Rotor Savonius

[Nekama]

Je pense que c'est particulièrement rigoureux, oui. En tout cas bien plus que la méthode de Frédéric Elie (pourtant très bon) qui néglige la variation de Cd avec l'angle (c'est pire qu'une interpolation même linéaire...) et qui ensuite "comment l'audace" de calculer Cd analytiquement alors que les valeurs numériques sont connues. De plus, il est possible de déterminer la sensibilité de la méthode en modifiant l'interpolation entre les différents points et en voyant l'influence de cette variation sur le résultat.
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[cmole]

Je pense que c'est particulièrement rigoureux

C'est super, au moins quelque chose de rigoureux à quoi se rattacher. Avec un peu de travail (et quelques hypothèses qu'il conviendrait de justifier) on pourrait surement étendre ce principe de calcul aux rotors Savonius, quand j'aurai un peu de temps je m'y essayerai !

Pour revenir au rator Savonius j'ai juste deux questions complémentaires, gts2 parlait du fait que la surface projetée varie entre 2rH et 4rH avec la variation de l'angle ϕ. J'aurai tendance à trouver un lien entre la surface projetée et ϕ pour faire rentrer cette variation dans l'intégrale, mais cette phrase me met dans le doute

Ceci étant ce n'est pas vraiment un problème, comme déjà dit pour les ailes on ne prend pas la surface projetée, mais la surface de l'aile.

, est-ce donc vraiment nécessaire ?

Aussi, je ne suis pas sûr de comprendre l'intégrale eq1.PNG, j'aurai eu tendance à utilsier l'intégrale eq2.PNG (avec v la vitesse relative vue par l'hémisphère). Est-ce correct ?

Encore merci pour votre aide, je comprends vraiment mieux ce type de système et comment les étudier !

[Nekama]

En abordant le problème autrement, ça se simplifie mieux...

Tu dois intégrer sur 0 à 2 pi l'expression du moment de 4 forces.

2 pour la pâle "entrante" :
* moment de la force de frottement Fx appliquée au centre de traînée T : Mx = OT X Fx
* moment de la force de lift : Fz appliquée au centre de poussée P : Mz = OP X Fx
Et 2 pour la pâle sortante où ce qui changera principalement ce sont Cx et Cz

Si on suppose que les 2 pales comme agissant indépendamment, on peut simplement faire le calcul sur
[ 0 ; pi ] pour l'entrante" et sur [ pi ; 2i ] pour la sortante et multiplier le tout par 2.

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/ pale entrante /

Si on décompose U en Vt et Vr, on a :

* Vt = U sin(phi) + Vrel
* Vr = U cos(phi)

avec :
U : vitesse du vent
phi = 90° quand la pale fait face au vent ( Fx est max et Fz est nul )
Vrel = w.R si on prend la vitesse relative moyenne mais une moyenne quadratique serait dans doute plus pertinente

* Fx = 1/2 rho Vt^2 Cx Sx avec Sx = L. lx
* Fz = 1/2 rho Vr^2 Cz Sz avec Sz = L. lz

L est la hauteur des pales du rotor
lx est la projection droite du rotor : lx = 2.R
lz est la projection orthoradiale : lz = R

Supposer Cx et Cz indépendamment de phi est plus pertinent.
Ils ne dépendent de phi que dans la mesure où la distribution des vitesses (et pressions) autour des pales
est complexe, en particulier si on tient compte de la vitesse de relative de rotation et v qui varie avec le rayon : v = w.r avec w la vitesse angulaire.

Cela donne :

* Fx = rho Cx L.R ( U^2 sin^2(phi) + 2 U.R.w + (Rw)^2 )
* Fz = 1/2 rho Cz L R ( U^2 cos^2(phi) )

La position du centre de poussée est indéterminable sans essais ou simulation d'écoulement.
Pour Fx, je dirais qu'il est quelque part sur l'axe de symétrie de la pale, ce qui suffit pour déterminer le moment.
Pour Fz, je le mettrais à mi hauteur

Et on arrive à un moment total :

Mx = - R * rho.Cx L.R ( U^2 cos^2(phi) + 2 U.R.w + (Rw)^2 )
Mz = +/- R/2 * 1/2 rho.Cz L.R ( U^2 sin^2(phi) )

+/-
car à mieux y regarder, entre 0 et pi/2, la portance agit dans le sens opposé à ce qu'elle fait entre pi/2 et pi...

Du coup :

M = - U^2 rho.L.R^2 C'x ( cos(phi) + Rw/U )^2 )

ou le ' est là pour rappeler que le Cx est celui de la pâle entrante.


/ pale sortante /

Mutatis mutandis, on arrive à :

M = U^2 rho.L.R^2 C''x ( cos(phi) - Rw/U)^2 )


/ Et en définitive pour les 2 pales /

M = U^2 rho.L.R^2 [ C''x ( cos(phi) - Rw/U )^2 - C'x ( cos(phi) + Rw/U )^2 ]

à intégrer sur [0, pi] en n'oubliant pas de multiplier par 2 pour avoir le moment sur un tour complet.

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Tout cela est à vérifier... J'ai calculé en même temps que j'écrivais.

[Nekama]

Finalement, non. La portance ne s'annule pas.

M = U^2 rho.L.R^2
[ C''x ( cos(phi) - Rw/U )^2
- C'x ( cos(phi) + Rw/U )^2
+ 1/2 Cz ( sin(phi) )^2 ]

Mais il vaut mieux tout vérifier...

[cmole]

Je n'ai pu regarder que très rapidement et je m'y pencherai demain soir sérieusement, mais un grand merci pour tout ce travail !

Du coup il n'y a plus d'intéret à intégrer selon θ ? J'avais compris (peut être à tort) qu'on effectuait cette intégration justement parceque les centres de poussée et de trainée sont inconnus et varient avec ϕ.
De même on ne cherche plus à trouver des relations pour les coefficients Cx et Cz (comme ce que vous aviez proposé quelques messages avant) mais je ne suis pas sur de bien comprendre pourquoi.

[cmole]

En relisant à tête reposée j'ai plusieurs questions !

Premièrement je ne comprends pas bien la décomposition des vitesses utilisée ici, ni pourquoi les vitesses utilisées varient pour l'effort de portance ou de trainée. Dans l'étude d'une éolienne "classique" on utilise aussi la vitesse relative de l'air du point de vue de la pale, mais cette vitesse est utilisée à la fois dans la portance et dans la trainée, or ici ce n'est pas le cas.

De même, je ne comprends pas pourquoi les termes Ix et Iz ne sont pas identiques. Je comprends d'où ils viennent géométriquement, mais je ne comprends pas pourquoi on ne doit pas utiliser les même coefficients. De plus, avec ces valeurs on néglige l'influence de ϕ sur ces termes (comme on me l'a expliqué à la page d'avant).

Enfin, en y réfléchissant plus je n'ai pas toruvé de réponses aux questions du message précédent non plus.

[Nekama]

Bonsoir,

En réponse rapide à tes questions :

Dans l'approche précédente :
- Cx variat avec phi car l'angle entre la norme à la pâle et le vent changeait
- la portance, un peu spéciale car agissant ici comme la traînée, n'était pas prise en compte.

Dans cette approche, l'idée est de décomposer la vitesse en :
- une composante perpendiculaire à la surface et qui la voit toujours selon le même angle ; c'est la composante responsable de la traînée et Cx devient constant
- une composante radiale et qui voit toujours la pâle selon le même angle (à 90°) : c'est la composante responsable de la portance et Cz est constant
A noter qu'ici, trainée et portance agissent dans la même direction, et selon les cas, dans le même sens ou dans un sens opposé.

Stricto censu, ce n'est pas rigoureux car on ne peut pas scinder l'effet des vitesses ainsi (bien que ça devrait se discuter).
Mais dans le but de résoudre le problème *analytiquement*, c'est certainement ce qui est le moins non rigoureux.

Relativement à l'intégration sur theta de la méthode précédente.
Cette intégration ne donnait pas accès aux centres de poussées mais éventuellement à une première étape vers une résolution par simulation de l'écoulement.
Dans le seconde approche, ils sont identifiables car Fx et Fz ont été scindés. Mais sans cela, ...

Relativement à lx et lz :
La traînée Fx et la poussée Fz agissent sur des surfaces différentes.
J'ai appelée L.lx (car Fx) et l'autre L.lz (car Fz).
La hauteur du rotor (L) est la même mais la projection soumise au vent est différente.
Regarde les 3 dessins que j'ai réalisés au message N-3.
Pour C'x et C''x, la section droite est L.lx = R.2R
Pour Cz, la section droite est L.lz = L.R
( Par contre, j'ai fait une erreur mais si je le dis ici ça va t'embrouiller... Relis d'abord et puis tiens compte du fait que ce n'est pas section droite qu'on prend pour la portance... )

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L'autre solution proposée avec un Cx extrapolé est également bonne.
Elles pourraient être comparées l'une et l'autre.
( par contre, la vraie rigueur demande ici une simulation des écoulements et un recalage expérimental ).

[cmole]

Je comprends beaucoup mieux merci ! Je n'avais pas pensé du tout à changer le point de vue de l'étude, jusque là on considérait que c'est le rotor qui tourne, et ici c'est le vent. C'est vraiment bien pensé j'aime beaucoup ce genre d'idée qui fait sortir des sentiers battus et changent les habitues.

En revanche, je ne vois pas pourquoi C'x et C''x sont différents, puisqu'on garde la même géométrie.

Par contre, j'ai fait une erreur mais si je le dis ici ça va t'embrouiller... Relis d'abord et puis tiens compte du fait que ce n'est pas section droite qu'on prend pour la portance

Pour la portance je vois qu'on parle de surface de référence, mais comme je n'ai aucune base dans ce domaine je n'aurai jamais trouvé cette erreur et je ne sais même pas à quoi elle correspond réellement.

Encore merci pour tout ce travail !

[Nekama]

En revanche, je ne vois pas pourquoi C'x et C''x sont différents, puisqu'on garde la même géométrie.

On intègre de 0 à 180°
Donc une pâle est dans un sens et l'autre pâle dans l'autre.
C'est la différence de C'x et C''x qui fait que ça marche d'ailleurs.
On le retrouve bien dans le résultat final.

Pour la portance je vois qu'on parle de surface de référence, mais comme je n'ai aucune base dans ce domaine je n'aurai jamais trouvé cette erreur et je ne sais même pas à quoi elle correspond réellement.

Pour la portance, c'est la surface portée qu'il faut prendre et pas la surface droite comme je l'ai fait.
Donc le R devient 2R !

[cmole]

C'est la différence de C'x et C''x qui fait que ça marche d'ailleurs.

Tout à fait je n'y avais pas pensé mais c'est logique.

Pour la portance, c'est la surface portée qu'il faut prendre et pas la surface droite comme je l'ai fait.
Donc le R devient 2R !

Je n'aurai jamais pu le deviner, effectivement ! Et rigoureusement, quelle serait le définition d'e la surface portée ?

[Nekama]

Assez logiquement on devrait prendre la section droite perpendiculaire à la force générée puisque ce sont des pressions qui génèrent le mouvement(*).
Les corrections due à la géométrie sont reprises dans le Cz.

F = 1/2 rho. v^2 Cz S

(*) J'ai lu qu'on prenait parfois d'autres surfaces. Ce n'est pas sot car il y a des surfaces qui peuvent plus ou moins agir (comme le bord d'attaque) et qu'il convient donc de prendre ou non.
C'est fort expérimental...

[cmole]

Assez logiquement on devrait prendre la section droite perpendiculaire à la force générée puisque ce sont des pressions qui génèrent le mouvement(*).

Merci pour l'explication, c'est beaucoup plus clair !

Je suis en train de remettre toute cette discussion au propre et j'avais une interrogation sur le centre de poussée et de trainée. Ces deux points ne sont pas censés être confondus ? Puisque le centre de poussée est défini comme le point d'application de toutes les résultantes aérodynamiques. J'aurai placé ce point, assez intuitivement, au fond de la concavité de l'hémisphère, est-ce correct ?

Je vous partagerai ce document une fois mis terminé, s'il peut servir à quelqu'un se posant les mêmes interrogations.

[Nekama]

Merci pour l'explication, c'est beaucoup plus clair !
Je suis en train de remettre toute cette discussion au propre et j'avais une interrogation sur le centre de poussée et de trainée. Ces deux points ne sont pas censés être confondus ? Puisque le centre de poussée est défini comme le point d'application de toutes les résultantes aérodynamiques. J'aurai placé ce point, assez intuitivement, au fond de la concavité de l'hémisphère, est-ce correct ?

Comme c'est le moment qui compte, je me suis contenté d'admettre qu'il était quelque part sur l'axe de la pâle.

Mais comme indiqué, rigoureusement on devrait faire une simulation pour déterminer la pression locale et il serait là où la somme de moment ( S des r_i X f_i ) = le moment de la résultante ( OM x F ).

[cmole]

Je reviens vers vous en ayant ré écrit toute la démarche menée jusque là. Je ne trouve pas tout à fait le même résultat à la fin, mais ce sont certainement des erreurs calculatoires de ma part.

ROTOR SAVONIUS.pdf

Cela vous semble-t-il correct ou y a t il encore des erreurs ou incompréhensions de ma part ?

On touche au but de cette conversation, alors un grand merci !

[Nekama]

Bonjour,

Je vais relire.

Juste un point : il reste à résoudre les intégrales tout à la fin

[cmole]

Merci beaucoup !

Juste un point : il reste à résoudre les intégrales tout à la fin

Tout à fait, mais avant de m'y lancer je préfère être sûr qu'il n'y a pas d'erreur(s) !

[gts2]

Juste une remarque sur la dernière équation : le moment total est ce qui est à l'intérieur de l'intégrale. Ce que vous calculez avec cette intégrale est la moyenne du moment sur un tour.

Il faut donc diviser votre résultat par 2 pi.

[cmole]

Juste une remarque sur la dernière équation : le moment total est ce qui est à l'intérieur de l'intégrale. Ce que vous calculez avec cette intégrale est la moyenne du moment sur un tour.

Exact ! Mais dans une optique de calculer la vitesse de rotation du rotor c'est bien le moment moyen sur un tour qu'il faut, non ? Je modifierai quand même le document, ça manque de clareté à ce niveau. Merci !

[gts2]

Dans une optique de calculer la vitesse de rotation du rotor c'est bien le moment moyen sur un tour qu'il faut, non ?

Oui, on est d'accord.

[Nekama]

Bonjour,

Voici quelques remarques et commentaires :

* ce ne sont pas des "[demi-]hémisphères" mais des "[demi-]tubes"
* ce serait bien, dans un document texte, de replacer "double-v" par "oméga"
* les points P et P' ne sont pas les points de poussées. Il est quelque part en retrait vers le milieu géométrique de la pâle
* on peut étudier le problème dans le référentiel fixe ; parler de vent tournant trouble et n'est pas nécessaire. Il est préférable de dire qu'on décompose le vent selon X' et Y'
* !! cette hypothèse permet de tout simplifier les calculs et d'obtenir une expression mais n'est pas rigoureuse. Il faudrait l'expliquer.
* plutôt que x et y minuscules, mettre X et Y majuscules. En gras l'un et l'autre car des vecteurs.
* mettre un phi minuscule, plutôt que majuscule.
* Si L est majuscule, mettre R majuscule.

* Vr = Ur = Ucos(phi) X'
-> il faut mettre des valeurs absolues autour du cos(phi) qui heureusement sauteront
-> Vr est un vecteur ; tu n'as pas mis la flèche

* Fx et Fz sont tous les deux selon Y'
!! Cela a des conséquences tout le long du calcul et notamment lorsque tu calcules les produits vectoriels ;
!! Attention que les F sont des vecteurs

* Cz peut être trouvé sur internet à mon avis.
C'est une configuration banale et c'est aussi un piste d'amélioration pour le rotor Savonius

* Dans la formule du moment total, phi est devenu minuscule, mais c'est mieux (cf. plus haut)
* L'intégrale sera triviale à résoudre en posant a = U sin(phi) + w.R

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Avant de conclure que la discussion est finie, outre le calcul, il faut encore valider tout ça...

Il y a intérêt à ce qu'on arrive à une vitesse de rotation limite quand omega augmente parce que faute de cela, cela veut dire qu'il manque une force.
Si omega augmente, il faudra tenir compte du fait que l'écoulement change de nature et on avoir une variation dans les Cz, C'x, C''x...

[cmole]

Merci pour toutes ces remarques, je vais corriger tout ça !

les points P et P' ne sont pas les points de poussées

Ce ne sont pas les points de poussée car ils sont mal positionnés, ou alors ils correspondent à autre chose ? Et dans ce quoi, à quoi correspondent-ils ?

Fx et Fz sont tous les deux selon Y'

Je me suis emmêlé les pinceaux avec toutes les surfaces portées, projetés, ... Je reprends ça proprement !
Mais du coup, il y a quand même un effort suivant X', de trainée cette fois, qui n'a pas d'influence sur la rotation mais qui pourrait servir pour dimensionner les roulements à utiliser par exemple non ?

Il y a intérêt à ce qu'on arrive à une vitesse de rotation limite quand omega augmente parce que faute de cela, cela veut dire qu'il manque une force.

Il y aura déjà le couple de frottement des roulements à prendre en compte, ce qui ne sera pas trop difficile à calculer avec l'aide du site SKF, et après il faut vérifier qu'on arrivera bel et bien à convergence effctivement.

Je corrgie le tout, et je re partage le fichier !

[Nekama]

Bonjour,

Que ce soit la traînée ou la portance, elles agissent sur toutes la surface de la pâle (cf. points rouges)
Le centre de poussée se situe là où la somme vectorielle du moment des forces est nul. C'est quelque part dans la zone orange, et plus probablement dans la rouge.



Il y a effectivement une traînée suivant X et elle a en fait une influence sur la rotation.
On pourrait positionner son centre de poussée en (X'Y') = (R, R/2) ou (R,R/k). Il faudrait la rajouter...
R/k serait son bras de levier. Sa section droite serait R.L. Son C'''x < C''x et C'x

Même sans les couples de frottements, il faut arriver à une limite.
Je n'ai pas réfléchi quant à savoir si elle est bien là ou non dans les équations. Il faut voir si on atteint un moment nul quand w augmente.
Mais on se doute bien par exemple que si Rw >> U, on n'est plus dans les conditions du modèle. Ce serait une aile d'avion et plus une éolienne.

[cmole]

Bonjour, merci pour toutes ces précisions !

Je ne suis pas sûr de bien voir pourquoi il faudrait arriver à une limite, même sans couple de frottement. Si on néglige les frottements alors rien ne va avoir tendance à freiner la rotation non ?


J'ai corrigé toutes vos remarques et j'ai effectué le calcul intégral, en omettant volontairement toute la partie calculatoire. Pour l'instant je n'ai pas pris en compte le "nouvel" effort de trainée, puisque de toute façon son moment serait assez difficile à déterminer sans la position exacte du centre de poussée.
Je ne suis pas sûr à 100% pour le calcul du moment total moyen sur un tour, même s'il ne devrait pas y avoir trop d'erreurs !

ROTOR SAVONIUS.pdf

Une fois que tout cela sera vérifié et confirmé, je m'essayerai à la détermination de la vitesse de rotation pour un vent donné.

[gts2]

Je ne suis pas sûr à 100% pour le calcul du moment total moyen sur un tour, même s'il ne devrait pas y avoir trop d'erreurs !

Vous avez sommé le moment total sur un tour, pour avoir la moyenne, il faut diviser par

= 2R²Lρ [-Cx (0.5U²π + πR²ω² + 2RUω) - 2CxRUω + Cx’ (U²π + 2Rπω² + 2RUω) - Cx’ (0.5U²π + πR²ω² - 2RUω]

Quelques remarques de forme :
- terme en rouge à regrouper avec le précédent de même type
- idem pour les deux derniers termes entre parenthèses.

[cmole]

Merci de la remarque, je corrige ça !

C'est vrai que ce n'est absolument pas lisible de cette manière, j'avais la tête dans le calcul et ça allait mais en prenant du recul...
En revanche, il vaudrait mieux factoriser par ω et ω² dans le but d'avoir une forme exploitable pour résoudre l'équation différentielle non ?

[Nekama]

Bonjour,

Quelle que soit la direction du vent, la portance seule fait tourner le rotor et a donc un moment résultant "positif".
Ce n'est donc pas possible que le Cz disparaisse des équations. Il doit donc y avoir une erreur de signe quelque part...

Dans mes calculs j'avais hésité pour finalement conclure (message du 17/05/2020 à 11h32) que le Cz restait.

C'est une belle équation. Pour la rendre jolie, j'essayerais de l'écrire sous la forme :

M = 1/2pi . A. [ (C'x - Cx) . B1 + (C'x + Cx) . B2 + Cz . B3 ]

Peut-être que B2 = 0 (?) mais de base les 2 pâles ont des effets antagonistes et symétriques -> B1 est le terme principal.

Je suis impatient d'analyser les résultats

[cmole]

Bonjour !

J'essaye de trouver l'erreur du calcul en reprenant le raisonnement depuis le tout début. J'ai une différence pour le moment dû à l'effort de portance : vous avez -R/2 comme distance entre 0 et P, alors que dans mon calcul j'utilise R. D'où vient alors ce R/2 ?

Il va ensuite falloir que je reprenne tout le calcul intégral, ce qui risque d'être un peu plus long !

[cmole]

J'ai peut être l'erreur (en plus de celle du message précédent) !

Pour la pale sortante j'ai précisé que la portance se faisait suivant Y', seulement elle devrait agir suivant - Y'. Cela change donc pas mal de choses pour le calcul du moment total, et il en est de même pour l'intégration.

[cmole]

J'ai effectué quelques corrections, voici donc le résultat "final" (jusqu'à une nouvelle erreur ) !
ROTOR SAVONIUS.pdf

Le résultat semble cohérent, notamment sur le fait que le moment total est négatif tout comme le terme lié à la portance ce qui montre bien que la portance seule suffirait à mettre en rotation le système.

Si certains (courageux) refont le calcul en détail n'hesitez pas à me dire s'il y a de potentielles erreurs, personne n'est infaillible surtout sur ce genre d'exercice..

Encore merci pour votre aide !

[Nekama]

Il reste au moins un bug...

Pour la pâle sortante, qui est la source principale de poussée, on a écrit :

F = 1/2 rho S C''x( U sin (phi) - w.R )^2

Sauf que si U sin (phi) - wR < 0 la force change de sens et il n'y a plus de poussée mais un freinage.

L'équation ne le traduisait pas à cause du ( ... )^2

Et en plus, la traînée change également C''x -> C'x puis que la vitesse relative change de sens.

F = - 1/2 rho S C'x ( w.R - U sin (phi) )^2

Les traînées des 2 pâles deviennent l'une et l'autre des traînées de freinage et le rotor arrête d'accélérer.
C'est le mécanisme auquel je faisais référence plus haut (sans avoir pu l'identifier).