un petit problème pour les vacances

[MissJenny]

je voudrais soumettre à la sagacité des forumeurs un petit problème que je pense être assez difficile.
je joue assez souvent à un jeu appelé "dominosa". Un jeu de 28 dominos (le jeu standard) est disposé sur un plateau à 8x7 cases, et les bordures des dominos sont effacées (on ne voit plus que les chiffres). Le jeu consiste à reconstituer les positions des dominos.

Quand on a résolu le problème, on voit qu'il y a deux sortes de configuration : celles où une "rue" rectiligne apparaît qui traverse tout le tableau, et celles où il n'y a pas de telle traversée. Les images jointes montrent les deux types de configuration.

En supposant que toutes les configurations sont équiprobables, peut-on calculer la probabilité qu'il y ait au moins une traversée rectiligne?

indice (qui n'en est pas vraiment un) : il me semble que Wendelin Werner a étudié des problèmes similaires.

je précise que je ne connais pas la réponse.
-----

[MissJenny]

je me suis mélangé les pinceaux avec les images, il y en a une en trop qui n'est pas bonne, mais je pense que tout le monde comprendra le problème.

[Liet Kynes]

Il est méga pas simple ton problème car il ne s'agit pas d'un simple pavage, il y a la combinatoire des 6 n° dans la grille (chaque n° est présent 8 fois) et, si j'ai bien compris, le fait que deux dominos comportant un nombre a et un nombre b ne peuvent coexister dans une solution (ab et ab pas ok mais ab et ba non plus) -> l'ordre de lecture du domino n'importe pas pour considérer un doublon. La première étape semble être de dénombrer l'ensemble des solutions , une grille qui inclue 6 numéros présents 8 fois peut ne pas donner de solution éligible à la règle de l'interdiction de doublons.

Ensuite on entre dans un univers sans chemins évidents, l'idée de la ligne horizontale ou verticale n'excluant pas plusieurs lignes parallèles.

Franchement comme devoir de vacances je pense que ce fil sera encore ouvert à la rentrée (et surement d'autres) mais c'est à diffuser en tant que problème vraiment pas fastoche.

[Liet Kynes]

L'étape une, pour moi serait de trouver la formule pour dénombrer le nombre de façons de paver une grille de 6*8 cases en deux cases conjointes par le côté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

on peut oublier les chiffres inscrits sur les dominos. Il s'agit de paver le tableau de 8*7 cases avec des rectangles qui couvrent deux cases, et qui peuvent être disposés verticalement ou horizontalement. Je ne sais pas combien il y a de configurations. Pas mal sans-doute...

on peut remarquer que si on positionne les rectangles au hasard, on va laisser des cases isolées non couvertes, donc il faut déjà un certain algorithme pour couvrir le tableau. Je ne sais pas du tout comment fait le programme que j'utilise.

[Liet Kynes]

Oups 8*7 oui.Il faut dénombrer les pavages pour calculer les proba.

ensuite, "à la main";

On commence par la solution triviale et on ne considère que des chemins horizontaux dans un premier temps (8 cases)= Si la ligne un est un chemin toutes les autres lignes peuvent être des chemins.

Si la ligne deux est un chemin alors la ligne un aussi mais si au moins une des autres n'est pas un chemin combien de chemins possibles ?
on pose les hypothèses:
la ligne 1 et la 2 sont de chemins, mais si la ligne 3 n'en est pas un alors la 4 non plus mais la 5 et la 6 peuvent l'être ou non.

etc..

[grosboul]

Bonjour,

on peut remarquer que si on positionne les rectangles au hasard, on va laisser des cases isolées non couvertes, donc il faut déjà un certain algorithme pour couvrir le tableau. Je ne sais pas du tout comment fait le programme que j'utilise.

On peut commencer par là, ok. La condition parait remplie d'office en ne créant jamais de zones non couvertes* contenant un nombre impair de cases. Si cela est vrai, cette première condition est aisée à mettre en oeuvre.
* au pluriel, bien sûr, si on en crée une, par là même, on en crée une autre.

[Liet Kynes]

on peut oublier les chiffres inscrits sur les dominos. Il s'agit de paver le tableau de 8*7 cases avec des rectangles qui couvrent deux cases, et qui peuvent être disposés verticalement ou horizontalement. Je ne sais pas combien il y a de configurations. Pas mal sans-doute...

on peut remarquer que si on positionne les rectangles au hasard, on va laisser des cases isolées non couvertes, donc il faut déjà un certain algorithme pour couvrir le tableau. Je ne sais pas du tout comment fait le programme que j'utilise.

Il y a peut-être une approche avec les chemins Hamiltonniens? Une fois un graphe établi la répartition des dominos n'est pas vraiment un problème, les couples utilisés pour une figure peuvent l'être pour une autre.

[Liet Kynes]

J'ai trouvé cela : https://images.math.cnrs.fr/Pavages-...et-labyrinthes

[Biname]

Salut,

Essayons de dénombrer les cas possibles ?

Soit une grille K * (K + 1), pour notre cas K = 7

Si on note N(nord) et S(sud) un pavé vertical
Si on note E(st) et W(ouest) un pavé horizontal
N, S, W, E ne collent pas au pavé, une rotation du pavé de 180° ne change rien.

Chaque case non périphérique, appelée centrale ici, peut-être N,S,E ou W, soit 4 cas par case
on compte (K - 2)(K - 1) cases centrales, ici on compte (7-1)(7-2)=30 cases centrales
on a pour ces cases-là 4^((K - 2)(K - 1)) cas possibles, dans notre cas : 4^30 cas possibles

Pour les quatre cases de coins, on a deux possibilités N,E ; N,W ; S,W et S,E soit en tout 2^4 cas

Pour les cases périphériques non coins, on a trois possibilités, N,E ; N,W ; E,W pour la rangée du haut, etc
on a pour ces 2(K - 2)(K - 1) cases, soit 3^(N - 2)(N - 1), ici 2(7-2)(7-1) = 22 cases périphériques, 3^22 possibilités

On multiplie ces cas et comme chaque N implique un S et chaque E implique un W, on divise le tout par 2

Ca donne 2^30 * 3^26 * 2^4 / 2 = 2.695e20 ou 269561249468963094528 cas possibles au maximum.

Pour une grille 7*8 : 2.7^20 cas au pire, à ce stade, pour une solution informatique, c'est raté.

Il y a encore les doubles dus à des symétries, etc

Pour une grille 2x2, la probabilité demandée est de 0.5

Biname

[Biname]

Salut,
Pour le dénombrement des cas, on trouve cette formule

ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling
Recherche avec domino tiling tilings ???

python trouve 1292697.0000000026 cas possibles

 Cliquez pour afficher

#
import math

# Définir la fonction
def fonction(m, n, pi, k, j):
    return 4 * math.cos((pi * j) / (m + 1))**2 + 4 * math.cos((pi * k) / (n + 1))**2

# Définir les valeurs de m et n
m = 8
n = 7
pi_value = math.pi

# Calculer la somme des produits
resultat = 1
for j_value in range(1, m // 2 + 1):
    for k_value in range(1, n // 2 + 1):
        resultat *= fonction(m, n, pi_value, k_value, j_value)

# Afficher le résultat
print(resultat)

Avec une feuille quadrillée, en 5 minutes, on trouve 11 cas pour une grille 4x3, ... python et PI PI aussi. Il suffit de remplir les 4 cases du haut selon 5 cas et puis de complèter.

Biname

[Liet Kynes]

Voir aussi https://oeis.org/A004003 (Intéressant mais dans notre cas la grille n'est pas de la forme 2n*2n)

Il y a aussi ce PDF qui donne une explication pour le cas d'une grille rectangulaire : https://www.math.cmu.edu/~bwsulliv/domino-tilings.pdf

[Liet Kynes]

Pour l'algorithme: https://github.com/forsythe/domino_tiling

[Biname]

Salut,
Il y a ça aussi : http://math.uchicago.edu/~may/REU201...pers/Borys.pdf page 3
pour m pair et n impair :

 Cliquez pour afficher

#
import math
# Définir la fonction
def fonction(m, n, pi, k, j):
    return 2*math.sqrt(math.cos((pi * j) / (m + 1))**2 + math.cos((pi * k) / (n + 1))**2)

# Définir les valeurs de m et n
m = 8
n = 7
pi_value = math.pi

# Calculer le produit
resultat = 1
for j_value in range(1, m // 2 + 1):
    for k_value in range(1, n + 1):
        resultat *= fonction(m, n, pi_value, k_value, j_value)

# Afficher le résultat
print(resultat)

Pour Cas(8,7) = 1292697.000000002

Biname

[Biname]

Salut,
La référence précédente(1) inclut la démonstration de la formule. Cas(m,n) m pair et n pair ou impair.
Pour la probabilité d'avoir au moins une route horizontale pour une grille H8 x V7

P1(une route en ligne 1) = Cas(8,6) / Cas(8,7)
P2(une route en ligne 2) = (1 + Cas(8,5)) / Cas(8,7)
P3(une route en ligne 3) = (Cas(8,2) + Cas(8,4)) / Cas(8,7)
P4(une route en ligne 4) = 2 * Cas(8,3) / Cas (8, 7)

P(au moins une route) = P4 + 2(P1 + P2 + P3)

Avec


Sauf erreursssss

Biname
http://math.uchicago.edu/~may/REU201...pers/Borys.pdf

[MissJenny]

J'ai trouvé cela : https://images.math.cnrs.fr/Pavages-...et-labyrinthes

merci. Il s'agit exactement de ce pavage. La question que je pose n'est pas abordée dans ce document mais les auteurs ont dû se la poser...

[Liet Kynes]

merci. Il s'agit exactement de ce pavage. La question que je pose n'est pas abordée dans ce document mais les auteurs ont dû se la poser...

Pas forcement mais dès l'instant que l'on peut dénombrer une grille complète on passe le cap principal. La suite est plus dans mes capacités cognitives mais la formule est longue.

[Liet Kynes]

Pour calculer le nombre total de grilles avec au moins un chemin traversant vertical ou horizontal, la formulation va consister à dénombrer pour chaque cas possible les pavages des rectangles en dehors du ou des chemins traversants et les combiner entre eux.

Nombre de chemins traversant à la ligne 5 pour la grille 8 lignes * 7 colonnes = (nombre de pavages du rectangle 4*7) * (nombre de pavages du rectangle 3*7)
Ce qui fait qu'en additionnant tous les cas de figures, on obtient une longue formule à écrire d'autant que l'on fait aussi le calcul pour les chemins verticaux.

[Biname]

Salut,
Le pavage 3x7 est impossible, on compte alors 21 cases, les grilles n et m impairs ne peuvent être pavées entièrement, le nombre de cases dans ces cas est impair. Pour la même raison, le dénombrement des pavages possibles pour une route verticale(m=8 colonnes et 7 lignes) est dans notre cas impossible ? C'est évident, mais aussi donné ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling

Avec #

On calcule les résultats du msg #15

 Cliquez pour afficher

P1(une route en ligne 1) = Cas(8,6) / Cas(8,7)
P2(une route en ligne 2) = (1 + Cas(8,5)) / Cas(8,7)
P3(une route en ligne 3) = (Cas(8,2) + Cas(8,4)) / Cas(8,7)
P4(une route en ligne 4) = 2 * Cas(8,3) / Cas (8, 7)

P(au moins une route) = P4 + 2(P1 + P2 + P3)

Grille 8 x 7 : routes horizontales

Pavages   possibles    =  1292697.000000002

nbr de cas route en L1 =  167089.0000000001
nbr de cas route en L2 =  14825.00000000002
nbr de cas route en L3 =  2279.0
nbr de cas route en L4 =  306.0000000000002

P1 route en ligne_1    =  0.1292561211173228
P2 route en ligne_2    =  0.011468271373724854
P3 route en ligne_3    =  0.0017629808067938552
P4 route en ligne_4    =  0.00023671440407148754

P5=P3, P6=P2, P7 = P1

??? Ptot = 2(P1 + P2 + P3)   + P4      
??? Ptot au moins 1 route H   =  0.2852114609997545 ??? Il y a des doubles ???

Code python

 Cliquez pour afficher

#
# source : http://math.uchicago.edu/~may/REU201...pers/Borys.pdf
import math
# Définir la fonction
def fonction(m, n, pi, k, j):
    return 2*math.sqrt(math.cos((pi * j) / (m + 1))**2 + math.cos((pi * k) / (n + 1))**2)

# Définir les valeurs de m et n
m = 8    # pair
n = 7    # pair ou impair
pi_value = math.pi

# Calculer le produit
def cas(m,n):
    resultat = 1
    for j_value in range(1, m // 2 + 1):
        for k_value in range(1, n + 1):
            resultat *= fonction(m, n, pi_value, k_value, j_value)
    return resultat

# Afficher le résultat
C0 = cas(8,7)
print("\nPavages   possibles    = ", C0)

C1 = cas(8,6)
print("\nnbr de cas route en L1 = ", C1)
C2 = (1 + cas(8,5))
print(  "nbr de cas route en L2 = ", C2)
C3 = (cas(8,2) + cas(8,4))
print(  "nbr de cas route en L3 = ", C3)
C4 = 2 * cas(8,3)
print(  "nbr de cas route en L4 = ", C4)
#C5=C3, C6=C2, C7=C1


P1 = C1 / C0
print("\nP1 route en ligne_1    = ", P1)
P2 = C2 / C0
print(  "P2 route en ligne_2    = ", P2)
P3 = C3 / C0
print(  "P3 route en ligne_3    = ", P3)
P4 = C4 / C0
print(  "P4 route en ligne_4    = ", P4)
#P5=P3, P6=P2, P7=P1

P = P4 + 2 *(P1 + P2 + P3)    # environ
print("\nP au moins 1 route H   ~= ", P)

On remarque que nombre de cas de pavages possibles pour une route horizontale en L1 et en L7 est 10 fois plus important que pour les autres routes,
l'approximation P est donc proche de la réalité.

Biname

[Liet Kynes]

Salut,
Le pavage 3x7 est impossible, on compte alors 21 cases,

J'ai écrit n'importe quoi effectivement.. Si le nombre de cases d'un côté est impaire et l'autre paire les traversées seront sur le côté paire.

J'ai trouvé les références de ta formule ici : Kassel3.pdf
Je ne comprends pas ta méthode pour calculer les combinaisons de chemins traversants

On des cas avec 1,2,3,4,5,6 ou 8 chemins.

[Biname]

Salut,

J'ai trouvé les références de ta formule ici : Kassel3.pdf

msg #14, une source math.uchicago.edu chicago avec démo ! Dans mes quelques tests, les deux versions de cette formule donnent les mêmes résultats ?

Je ne comprends pas ta méthode pour calculer les combinaisons de chemins traversants
On des cas avec 1,2,3,4,5,6 ou 8 chemins.

C'est celle que tu décris msg #18 (mais je constate une GROSSE erreur dans mon calcul : + au lieu de *, voir plus bas).

Si cette formule(cas=PI PI 2 * sqrt ...) répond au dénombrement des cas de pavages différents du problème posé ???, alors

soit une grille de m colonnes et n lignes (ici 8C, 7L), m pair

Si on a une route en ligne 1, alors le nombre de cas de pavages différents possibles comprenant cette route, correspond aux nombre de cas de pavages différents possibles dans cette grille moins une ligne : ce qui correspond à la grille restant sous la route.

Pour les autres cas, on a une grille restante sous la route et une grille restante au-dessus de la route.

Pour route en ligne L_i, on a

Voici les résultats corrigés

 Cliquez pour afficher

Test : cas(8,1) = 1.0000000000000007


Pavages possibles = 1292697.000000002

nbr de cas route en L1 = 167089.0000000002
nbr de cas route en L2 = 14824.00000000002
nbr de cas route en L3 = 76329.99999999999
nbr de cas route en L4 = 23409.000000000036

P1 route en ligne_1 = 0.12925612111732288
P2 route en ligne_2 = 0.011467497797240959
P3 route en ligne_3 = 0.05904709301560989
P4 route en ligne_4 = 0.01810865191146881

P_tot = P4 + 2*(P1 + P2 + P3)
??? P_tot au moins 1 route H ??? = 0.4176500757718163 approximtion

! 42% des pavages !

Le code python corrigé

 Cliquez pour afficher

#
# source : http://math.uchicago.edu/~may/REU201...pers/Borys.pdf
# corigée 11aout23
# route en ligne L_i : nbr de cas =  (+>*)
import math
# Définir la fonction
def fonction(m, n, k, j):
    pi = math.pi
    return 2*math.sqrt(math.cos((pi * j) / (m + 1))**2 + math.cos((pi * k) / (n + 1))**2)

# Définir les valeurs de m et n
m = 8    # pair
n = 7    # pair ou impair

# Calculer le produit
def cas(m,n):
    resultat = 1
    for j_value in range(1, m // 2 + 1):
        for k_value in range(1, n + 1):
            resultat *= fonction(m, n, k_value, j_value)
    return resultat

print ("\nTest : cas(8,1) = ", cas(8,1),"\n")
# Afficher le résultat


C0 = cas(8,7)
print("\nPavages   possibles    = ", C0)

C1 = cas(8,1) * cas(8,6)
print("\nnbr de cas route en L1 = ", C1)
C2 = cas(8,5)      # corr : + 1 était faux
print(  "nbr de cas route en L2 = ", C2)
C3 = (cas(8,2) * cas(8,4))
print(  "nbr de cas route en L3 = ", C3)
C4 = cas(8,3) * cas(8, 3)
print(  "nbr de cas route en L4 = ", C4)
#C5=C3, C6=C2, C7=C1


P1 = C1 / C0
print("\nP1 route en ligne_1    = ", P1)
P2 = C2 / C0
print(  "P2 route en ligne_2    = ", P2)
P3 = C3 / C0
print(  "P3 route en ligne_3    = ", P3)
P4 = C4 / C0
print(  "P4 route en ligne_4    = ", P4)
#P5=P3, P6=P2, P7=P1

P = P4 + 2 *(P1 + P2 + P3)
print("\n??? P au moins 1 route H ???  = ", P, "  approximtion")

Le nom n_pav(m,n) conviendrait mieux à la fonction cas(m, n), mais bon ...


<<On des cas avec 1,2,3,4,5,6 ou 8 chemins.>> ... oui !

Sauf erreursss

[Biname]

Salut,

Si la question de départ est :
"En supposant que toutes les configurations sont équiprobables, peut-on calculer la probabilité qu'il y ait au moins une traversée rectiligne?"
si on ajoute :
- le nombre de colonnes doit être pair
- on parle de routes horizontales uniquement
- aucune case ne peut rester vide
- aucune autre règle de pavage que 'remplir' avec des dominos 1x2

Alors le dénombrement des cas possibles de pavages différents est :


petit miracle : cas(m, 0) = cas(m, 1) = 1

Alors, il faut poser une question supplémentaire :
Probabilité pour quelle ligne ? L1, ... Ln ? En effet,



Cette formule donne le nombre de cas de pavages possibles contenant cette route_i, mais aussi parmi ces pavages possibles, ceux contenant toutes les autres routes selon tous les cas possibles de positionnement de ces autres routes ... toutes.



------------------------------------------------------

Résultats pour nC = 8 et nL = 7



Test : cas(8,0) = 1
Test : cas(8,1) = 1.0000000000000007


Pavages possibles = 1292697.000000002

nbr de cas route en L1 = 167089.0000000001
Probabilité au moins route en L1 = 0.1292561211173228

nbr de cas route en L2 = 14824.00000000003
Probabilité au moins route en L2 = 0.011467497797240966

nbr de cas route en L3 = 76329.99999999999
Probabilité au moins route en L3 = 0.05904709301560989

nbr de cas route en L4 = 23409.000000000036
Probabilité au moins route en L4 = 0.01810865191146881

nbr de cas route en L5 = 76329.99999999999
Probabilité au moins route en L5 = 0.05904709301560989

nbr de cas route en L6 = 14824.00000000003
Probabilité au moins route en L6 = 0.011467497797240966

nbr de cas route en L7 = 167089.0000000001
Probabilité au moins route en L7 = 0.1292561211173228

Ces cas contiennent tous les cas contenant toutes les routes



Le code python est simplifié

 Cliquez pour afficher

[code=python]
#
# source : http://math.uchicago.edu/~may/REU201...pers/Borys.pdf
# corrigée 11aout23
# route en ligne L_i : nbr de cas =
import math
# Définir la fonction
def fonction(m, n, k, j):
pi = math.pi
return 2*math.sqrt(math.cos((pi * j) / (m + 1))**2 + math.cos((pi * k) / (n + 1))**2)

# Définir les valeurs de m et n
m = 8 # pair
n = 7 # pair ou impair

# Calculer le produit
def cas(m,n):
resultat = 1
for j_value in range(1, m // 2 + 1):
for k_value in range(1, n + 1):
resultat *= fonction(m, n, k_value, j_value)
return resultat

print ("\nTest : cas(8,0) = ", cas(8,0))
print ( "Test : cas(8,1) = ", cas(8,1),"\n")

# Afficher le résultat
C0 = cas(8,7)
print("\nPavages possibles = ", C0)


for i in range(1, n + 1):
C = cas(m,i - 1) * cas(m, n - i)
print(f"\nnbr de cas route en L{i} = ", C)
print( f"Probabilité au moins route en L{i} = ", C/C0)

print ("\n\nCes cas contiennent tous les cas contenant toutes les routes\n")
[/code]

P.S. les résultats sont faux pour L1 et Ln, pb de code, miracle ou pas ?

Biname

[Biname]

Non, L1 et Ln pas faux, je lisais mal

[Liet Kynes]

La probabilité au moins 1 route en L2 devrait être égale à la probabilité au moins 1 route en L7.

J'ai répertorié 16 cas différents présentant des routes (vite fait / pas vérifié).

[Liet Kynes]

Dans la recherche des différentes répartitions des routes traversantes, je pense qu'il faut voir la grille comme étant retournable = uniquement la ligne 3 traversante est la même chose qu'uniquement la ligne 6 traversante et on ne calcule donc que les cas possibles pour qu'une de ces 2 lignes.
Pour les routes traversantes, j'en suis là :

[Biname]

Salut,
Version finale

Salut,

Si la question de départ est :
"En supposant que toutes les configurations sont équiprobables, peut-on calculer la probabilité qu'il y ait au moins une traversée rectiligne?"
si on ajoute :
- le nombre de colonnes doit être pair
- on parle de routes horizontales uniquement
- aucune case ne peut rester vide
- aucune autre règle de pavage que 'remplir' avec des dominos 1x2

Alors le dénombrement des cas possibles de pavages différents est :


petit miracle : cas(m, 0) = cas(m, 1) = 1

Alors, il faut poser une question supplémentaire :
Probabilité pour quelle ligne ? L1, ... Ln ? En effet,

Une petite coquille

Cette formule donne le nombre de cas de pavages possibles contenant cette route_i, mais aussi parmi ces pavages possibles, ceux contenant toutes les autres routes selon tous les cas possibles de positionnement de ces autres routes ... toutes.



------------------------------------------------------

Résultats pour nC = 8 et nL = 7



Test : cas(8,0) = 1
Test : cas(8,1) = 1.0000000000000007


Pavages possibles = 1292697.000000002

nbr de cas route en L1 = 167089.0000000001
Probabilité au moins route en L1 = 0.1292561211173228

nbr de cas route en L2 = 14824.00000000003
Probabilité au moins route en L2 = 0.011467497797240966

nbr de cas route en L3 = 76329.99999999999
Probabilité au moins route en L3 = 0.05904709301560989

nbr de cas route en L4 = 23409.000000000036
Probabilité au moins route en L4 = 0.01810865191146881

nbr de cas route en L5 = 76329.99999999999
Probabilité au moins route en L5 = 0.05904709301560989

nbr de cas route en L6 = 14824.00000000003
Probabilité au moins route en L6 = 0.011467497797240966

nbr de cas route en L7 = 167089.0000000001
Probabilité au moins route en L7 = 0.1292561211173228

Ces cas contiennent tous les cas contenant toutes les routes



Le code python est simplifié

 Cliquez pour afficher

[code=python]
#
# source : http://math.uchicago.edu/~may/REU201...pers/Borys.pdf
# corrigée 11aout23
# route en ligne L_i : nbr de cas =
import math
# Définir la fonction
def fonction(m, n, k, j):
pi = math.pi
return 2*math.sqrt(math.cos((pi * j) / (m + 1))**2 + math.cos((pi * k) / (n + 1))**2)

# Définir les valeurs de m et n
m = 8 # pair
n = 7 # pair ou impair

# Calculer le produit
def cas(m,n):
resultat = 1
for j_value in range(1, m // 2 + 1):
for k_value in range(1, n + 1):
resultat *= fonction(m, n, k_value, j_value)
return resultat

print ("\nTest : cas(8,0) = ", cas(8,0))
print ( "Test : cas(8,1) = ", cas(8,1),"\n")

# Afficher le résultat
C0 = cas(8,7)
print("\nPavages possibles = ", C0)


for i in range(1, n + 1):
C = cas(m,i - 1) * cas(m, n - i)
print(f"\nnbr de cas route en L{i} = ", C)
print( f"Probabilité au moins route en L{i} = ", C/C0)

print ("\n\nCes cas contiennent tous les cas contenant toutes les routes\n")
[/code]

Biname

[Biname]

Liet Kynes msg #25,
Si je te comprends bien, tu présentes les cas de route en Lx pour une grille 8x8 ? Ou alors pour des routes verticales dans notre grille C8, L7 ?
Il faut répondre à cette question si on veut exclure toutes les routes sauf une unique route en L_i.

Biname

[Liet Kynes]

En vert ce sont les routes horizontales possibles, il n'est pas nécessaire de dessiner toute la ligne, une case suffit mais je me suis encore planté il faut considérer une colonne de 7 cases..

[Biname]

Salut,

En vert ce sont les routes horizontales possibles, il n'est pas nécessaire de dessiner toute la ligne, une case suffit mais je me suis encore planté il faut considérer une colonne de 7 cases..

Oui, j'avais essayer avec des xx00xxx grille pivotée de 90 degrés ! Pour les plantages, je suis loin devant, n'essaye même pas .
On a répondu à la question du msg #1, non ?

Biname

[Liet Kynes]

Non à mon avis on en est loin.. mais cela va venir