Fréquence négative mise en évidence par une modulation d'amplitude

[stefjm]

Bonjour,

La transformée de Fourier de est
et un cosinus (ou sinus) réel comporte donc raies en et en .

Certains décrivent ces raies comme physiquement acceptables, d'autres disent que seules les raies positives le sont, bref, un souk sans nom...

Je prends une modulation d'amplitude de deux signaux sinusoïdaux



soit deux fréquences, la somme et la différence des deux précédentes.

Cela illustre simplement le fait que la fréquence w1 à été translatée autour de w2.
Et miracle on trouve aussi -w1.

Est ce un artéfact mais pourquoi en serait-il ainsi???

Et pour la conclusion, il suffit de faire tendre vers 0+ la pulsation w2 pour obtenir la limite du spectre du signal très peu modulé :



puis par continuité en



Il va donc falloir m'expliquer pourquoi lorsqu'il est modulé, le signal x1 présente les deux fréquences +w1 et -w1 autour de la fréquence modulante w2 et que la deuxième raie négative disparait mystérieusement lorsque la modulation w2 vaut 0.

Tout les outils utilisés sont continu en 0.

On peut dire la même chose plus simplement en travaillant en Fourier et en admettant qu'un sinus, c'est bien deux raies symétriques qui se translatent par convolution avec un autre sinus. (multiplication temporelle)

Cordialement.

PS : L'original est ici, mais visiblement, seul la polémique intéresse les intervenants sur ce fil.
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[doul11]

Bonsoir,

On peut dire la même chose plus simplement en travaillant en Fourier et en admettant qu'un sinus, c'est bien deux raies symétriques qui se translatent par convolution avec un autre sinus. (multiplication temporelle)

Si c'est symétrique alors la moitié est redondante, pour retrouver un sinus j'ai besoin d'une fréquence et d'une phase pas deux. Tout les spectres sont symétriques non ? Donc la moitié du spectre contient toute l'information du signal.

[invitea3c675f3]

2 cos(a) cos(b) = cos(a-b) + cos(a+b)

Si a est remplacé par w1t et b est remplacé par w2t, on trouve bien que le mélange de signaux de pulsations w1 et w2 donne deux nouveau signaux de pulsation (w1 + w2) et (w1 - w2).

Quand on mélange par exemple un signal à 100MHz par un signal à 90MHz ; Si f1=100MHz et f2= 90MHz, la formule reste sage et donne deux fréquences de 190MHz et 10MHz.

Mais si on a le malheur de mélanger 90MHz avec 100MHz, rien ne va plus : on trouve encore 190MHz mais l’autre, le zombie est à -10MHz.

Première solutions : bien choisir la plus haute fréquence comme f1 et la plus basse comme f2.

Ou encore évaluer combien vaut cos(-2 π wt) = cos(2 π wt) et là le trouble métaphysique disparaît : le -10MHz est ni plus ni moins la fréquence +10MHz !

[stefjm]

Si c'est symétrique alors la moitié est redondante, pour retrouver un sinus j'ai besoin d'une fréquence et d'une phase pas deux. Tout les spectres sont symétriques non ? Donc la moitié du spectre contient toute l'information du signal.

Ca dépend de ce que tu appelles spectre.
cos w0.t présente deux delta symétrique en +-w0 mais pas e^(i.w0.t)

Et si tu dis que parce que l'information est redondante tu vires une des fréquences (et tant qu'à faire la négative), tu identifies une exponentielle imaginaire à un cosinus...

Et comme le signale aussi louloute/QC avec les mélangeurs (modulation d'amplitude, multiplieur temporel), on peut faire un analyseur de spectre analogique (donc bien physique de chez physique) qui met en évidence cette fréquence négative.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Mais si on a le malheur de mélanger 90MHz avec 100MHz, rien ne va plus : on trouve encore 190MHz mais l’autre, le zombie est à -10MHz.
Première solutions : bien choisir la plus haute fréquence comme f1 et la plus basse comme f2.

Bah, il n'y a pas de raison...
D'autant que dans un analyseur de spectre analogique, on fait varier la fréquence modulante de tout petit à tout grand pour faire passer les raies devant un filtre et les afficher...

Ou encore évaluer combien vaut cos(-2 π wt) = cos(2 π wt) et là le trouble métaphysique disparaît : le -10MHz est ni plus ni moins la fréquence +10MHz !

Il réapparait avec le sinus. (et les parités, parties réelle ou imaginaire des fonctions ou transformée de Fourier.)

Cordialement.

[invite93279690]

Ca dépend de ce que tu appelles spectre.
cos w0.t présente deux delta symétrique en +-w0 mais pas e^(i.w0.t)

Et si tu dis que parce que l'information est redondante tu vires une des fréquences (et tant qu'à faire la négative), tu identifies une exponentielle imaginaire à un cosinus...

Salut,

Ba si le signal est reel, j'ai bien peur que cette identification soit correcte non ?

[doul11]

Ca dépend de ce que tu appelles spectre.
cos w0.t présente deux delta symétrique en +-w0 mais pas e^(i.w0.t)

Je ne suis pas sur que l'on parle de la même chose, pour moi dans un spectre en fréquence d'un signal temporel il n'y a pas de delta, il y a des raies d'une certaine hauteur soit partie réele-imaginaire soit module-phase. La transformé fait passer de a c'est pour cela que j'ai dit qu'une seule raie suffit pour définir complétement le signal.

Et si tu dis que parce que l'information est redondante tu vires une des fréquences (et tant qu'à faire la négative), tu identifies une exponentielle imaginaire à un cosinus...

Je ne voit pas quel est le problème ? Avec une une exponentielle imaginaire on fait des rotations, ici en l'occurrence sur le cercle trigo et ça sort un sinusoïde, c'est bien ce que l'on veut non ?

Et comme le signale aussi louloute/QC avec les mélangeurs (modulation d'amplitude, multiplieur temporel), on peut faire un analyseur de spectre analogique (donc bien physique de chez physique) qui met en évidence cette fréquence négative.

Je doute fortement que de faire de calculs de façon analogique fait que ces calculs sont forcement physiques, puis ça veut dire quoi un fréquence négative ? on tourne dans l'autre sens, pour un cosinus ça ne change rien (pour un sinus non plus a un phase près)

Frequency is the number of occurrences of a repeating event per unit time.

Avec cette définition une fréquence négative n'a pas de sens.

[stefjm]

Ba si le signal est reel, j'ai bien peur que cette identification soit correcte non ?

Réel dans le sens mathématique?
Ben non, c'est faux en maths puisque

La transformée de Fourier de est
et un cosinus (ou sinus) réel comporte donc raies en et en .

TF(cos)
TF (exp i.w0.t)
Une exponentielle d'argument imaginaire pur n'a qu'une seule raie (dirac) alors qu'un cos réel en a deux.

Franchement, je me demande comment font les physiciens pour s'y retrouver dans leur représentation de grandeurs physique par des réels ou des complexes vu les raccourcis...

En auto, c'est évident qu'il y a deux raies pour un car
- la TF le dit
- la TL le dit : deux pôles (pour un cosinus causal)
- la mesure physique le dit. (mon exemple de modulation.)

Concernant Fourier, un fonction réelle et paire à une TF réelle et paire, donc symétrique.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo...ion_de_Fourier

Finalement, les automaticiens suivent ce que racontent les mathématiciens, font des mesures physiques qui prouvent que les mathématiciens ont raison et arrivent à des conclusions différentes des physiciens?

Cordialement.

[stefjm]

Je ne suis pas sur que l'on parle de la même chose, pour moi dans un spectre en fréquence d'un signal temporel il n'y a pas de delta, il y a des raies d'une certaine hauteur soit partie réele-imaginaire soit module-phase. La transformé fait passer de a c'est pour cela que j'ai dit qu'une seule raie suffit pour définir complétement le signal.

Il y a des delta pour la TF de signaux périodiques car ces signaux périodique n'admette pas de TF sous forme de fonction. (pas à énergie bornée...)

Il y a des prises de partie réelle de signal complexe sans le dire...

Je ne vois pas quel est le problème ? Avec une une exponentielle imaginaire on fait des rotations, ici en l'occurrence sur le cercle trigo et ça sort un sinusoïde, c'est bien ce que l'on veut non ?

Le problème est que les physiciens de ce forum ne comptent pas le même nombre de pôles d'un oscillateur (mariposa en compte 1 et personne n'a mouveté...) qu'un automaticien débutant (qui en compte 2).
Que ce qu'il y derrière ce comptage sont les fréquences négatives. (voir carément les complexes évidement...)

D'où la problématique posée.

Je doute fortement que de faire de calculs de façon analogique fait que ces calculs sont forcement physiques, puis ça veut dire quoi un fréquence négative ? on tourne dans l'autre sens, pour un cosinus ça ne change rien (pour un sinus non plus a un phase près)

Je ne vois pas comment faire des calculs plus près de la physique que d'utiliser des grandeurs analogiques!
Un analyseur de spectre analogique montre les deux raies d'un cosinus!
Dire que l'une des deux n'est pô physique est des plus curieux.
Après, qu'on puisse retrouver le signal d'origine avec qu'une seule raie, pourquoi pas : C'est vrai puisqu'il y a symétrie!
Mais dire : pô physique est curieux justement parce qu'il y a symétrie. (Je croyais que les symétries étaient importantes en physique...)

Tiens, un autre exemple de TF physiquement réalisée par interférence : deux raies de chaque coté. (et plus avec les harmoniques et la frange centrale)
spectro_4_34.gif
exactement ce qu'on retrouve en modulation d'amplitude pour un carré...
modulation:fftttl.gif

Avec cette définition une fréquence négative n'a pas de sens.

Si tu places le niveau de l'échange niveau collège, je comprends que les TL et TF soient difficiles...
X^2=2 n'a pas de solution entière non plus et n'a donc pas de sens...

Cordialement.

[invite93279690]

Réel dans le sens mathématique?
Ben non, c'est faux en maths puisque

Si tu considères la remarque à laquelle je répondais, je crois avoir raison car

que je sache.

Alors évidemment si tu décomposes sur une base de fonctions complexes tu vas avoir besoin de deux fréquences, une positive et l'autre négative pour compenser le fait que ta fonction est réelle.

[stefjm]

Si tu considères la remarque à laquelle je répondais, je crois avoir raison car
que je sache.
Alors évidemment si tu décomposes sur une base de fonctions complexes tu vas avoir besoin de deux fréquences, une positive et l'autre négative pour compenser le fait que ta fonction est réelle.

C'est l'identification de la partie réelle de l'exponentielle au cosinus, pas l'identification de l'exponentielle au cosinus.

Il y a vraiment un truc qui m'échappe chez les physiciens.

Quand je dis que je mesure en utilisant des nombres complexes, quasi tout le monde me tombe dessus. (Peut-être avec raison, mais avec des arguments incompréhensibles pour un mathématicien...)

Pour une fois que je veux rester en signaux réels et que pour cela, il faut deux fréquences symétriques (et donc une fréquence négative), ça va toujours pas...

Bizarre le raisonnement pas logique des physiciens. (surtout avec 4 exemples à l'appuis, deux de maths et deux de physique.)

Cordialement.

[doul11]

Réel dans le sens mathématique?
Ben non, c'est faux en maths puisque

Réel au sens mathématique oui bien sur, si non on parle de quoi alors ? avec et aussi, le cosinus est une fonction réelle, tu peux faire toutes les transformées que tu veux ça ne change rien a ceci.

Dans tout ton discours on dirait que tu penses que toutes les mathématiques sont physique, mais rassure moi tu sais bien que ce n'est pas le cas ?

Le problème est que les physiciens de ce forum ne comptent pas le même nombre de pôles d'un oscillateur (mariposa en compte 1 et personne n'a mouveté...) qu'un automaticien débutant (qui en compte 2).
Que ce qu'il y derrière ce comptage sont les fréquences négatives. (voir carément les complexes évidement...)

Moi ces histoires de pôles je m'en moque et je ne veut pas en entendre parler. le plus beau c'est ce jusqu’à présent je n'en ai jamais eu besoin. Je vois bien pourquoi tu tiens tant a ces fréquences négatives symétriques : parce que cela recolle avec des paire de pôle. Ça fait des années que tu est empêtré dans un impasse conceptuelle et visiblement tu ne compte pas en sortir, ok c'est ton choix mais alors ne t'étonne pas de ne pas arriver a saisir ce peut être "le sens physique"

Je ne vois pas comment faire des calculs plus près de la physique que d'utiliser des grandeurs analogiques!

Un calcul ça reste un calcul ! On peut faire n'importe quoi. Faire des calculs ce n'est pas faire de la physique, je crois vraiment que tu as un problème avec ça.

Si tu places le niveau de l'échange niveau collège, je comprends que les TL et TF soient difficiles...
X^2=2 n'a pas de solution entière non plus et n'a donc pas de sens...

C'est très bien de tourner mon propos en dérision et de me rabaisser a un niveau collège. C'est surtout un belle façon d’esquiver le fait que tu est incapable de donner une définition claire et qui fait sens physique de ce peut être une fréquence négative.

[invite93279690]

C'est l'identification de la partie réelle de l'exponentielle au cosinus, pas l'identification de l'exponentielle au cosinus.

On s'en moque, si on veut la representation en frequence d'un cosinus, une seule est suffisante; les series de Fourier en sont une illustration ou les transformations en sinus ou cosinus.

Il y a vraiment un truc qui m'échappe chez les physiciens.

Je ne vois pas le rapport avec les physiciens.

Quand je dis que je mesure en utilisant des nombres complexes, quasi tout le monde me tombe dessus. (Peut-être avec raison, mais avec des arguments incompréhensibles pour un mathématicien...)

Il y a une grosse nuance entre trouver la solution d'une equation en passant de facon momentanee dans le plan complexe pour des raisons pratiques (mathematiques) et donner un sens ultra-profond a ces etapes intermediaires faisant intervenir le plan complexe alors que la solution est reelle.

Pour une fois que je veux rester en signaux réels et que pour cela, il faut deux fréquences symétriques (et donc une fréquence négative), ça va toujours pas...

C'est pas que ca ne va toujours pas, c'est juste que la frequence negative dans un developpement sur des exponentielles complexes d'une fonction reelle est completement factice parce que la fonction a ete developpee sur une base inadaptee et elle sert justement a "corriger" cette erreur de developpement.

Bizarre le raisonnement pas logique des physiciens. (surtout avec 4 exemples à l'appuis, deux de maths et deux de physique.)

Le truc que l'on a tendance a reprocher, et je ne vois pas pourquoi des vrais matheux ne le feraient pas non plus, c'est ce monopole d'interpretation que vous donnez aux developpements sur des bases de fonctions complexes desquels emergent facilement la notion de poles symetriques alors que la plupart du temps vous vous interessez a des fonctions reelles. Je n'ai rien contre les TF ni les TL hein mais j'essaie de savoir ce que je fais avant de tirer des conclusions (j'imagine que toi aussi mais au final on ne semble pas d'accord).

Votre exemple prefere est celui de l'oscillateur harmonique, parlons en de cet oscillateur et essayons de comprendre ce que mariposa veut dire en parlant d'une seule frequence.

Je considere donc l'equation suivante :



Il y a probablement des centaines de facons de resoudre cette equation mais je vais en presenter une qui ne passe pas par le plan complexe et qui est aussi purement deductive.

La premiere chose que je fais est d'adimensionner le temps de sorte que la vitesse et la position ont meme unite. Je definis donc
et la vitesse adimensionnee .



La solution de ce systeme d'equations du premier ordre en temps est assez directe et s'ecrit formellement (a l'occasion, si quelqu'un ne me croit pas, je pourrais le montrer mais la j'ai un peu la flemme, les matrices c'est chaint a ecrire en latex) :



Il est interessant de noter l'apparition de la matrice



qui, une fois elevee au carre donne :



avec la matrice identite.

Si je ne m'abuse c'est precisement la structure mathematique matricielle utilisee par Bourbaki (qu'on me corrige si c'est quelqu'un d'autre) pour "justifier" l'existence d'un nombre imaginaire qui, lorsqu'eleve au carre, donnerait -1.

Je noterai donc cette matrice dont le carre est .

Ainsi, en notation vecteur on a une solution generale du genre :



ou je rappelle que est une matrice.

Il est ensuite assez facile de montrer que



La solution generale s'ecrit alors pour tout couple de conditions initiales :



Le caractere oscillant apparait directement sans que l'on ai besoin de parler de pole. Par ailleurs, dans ce systeme d'unites, il n'y a qu'une seule frequence qui vaut ici 1.

On pourra me retorquer que le qui apparait dans la matrice trahit une frequence negative que l'on ne voit pas avec le cosinus car c'est une fonction paire...mais il n'en est rien. En regardant bien, on se rend tout de suite compte que la deuxieme ligne de la matrice est la derivee par rapport a de la premiere; ce qui fait sens puisque cela correspond a l'equation pour la variable .

Il est clair que la structure matricielle de type "complexe" qui apparait dans cette exemple (due au second ordre en temps et au signe particulier de la reponse de l'oscillateur) est ce qui donne lieu aux oscillations, mais a aucun moment dans ce calcul, une fequence negative n'apparait.

Juste pour le fun, on pourra remarquer aussi que la matrice satisfait la formule de Moivre i.e. :



mais n'oublions pas, a aucun moment le calcul n'a ete effectue dans le plan complexe.

[invite93279690]

Remarque : Le probleme des frequences negatives et tout le toutim provient du fait que sur la ligne des imaginaires.
Dans l'exemple que j'ai donne ci-dessus le disparait car pour exprimer les choses sous forme matricielle, il est preferable que chaque composante ai la meme unite. Mais meme sans faire cela, on trouverait le meme resultat avec une seule pulsation importante.

[stefjm]

On s'en moque, si on veut la representation en frequence d'un cosinus, une seule est suffisante; les series de Fourier en sont une illustration ou les transformations en sinus ou cosinus.
Il y a une grosse nuance entre trouver la solution d'une equation en passant de facon momentanee dans le plan complexe pour des raisons pratiques (mathematiques) et donner un sens ultra-profond a ces etapes intermediaires faisant intervenir le plan complexe alors que la solution est reelle.

Ca ne me gène pas de passer en complexe, puis de revenir en réel, tant que c'est fait de façon cohérente vis à vis des maths.
Un cos a une TF réelle paire mathématiquement.
Ce qui me gène est que les physiciens collent des valeurs absolues un peu partout pour des raisons physiques inexplicables rationnellement... (Le fumeux sens phiiisiiique...)

C'est pas que ca ne va toujours pas, c'est juste que la frequence negative dans un developpement sur des exponentielles complexes d'une fonction reelle est completement factice parce que la fonction a ete developpee sur une base inadaptee et elle sert justement a "corriger" cette erreur de developpement.

En quoi la base C est inadaptée? Cela rejoint la question du sens physique d'un complexe. (encore et toujours...)

Le truc que l'on a tendance a reprocher, et je ne vois pas pourquoi des vrais matheux ne le feraient pas non plus, c'est ce monopole d'interpretation que vous donnez aux developpements sur des bases de fonctions complexes desquels emergent facilement la notion de poles symetriques alors que la plupart du temps vous vous interessez a des fonctions reelles. Je n'ai rien contre les TF ni les TL hein mais j'essaie de savoir ce que je fais avant de tirer des conclusions (j'imagine que toi aussi mais au final on ne semble pas d'accord).

On est forcément d'accord sur les maths (sauf coquilles bénignes) mais on n'est pas d'accord sur les interprétations vaseuses et sur la mise arbitraire de valeur absolue ou d'oublie de valeur symétrique.
Quand on passe sur C en replaçant cos t par e^it, on commet d'après le physicien une irrégularité que je peux comprendre. (cos n'est pas e^i)
Pour rectifier cette irrégularité, c'est normal de considérer les deux fréquences. (mais il y en a une de pô physique...)

C'est un peu comme si je disais qu'un vecteur vitesse n'est pas physique parce que les vecteurs sont un artifice de calcul et que seule la norme et la direction sont physiques...

Votre exemple prefere est celui de l'oscillateur harmonique, parlons en de cet oscillateur et essayons de comprendre ce que mariposa veut dire en parlant d'une seule frequence.
Je considere donc l'equation suivante :

Il y a probablement des centaines de facons de resoudre cette equation mais je vais en presenter une qui ne passe pas par le plan complexe et qui est aussi purement deductive.

La façon la plus simple de résoudre cette équation est de dire que la solution est triviale puisque c'est la définition même d'une exponentielle.

La premiere chose que je fais est d'adimensionner le temps de sorte que la vitesse et la position ont meme unite. Je definis donc
et la vitesse adimensionnee .

C'est la matrice qui apparait dans le formalisme de Hamilton.
Elle est diagonalisable sur C, de polynôme caractéristique w^2+1, donc deux valeurs propres complexes.
Cela tourne autour du pôt, cela cache la valeur négative, mais il n'y a rien à faire...

La solution de ce systeme d'equations du premier ordre en temps est assez directe et s'ecrit formellement (a l'occasion, si quelqu'un ne me croit pas, je pourrais le montrer mais la j'ai un peu la flemme, les matrices c'est chaint a ecrire en latex) :

Je te dispense volontier de la démo, c'est trivial.

Ainsi, en notation vecteur on a une solution generale du genre :



ou je rappelle que est une matrice.

Il est ensuite assez facile de montrer que



La solution generale s'ecrit alors pour tout couple de conditions initiales :



Le caractere oscillant apparait directement sans que l'on ai besoin de parler de pole. Par ailleurs, dans ce systeme d'unites, il n'y a qu'une seule frequence qui vaut ici 1.

Les pôles apparaissent pareil dans ta description, ainsi que la fréquence négative. (C'est même un exo classique de le montrer)
En gros, tu as des solutions sur un espace vectoriel de dimension 2 (acquis dès le départ vu l'équation du second ordre).
Tu préfères simplement choisir une base pénible en cos et sin en utilisant une matrice i pas pratique, plutôt que de choisir la base naturelle qui va bien à savoir e^t et e^-it.

On pourra me retorquer que le qui apparait dans la matrice trahit une frequence negative que l'on ne voit pas avec le cosinus car c'est une fonction paire...mais il n'en est rien. En regardant bien, on se rend tout de suite compte que la deuxieme ligne de la matrice est la derivee par rapport a de la premiere; ce qui fait sens puisque cela correspond a l'equation pour la variable .

Ben oui, cela trahit.
Tout comme l'utilisation de la base sin cos le trahit aussi. (Cela se voit d'un coup d'oeil avec un peu d'habitude)

Il est clair que la structure matricielle de type "complexe" qui apparait dans cette exemple (due au second ordre en temps et au signe particulier de la reponse de l'oscillateur) est ce qui donne lieu aux oscillations, mais a aucun moment dans ce calcul, une fequence negative n'apparait.

Normal, tu fais tout pour ne pas l'écrire.
Ta structure matricielle est isomorphe à C. Elle en a toutes les caractéristiques.
Tu as simplement remplacé une équation diff d'ordre deux par un système diff d'ordre 1 à deux équations.
Si tu passe en Laplace ce système diff, tu tombes sur un système algébrique qui te ressort les deux pôles. (Normal, ils sont incontournables.)

Juste pour le fun, on pourra remarquer aussi que la matrice satisfait la formule de Moivre i.e. :

mais n'oublions pas, a aucun moment le calcul n'a ete effectue dans le plan complexe.

Ben, vu qu'il y a un isomorphisme, c'est tout comme.

Pour moi, les complexes, c'est cela :
Formellement, cela revient à assimiler l'ensemble des nombres complexes à l'anneau quotient ℝ[X]/(X² + 1), dans lequel deux polynômes appartiennent à la même classe d'équivalence si et seulement s'ils ont le même reste de division euclidienne par X²+ 1.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_...polyn.C3.B4mes

J'ai l'habitude de manipuler des fonctions de transfert, donc des rapports de polynômes. Et j'imagine que tu comprends pourquoi le polynôme X^2+1, l'oscillateur et la double intégration sont si centraux et importants?

Remarque : Le probleme des frequences negatives et tout le toutim provient du fait que sur la ligne des imaginaires.
Dans l'exemple que j'ai donne ci-dessus le disparait car pour exprimer les choses sous forme matricielle, il est preferable que chaque composante ai la meme unite. Mais meme sans faire cela, on trouverait le meme resultat avec une seule pulsation importante.

Je sais normaliser à 1 si nécessaire. Et ici, -1 sort aussi surement que 1.

En quoi cela te pose un problème?

Cordialement.

[stefjm]

Réel au sens mathématique oui bien sur, si non on parle de quoi alors ? avec et aussi, le cosinus est une fonction réelle, tu peux faire toutes les transformées que tu veux ça ne change rien a ceci.

Ton cos est vecteur d'un ev de dimension 2. (caractérisé par \omega et \phi)
Tu peux choisir cos et sin si tu veux.
Je peux choisir e^it et e^-it si je veux.
C'est tout pareil, c'est des maths...

Dans tout ton discours on dirait que tu penses que toutes les mathématiques sont physique, mais rassure moi tu sais bien que ce n'est pas le cas ?

Oh que non.
C'est plutôt dans le discours des physiciens que je me perds...
Pourquoi une fréquence ne serait-elle pas négative?

C'est comme le i des complexes : i^2=-1
mais (-i)^2=-1 aussi.
Le choix de i ou -i est arbitraire, tout comme le choix de f ou -f pour la fréquence.

Qu'un physicien affirme qu'une fréquence est positive par convention ne me gène pas trop.
Qu'il dise que la fréquence négative n'est pas physique alors que la fréquence positive l'est me surprend plus car il n'y a pas de critère objectif pour le décider.
C'est juste un choix arbitraire.

Moi ces histoires de pôles je m'en moque et je ne veut pas en entendre parler. le plus beau c'est ce jusqu’à présent je n'en ai jamais eu besoin. Je vois bien pourquoi tu tiens tant a ces fréquences négatives symétriques : parce que cela recolle avec des paire de pôle. Ça fait des années que tu est empêtré dans un impasse conceptuelle et visiblement tu ne compte pas en sortir, ok c'est ton choix mais alors ne t'étonne pas de ne pas arriver a saisir ce peut être "le sens physique"

Argument idiot.
Cro magnon non plus n'avait pas besoin des complexes...
Bref.

Un calcul ça reste un calcul ! On peut faire n'importe quoi. Faire des calculs ce n'est pas faire de la physique, je crois vraiment que tu as un problème avec ça.

J'ai donné des exemples physiques de TF que tu devrais comprendre. (diffraction)

C'est très bien de tourner mon propos en dérision et de me rabaisser a un niveau collège. C'est surtout un belle façon d’esquiver le fait que tu est incapable de donner une définition claire et qui fait sens physique de ce peut être une fréquence négative.

Tu te fous de moi?
C'est toi qui a mis le débat niveau collège. Je te réponds à ton niveau.
gatsu met le débat niveau licence, je le suis et répond à ce niveau licence.

J'ai donné l'exemple d'une modulation d'amplitude d'un cosinus par un autre cosinus dont la fréquence tend continument vers 0 : Cela fait apparaitre la fréquence négative, aussi bien que la positive.

C'est on ne peut plus physique, d'après tes propres critères...

Cordialement.

[invite93279690]

Ca ne me gène pas de passer en complexe, puis de revenir en réel, tant que c'est fait de façon cohérente vis à vis des maths.
Un cos a une TF réelle paire mathématiquement.

Mon point n'est pas là mais bon...

Ce qui me gène est que les physiciens collent des valeurs absolues un peu partout pour des raisons physiques inexplicables rationnellement... (Le fumeux sens phiiisiiique...)

Ca tombe bien je n'ai aucun sens physique .

En quoi la base C est inadaptée? Cela rejoint la question du sens physique d'un complexe. (encore et toujours...)

ba c'est comme si pour dessiner un carré il fallait construire un cube et le regarder de dessus quoi...

Quand on passe sur C en replaçant cos t par e^it, on commet d'après le physicien une irrégularité que je peux comprendre. (cos n'est pas e^i)
Pour rectifier cette irrégularité, c'est normal de considérer les deux fréquences. (mais il y en a une de pô physique...)

Le fait que les séries de Fourier exprimées en base (cos,sin) n'utilisent pas de fréquence négative me fait d'autant plus douter du sens qu'on essaie de donner à cette fréquence en automatique. Attention, je ne nie pas l'existence mathematique de cette fréquence négative, je dis juste qu'elle n'est pas utile si on reste tout le temps en réel.

C'est un peu comme si je disais qu'un vecteur vitesse n'est pas physique parce que les vecteurs sont un artifice de calcul et que seule la norme et la direction sont physiques...

non ce n'est pas pareil. Je ne vois pas en quoi je n'ai pas le droit d'essayer de résoudre une simple équation en restant tout le temps dans un espace (vectoriel) de fonctions réelles.

La façon la plus simple de résoudre cette équation est de dire que la solution est triviale puisque c'est la définition même d'une exponentielle.

ba non, dans l'espace de Hilbert des fonction de R dans R c'est une fonction sinusoidale la solution par définition pas une exponentielle.

Elle est diagonalisable sur C, de polynôme caractéristique w^2+1, donc deux valeurs propres complexes.

La matrice n'est pas symetrique et probablement pas diagonalisable sur R² pourquoi est ce que j'aurais envie de passer dans C ?

Cela tourne autour du pôt, cela cache la valeur négative, mais il n'y a rien à faire...

Ce n'est pas une question de cacher. C'est une question de montrer que la fréquence négative n'apparait que lorsque l'on passe dans C à un moment dans le calcul. Et si j'avais envie de montrer que les axiomes de l'analyse marchent bien pour les fonctions de R dans R; est ce que c'est un sacrilège ?

Je te dispense volontier de la démo, c'est trivial.

Si tu le dis...

Les pôles apparaissent pareil dans ta description, ainsi que la fréquence négative. (C'est même un exo classique de le montrer)

Et ba vas y montre moi sans passer dans C qu'une fréquence négative va pointer le bout de son nez.

En gros, tu as des solutions sur un espace vectoriel de dimension 2 (acquis dès le départ vu l'équation du second ordre).

mreci de redire ce que j'ai déjà dit pour ceux qui seraient un peu lent...

Tu préfères simplement choisir une base pénible en cos et sin en utilisant une matrice i pas pratique, plutôt que de choisir la base naturelle qui va bien à savoir e^t et e^-it.

si elle est pénible mais qu'elle m'empeche de me prendre la tête avec une fréquence négative qu'à cela ne tienne, j'achète !

Tout comme l'utilisation de la base sin cos le trahit aussi. (Cela se voit d'un coup d'oeil avec un peu d'habitude)

Où sont les arguments, les calculs ? Je me fais chier à écrire des matrices et toi tu me dis "ça se voit avec une peu d'habitude", tu te fous de moi ?

Normal, tu fais tout pour ne pas l'écrire.

Je fais tout pour éviter les complexes parce qu'ils ne sont pas nécessaires.

Ta structure matricielle est isomorphe à C. Elle en a toutes les caractéristiques.

merci de pointer ce que j'ai pointer dix fois dans mon précédent message.

Tu as simplement remplacé une équation diff d'ordre deux par un système diff d'ordre 1 à deux équations.

sans déconner ? je ne m'en étais pas rendu compte...

Si tu passe en Laplace ce système diff, tu tombes sur un système algébrique qui te ressort les deux pôles. (Normal, ils sont incontournables.)

et pourquoi j'aurais envie de passer en Laplace déjà ? Tu as du mal à voir ce que j'ai envie d'accomplir on dirait.

Ben, vu qu'il y a un isomorphisme, c'est tout comme.

Il ne faut pas tout mélanger. Il est clair que la structure est isomorphe à C et j'en ai même montré certains aspects. Par contre, la solution dans ce formalisme s'écrit comme une seule exponentielle "complexe" (au sens des matrices que j'ai introduites) et non comme une somme avec deux fréquences.

L'energie mécanique est par ailleurs le "module au carré" du vecteur/"complexe" que j'ai présenté et par définition des transposés on voit que l'energie mécanique est conservée dans le système.

Pour moi, les complexes, c'est cela :
Formellement, cela revient à assimiler l'ensemble des nombres complexes à l'anneau quotient ℝ[X]/(X² + 1), dans lequel deux polynômes appartiennent à la même classe d'équivalence si et seulement s'ils ont le même reste de division euclidienne par X²+ 1.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_...polyn.C3.B4mes

Désolé, c'est des maths que je ne connais pas bien et qui ne me parlent pas du tout.

J'ai l'habitude de manipuler des fonctions de transfert, donc des rapports de polynômes. Et j'imagine que tu comprends pourquoi le polynôme X^2+1, l'oscillateur et la double intégration sont si centraux et importants?

je comprends pourquoi certains le considère comme important. Je comprends moins pourquoi ils veulent en faire une religion, mais je rate peut être quelque chose .

[doul11]

Ton cos est vecteur d'un ev de dimension 2. (caractérisé par \omega et \phi)
Tu peux choisir cos et sin si tu veux.
Je peux choisir e^it et e^-it si je veux.
C'est tout pareil, c'est des maths...

Sur le cercle unité un cos est une composante d'un vecteur, l'autre étant le sinus, ou encore les composantes sont la partie réelle et imaginaire, je ne sais pas d'ou sort ta définition et encore moins quel est son utilité ?

Pourquoi une fréquence ne serait-elle pas négative?

Parce que ça ne marche pas avec la définition de la fréquence

Argument idiot.
Cro magnon non plus n'avait pas besoin des complexes...
Bref.

La je touche un point sensible hein ? ça ne te plait pas que je dise ça, c'est pourtant vrai, que ça te plaise on pas, il y a d'autres moyens pour appréhender la physique.

Tu te fous de moi?
C'est toi qui a mis le débat niveau collège. Je te réponds à ton niveau.
gatsu met le débat niveau licence, je le suis et répond à ce niveau licence.

J'ai donné l'exemple d'une modulation d'amplitude d'un cosinus par un autre cosinus dont la fréquence tend continument vers 0 : Cela fait apparaitre la fréquence négative, aussi bien que la positive.

C'est on ne peut plus physique, d'après tes propres critères...

Cordialement.

Tu peux dire tout ce que tu veux, tu ne réponds toujours pas a ma question ! Et au passage louloute/Qc a donné des moyens simples pour faire sauter cette fréquence négative.

[invite93279690]

Oh que non.
C'est plutôt dans le discours des physiciens que je me perds...
Pourquoi une fréquence ne serait-elle pas négative?

C'est comme le i des complexes : i^2=-1
mais (-i)^2=-1 aussi.
Le choix de i ou -i est arbitraire, tout comme le choix de f ou -f pour la fréquence.

Qu'un physicien affirme qu'une fréquence est positive par convention ne me gène pas trop.
Qu'il dise que la fréquence négative n'est pas physique alors que la fréquence positive l'est me surprend plus car il n'y a pas de critère objectif pour le décider.
C'est juste un choix arbitraire.

sur ce point je suis tout à fait d'accord. Pour préciser les choses ce que je conteste c'est l'existence de deux fréquences pertinentes pour une fonction réelle. Pour une fonction périodique f(x) definie sur R, la période T a une définition très claire qui est telle que f(x+T) = f(x). Il suffit d'introduire y tel que x=y-T pour voir que f(y-T)=f(y) et que donc on peut aller dans les deux sens. La fréquence est l'inverse de ce nombre...y-a-t-il vraiment un problème avec cette définition ?

[stefjm]

Bonsoir gatsu et merci pour ton intervention.
Sur les aspects techniques, nous sommes d'accord.
Reste les aspects plus philosophique ou physique...

si elle est pénible mais qu'elle m'empeche de me prendre la tête avec une fréquence négative qu'à cela ne tienne, j'achète !

C'est tout à fait ton droit, mais je n'en vois pas l'intérêt?

Où sont les arguments, les calculs ? Je me fais chier à écrire des matrices et toi tu me dis "ça se voit avec une peu d'habitude", tu te fous de moi ?

Non, du tout. Excuse moi si je t'ai froissé.
Il y a des trucs en maths qui me paraissent évidents et démontrés et donc, ce n'est donc pas très utile de les redémontrer.

Je fais tout pour éviter les complexes parce qu'ils ne sont pas nécessaires.
et pourquoi j'aurais envie de passer en Laplace déjà ? Tu as du mal à voir ce que j'ai envie d'accomplir on dirait.

Je vois bien ce que tu essaies de faire : ne jamais écrire -f, mais seulement f.
Je ne dis pas qu'on ne peut pas y arriver, mais c'est se compliquer la vie pour une raison qui m'échappe...

ba non, dans l'espace de Hilbert des fonction de R dans R c'est une fonction sinusoidale la solution par définition pas une exponentielle.

Oui, mais c'est pénible parce R n'est pas clôt algébriquement. Les fonctions sinus et cosinus apparaissent comme béquilles.
Maintenant, c'est peut-être cela l'argument qui permet de définir ce qui est physique ou pas?

Il ne faut pas tout mélanger. Il est clair que la structure est isomorphe à C et j'en ai même montré certains aspects. Par contre, la solution dans ce formalisme s'écrit comme une seule exponentielle "complexe" (au sens des matrices que j'ai introduites) et non comme une somme avec deux fréquences.

Mais là encore, c'est presque évident que c'est pareil.
Tu refuses simplement une diagonalisation sur C.

L'energie mécanique est par ailleurs le "module au carré" du vecteur/"complexe" que j'ai présenté et par définition des transposés on voit que l'energie mécanique est conservée dans le système.

Oui, c'est l'hamiltonien.

je comprends pourquoi certains le considère comme important. Je comprends moins pourquoi ils veulent en faire une religion, mais je rate peut être quelque chose .

Si c'est important pour tout un corps de métier, il y a sans doute une raison?
Il y a deux pôles dans un oscillateur parce qu'il y a deux intégrations. C'est un fait très physique, explicable simplement par l'indépendance des types d'énergies (potentiel et cinétique)
Cela n'a rien d'une religion, contrairement au fameux sens physique qu'heureusement, tu n'as pas.

[stefjm]

sur ce point je suis tout à fait d'accord. Pour préciser les choses ce que je conteste c'est l'existence de deux fréquences pertinentes pour une fonction réelle. Pour une fonction périodique f(x) definie sur R, la période T a une définition très claire qui est telle que f(x+T) = f(x). Il suffit d'introduire y tel que x=y-T pour voir que f(y-T)=f(y) et que donc on peut aller dans les deux sens. La fréquence est l'inverse de ce nombre...y-a-t-il vraiment un problème avec cette définition ?

Pas de problème avec cette définition de maths.
Il y a un problème quand un physicien (un certain papillon) me dégage un des deux pôles complexes de l'oscillateur avec ce prétexte.
Un oscillateur, c'est deux pôles complexes imaginaires purs en TL.

Voir des fréquences négatives permet de préserver la cohérence avec ces deux pôles.

A la rigueur, un automaticien peut ne considérer que des fréquences positives. (c'est pénible pour les calculs, mais faisable)
Par contre, impossible de virer un des deux pôles car cela change la description physique.
(Comme montré dans mes posts de vulgarisation de l'automatique.)

Cordialement.

[stefjm]

Sur le cercle unité un cos est une composante d'un vecteur, l'autre étant le sinus, ou encore les composantes sont la partie réelle et imaginaire, je ne sais pas d'ou sort ta définition et encore moins quel est son utilité ?

M'enfin...
cos t=(e^it+e^-it)/2

Parce que ça ne marche pas avec la définition de la fréquence

Ben si...
f=1/T et rien n'empêche de considérer une période négative. C'est arbitraire...

La je touche un point sensible hein ? ça ne te plait pas que je dise ça, c'est pourtant vrai, que ça te plaise on pas, il y a d'autres moyens pour appréhender la physique.

Ca ne me gène pas.
Je suis le premier à dire qu'il y a plusieurs approches possibles.
Certaines plus efficace que d'autres selon les cas.

Tu peux dire tout ce que tu veux, tu ne réponds toujours pas a ma question ! Et au passage louloute/Qc a donné des moyens simples pour faire sauter cette fréquence négative.

Ce qui fait sens physique d'une fréquence négative est qu'une oscillation est le résultat d'une double intégration de signe positif en contre réaction. (Evident avec l'équation diff donnée par gatsu)
Il y a donc deux pôles en i.w0 et -i.w0 pour les deux fréquences.
Mais doul11 n'en a rien à foutre des pôles, du nombre d'intégrations de son système physique : Normal qu'il ne puisse rien comprendre...
Je t'invite à me fabriquer un oscillateur harmonique avec une seule intégration : Bon courage!

La remarque de louloute/Qc permet de mettre tout le monde d'accord en disant qu'il n'y a pas de problème, ce qui est vrai.
On peut considérer ou pas les fréquences négatives. C'est un choix de description.

Cordialement.

[doul11]

M'enfin...
cos t=(e^it+e^-it)/2

Tu est un cousin de Gaston Lagaffe

Sinon ton espace vectoriel n'est pas de dimension 2 : tes deux vecteurs ne sont pas linéairement indépendant, C'est cohérent avec ce que je dis depuis le début, cos est une fonction réelle qui a un réel fait correspondre un autre réel.

Ben si...
f=1/T et rien n'empêche de considérer une période négative. C'est arbitraire...

Après la fréquence négative, la période négative, c'est cohérent dans ton modèle mais je n'arrive pas a trouver un chronomètre qui me donne en temps négatif !

Ca ne me gène pas.
Je suis le premier à dire qu'il y a plusieurs approches possibles.
Certaines plus efficace que d'autres selon les cas.

Donc au delà de savoir de quoi il retourne a propos d'une fréquence négative ta démarche serai de voir si le formalisme de l'automatique peut être utile pour faire de la physique.

Mais doul11 n'en a rien à foutre des pôles, du nombre d'intégrations de son système physique : Normal qu'il ne puisse rien comprendre...

Depuis quand il faut savoir compter des pôle pour faire des intégrales ?

La remarque de louloute/Qc permet de mettre tout le monde d'accord en disant qu'il n'y a pas de problème, ce qui est vrai.
On peut considérer ou pas les fréquences négatives. C'est un choix de description.

Et donc quitte a choisir tu prends l'option la plus compliqué A mon avis pour faire de la physique il faut rester pragmatique pour ne pas s'encombrer avec des détail parce qu'au bout d'un moment on perds pied, conceptuellement parlant, et on ne peut plus faire de physique. On voit souvent l'exemple sur le forum de gens qui se jettent a corps perdu dans les équations en espérant trouver un résultat correct, ça ne marche pas il faut comprendre ce que l'on fait et travailler avec des concepts clairement définis et qui soient les mêmes pour tous, sinon on ne peut ni calculer ni échanger. Pour moi un fréquence négative n'entre clairement pas dans ce cadre.

[stefjm]

Sinon ton espace vectoriel n'est pas de dimension 2 : tes deux vecteurs ne sont pas linéairement indépendant, C'est cohérent avec ce que je dis depuis le début, cos est une fonction réelle qui a un réel fait correspondre un autre réel.

Les solutions de l'équation harmonique forment un espace vectoriel de dimention 2 :
base C.cos(wt+phi) sur R
base A.cos wt + B.sin wt sur R
base D.e^iwt + E.e^-iwt sur C.

C'est incontournable.

Après la fréquence négative, la période négative, c'est cohérent dans ton modèle mais je n'arrive pas a trouver un chronomètre qui me donne en temps négatif !

J'ai mieux puisque j'ai un analyseur de spectre analogique ou numérique qui me donne les fréquences négatives.

Donc au delà de savoir de quoi il retourne a propos d'une fréquence négative ta démarche serai de voir si le formalisme de l'automatique peut être utile pour faire de la physique.

En l'occurence ici, c'est plus du traitement du signal que de l'automatique.
Les physiciens vont me dire qu'ils n'ont rien à foutre des théorèmes de traitement du signal? (Le traitement du signal est une discipline englobante également, comme la modélisation des automaticiens, qui utilisent des maths rigoureusement.)

Depuis quand il faut savoir compter des pôle pour faire des intégrales ?

Doul11, je ne voudrais pas être méchant avec toi parce que tu vas encore trouver que je te prends pour un imbécile mais tu abuses.
J'essaie de me placer au niveau de mon interlocuteur et c'est pas toujours facile de placer le curseur. Par défaut, pour éviter de prendre les gens pour des cons incultes, je place toujours le courseur très haut. (si besoin, je le redescends et j'explique...)

Une intégration temporelle en boucle ouverte (ie sans rétro action de la sortie de l'intégrateur, variable d'état, sur les entrées du système) se traduit en transformée de laplace par , c'est à dire un pôle en 0.

Compter les intégrations revient à compter les pôles!

Quand le système est bouclé (cas d'un oscillateur) les deux pôles sont toujours là, simplement, il ne sont plus en 0 mais en +-i.w0. (solution de l'équation caractéristique w0^2+p^2=0, polynome qu'on retrouve au dénominateur d'où le terme de pôles.

C'est du bac+2 à tout cassé, donc du trivial pour moi et pour tous les physiciens de ce forums...

Et donc quitte a choisir tu prends l'option la plus compliqué A mon avis pour faire de la physique il faut rester pragmatique pour ne pas s'encombrer avec des détail parce qu'au bout d'un moment on perds pied, conceptuellement parlant, et on ne peut plus faire de physique. On voit souvent l'exemple sur le forum de gens qui se jettent a corps perdu dans les équations en espérant trouver un résultat correct, ça ne marche pas il faut comprendre ce que l'on fait et travailler avec des concepts clairement définis et qui soient les mêmes pour tous, sinon on ne peut ni calculer ni échanger. Pour moi un fréquence négative n'entre clairement pas dans ce cadre.

Ha bon, c'est compliqué bac+2?
Désolé, mais c'est au contraire trivial.

Je ne fais quasiment aucun calcul, j'utilise juste des outils triviaux : TF, TL.

Je fais de la physique depuis des années en utilisant les outils de modélisation : maths, automatique, traitement du signal.

Et en plus, je pollue mes étudiants avec des considérations physiques obscures que je ne peux pas justifier...

Cordialement.

[doul11]

Ce qui est bien avec toi c'est que tu trouve que tout est trivial et après tu écrits que la physique est obscure ... Enfin pour que la discussion avance il faudrait d'autres intervenants, moi j'arrête, j'ai pas d'autres arguments. Je garde pour conclusion qu'il est normal que je ne comprenne pas ce que tu fait car tu définis tout a ta façon, je ne dis pas que ce n'est pas cohérent dans ton mode mais ça ne l'est pas dans le mien. Un autre problème est que tu cherches des justification mathématiques a des choses qui n'en ont pas, la physique ce justifie expérimentalement.

[stefjm]

Ce qui est bien avec toi c'est que tu trouve que tout est trivial et après tu écrits que la physique est obscure ...

Les maths, c'est carré, parfaitement défini, plus ou moins difficile d'accès mais carré.

La physique, ben c'est obscure parce que les concepts de grandeurs physiques ne sont pas clairement définis. (Genre, on vire la moitié d'une TF parce que cela arrange pour une pulsation mais on garde toute la TF pour des franges d'interférences en espace....)

Enfin pour que la discussion avance il faudrait d'autres intervenants, moi j'arrête, j'ai pas d'autres arguments. Je garde pour conclusion qu'il est normal que je ne comprenne pas ce que tu fait car tu définis tout a ta façon, je ne dis pas que ce n'est pas cohérent dans ton mode mais ça ne l'est pas dans le mien.

Toutes les maths dont il est question ici et que j'ai écrite au dessus sont correctes. (J'ai demandé à un mathématicien de jeter un oeil à ce fil...)
Je ne définis rien à ma façon, mais à celles de professionnels diplômés et reconnus en traitement du signal et automatique.

Un autre problème est que tu cherches des justification mathématiques a des choses qui n'en ont pas, la physique ce justifie expérimentalement.

Je fais la même physique que toi puisque je prédis les mêmes choses.
Simplement, quand une transformation donne deux valeurs, je n'en vire pas une des deux sans raison.

Si je définis une valeur efficace comme réelle positive et que la résolution d'une équation me donne des valeurs complexes ou négatives, je les rejettes en me disant que j'ai rajouté des solutions parasites lors de la résolution.

Ici, ce n'est pas le cas.

J'utilise une transformation mathématique qui ne rajoute aucune information parasite.

Et pour convaincre des physiciens, j'ai donné deux exemples physiques:
Une modulation d'amplitude
Une interférence spatiale.

Ceci dit, je ne suis pas contre que d'autres intervenants m'expliquent ces fumeux aspects physiques auxquels je ne comprends rien...

Cordialement.

[invite47ecce17]

Toutes les maths dont il est question ici et que j'ai écrite au dessus sont correctes. (J'ai demandé à un mathématicien de jeter un oeil à ce fil...)

Lol

[stefjm]

Lol

Dans les grandes lignes?
Si tu veux bien préciser les points litigieux, cela m'intéresse.

[invite47ecce17]

Dans les grandes lignes?
Si tu veux bien préciser les points litigieux, cela m'intéresse.

Bon, dejà excuse moi pour mon "Lol" c'etait pas tres constructif.

Ensuite un des problemes de ce fil (et des autres qui ont été recemment ouvert ) c'est que vous utilisez souvent un vocabulaire approximatif qui rend les assertions, parfois fausses, parfois vide de sens en l'etat, parfois interpretable de plein de façons differentes.
Si je rajoute à ça, les soupoudrage de trivial et d'evidents pour en general les seules choses a peu pres non triviales du discours, voire des choses a peu pres vide de sens ou meme carrément fausses.
Ca donne un fil tres indigeste et... exasperant.

Alors reprenons du début. Dejà votre probleme c'est que votre notion d'equation differentielle (et de solution d'une equation differentielle) n'est pas assez precise.
Une équation differentielle ordinaire (que je prendrais homogène pour simplifier, si vous la voulez non homogène, il faudra remplacer certains vectoriels par des affines dans le laïus qui suit), c'est la donnée de
-Un R-espace vectoriel normé V (que tout le mondre prendre complet parce que sinon c'est trop compliqué).
-Une fonction infiniement differentiable d'un ouvert de R^nxR dans V, que je noterai F disons.
-(optionnel) D'un point de V^n.
Une solution d'une equation differentielle c'est la donnée d'un intervalle I de R, et d'une fonction f de I dans V, verifiant F(t,f(t),f'(t),...,f^(n)(t))=0 (optionnel avec condition initale, on rajoute la condition (f(0),...,f^(n)(0))= le point donné).

Bon alors vous remarquerez que les equation differentielles que l'on note pourtant de la meme façon y"+y=0, ne sont PAS la meme équation differentielle selon que l'on prend V=R ou C.
Si F est linéaire, sous certaines hypotheses que j’omettrai ici, on peut prouver que l'ensemble des solutions locales d'une equation differentielle forme un R-espace vectoriel isomorphe à V^n. C'est un point non trivial.
Au passage, la encore dire tel truc "engendre un espace de dimension bidule etc...", en l'etat ca ne veut rien dire. Ce qui a du sens c'est d'engendrer un SOUS-espace d'un espace vectoriel donné dont on a une famille d'element. Je reviendrai la dessus tout à l'heure.

Si on regarde l'équation y"+y=0 dont on cherche les solution à valeur dans V=R, alors l'ensemble des solutions est un R-espace vectoriel de dimension 2, et e^it e^{-it} n'en est PAS une base (ce ne sont meme pas des solutions). Une base en est par exemple cos et sin.
Si on regarde l'equation y"+y=0 dans C, alors l'ensemble des solutions est un R-espace vectoriel isomorphe à C^2, il a une structure de C espace vectoriel et on un peut en donner une C-base, qui est par exemple e^it et e^-it, ou cos et sin egalement.

Il existe egalement une notion d'equation differentielle complexe, il suffit alors de remplacer R par C dans mon laïus precedent.
L'equation y"+y=0 est alors encore une equation differente, et une base peut etre donnée par cos(z) et sin(z), ou exp(iz) et exp(-iz).

Pourquoi ce laïus? Parce que ce genre de phrase en l'etat est vide de sens

Ton cos est vecteur d'un ev de dimension 2. (caractérisé par \omega et \phi)
Tu peux choisir cos et sin si tu veux.
Je peux choisir e^it et e^-it si je veux.

Si vous precisez rigoureusement quel est le probleme que vous voulez resoudre, alors vous devriez vous apercevoir que non on ne peut pas toujours remplacer cos par la formule de moivre.

Alors pourquoi dans le cas de l'oscillateur harmonique traditionnel, l'equation que l'on regarde c'est y"+y=0 à valeur de R dans R? Et bien parce que cela fait partie du modèle justement. En mecanique newtonienne, dans ce cadre là, il faut définir l'espace des phases qui est en gros l'espace ou vous allez chercher vos solutions. Et ca fait partie de la modélisation de la situation justement. Et il se fait que pour la situation de l'oscillateur, on modélise la chose par une position (et une vitesse et une accelration) à valeur réelles. Pourquoi? Est ce qu'on pourrait faire autrement? C'est un autre débat. Mais en l'occurence c'est comme ca dans le cadre classique. Et donc l'equation que l'on obtient c'est bien y"+y=0 avec V (de mon laïus precedent) qui vaut R.

En general on ne dit pas tout ca de manière propre et explicite, et on fait appel au "sens physique" (que je n'aime pas beaucoup si ca peut te rassurer) pour dire quelles solutions on veut, ce qui revient a dire je cherche les solutions réelles (et dans d'autres cas, je cherche les solutions telles que, ceci ceci et cela).

La question de savoir, si le fait de rajouter des hypothèses ad hoc, fait que le modèle choisi est bon ou pas (ou à tout le moins qu'on peut l'améliorer), est à mon avis une question interessante, et ce serait domage de passer à coté, parce que je pressens que "dans le fond" c'est ça la question que tu te poses.

[invite47ecce17]

Au passage je precise un truc, qu'affectionne beaucoup les physiciens d'ailleurs mais egalement les matheux.
Quand on cherche à resoudre une equation differentielle à valeur dans V (je dis ca de manière synthétique, pour preciser l'espace V en question de mon laius precedent), il n'est pas ininteressant de resoudre l'equation analogue mais à valeur dans V' pour V' un espace vectoriel contenant V. Car une solution a valeur dans V est a fortiori une solution à valeur dans V'. Si l'on y arrive, pour résoudre le probleme initial, il faut ENSUITE retrouver nos petits, et trouver le sous espace de l'espace des solutions à valeur dans V' correspondant à l'espace des solutions à valeur dans V.
Pour V=R et V'=C, on (ou meme R^n et C^n) cette procédure est facile car alors l'espace des solutions à valeur dans V est simplement le noyau de conj-1, où conj est l'operateur de conjugaison complexe. C'est pour cela que ca arrive souvent meme si on cherche des solutions à valeurs dans R, de d'abord résoudre dans C, puis de prendre les invariants sous la conjugaison. Mais la résolution consiste bien en ces deux etapes. Et oublier la seconde, c'est ne pas résoudre le probleme.