires :




On en déduit :




On peut alors identifier et respectivement au cosinus et au sinus d'un angle , l'angle entre les deux rayons lumineux.

On aura donc pour finir :


Le produit scalaire entre 4-vecteurs tangents à deux géodésiques nulles qui se croisent en un évènement peut donc fournir l'angle entre les deux rayons mesuré par un observateur immobile dans le repère considéré (et dont la ligne d'univers passe par l'évènement de croisement)... pourvu que l'on ait calibrer les paramètres et convenablement. Ce calibrage s'effectue justement par rapport au temps propre de l'observateur immobile considéré, qui n'est ici autre que la coordonnée temporelle : il faut les produits scalaires entre les 4-vecteurs tangents aux géodésiques nulles et le vecteur de base (qui est la 4-vitesse de l'observateur considéré) valent 1.

Cela va pouvoir se généraliser pour donner l'angle vu pour tout observateur dont le ligne d'univers passe par l'évènement d'intersection des géodésiques nulles. A suivre.

m@ch3

[mach3]

Suite...

Comment s'assurer que les 4-vecteurs tangents aux geodesiques nulles aient un produit scalaire avec la 4-vitesse de l'observateur qui vaut 1 ? C'est simple, il suffit de les normaliser. Soit u la 4-vitesse de l'observateur et p un 4-vecteur tangent à la geodesique nulle, le 4-vecteur que l'on doit utiliser est . En effet son produit scalaire avec u vaut .

Ainsi, on peut calculer l'angle mesuré entre deux rayons de vecteurs tangents p1 et p2 par un observateur de 4-vitesse u sans se soucier de la bonne calibration de p1 et p2 :



Mieux encore, on peut remarquer que le calcul marche toujours si on utilise un 4-vecteur colinéaire à la 4-vitesse de l'observateur quelconque, ku, à la place de la 4-vitesse à condition d'ajouter un facteur correctif :



Ainsi on peut dégager une formule généralisée :



avec p1, p2 et p des 4-vecteurs tangents aux deux geodesiques nulles et à la ligne d'univers de l'observateur respectivement (sans aucune exigence sur ces 4-vecteurs autre que le fait qu'ils soient tangents).

Il s'agit d'une relation purement géométrique entre les geodesiques nulles et la ligne d'univers de l'observateur, en l'évènement où elles s'intersectent toutes les trois. Elle est en cela totalement indépendante du système de coordonnées.

Exemple :
Dans un référentiel galiléen R, avec des coordonnées de Lorentz t,x,y,z (c=1), on a un premier rayon lumineux suivant l'axe des x, un second dans le plan xy faisant un angle avec le premier et un observateur se déplaçant suivant l'axe des x à la vitesse . Quel angle mesurera-t-il entre les deux rayons ?
4-vecteur tangent au premier rayon :
4-vecteur tangent au second rayon :
4-vecteur tangent à l'observateur :






(on retrouve bien une formule déjà connue, par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_...ion_arbitraire )

Passons maintenant à la version RG. Au lieu de la métrique de Minkowski (qu'on a notée par l'opérateur binaire "." en mimant le produit scalaire dans ce qui précède) on aura une métrique quelconque . On aura :


En termes de coordonnées, on aura :

(avec et les paramètres des géodésiques nulles et le paramètre de la ligne d'univers de l'observateur (qui est une fonction affine de son temps propre)).

Exemple en géométrie de Schwarzschild, avec les coordonnées de Schwarzschild , dans le plan défini par .
L'expression de la métrique est et une géodésique nulle doit respecter : ,
ou encore :
Ainsi, si on fixe , on peut identifier un cosinus et sinus d'un angle (dont la nature sera comprise plus loin) :


Les 4-vecteurs tangents des géodésiques nulles du plan défini par auront donc des composantes de la forme :
-1er rayon, vecteur tangent
-2e rayon , vecteur tangent
-observateur immobile de Schwarzschild, vecteur tangent

Appliquons la formule :



-->


-->


-->


-->








En particulier, si , le premier rayon est radial et est l'angle vu par l'immobile de Schwarzschild entre ce rayon radial et le second rayon non radial.

Les composantes des 4-vecteurs tangents au géodésiques nulles contiennent donc directement l'information recherchée, l'angle , pourvu qu'on ait posé que leur composante temporel vaille 1.

Nous verrons demain ce que voit la pluie (un observateur en chute libre ayant une vitesse nulle à l'infini)...

m@ch3

[mach3]

Poursuivons dans la géométrie de Schwarzschild avec un observateur quelconque en mouvement dans le plan et dont le 4-vecteur tangent sera :


Pas de changement pour p1.p2, qui vaut toujours

Par contre on a :



et :




de même :



Cela donne donc :





Expression plutôt moche, il y a surement moyen de la rendre plus sympa, mais je n'ai pas encore cherché.

Posons (rayon radial) et (observateur en mouvement radial) :


(merci la 3e identité remarquable)

Si de plus l'observateur est de la pluie, on a et donc :



On retrouve la même formule qu'en relativité restreinte, avec dans le rôle de .

On est donc capable, en principe, de calculer l'angle vu entre deux géodésiques de genre nul par un observateur quelconque, pourvu qu'on connaisse les vecteurs tangents à ces géodésiques et à la ligne d'univers de l'observateur. Reste maintenant à connaitre les géodésiques nulles pour connaitre la taille angulaire d'objets au voisinage d'un trou noir.

m@ch3

[pachacamac]

Einstein est ressuscité

[xxxxxxxx]

bonjour

une chose m'a interpellé dans cette discussion mais je ne sais pas si c'est pas carrément hors sujet :

## discussion créée à partir d'une dérive de la discussion https://forums.futura-sciences.com/a...anslation.html
mach3, pour la modération ##


Ben oui, levée de bouclier parce que sans les raccourcis permis par la platitude de l'espace-temps en RR, la même démarche est fausse en RG jusqu'à preuve du contraire. Et comme je ne connais aucun ouvrage de référence ou publication qui soutient ton point de vue, continuer dans cette direction sans donner de source ou de démonstration rigoureuse tombe hors charte. Avant même de chercher à le démontrer rigoureusement en RG, il faudrait d'ailleurs le démontrer proprement en RR (ou donner un ouvrage de référence ou une publication comme source), parce que mis à part tes schémas (très beaux par ailleurs), il n'y a pas grand chose qui étaye rigoureusement ton point de vue même en espace-temps plat. Il faut le démontrer non pas pour prouver qu'il est correct dans le cadre de la RR (car intuitivement ça me semble correct), mais pour savoir quels ingrédients font que cela fonctionne dans le cadre de la RR et ensuite regarder lesquels seraient manquants ou non en RG et par quoi on peut les substituer si possible.



J'ai bien peur qu'il n'y ait pas le choix. Sans plus de developpement, ça ne parait pas pouvoir fonctionner. A moins d'une source qui confirme ou d'une démonstration rigoureuse, pour moi c'est hors-charte (et je le dis bien en noir). Et en dehors du côté hors charte, je crains que tu ne perdes ton temps en fondant ta réflexion sur une possible illusion.

m@ch3

Pio2001 confirme si je ne fais pas erreur

la question de la platitude de l'univers semble encore débattue (https://www.futura-sciences.com/scie...herique-51832/).

l'astrophysique est, si je comprends bien basée sur la RG, alors pourquoi un univers plat n'est pas possible en RG ?

quelque chose m'échappe, mais quoi ?


cordialement

stéphane