Ensembles de "Nombres"

[Médiat]

Bonsoir,

Désolé, mais je ne comprends pas vraiment ce que vous voulez dire.

Pour la propriété d'Archimède, c'est plutôt l'impossibilité de définir, par une formule du premier ordre, IN comme sous-enesmble de IR qui rend cette définition non du premier ordre.
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[Seirios]

Désolé, mais je ne comprends pas vraiment ce que vous voulez dire.

Vous avez tout de même répondu à ma question, merci.

[Seirios]

Au moment où j'ai écrit le paragraphe sur la droite réelle achevée, j'avais affirmé dans l'introduction qu'elle coïncidait avec le compactifié de Stone-Cech, ce qui est faux. L'erreur a été corrigée, mais entre temps j'ai cherché s'il n'y avait pas une construction générale menant à , et c'est effectivement le cas : la compactification de Freudhental.

J'avais commencé à écrire un complément sur le sujet, sans le terminer. Comme j'ai un peu de temps en ce moment, je suis revenu sur le sujet et j'ai enfin terminé ce pdf, que je mets en pièce jointe.

J'ai essayé de limiter l'utilisation des filtres pour que le document soit le plus accessible possible ; je les ai simplement utilisés pour justifier l'indépendance de la construction en la suite de compacts choisie, mais la deuxième entrée dans les références donne un argument utilisant les limites inductives (l'argument est visible dans l'aperçu de google book).

Si vous avez des commentaires, n'hésitez pas.

[Médiat]

Bonjour,

Je me suis rendu compte que dans la liste des algèbres de Cayley-Dickson, j'avais parlé de toutes les algèbres connues sauf les sédénions, je me suis convaincu qu'il fallait absolument ajouter ce chapitre pour des raisons de cohérences.

En faisant des recherches sur les sédénions je suis tombé sur une article très intéressant sur la classification des algèbres réelles (prolongement des théorèmes de Hurwitz, Frobenius et Zorn), j'ai donc ajouté un chapitre baptisé "Algèbres Réelles" pour présenter ce travail.

Vous trouverez aussi un sujet de recherche à la portée de mathématiciens amateurs (sans doute muni d'un ordinateur et de logiciels de calculs symboliques), qui ne vaudra pas une médaille Fields, mais pourra très certainement être publié dans une revue sérieuse (à referee).

Le nouveau fichier été mis à jour dans les contributions :


http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/530438-contributions-forumeurs.html#post3958180

[Seirios]

Bonjour,

Je ne trouve pas très claire la démarche du chapitre : Pourquoi introduire ce gros tableau ? Surtout qu'une grande partie des propriétés ne servent pas à distinguer les différentes algèbres.

PS: Il y a écrit à deux reprises "bien sur" au lieu de "bien sûr".

[Médiat]

Bonjour,

Merci encore pour votre lecture attentive, bien sûr, je vais corriger.

Pour le gros tableau (et encore je me suis retenu , j'aurais aussi pu citer les éléments nilpotents et les idempotents), il a une raison bien précise, vous avez l'impression que les propriétés qui se trouve en-dessous de "Flexible" sont inutiles, en fait leur énorme intérêt, c'est la marque verte dans la colonne CD, puisque cela donne une liste de propriétés vérifiées par toutes les algèbres de Cayley-Dickson, donc elles permettent d'éliminer certaines autres algèbres, pas toutes, seulement celles qui ne possèdent pas ces propriétés, mais elles ne sont pas suffisantes pour discriminer parmi les algèbres de Cayley-Dickson, donc, pour le "sujet de recherche", il faut envisager d'autres propriétés.

A la limite j'aurais pu faire deux tableaux ...

[Médiat]

Bonjour,

Je serais très reconnaissant envers une personne ayant accès au livre "On Numbers and Games" de Conway, et qui pourrait me briefer un peu sur les règles du jeu "Diminishing rectangles" (sans doute dans le chapitre 11). Les descriptions trouvées sur le net sont incomplètes et/ou renvoient au livre de Conway.

Merci d'avance

[Médiat]

En mettant bout à bout mes diverses sources, il me semble avoir compris que la règle serait :

Le plateau de jeu consiste en un nombre fini de rectangles dont les cotés sont des nombres entiers de cm.
Jouer consiste à choisir un rectangle du plateau et à le remplacer par trois rectangles strictement plus petits (longueur et largeur sont interchangeables):
1 avec la même largeur (et donc la longueur strictement plus petite)
1 avec la même longueur (et donc la largeur strictement plus petite)
1 avec la largeur et la longueur strictement plus petites.

Les rectangles dont l'un des côtés est 0 "disparaissent"

La partie est terminée quand un joueur ne peut plus jouer (d'ailleurs il a perdu).

J'aimerais juste une confirmation/correction.

[Médiat]

Bonjour,

Les "Nimbers" sont ajoutés.

[Médiat]

Bonjour,

Voici la dernière version de ce document, qui porte, enfin, bien son nom (disponible là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180).

Par « dernière », j’entends que j’y ai inclus tout ce que je voulais y inclure (à l’exception des Grands Cardinaux, mais ce sujet est marginal par rapport au sujet central de ce document, il est très technique, il aurait demandé de nombreuses définitions préalables, il aurait été très volumineux (+ de 60 axiomes de Grands Cardinaux existent ce jour), il n’aurait été lisible que par très peu de personnes).

Il va de soi que je prendrais en compte toutes les remarques concernant des erreurs (de frappe ou plus profondes), des passages peu clairs, des théorèmes importants à ajouter dans un chapitre existant, des chapitres à ajouter …

Voici la table des matières, avec, en rouge, les nouveautés par rapport à la version précédente (ou chapitre largement remaniés).

I Introduction

I.1 Justification des choix
I.2 Historique succinct du concept de Nombre
I.3 Définitions algébriques générales

II Hiérarchie algébrique

II.1 Proto-nombres
II.2 Entiers naturels
II.3 Entiers relatifs
II.4 Rationnels
II.5 Extensions algébriques
II.6 Extension Transcendante
II.7 Clôture Algébrique des rationnels
II.8 Nombres réels
II.9 Complexes

III Variations sur la hiérarchie algébrique

III.1 Décimaux
III.2 Entiers de Gauss
III.3 Nombres entiers d'Eisenstein
III.4 Dyadiques
III.5 Nombres constructibles
III.6 Entiers modulo p
III.7 Nombres p-adiques
III.8 Nombres Cyclotomiques
III.9 Compactification des Entiers Naturels
III.10 Droite réelle achevée
III.11 Supernaturels

IV Méthodes de construction

IV.1 Multicomplexes Cn
IV.2 Multicomplexes MCn
IV.3 Hypercomplexes
IV.4 Cayley-Dickson
IV.5 Algèbres de Clifford
IV.6 Tessarines
IV.7 Méthodes de doublement de la dimension
IV.8 Algèbres Géométriques

V Infinitésimaux

V.1 Généralités
V.2 Hyperréels
V.3 Surréels
V.4 Superréels (David Tall)
V.5 Corps de Levi-Civita
V.6 Ligne Lisse
V.7 Supernombres

VI Théorie des ensembles ZF(C)

VI.1 Ordinaux
VI.2 Cardinaux
VI.3 Ordinaux de Hessenberg
VI.4 Réels définissables, calculables
VI.5 Nimbers

VII Algèbres Réelles

VII.1 Classification algébrique

VIII Algèbres de dimension 2 sur IR

VIII.1 Introduction
VIII.2 Complexes
VIII.3 Nombres Duaux
VIII.4 Complexes fendus

IX Algèbres de dimension 4 sur IR

IX.1 Introduction
IX.2 IR-Algèbres de dimension 4 célèbres
IX.3 IR-algèbres de dimension 4 rarement utilisées
IX.4 Quaternions
IX.5 Quaternions de Hurwitz
IX.6 Quaternions hyperboliques (Macfarlane)
IX.7 CoQuaternion
IX.8 Bicomplexes
IX.9 Complexes Duaux

X Algèbres de dimension 8 sur IR

X.1 Introduction
X.2 IR-Algèbres de dimension 8 célèbres
X.3 IR-algèbres de dimension 8 rarement utilisées
X.4 Octonions
X.5 Octonions Fendus
X.6 BiQuaternions
X.7 BiQuaternions de Clifford
X.8 Quaternions duaux
X.9 CoQuaternions Duaux

XI Algèbres de dimension 16 sur IR

XI.1 Sédénions
XI.2 Sédénions Coniques

XII Algèbres de dimension 32 sur IR

XII.1 Trigintaduonions

XIII Algèbres de dimension 64 sur IR et au-delà

XIII.1 Sexagintaquatronions

XIV Autres ensembles de nombres

XIV.1 Périodes
XIV.2 Pseudo-réels
XIV.3 Hypernombres de Musès
XIV.4 La roue des fractions des rationnels
XIV.5 Nombres Tricomplexes
XIV.6 Nombres Duaux de dimension n
XIV.7 Super-Réels (Dales et Woodin)
XIV.8 Corps à un élément : Fun

[Seirios]

Bonjour,

J'ai relu le chapitre sur les ordinaux, et j'aurais quelques suggestions sur les applications topologiques :

Déjà, les ordinaux peuvent être utiles pour trouver des contre-exemples du type "espace séquentiellement (P) mais non (P)". Le principale exemple est qui est séquentiellement compact sans être compact.

Ensuite, un outil pratique à base d'ordinaux est la dérivation de Cantor-Bendixson. Cela intervient dans le théorème de Cantor-Bendixson, qui permet notamment de montrer que tout fermé de est soit fini, soit dénombrable, soit de même cardinal que (on peut donc dire que l'hypothèse du continu est vrai pour ces fermés), et dans le théorème de Mazurkiewicz-Sierpiński, qui classifie (à homéomorphisme près) les espaces compacts dénombrables.

[Médiat]

Bonjour,

Tout d'abord merci de votre intérêt pour ce document (j'espère que vous y avez trouvé des choses nouvelles et intéressantes).

J'ai peur que vos suggestions ne m'entrainent un peu loin du sujet central "Ensembles de Nombres", néanmoins je vais regarder en détail (d'ici demain soir) le document de Cédric Milliet.

[Seirios]

Il s'agit plutôt d'exemples à mentionner, mais pas nécessairement à détailler (ce qui sortirait effectivement du cadre du document).

[Médiat]

Bonjour,

Je viens de compléter (entre autres sur leur usage pour un site de rencontres) le chapitre sur les complexes fendus (ou perplexes), je poste ce seul chapitre, et ne l'intégrerai dans le document final que lorsque j'aurais pris en compte les modifications qui me seront suggérés ici.

Dans ce document, il y a un lien qui pointe vers un article qui n'existera que dans la prochaine version du document final, donc ici il ne pointe sur rien du tout.

Je précise que le Plan Perplexe Etendu est aux perplexes ce que le Plan Complexe Etendu est au complexe : on ajoute un point à l'infini pour chaque élément n'ayant pas d'inverse (0 pour les complexes, deux droites pour les perplexes), au lieu de la sphère de Riemann on trouve ici un hyperboloïde à une nappe.

cf.pdf

[taladris]

Merci pour ce document.

 Les ennemis de mes ennemis sont mes ennemis 

Je pense qu'il s'agit plutot de "Les ennemis de mes ennemis sont mes amis".

[Médiat]

Parfaitement exact : merci

[Seirios]

Bonsoir,

Quelques fautes de frappe :
- Dernier ligne de la page 4 : tcomptant la multiplicité de chaque racine.
- Premier paragraphe de la page 6 : schémas isomorphes.

[Médiat]

Bonjour Seirios,

Merci, une fois de plus, pour votre œil de lynx.

Corrections apportées

[Médiat]

Bonjour,

J'ai un peu complété le chapitre sur les Sédénions coniques pour faire apparaître les notations de Musès, qui sont plutôt utile ici, et comme je n'ai pas développé les nombres de Musès d'une façon générale, c'est aussi une façon d'en parler un peu. J'ai aussi ajouter un calcul (assez long) afin de montrer le type de calcul que l'on peut faire avec des nombres moins naturels que d'autres.

Je poste ce seul chapitre, et ne l'intégrerai dans le document final que lorsque j'aurais pris en compte les modifications qui me seront suggérés ici.

sc.pdf

Médiat

[Médiat]

Bonjour,

Je continue de compléter ce document, je viens de revoir un peu le chapitre sur les nombres définissables et les nombres calculables, e comme les machines de Turing sont utilisées dan ce chapitre, je me demandais s'il était utile que j'écrive un § sur les machines de Turing ou non :
Le pour: cela permet de rendre le document un peu plus auto-suffisant
Le contre : ce n'est pas le sujet global de ce document.

Je tiendrais compte de vos avis.

[Seirios]

Bonsoir,

Pour ma part, je ne suis pas sûr de réellement comprendre la définition de nombre définissable (à cause du choix du langage, celui de la théorie des ensembles); peut-être serait-il profitable d'ajouter quelques exemples ?

[taladris]

Bonjour,

merci pour cette ajout!

Meme si ce n'est pas le cadre du document, je pense que la definition de machine de Turing est plus qu'utile, ainsi que quelques exemples de constantes non calculables.

Par ailleurs, la phrase "la relation d'ordre (...) n'est pas calculable." est nebuleuse. Que signifie etre calculable pour une relation?

Partie "Synonyme": quelle est la definition d'une suite recursive? De la forme avec une fonction recursive?

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Merci à tous les deux de votre relecture

Pour ma part, je ne suis pas sûr de réellement comprendre la définition de nombre définissable (à cause du choix du langage, celui de la théorie des ensembles); peut-être serait-il profitable d'ajouter quelques exemples ?

Pour définir "définissable" dont la base repose sur la notion de formule (du premier ordre), il faut un langage, celui de la théorie des ensembles est un choix légitime (ce n'est pas moi qui e ait décidé, bien sûr) dû à la position de cette théorie vis à vis des fondements des mathématiques, de plus vous savez que ZFC permet de définir et les réels sont des parties de ...

Meme si ce n'est pas le cadre du document, je pense que la definition de machine de Turing est plus qu'utile

J'ai bien noté, si vous êtes le seul à vous exprimer sur ce point, je le ferai.

ainsi que quelques exemples de constantes non calculables.

J'ai donné l'exemple de la constante de Chaitin, et j'ai développé l'exemple d'une suite de Specker

Par ailleurs, la phrase "la relation d'ordre (...) n'est pas calculable." est nebuleuse. Que signifie etre calculable pour une relation?

Vous avez raison (cela veut dire qu'il existe un algorithme qui pour toute entrée (a, b) peut répondre si a < b ou non).

Partie "Synonyme": quelle est la definition d'une suite recursive? De la forme avec une fonction recursive?

Oui, mais aussi les suites de la forme et je rajouterai la définition.

Cordialement,

[EDIT] Je me demande si on ne peut pas (doit pas) se ramener à et

[Médiat]

Bonjour,

J'ai un peu enrichi le chapitre sur les nombres duaux.

[Médiat]

Un nouvel ensemble de nombres : Les hypernombres de Burgin.

[Seirios]

Bonjour,

1) À la première ligne, le de n'est pas en indice,
2) Le paragraphe 1.3 se termine par la phrase "Soit les deux suites de rationnels...", sans rien ensuite,
3) Les flèches d'inclusion ressemblent à un bricolage entre un symbole d'inclusion et une flèche, avez-vous essayez \hookrightarrow ?

[Médiat]

Bonjour,
Et encore une fois merci de votre intérêt.

1) À la première ligne, le de n'est pas en indice,

Corrigé.

2) Le paragraphe 1.3 se termine par la phrase "Soit les deux suites de rationnels...", sans rien ensuite,

C'est un exemple que j'avais prévu de donner et que j'ai ensuite décidé de ne pas mettre.

3) Les flèches d'inclusion ressemblent à un bricolage entre un symbole d'inclusion et une flèche, avez-vous essayez \hookrightarrow ?

Vous avez raison, mais j'ai fait ce bricolage parce que \hookrightarrow ne me plait pas (je trouve le hook trop petit), j'ai aussi essayé avec xymatrix, mais le résultat fait encore plus bricolage que le mien ; si quelqu'un trouve une meilleure solution, je suis preneur.

[Médiat]

Bonjour,

Encore une petite modification : les généralités sur les algèbres de dimension 4 avec quelques précisions supplémentaires, ainsi qu'un petit paragraphes sur les hyper-duaux.

Je n'ai pas réussi à démontrer qu'il n'y avait pas de nilpotent dans les quaternions twistés, ni à en trouver (il n'y a pas de 2-nilpotent) si quelqu'un a une idée, je suis preneur ...

[Médiat]

Une autre petite modification ajout d'exemples de "Périodes".

[Seirios]

Un lien intéressant avec la topologie algébrique : si est une algèbre à division réelle de dimension , alors l'application induit une fibration .

Comme de telles algèbres n'existent qu'en dimensions un, deux, quatre et huit, en pratique on prend pour les complexes , les quaternions ou les octonions , et les fibrations obtenues sont souvent dites de Hopf (surtout avec les complexes).

C'est notamment grâce à cette fibration, et en introduisant l'invariant dit de Hopf (que l'on peut définir de manière homologique ou via la topologie différentielle), que Hopf a pu montrer que le groupe d'homotopie est infini (alors que l'on se serait plutôt attendu à ce qu'il soit trivial).