Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

[Médiat]

Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

Ce qui suit est une analogie, et possède donc tous les défauts des analogies.

Supposons que l'on veuille commander (par exemple un vêtement) sur Internet, non pas dans un stock (donc fini) d'objets, mais dans l'ensemble des vêtements potentiellement existant (il sera fabriqué à partir de sa commande) sous réserve de ne pas recevoir de contrefaçon, ni d'objet présentant des défauts cachés ou non.

Le langage utilisé (qui correspond au langage pour une théorie mathématique) est le langage courant, pas celui des professionnels de la mode.

Nous assimilerons une phrase décrivant le vêtement désiré à un axiome, l'ensemble des phrases à une théorie (en tout état de cause comme une axiomatique) et le vêtement reçu à un modèle de la théorie.

Si la première phrase de description est :
1) Un pantalon (c'est le premier axiome).

On peut remarquer quelques petites choses :
a) La phrase "le vêtement possède 2 jambes" est un théorème de notre théorie.
b) La phrase "le vêtement possède une semelle" est réfutable dans notre théorie (aucun pantalon ne possède une semelle)
c) La phrase "le vêtement est de taille 38" n'est pas démontrable dans ma théorie, mais son contraire non plus (il existe des pantalons de taille 38 et d'autres d'une autre taille), c'est donc une phrase indécidable dans cette théorie.

Si j'ajoute quelques phrases (quelques axiomes) :
2) Pour homme
3) Taille 38
4) Pattes d'éléphant (j'ai bien le droit d'être nostalgique)
5) Pas de revers

On voit que l'on précise à chaque fois ce que l'on veut, néanmoins il existe encore de nombreuses variantes (ne serait-ce que la qualité du tissu, le motif, la/les couleur(s) etc.).

Ce que dit le théorème de Gödel c'est que, quelque soit le nombre de phrases que je pourrais ajouter, il restera encore des variantes possibles à la volonté de la personne qui va fabriquer le vêtement. Et même, si après avoir reçu un vêtement qui ne me convient pas parfaitement, je rajoute quelques phrases dont l'idée me vient en le regardant, il restera toutefois encore des variantes que je ne pourrais pas décrire avec mon langage, ma description ne sera toujours pas complète.

Dans certains cas on peut recevoir exactement ce que l'on veut, c'est à dire sans que l'on puisse distinguer plusieurs exemplaire avec notre langage (la théorie est complète, tous les modèles sont élémentairement équivalents), même si un professionnel pourrait pousser la description afin d'en distinguer plusieurs (modèles non isomorphes), par exemple si vous commandez une voiture d’occasion de marque, de modèle, de couleur (standard du constructeur), de kilométrage (etc.) bien précis, en indiquant « en bon état », plus ou moins synonyme de « contrôle technique ok », vous recevrez une voiture qui vous convient alors qu’un professionnel pourra voir quelques caractéristiques qui échappent au conducteur standard (à moi en tout cas).

Dans certains cas on peut recevoir exactement ce que l'on veut (alors qu'il existe toujours plusieurs exemplaires de l'objet en question), par exemple (toujours sous réserve de ne pas recevoir de contrefaçon, ni d'objet présentant des défauts cachés ou non), si on commande le CD N° nnn du catalogue EMI. Cet exemple correspond aux théories catégoriques (même un professionnel ne peut distinguer plusieurs exemplaires d'un même CD), puisque tous les modèles de cette théorie sont isomorphes (indiscernables dans le langage courant).

Le théorème d'incomplétude de Gödel ne nous aide sans doute pas à faire des achats sur Internet, mais il peut nous aider à comprendre pourquoi on a bien reçu ce que l'on a demandé, mais pas ce que l'on voulait.

J'espère que la portée de ce théorème est maintenant plus claire.

[NicoEnac]

Bonjour et merci pour cette analogie.

Je travaille dans l'aéronautique, plus précisément dans la conception des calculateurs embarqués. Nous devons suivre tout un processus de conception qui vise à assurer que nous avons complètement satisfait les exigences clients, sans rien y ajouter.
Votre analogie me fait comprendre les nombreuses prises de bec que j'ai pu avoir avec le client car (si j'ai bien compris) peu importent le nombre d'exigences qu'il formulera, j'aurai toujours une marge de manoeuvre et il restera toujours un comportement non spécifié. Si vous me le confirmez, cela me laisse songeur et je ne manquerai pas à l'avenir d'évoquer le théorème d'incomplétude de Gödel à mes futurs clients

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Effectivement je confirme, dans ce genre de cas(c'est à dire toute l'histoire de l'informatique), il y a clairement deux parties qui toutes les deux ont des "non-dits" franchement différents (on ne peut pas demander à un informaticien de faire 10 ans d'étude de médecine pour écrire un programme de gestion d'un hôpital, ni à un médecin d'avoir 10 ans d'expérience dans le développement de logiciel de gestion pour spécifier un programme).

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Votre analogie pourrait fort bien m'être très précieuse (au delà de la jubilation qu'un tel "jeu" provoque).
Vous débouchez sur une conclusion fort intéressante: l'inadéquation entre la demande et le désir (ou le voeux).

C'est en s'appuyant sur une telle inadéquation que quelqu'auteur de sinistre réputation avait tenté d'expliquer l'éternelle relance du désir, entre autres.

Je ne vais pas manquer (sauf si cela vous ennuie) de présenter votre analogie à celui qui fut mon professeur de mathématique (entre autres).

Merci en tous cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour cher karlp,

J'aurais considéré votre absence de réaction comme un échec .

Bien sur vous pouvez utilisez ce petit texte à votre convenance.

[inviteea028771]

Analogie très interessante Médiat. Tu l'as "inventé" toi même ou bien tu as déjà vu cette approche ailleur? (sous une forme plus ou moins différente)

Car pour le coup, ça démystifie pas mal l'idée de ce théorème (qui est sans doute le théorème le plus souvent détourné -_-' ).

[Médiat]

Tu l'as "inventé" toi même ou bien tu as déjà vu cette approche ailleur? (sous une forme plus ou moins différente)

Un flash dans ma voiture ce matin , je me demandais comment présenter ce théorème simplement et puis j'ai pensé à l'analogie entre l'axiome du choix et des tiroirs remplis de chaussettes (j'en ai parlé sur ce forum ou en épistémologie, en cherchant avec Médiat et chaussette cela devrait être facile à trouver) ; quand je me suis aperçu que je pouvais, avec cette analogie, parler de proposition indécidable, de théorie complète, de modèles élémentairement équivalents et de modèles isomorphes, je n'ai plus hésité.

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Mon ancien professeur de math a beaucoup apprécié votre analogie, je tenais à vous le dire.
(hors sujet: celle ci m'a permis de clarifier une ambiguïté qui me tracassait depuis un certain temps sur un point asez essentiel dans l'oeuvre d'un certain auteur; vous nous avez fait là un superbe cadeau).
Amicalement

[vep]

je suis arrivée là, envoyée par Karlp ... Juste merci ... je viens de comprendre (comprendre est peut-être un grand mot, je devrais peut-être dire "découvrir") quelque chose qui m'était totalement obscur !

[Médiat]

Heureux d'avoir pu être utile, n'hésite pas à poser toutes les questions que tu jugeras nécessaires

[invite9dc7b526]

J'avais l'impression que Gödel ne parlait pas de modèles. Il va falloir que je révise mon Smullyan...

[invite2449fb7c]

Bonjour,

Intéressant.
Ainsi une théorie cohérente est une demande qu'il est possible de satisfaire, mais comment s'exprime dans votre analogie, le fait qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence (deuxième théorème d'incomplétude de Godel) ?

Merci.

[Médiat]

J'avais l'impression que Gödel ne parlait pas de modèles. Il va falloir que je révise mon Smullyan...

Il en parle indirectement, puisque dire que l'on ne peut pas compléter une théorie c'est aussi une manière de dire que quelque soit les axiomes que l'on ajoute (dans le cadre des contraintes de ce théorème), il existera toujours plusieurs modèles non élémentairement équivalents (ce que j'ai voulu donner en exemple ici).

(Réviser Smullyan n'est jamais inutile ~

[invitea5cf685d]

Bon, il est évident que l'un d'entre nous deux est dans l'erreur et honnêtement, je sollicite l'appel a un ami logicien réellement confirmé pour depasser les apparences...

En construisant une theorie, on s'assure que P et non P ne soient pas possibles au sein de la theorie

Il ne suffit donc pas de dire que P est demontré pour en faire une vérité encore faut-il que la theorie soit validée comme etant consistante

Vous ne pouvez jamais ecrire qu'une proposition P est vraie si vous n'avez pas demontrée la consistance de la theorie faute de quoi non P peut être un théorème vrai et contradictoire

Je pense que le souci que vous avez est d'avoir travaillé la logique du premier ordre qui est demontrée et complete et consistante
Vous tirez vos conclusions de ce seul aspect

Et il n'y a pas, je suis désolé et j'arrêterai la car notre échange en devient stérile mais du coup, vous faites du contresens concernant les théorèmes d'incompletude qui ne sont pas de la logique de premier ordre

Ce qui m'étonne c'est l'absence d'un logicien

Je vous laisse ne vous inquiétez pas
Interrogez vous un peu sur cette video de Klein et la position d'alain connes que, de facto, vous ne pouvez comprendre
Vous ecrivez quand même que klein detourne ce theoreme et que Connes a une position dogmatique car il est platoniste

Je trouve ça fort de critiquer ces gens la mais bon..
Je sors...

[Médiat]

vous faites du contresens concernant les théorèmes d'incompletude qui ne sont pas de la logique de premier ordre

Pauvre Gödel (même s'il peut s'appliquer à quelques autres logiques)

Ce qui m'étonne c'est l'absence d'un logicien

Pas de chance

Interrogez vous un peu sur cette video de Klein et la position d'alain connes que, de facto, vous ne pouvez comprendre

Si je ne peux la comprendre pourquoi la regarder, vous manquez de logique !

Vous ecrivez quand même que klein detourne ce theoreme

Non, je n'ai pas écrit cela, mais je suis maintenant habitué à vos détournement de citations

et que Connes a une position dogmatique car il est platoniste

D'abord j'ai écrit platonicien et non platoniste, et je n'ai jamais écrit dogmatique, mais je suis maintenant habitué à vos détournement de citations

[invitea5cf685d]

Integrez ce qu'est un raisonnement dans une theorie complete et consistante et comprenez que lorsque Godel ecrit son theoreme de completude dans ce cadre, il n'est pas contradictoire avec son theoreme d'incompletude qui sort de la logique de premier ordre..,

Oui ce que vous lisez est vrai, dans un cadre defini, et oui cela ne signifie pas qu'en dehors de ce cadre cela le soit encore...

Vous devriez vous intéresser au second theoreme d'incompletude dont c'est à peu de choses pres l'objet...

Bon cette fois je vous laisse vous vous enervez sans raison et ce n'est pas mon but

[invitea5cf685d]

Bah qu'il n'y ait pas un logicien confirmé n'est dommage que pour vous
Je n'ai rien à vendre...

[Médiat]

Pour le lecteur de passage qui se laisserait abusé : http://www.di.ens.fr/users/longo/fil...ple08chap3.pdf, qui montre bien que le théorème d'incomplétude de Gödel concerne la logique du premier ordre ne serait-ce que parce que lorsque l'on parle d'Arithmétique, il s'agit de AP qui est une théorie du premier ordre (ou de HA qui est l'arithmétique intuitionniste du premier ordre)

Texte en provenance de l'Ecole Normale Supérieure

[invitea5cf685d]

Vous savez, je n'ai aucun complexe concernant mes erreurs

Pouvez vous lire la page 32 ou 33 de ce doc ?
Qu'en concluez vous par rapport à vos points 1 a 4 ?

http://www.enseignement.polytechniqu...rs3-slides.pdf

[Médiat]

Qu'en concluez vous

Que vous auriez pu lire cela : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958163

[invitea5cf685d]

F est vraie si F est prouvable dans tous les modèles...,

Qu'est-ce que j'essaye de vous faire comprendre depuis le départ ?

[karlp]

F est vraie si F est prouvable dans tous les modèles...,

Qu'est-ce que j'essaye de vous faire comprendre depuis le départ ?

(1) Sur un autre fil vous prétendiez que l'on pouvait affirmer d'une proposition qu'elle était vraie sans pour autant qu'elle soit prouvable. C'est cette affirmation que nous sommes plusieurs à contester ici.

Pour le passage cité ((2) F est prouvable ssi elle est vraie dans tous les modèles) : tout le monde ici est d'accord avec ça !

- Sauf erreur de ma part cet énoncé ne dit pas autre chose que les propositions S1 et S2 du message 15 -

Il me semble qu'il y a une contradiction insurmontable entre (1) et (2)

[invitea5cf685d]

Attendez ce doc polytechnique écrit comme je vous l'explique qu'une assertion n'est vraie que si elle est prouvable dans tous les modele de la theorie

Ce point confirme que 2 est vrai et que 1 3 et 4 est faux

Donc que j'ai raison depuis le depart sur ce point

Et malgré ma patience vous me sortez le règlement du forum ?
Bon.... J'ai compris

Désolé messieurs les modérateurs mais je ne connais pas douze manières de dire à quelqun qu'il se trompe

Preuve en mains, que dire ?

Bon cette fois je vous laisse vraiment..,

[Médiat]

Si quelqu'un veut bien expliquer à papuzen ce que j'ai déjà écrit, moi, j'abandonne (à l'impossible ...)

Et en passant lui expliquer que le lien que j'ai donné n'a rien à voir avec "le règlement du forum", c'est dire avec quel soin il lit les liens qu'on lui donne

[invite47ecce17]

Bonjour,

Attendez ce doc polytechnique écrit comme je vous l'explique qu'une assertion n'est vraie que si elle est prouvable dans tous les modele de la theorie

Déjà, ecrire ca implique que vous n'avez pas compris ce que signifiait prouvable et vrai.
Une proposition est prouvable (ou non) dans une theorie, et vrai dans un modèle.
Une propostion est toujours vrai ou fausse dans un modèle (tiers exclu), le theoreme de Godel, de completude, dit que pour des theories du premier ordre, les propostions prouvables sont exactement les propositions vraies dans tous les modèles de la theorie.

[invitea5cf685d]

Tout ce que vous voulez media...

Maintenant avez vous lu ce doc qui marque noir sur blanc que j'ai raison sur le fait que seule votre assertion 2 est bonne et que vos assertions 1,3 et 4 sont des erreurs ?

Parce qu'en definitive seule la vérité sur la notion de "vrai" m'intéresse...

[invitea5cf685d]

Mais bon sang c'est terrible
Je ne suis en guerre contre personne et si 5 personnes se trompent ça n'en fait pas une vérité

Oui ou non ce doc de polytechnique clarifie t'il le fait que seule l'assertion 2 mise en avant par media est bonne ?

j'aimerais juste qu'on clôture cette question et je vous laisse

[karlp]

Mais bon sang c'est terrible
Je ne suis en guerre contre personne et si 5 personnes se trompent ça n'en fait pas une vérité

Oui ou non ce doc de polytechnique clarifie t'il le fait que seule l'assertion 2 mise en avant par media est bonne ?

j'aimerais juste qu'on clôture cette question et je vous laisse

Non , S1 est également correcte : S1) Une proposition « vraie » dans une théorie est une proposition démontrable dans cette théorie

Si la proposition est démontrable dans la théorie alors elle est vraie dans tous les modèles.


Quant à S4) Une proposition « vraie dans le modèle M » est une proposition valide dans le modèle M, d'une théorie donnée ; c'est ce qu'on peut lire dans l'article de D. Andler dans l'Encyclopedia Universalis.(Personne ne sera toutefois étonné que M. Andler ait sur le sujet un avis identique à Médiat ) et dans "introduction à la logique" de F. Rivenc (si mes souvenirs ne me trahissent pas)

[invite47ecce17]

Oui ou non ce doc de polytechnique clarifie t'il le fait que seule l'assertion 2 mise en avant par media est bonne ?

Non, il dit juste que les assertions S1 et S2 donnent le meme sens au mot vrai. Mais le "vrai" sens du mot vrai (si je puis dire), c'est a dire celui qui est non ambigu est celui de S4. Celui de S1/S2 (qui est le meme donc, pour les théories du premier ordre) est discutable, mais on peut le trouver légitime, et pour cause c'est dans ce sens là qu'il est employé 99,99% des fois par les mathématiciens.

[invitea5cf685d]

Pour karlp, je suis bien d'accord sur le fait que le débat que j'ai lancé sur un énoncé "vrai" et non prouvable par la theorie a tres visiblement choqué

Dans le même temps, ce débat est légitime je vous ai clairement amené une video ou Alain connes amène une analogie pour rendre compte de cela parce que, sur le fonds, il rejoint la formulation anglo-saxonne et non européenne non par sectarisme, non parvamour de shakespeare mais par appréciation mathematique personnelle sur la base de la démonstration formelle...
Connes n'est pas un poète ... Ni un membre d'un parti

Qui ici ira donner des leçons a Alain connes en matière de logique et lui dire que sa position et le simple fait deja de poser la question serait interdit

Je pense que vous pouvez conceptualiser que si une solution logique definitive en ressortait, un medaillé field ne commettrait pas une erreur de débutant...

Je ne dis pas qu'il a raison car je conceptualise bien les deux approches mais je dis que la légitimité du debat est certaine
Il existait avant moi....

Quant a lui faire la démonstration qu'il se trompe je commencerai plutôt par me demander comment il peut penser ainsi...
Donner des leçons logique à connes, c'est compliqué...

Plus pragmatiquement, ici, je remets en cause les 4 assertions presentees pour definir un énoncé vrai dans une théorie T
Sur le motif que ces assertions ne sont toutes recevables que si et seulement si la theorie est deja demontrée consistante

Ce que j'explique est d'ailleurs parfaitement explicité dans ce document de polytechnique et pour cause...

Si elles vous satisfont, dont acte

Maintenant, si je suis a l'aise avec d'autres exposés mathematiques "officiels" dont la formulation vous dérangerait et ça s'est vu plus d'une fois, je ne vois pas en quoi ce seraient ces principes que je ne reconnais pas qu'on pourrait m'opposer

Appelons ça un constat de désaccord assez fondamental