Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?
Ce qui suit est une analogie, et possède donc tous les défauts des analogies.
Supposons que l'on veuille commander (par exemple un vêtement) sur Internet, non pas dans un stock (donc fini) d'objets, mais dans l'ensemble des vêtements potentiellement existant (il sera fabriqué à partir de sa commande) sous réserve de ne pas recevoir de contrefaçon, ni d'objet présentant des défauts cachés ou non.
Le langage utilisé (qui correspond au langage pour une théorie mathématique) est le langage courant, pas celui des professionnels de la mode.
Nous assimilerons une phrase décrivant le vêtement désiré à un axiome, l'ensemble des phrases à une théorie (en tout état de cause comme une axiomatique) et le vêtement reçu à un modèle de la théorie.
Si la première phrase de description est :
1) Un pantalon (c'est le premier axiome).
On peut remarquer quelques petites choses :
a) La phrase "le vêtement possède 2 jambes" est un théorème de notre théorie.
b) La phrase "le vêtement possède une semelle" est réfutable dans notre théorie (aucun pantalon ne possède une semelle)
c) La phrase "le vêtement est de taille 38" n'est pas démontrable dans ma théorie, mais son contraire non plus (il existe des pantalons de taille 38 et d'autres d'une autre taille), c'est donc une phrase indécidable dans cette théorie.
Si j'ajoute quelques phrases (quelques axiomes) :
2) Pour homme
3) Taille 38
4) Pattes d'éléphant (j'ai bien le droit d'être nostalgique)
5) Pas de revers
On voit que l'on précise à chaque fois ce que l'on veut, néanmoins il existe encore de nombreuses variantes (ne serait-ce que la qualité du tissu, le motif, la/les couleur(s) etc.).
Ce que dit le théorème de Gödel c'est que, quelque soit le nombre de phrases que je pourrais ajouter, il restera encore des variantes possibles à la volonté de la personne qui va fabriquer le vêtement. Et même, si après avoir reçu un vêtement qui ne me convient pas parfaitement, je rajoute quelques phrases dont l'idée me vient en le regardant, il restera toutefois encore des variantes que je ne pourrais pas décrire avec mon langage, ma description ne sera toujours pas complète.
Dans certains cas on peut recevoir exactement ce que l'on veut, c'est à dire sans que l'on puisse distinguer plusieurs exemplaire avec notre langage (la théorie est complète, tous les modèles sont élémentairement équivalents), même si un professionnel pourrait pousser la description afin d'en distinguer plusieurs (modèles non isomorphes), par exemple si vous commandez une voiture d’occasion de marque, de modèle, de couleur (standard du constructeur), de kilométrage (etc.) bien précis, en indiquant « en bon état », plus ou moins synonyme de « contrôle technique ok », vous recevrez une voiture qui vous convient alors qu’un professionnel pourra voir quelques caractéristiques qui échappent au conducteur standard (à moi en tout cas).
Dans certains cas on peut recevoir exactement ce que l'on veut (alors qu'il existe toujours plusieurs exemplaires de l'objet en question), par exemple (toujours sous réserve de ne pas recevoir de contrefaçon, ni d'objet présentant des défauts cachés ou non), si on commande le CD N° nnn du catalogue EMI. Cet exemple correspond aux théories catégoriques (même un professionnel ne peut distinguer plusieurs exemplaires d'un même CD), puisque tous les modèles de cette théorie sont isomorphes (indiscernables dans le langage courant).
Le théorème d'incomplétude de Gödel ne nous aide sans doute pas à faire des achats sur Internet, mais il peut nous aider à comprendre pourquoi on a bien reçu ce que l'on a demandé, mais pas ce que l'on voulait.
J'espère que la portée de ce théorème est maintenant plus claire.
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Envoyé par Tryss 
, je me demandais comment présenter ce théorème simplement et puis j'ai pensé à l'analogie entre l'axiome du choix et des tiroirs remplis de chaussettes (j'en ai parlé sur ce forum ou en épistémologie, en cherchant avec Médiat et chaussette cela devrait être facile à trouver) ; quand je me suis aperçu que je pouvais, avec cette analogie, parler de proposition indécidable, de théorie complète, de modèles élémentairement équivalents et de modèles isomorphes, je n'ai plus hésité.
