Bonjour,
On sait que la mécanique quantique a un besoin impérieux des nombres complexes.
Par exemple, si e1 et e2 sont deux états possibles d'un système quantique Ψ, alors on a : |Ψ> = α|e1> + β|e2> où α et β sont des nombres complexes tels que |α|² + |β|² =1.
Je crois qu'il serait peut-être bon, si le sujet intéresse, que des physiciens expliquent, bien mieux que je ne le pourrais faire, pourquoi α et β sont nécessairement des complexes et non des réels.
Cordialement.
Dernière modification par mh34 ; 10/04/2019 à 16h12.
il est intéressant de constater que dans l'équation de la chaleur qui concerne la thermo et ou l'on parle de probabilités,
si l'on fait une rotation de wick sur le temps on a une équation de schrodinger qui parle d'amplitudes de probabilités.
Oui, mais cela n'explique pas, je crois, le fait que les complexes sont indispensables à la mécanique quantique.Envoyé par alovesupreme
J'évoquais le fait que si, dans la relation montrée, α et β étaient des réels, alors cela voudrait dire que le système quantique est soit dans l'un soit dans l'autre des états avec les probabilités α et β.
Si α et β sont des complexes, ils représentent des amplitudes et non des probabilités. Pour obtenir une probabilité il faut combiner α et βα|² +|β|² =1 qui est bien une probabilité et montre bien que l'emploi des complexes montre la simultanéité (superposition) des états |e1> et |e2> (notation en "ket" de Dirac).
Je suis bien conscient que ceci mériterait d'être mieux expliqué et c'est la raison pour laquelle j'ai fait appel à des physiciens.
On peut parfaitement se passer des nombres complexes pour faire de la MQ. les ordinateurs ne connaissent que les nonbres 0 et 1.
et ils peuvent tout simuler.
pour nous il nous suffit de voir qu'un nombre complexe c'est un couple de nombres réels. simplement il faut alors manipuler les regles de composition de ces couples de réels. c'est facile pour l'addition et plus fastidieux pour la multiplication. en représentation polaire des complexes avec un angle et un rayon c'est plus simple pour la multiplication et plus fastidiaux pour l'addition.
il y a un moyen terme avec le truc de la notation i avec i i = - 1 mais ce n'est qu'une facilité calculatoire.
pour le point de vue de la physique la chose la plus importante c'est le role central d'un angle, d'une ratation.
l'interférométrie ne nécessite pas les nombres cmplexes uniquement la prise en compte de cet angle la ou les bras se rejoignent
Dernière modification par alovesupreme ; 11/02/2018 à 09h55.
Vous avez raison lorsqu'il s'agit de calcul, mais pour développer la théorie ?
Pouvez imaginer les matrices de Pauli par exemple parmi tant d'autres, sans i ?
C'est une question que je vous pose et non une mise en doute de votre propos.
Bonjour,
Sauf erreur de ma part, on utiliseet
tout ce qui utilise i tourne autour du formalisme de la fonction d'onde y compris ces matrices.
je ne dis pas qu'elles ne sont pas pratiques.
je dis simplement que les seules notions qui ont une réalité physique sont les probabilités (des nommbres réels)
et non les amplitudes de probabilités.
d'ailleurs la regle d'addition des fonctions d'onde ne rend pas compté des cas ou on a une information partielle sur la fente de young
empruntée. de plus si l'information est complete ce sont les probabilités qui s'ajoutent.
sans bien sur échapper aux espaces de hilbert le formalisme des povm met l'accent plus sur les probabilités que sur les amplitudes.
et permettent de traiter les cas de l'information partielle.
dans une mesure on ne dira plus qu'une fonction d'onde qui avait une amplitude donnée a été choisie.
on dira qu'un opérateur qui avait une certaine probabilité a été trouvé.
Je crois qu'un mot a sauté dans votre texte.Bonjour,
Sauf erreur de ma part, on utilise
En effet, ce sont les valeurs propres des opérateurs hermitiens, par exemple l'hamiltonien, qui correspondent aux observables du système quantique considéré.
L'intérêt dans ce cas est que ces valeurs propres sont toujours réelles, ce qui est évidemment préférable.
Cela dit, je serais assez d'accord avec le fait que les complexes simplifient de beaucoup les calculs. Par exemple, en mathématiques, la formule de Moivre le montre bien.
Mais je m'interroge quand même sur ce que deviendrait la mécanique quantique sans les espaces de Hilbert.
Cordialement.
Je trouve quand même non évident de se passer, par exemple, des opérateurs composant l'impulsion :
Ṗx = -iℏ∂/∂x,
Ṗy = -iℏ∂/∂y,
Ṗz = -iℏ∂/∂z.
Les remplacer par quoi de réel ?
Bref, et plus généralement, je pense que les complexes sont indispensables en mécanique quantique et que le passage au réel se fait en particulier par le fait que les valeurs propres des opérateurs hermitiens sont réelles.
Sans oublier non plus que zz* est toujours réel.
Dernière modification par brhmagupta ; 11/02/2018 à 13h56.
que serait la poésie si on n'avait que des bits 0 et 1?
Salut,
Je ne suis pas sûr de l'objet de la discussion :
- est-ce que c'est "pourquoi utilise-t-on les nombres complexes en MQ ?" (par exemple, pourquoi les amplitudes de probabilité sont-elles complexes ?) Le sujet n'est pas simple. Le mieux est encore de faire le lien avec le comportement ondulatoire (amplitude + phase et représentation complexe).
- est-ce que c'est : peut-on se passer des complexes ? (pour le calcul sur ordi)
????
Par exemple, pour le deuxième point :
Dans le calcul sur ordi on représente les complexes par une paire de réel (a, b) (partie réelle et imaginaire) et les calculs appropriés. A moins d'utiliser un langage approprié (j'ai dû faire ça avec un vieux FORTRAN qui n'avait pas de complexe double précision, dont j'avais besoin pour des calculs en automatique).
Et pour l'impulsion on va utiliser ou bien une version numérisée de la fonction d'onde (et la dérivée est remplacée par des différences) ou un calcul en MQ matricielle.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Au départ, ma question fut : Pour quoi les nombres complexes sont-ils indispensables en mécanique quantique ?
Tout d'abord, je ne vois pas pour quelle raison on leur ferait jouer un rôle à part au point de pouvoir s'en passer.
Après tout, les points d'un plan ont autant d'existence que les points d'une droite.
Je crois que l'on ne peut se passer des nombres complexes de même que l'on ne peut se passer des nombres irrationnels. Après tout;
complexes et irrationnels sont des cas particuliers de nombres.
De plus, je ne vois vraiment pas comment on pourrait écrire une équation de Schrödinger sans complexes !
Certes, en mécanique quantique les proba jouent un rôle déterminant, mais ils sont bel et bien issus de la notion d'amplitude, qui, elle est complexe.
Je ne vois pas non plus comment, et c'est lié à ma remarque précédente, comment on pourrait arriver à la notion de superposition linéaire quantique sans les complexes.
Je pourrais multiplier les exemples.
Attention : Je ne dis pas "J'ai raison", je dis seulement "je ne vois pas comment" et suis par là même réceptif à toute contre argumentation.
J'ai quand même pour ma défense le fait qu'ayant étudié, il y a longtemps, la mécanique quantique (c'était à l'époque où Feynman a introduit sa belle théorie de l'intégrale de chemins), j'ai été évidemment influencé par l'état de la théorie de cette époque et où les complexes apparaissaient indispensables.
Plus tard, lors de ma retraite il y a maintenant 24 ans, je me suis replongé dans la mécanique quantique en lisant des oeuvres Roger Penrose qui me semble bien convaincu de la présence inexorable des complexes en mécanique quantique allant jusqu'à affirmer la réalité de l'effondrement de la fonction d'onde (réduction du vecteur d'état).
Je suis aussi un visiteur assidu à http://ArXiv.org/
Ai-je pour autant des certitudes ? Certes pas et c'est pourquoi j'ai proposé ce débat qui devient de plus en plus intéressant.
Merci d'y participer.
J'aurais tendance à dire que les complexes ne sont pas indispensables. On peut toujours s'en passer en séparant composante réelle et imaginaire.
Mais ils sont utiles car ils simplifient les calculs et les expressions, particulièrement en MQ où ils sont omniprésents.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
"On peut toujours s'en passer en séparant composante réelle et imaginaire."
Oui, probablement, mais à quel prix ? Les calculs ne deviendraient-ils pas inextricables ?
Mais la théorie, elle, peut-elle s'en passer ?
Dernière modification par brhmagupta ; 11/02/2018 à 15h27.
tout nombre complexe (r,theta) peut etre également remplacé sans complication du tout par la matrice 2x2 multiple par r
de la matrice rotation dans le plan
un vecteur d'onde complexe devient alors une colonne de matrices a composantes réelles.
Dernière modification par alovesupreme ; 11/02/2018 à 15h44.
de la meme facon la théorie des ressorts et de tout ce qui oscille nécessite t elle les nombres complexes?
Certes, mais alors, pourquoi s'embarrasser avec les espaces de Hilbert ? C'est une question et non une objection.
(Sans compter les espace de Fock)
Dernière modification par brhmagupta ; 11/02/2018 à 16h53.
A brhmagupta
Par quoi remplacez-vous l'équation de S. sur le corps des réels?
Quitte à se passer des complexes pourquoi ne pas pousser plus loin et se passer des réels en restant sur les entiers-rationnels?
Sans aller jusqu'à l'algèbre booléenne...mais après tout pourquoi pas?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
a cause de la concision des notations en partie je suppose.
regarde ma matrice 2x2 de carré -id meme si c'est la meme chose algébriquement que le nombre complexe de carré -1 ca semble
moins concis que la notation i.
en fait c'est un faux probleme, chaque fois que tu rencontres le nombre imaginaire i tu peux penser que c'est une simple notation
pour cette matrice de nombres réels.
toute la construction des espaces de Hilbert pourrait donc éviter le mot nombre complexe mais ca n'apporterait que des notations
plus lourdes.
dans un autre domaine il est vrai Rovelli a montré qu'on pouvait en physique se passer de la variable t que symbolise le temps
dans les équations d'évolution des systemes.
par exemple la position d'une particule a 12h 05mn et 40 seconde est en fait sa position lorsque telle horlogr a aiguile a la petite
aiguille a la verticale, celle des minutes a tel angle et celle des secondes a tel autre. ou qu'on voit de la terre tel angle entre certaines
planetes. toutes les équation différentielles ou apparait t pourrait etre remplacée par un SYSTEME d'équi diff ou appraraisent des angles.
plus besoin de notion d'espace temps l'espace suffit pour tout décrire. mais ca devient tres lourd a gerer.
exact 0 et 1 suffisent aux ordis
Concernant les complexes en physique, j'ai toujours deux casquettes :
1- Opérationnel : notation, pratique, calculatoire, etc...
2- Conceptuel : formalisme possible sans eux?, etc...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Shut up and calculate.
Pas grand chose de conceptuel...
Perso, je préfère calculer en multi bases 2,3,5,7 quand j'écoute de la musique et en complexe quand je fais de la commande de procédés.
Efficacité oblige.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
ce que a fait aussi le succes des vecteurs de hilbert c'est le coté "tout simple" des équations linéaires. mais tous les problesmes
ne sont pas forcément du premier degré
Seule l'équation de S. exhibe un pôle imaginaire pur...
Je ne vois pas par quoi la remplacer en réel.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
je ne pense pas que le but soit de remplcer des imaginaires purs la ou ils sont par des nombres réels. mais plutot
d'avoir en téte qu'a la fin on va avoir des probabilités réelles.
du point de vue déficit conceptuel je crois qu"il y a un gain a penser en termes de povm
Bonsoir stefjm
Ce cours du MIT "Necessity of complex numbers" parle d'apparition de contradiction si on remplace les complexes par des réels (et non un couple de réel - un vecteur) dans la formulation de l'équation d'onde de Schrödinger.
https://www.youtube.com/watch?v=f079K1f2WQk
En MQ l'état du système n'est pas réduit à un point comme en mécanique classique, mais à un vecteur de l'espace d'Hilbert.
Cordialement,
Bonjour,
Je n'ai pas la possibilité de le vérifier ce soir, mais ça ne m'étonnerai pas que cela soit traité dans le Landau de mécanique quantique.
Not only is it not right, it's not even wrong!
Bonjour,
Si vous aviez lu les messages dès leur début, vous constateriez que vous me faites dire le contraire de ce que je pense !
Je crois bien avoir déjà dit que je considère les complexes comme représentant les points du plan tout comme aux réels peuvent être associés des points d'une droite et qu'il ne saurait être question de retirer les complexes des nombres en général tout comme il est hors de question d'en retirer les irrationnels !.
Pour ma part, je crois vraiment indispensable l'emploi des complexes en mécanique quantique, mais je n'en suis pas sûr, d'où ma proposition de débat.
Et il se trouve que ce débat est passionnant.
Dernière modification par brhmagupta ; 12/02/2018 à 05h09.
Bonjour,
Dans un des ses cours, je ne me souviens plus lequel, Roger Penrose soutient que les complexes sont à la base de :
- La superposition linéaire quantique,
- L'équation de Schrödinger,
- La théorie quantique des champs
Il prétendait que les complexes sont indispensables à la mécanique quantique.
Mais peut-être entendait-il par là que sans eux, la mathématique serait inextricable bien que théoriquement possible.
Mais j'imagine quand même difficilement de se passer des espaces de Hilbert et de ceux de Fock (produits tensoriels d'espaces de Hilbert). Où irait-on sans eux en s'interdisant l'emploi des complexes ?
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