Que voit-on en tombant dans un trou noir ?

[Mailou75]

Bonsoir,

J'aimerais vous soumettre une question d'ordre général mais qui fait appel à une bonne maitrise du sujet, c'est pourquoi je poste volontairement la question dans la section "pros". Je reprends actuellement une étude, que j'avais laissée en standby, sur ce que voit un observateur en chute libre vers un trou noir et je bute toujours sur la même chose.

Le sujet s'inscrit dans le cadre : Trou noir de Schwarzschild + déplacement radial + chute depuis l'infini + uniquement au dessus de l'horizon. J'arrive très bien à déterminer comment l'observateur éloigné voit l'environnement du trou noir et le voyageur en chute libre. J'arrive aussi à déterminer ce que voit un observateur à r donné, son environnement et le voyageur, quelle que soit sa position par rapport à r. Mais je n'arrive pas à établir avec certitude ce que voit celui qui chute, même en se restreignant au cas radial. La difficulté ici va être d'arriver à faire comprendre ma question...

Le principe d'aberration de la lumière en relativité restreinte nous dit : Si un observateur A voit un objet à une distance de 1km et qu'un objet B passe à coté de A à 80% de la vitesse lumière, alors au même instant (évènement de croisement), B verra le même objet à 3km, car le Doppler radial vaut z+1=3 pour v=0,8c. Jusqu'ici pas de problème...

Prenons maintenant un observateur A en r qui voit l'horizon du trou noir à une distance de 1km et supposons qu'au passage à cette coordonnée r, notre voyageur B à justement une vitesse locale de chute libre de 0,8c (les valeurs réelles n'ont aucune importance dans le cadre de la question). En supposant que pour A tout est "visiblement plat" (il ne voit pas les déformations de l'espace-temps, au mieux il voit des shifts) et en appliquant le principe d'aberration précédemment cité on trouve que le voyageur voit l'horizon du trou noir à 3km !

Le premier point est de savoir si le principe est applicable... mais il est évident que A et B reçoivent les mêmes photons et donc les mêmes informations de leur environnement, avec lesquelles ils vont fabriquer des images différentes. Ce que voit B est donc une déformation de ce que voit A, qui plus est, localement (RR) en accord avec le principe d’aberration.

J'ai tenté par d'autres moyens, pour justifier de ce résultat, de dessiner "le repère de celui qui chute" et j'obtiens presque la même chose que ce qui est décrit plus haut. Ceci m'amène à trois questions :

1/ Si le principe décrit est juste de façon générale (on pourra discuter des détails plus tard) alors ça veut dire que plus r est est petit, cad que A est proche de l'horizon du trou noir, plus la vitesse de chute de B sera grande et tendra vers c et donc que : plus B s'approche de l'horizon (vu par les immobiles), plus il va voir l'horizon s'éloigner car le Doppler radial/aberration (le z+1 associé à sa vitesse) va tendre vers l'infini à mesure que la vitesse locale tend vers c.

2/ Dans le système que j'ai essayé d'établir que trouve "presque" la même chose, mais pas tout à fait... Serait-il possible que B ne prenne pas simplement l'image vue par A et la transforme via l'aberration, stricto RR, mais que ce que voit B soit quelque chose de "proche" mais pas exactement l'application de l'aberration en espace plat ?

3/ Pourquoi le système de coordonnées de Lemaître, réputé celui de l'observateur en chute libre depuis l'infini n'est-il pas celui qu'on cherche ? On ne peut pas projeter le cône passé sur un plan euclidien perpendiculaire à la ligne de vie (axe temps du repère) pour produire ce que voit le voyageur. Quelles sont les caractéristiques du repère recherché, puisque le mien n'est peut être pas le bon non plus ..?

Merci pour votre attention et merci d'avance pour vos réponses

Mailou
-----

[mach3]

Salut,

J'ai retrouvé le "grand frère" de ce fil :

https://forums.futura-sciences.com/a...trou-noir.html

Si je comprend bien, le sujet concerne la distance angulaire, celle qu'on calcule à partir de la taille angulaire et la taille réel d'un objet, et qui correspond, vu que c'est angulaire, à ce que l'on voit avec un oeil (*). Pour être pleinement traitée, la question semble nécessiter la connaissance des géodésiques de genre nul de la métrique de Schwarzschild, et pas seulement les radiales. Il semble qu'il faille prendre toutes les géodésiques nulles qui ont pour propriété de frôler l'objet considéré et de croiser la ligne d'univers de l'oeil en un même évènement (on peut se limiter à une d'entre-elle si la symétrie le permet, par exemple objet cylindrique dont l'axe est suivant une radiale et observé le long de cette radiale) et ensuite calculer l'angle que font entre elles les projections de ces géodésiques sur un espace 3D qui serait orthogonal à la ligne d'univers de l'oeil en l'évènement où les géodésiques nulles la coupe
et dont la métrique serait localement celle d'Euclide.

Quelques points rapides (pas de temps pour développer malheureusement) :
-un chuteur libre radial culminant en r_max verra en r_max la même chose qu'un observateur stationné en r_max (les variables angulaires étant constantes).
-si on sait ce que voit un chuteur libre radial en r, on peut en déduire ce que voit un autre chuteur libre quand ils se croisent en r, via une transformation de Lorentz locale
-la principale difficulté est donc d'établir ce que voit un observateur stationné en un r donné en utilisant les géodésiques nulles non radiales. Ensuite, on pourra convertir en ce que voit n'importe quel chuteur passant en r.

m@ch3

* : je préfère ne considérer qu'un seul oeil, car je n'ai aucune idée de la correspondance entre la distance mesurée par parallaxe et distance angulaire...

[Pio2001]

Je suppose que vous avez vu les simulations faites par Alain Riazuelo. Elles peuvent donner des éléments de réponse.

https://www.youtube.com/watch?v=tCngc1fibG4

Les séquences intéressantes sont
26:30 images vues par un observateur quasi-stationnaire qui s'approche du trou noir et qui regarde vers le trou noir
27:06 images vues par ce même observateur qui regarde dans une direction perpendiculaire au trou noir
27:24 images vues par ce même observateur qui regarde dans la direction opposée au trou noir

28:29 images vues par un observateur sur une orbite dont le périastre est à deux fois le rayon du trou noir et qui regarde devant lui
29:55 images vues par ce même observateur qui regarde dans une direction perpendiculaire à son mouvement

31:06 images vues par un observateur en chute libre jusqu'à la singularité et qui regarde devant lui (le passage de l'horizon est signalé par un flash vert dans l'animation)
Attention, à 32:23, la vidéo rejoue la vue de l'observateur quasi-stationnaire
32:55 images vues par un observateur en chute libre jusqu'à la singularité et qui regarde sur le côté (le passage de l'horizon est signalé par un flash vert dans l'animation)

[Mailou75]

Salut et merci pour vos réponses,

Je suppose que vous avez vu les simulations faites par Alain Riazuelo.

Figure toi que, à cause du titre du fil, j'ai hésité à préciser "Merci de ne pas me renvoyer vers les vidéos de AlainR".
Faut croire que j'aurais dû... La raison est que trop d'info tue l'info : on ne peut peut extraire aucun principe simple après visionnage or ce que je cherche c'est justement un principe. Quant aux "notes de calcul" fournies avec la vidéo c'est juste imbitable, à mon niveau.

............

J'ai retrouvé le "grand frère" de ce fil : https://forums.futura-sciences.com/a...trou-noir.html

C'est ça... je pensais le sujet en standby depuis un an, en fait c'est plus que deux... comme tu peux le voir, le fil n'a pas obtenu les réponses attendues.

Pour être pleinement traitée, la question semble nécessiter la connaissance des géodésiques de genre nul de la métrique de Schwarzschild, et pas seulement les radiales.
(...)
* : je préfère ne considérer qu'un seul oeil, car je n'ai aucune idée de la correspondance entre la distance mesurée par parallaxe et distance angulaire...

Non, comme précisé, le sujet peut parfaitement se limiter au cas radial. Une réponse "complète" 2D+t nécessitera de connaitre ces géodésiques dans l'espace temps, mais c'est hors sujet ici, on reste en 1D+t.

Comme il s'agit d'une image fabriquée par un observateur, distance angulaire et distance évaluée par parallaxe sont identiques. Supposons que l'objet soit d'une dimension égale à l'écartement entre mes deux yeux. Les triangles [oeil-oeil-centre de l'objet] et [bord d'objet-bord d'objet-oeil de cyclope] seront exactement les mêmes, mais tête bêche. La distance angulaire définit ce qui est vu sur un plan euclidien et on peut sur ce plan faire de la géométrie classique.

-un chuteur libre radial culminant en r_max verra en r_max la même chose qu'un observateur stationné en r_max (les variables angulaires étant constantes).
-si on sait ce que voit un chuteur libre radial en r, on peut en déduire ce que voit un autre chuteur libre quand ils se croisent en r, via une transformation de Lorentz locale

Certes, au point culminant un chuteur est identique à un immobile. Autant traiter les immobiles, l'ajout de ces chuteurs non issus de l’infini n'apporte rien, c'est à nouveau hors sujet.

-la principale difficulté est donc d'établir ce que voit un observateur stationné en un r donné en utilisant les géodésiques nulles non radiales. Ensuite, on pourra convertir en ce que voit n'importe quel chuteur passant en r.

Ce que voit un immobile en r radialement est facile à définir, j'ai dit que j'y arrivais. Mais à lire ta réponse j'ai l'impression que tu prends parti sur la question posée : apparemment pour toi il suffit de considérer ce que voit l'immobile en r "comme s'il était en espace plat" et d'appliquer une transformation d'aberration sur la base de cette image pour obtenir celle vue par le mobile.

Tout le sujet est là : est-ce vraiment le cas selon toi ? Suivant l'exemple de mon premier post ça veut donc dire que si l'immobile en r voit un horizon à 1km, alors celui qui passe en chute libre à 0,8c voit l'horizon à 3km?

Ceci répondrait donc aux questions 1 et 3 : Oui il faut appliquer l'aberration et Lemaitre ne parche pas puisqu'il donnerait autre chose par projection du cône passé.

Reste la question 2 : Est-ce strictement une déformation comme en espace temps plat ou peut il y avoir une légère différence ? Justifier la différence n'est pas évident car on connait le shift qui doit être vu. Et ce shift est directement en rapport avec ce qui est vu puisque un solide sera vu d'autant compressé spatialement qu'il est étiré dans le temps (redshifté). C'est lié à ce que vous appelez il me semble la conservation du tenseur de Ricci égal à 1. Si on connait le shift z+1 on doit aussi connaitre ce qui est vu : 1/z+1.

Je serais donc en mesure de dessiner ce que voit le chuteur. J'aurais aimé justifier le résultat par un changement de repère (comme on peut le faire en RR pour justifier du résultat de l'aberration) seulement je n'y arrive pas. Le repère le plus logique que j'ai pu construire (un espèce de Painlevé redressé où le temps est Tau sur un axe vertical et les trajectoires des immobiles sont devenues des cycloides, un simple changement de repère "classique" par glissement horizontal, donc pas grand chose relativiste) ne donne pas exactement la même chose :
- pour ce qui est au dessus du chuteur ça pourrait passer pour une erreur de précision tellement c'est pouillème, mais j'ai suffisamment confiance dans mes dessins pour savoir que c'est trop...
- pour ce qui est en dessous la différence est flagrante même si, en ordre de grandeur, on est très proche de l'aberration

Bref, je conçoit que si le repère que je cherche n'est représenté nulle part, tu ne vas pas me le sortir du chapeau juste parce que je le demande. La question de fond, pour l'instant, est surtout de savoir si le principe général est le bon et si, par conséquence directe, AlainR a tout faux ? (puisqu'en tombant dans un trou noir on le voit s'éloigner)

Merci d'avance

Mailou

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pio2001]

Supposons que l'objet soit d'une dimension égale à l'écartement entre mes deux yeux. Les triangles [oeil-oeil-centre de l'objet] et [bord d'objet-bord d'objet-oeil de cyclope] seront exactement les mêmes, mais tête bêche. La distance angulaire définit ce qui est vu sur un plan euclidien et on peut sur ce plan faire de la géométrie classique.

Normalement, je ne devrais pas intervenir dans cette catégorie du forum, mais n'y a-t-il pas là une erreur ?
Pour un objet et un observateur immobiles situés tous deux sur une droite passant par le trou noir, les rayons lumineux issus de l'objet le plus proche du trou noir (A) et dirigés vers l'objet le plus loin (B) ne vont-ils pas être affectés d'une courbure divergente ? Et ceux issus de l'objet le plus éloigné et dirigés vers l'objet le plus proche, d'une courbure convergente au contraire ?

Suivant l'exemple de mon premier post ça veut donc dire que si l'immobile en r voit un horizon à 1km, alors celui qui passe en chute libre à 0,8c voit l'horizon à 3km?

Comment définit-on (rigoureusement) "voir un objet à une distance d" ?

Désolé si je suis à côté de la plaque... n'hésitez pas à me le faire savoir.

[mach3]

Supposons que l'objet soit d'une dimension égale à l'écartement entre mes deux yeux. Les triangles [oeil-oeil-centre de l'objet] et [bord d'objet-bord d'objet-oeil de cyclope] seront exactement les mêmes, mais tête bêche. La distance angulaire définit ce qui est vu sur un plan euclidien et on peut sur ce plan faire de la géométrie classique.

Normalement, je ne devrais pas intervenir dans cette catégorie du forum, mais n'y a-t-il pas là une erreur ?

Je pense bien que oui. Cela mérite bien sûr un examen plus approfondi, mais au feeling ce raisonnement ne fonctionne qu'en espace-temps plat (et peut-être même pas dans tous les cas de figure en espace-temps plat). Faut étudier en profondeur les sous-entendus de l'affirmation ou considérer comment l'étude des géodésiques de genre nul pourrait réfuter l'affirmation. Pas le temps hélas.

m@ch3

[Mailou75]

Re,

Pour un objet et un observateur immobiles situés tous deux sur une droite passant par le trou noir, les rayons lumineux issus de l'objet le plus proche du trou noir (A) et dirigés vers l'objet le plus loin (B) ne vont-ils pas être affectés d'une courbure divergente ? Et ceux issus de l'objet le plus éloigné et dirigés vers l'objet le plus proche, d'une courbure convergente au contraire ?

Si bien sûr ! Et c'est pour ça que j'insiste sur les limites du sujet : Schwarschild + chute de l'infini + radial + extérieur
Pour ne pas tomber, justement, sur ces questions et la résolution complète du problème qui m'est inaccessible pour l'instant. On trouve des formules pour exécuter ce que tu décris mais elles sont en 2D, on connait donc des lieux mais pas des évènements (donnée temporelle manquante). Le tracé 2D+t (type ligne d'univers) des géodésiques nulles n'a pas, à ce que j'ai compris, de solution analytique. C'est pas que ça me fasse peur, tâtonner à 8 chiffres derrière la virgule j'ai déjà fait (mach3 pourrait te parler de Novikov par exemple...), l'ennui c'est que je n'ai même pas les formules... bref, tout ce qui concerne de la 2D autre que "infinitésimal sur la ligne de visée" est hors sujet, j'en suis plus navré que toi

Comment définit-on (rigoureusement) "voir un objet à une distance d" ?

Ah, question piège si on retire les deux yeux ou la dimension orthoradiale de l'objet pour trianguler... une réponse simple est : c'est la distance à laquelle se trouve un objet (en espace temps plat). La définition de la distance angulaire est celle de l'astronomie, de la trigonométrie : tan (angle) = taille de l'objet / distance angulaire, pourtant il existe bien une distance vue pour un point (sur une ligne). En reprenant l'exemple de A et B en RR : pour B, l'évènement vu se trouve bien à 3km dans son référentiel, l'aberration n'est pas une illusion d'optique, ça c'est rigoureux

Si je devais tenter une définition je dirais : distance à l'émission dans le repère de l'observateur (en espace temps plat cette distance vaut c*t où t est le temps de parcours du photon). C'est ce qui permet de projeter simplement le contenu du cone sur un plan perpendiculaire au temps et c'est tout le sujet justement.... établir le bon "repère d'observateur" pour le voyageur en chute libre.

......

Je pense bien que oui.

Si si parce qu'on parle d'une image, un truc figé, pas des trajectoires des objets ou des photons.

Mais vous m'emmenez vers des terrains où je ne souhaite pas aller dans cette discussion, ce qui m'intéresse en priorité c'est ceci :

-si on sait ce que voit un chuteur libre radial en r, on peut en déduire ce que voit un autre chuteur libre quand ils se croisent en r, via une transformation de Lorentz locale

Plusieurs propositions :

1 - La citation est vraie > plus on s'approche du trou noir plus il semble s'éloigner > AlainR a tort > chercher le bon repère

2 - Mon repère "pseudo Painlevé" est juste > je ne sais pas justifier le delta entre dimension vue et shift

3 - AlainR a raison > pourtant mach3 a forcément raison localement > WTF ??

Merci

[Pio2001]

Si je devais tenter une définition je dirais : distance à l'émission dans le repère de l'observateur (en espace temps plat cette distance vaut c*t où t est le temps de parcours du photon).

Dans ce cas la réponse est simple : l'horizon du trou noir se trouve à une distance infinie de tout observateur extérieur au trou noir.

L'absurdité de la réponse vient du fait que l'on a considéré que l'espace-temps était localement plat au niveau de l'horizon du trou noir. Ce qui n'est pas une approximation légitime.

Mais vous m'emmenez vers des terrains où je ne souhaite pas aller dans cette discussion, ce qui m'intéresse en priorité c'est ceci :

-si on sait ce que voit un chuteur libre radial en r, on peut en déduire ce que voit un autre chuteur libre quand ils se croisent en r, via une transformation de Lorentz locale

Plusieurs propositions :

1 - La citation est vraie > plus on s'approche du trou noir plus il semble s'éloigner > AlainR a tort > chercher le bon repère

2 - Mon repère "pseudo Painlevé" est juste > je ne sais pas justifier le delta entre dimension vue et shift

3 - AlainR a raison > pourtant mach3 a forcément raison localement > WTF ??

Là encore j'insiste pour définir plus clairement la question que l'on pose.

Dans la citation de Mach3 "déduire ce que voit un autre chuteur libre", que signifie exactement "voir" ?

En effet, dans les trois propositions, tu cites les résultats d'Alain Riazuelo en 1 et 3. Or Alain ne montre que des images. Parles-tu de la dimension angulaire apparente du disque noir sur ces images (étant donné le champ angulaire représenté à l'écran et le type de projection utilisé) ?

Dans ce cas, deux remarques : le disque noir n'est pas une image de l'horizon du trou noir mais une simple zone d'ombre. On dit que le trou noir, si on pouvait le le voir (je ne sais pas dans quel cadre exactement on parle ici de "voir"), aurait un diamètre apparent deux ou trois fois plus petit que cette zone d'ombre.

Et d'autre part, tu ne peux pas faire intervenir ce diamètre apparent dans tes propositions 1 et 3 si au départ tu te proposes de négliger tout ce qui se passe en dehors de la ligne de visée. En effet, cela reviendrait à donner une valeur que tu as choisi de négliger dans tes hypothèses de départ.

[Lansberg]

Salut Mailou,

tu peux consulter les pages de ce site : https://www.spacetimetravel.org/reis...reiseziel.html
(Institut de Physique de l'Université d'Hildesheim).

[Pio2001]

On dit que le trou noir, si on pouvait le le voir (je ne sais pas dans quel cadre exactement on parle ici de "voir"), aurait un diamètre apparent deux ou trois fois plus petit que cette zone d'ombre.

J'ai trouvé : c'est le diamètre apparent sous lequel on verrait une sphère dont le rayon serait le rayon de Schwarzschild du trou noir, mais qui se trouverait dans un espace plat.

[Mailou75]

Salut et merci,

tu peux consulter les pages de ce site : https://www.spacetimetravel.org/reis...reiseziel.html

J'ai tout lu attentivement, j'ai quelques remarques :

- La figure 4b correspond à 45km au dessus de l'horizon d'un TN de 30km (10 masses solaires). J'aurais dit 45km depuis le centre ce qui ferait 1,5Rs, soit l'orbite des photons et donc une concordance avec de qui est expliqué deux lignes au dessus (voir son dos, sous entendu le long d'une droite).

- While we pause at the last station 4 kilometres above the horizon, he passes by us at 99.75 percent of the speed of light : Non, à 34/30=1,16Rs la vitesse de libération est de 0,939c. Du coup l'aberration ne permet pas d'expliquer qu'on passe de "tout derrière" (fig 6b) à "tout devant" (fig 7).

- One can figure out that the freely falling observer still sees the black hole with an angular diameter of less than 90 degrees in the instant he crosses the horizon : Au moment où on traverse l'horizon on voit un trou noir devant soi ?..

Bref, quoi qu'il en soit c'est hors sujet car j'insiste : je me limite à une dimension spatiale.

..........

Dans ce cas la réponse est simple : l'horizon du trou noir se trouve à une distance infinie de tout observateur extérieur au trou noir.
L'absurdité de la réponse vient du fait que l'on a considéré que l'espace-temps était localement plat au niveau de l'horizon du trou noir. Ce qui n'est pas une approximation légitime.

La réponse est contenue dans la question... c'est absurde.

Dans la citation de Mach3 "déduire ce que voit un autre chuteur libre", que signifie exactement "voir" ?

Déjà répondu, je réessaye. Si tu mets bout à bout 30 règles de 1m tu verras l'extrémité à 30m. En espace plat on voit "ce qui est", 30m c'est une distance angulaire vue. Ensuite en espace courbe on verra des trucs bizarres mais à cet emplacement on pourra dire qu'un objet est "vu à 30m". Arf je sais même pas comment expliquer tellement c'est évident... si j'étais en train de faire de la RR, aurais tu posé la même question ? parce que la réponse est la même et la même qu'en cosmo (dA), voir c'est voir.

Parles-tu de la dimension angulaire apparente du disque noir sur ces images (étant donné le champ angulaire représenté à l'écran et le type de projection utilisé) ?

Non je parle de la distance angulaire d'un point sur une radiale 1D, c'est vous qui parlez de Riazuello et de 3D, snif...

Dans ce cas, deux remarques : le disque noir n'est pas une image de l'horizon du trou noir mais une simple zone d'ombre. On dit que le trou noir, si on pouvait le le voir (je ne sais pas dans quel cadre exactement on parle ici de "voir"), aurait un diamètre apparent deux ou trois fois plus petit que cette zone d'ombre.

Et d'autre part, tu ne peux pas faire intervenir ce diamètre apparent dans tes propositions 1 et 3 si au départ tu te proposes de négliger tout ce qui se passe en dehors de la ligne de visée. En effet, cela reviendrait à donner une valeur que tu as choisi de négliger dans tes hypothèses de départ.

Hors sujet

......

Je pense que mach3 a très bien compris la question, sa réponse au message 7 permettra sans doute d'avancer

Mailou

[Pio2001]

voir c'est voir

"Voir" n'est pas un terme scientifique.
Je reformule ma question : quelle grandeur physique souhaite-t-on mesurer ? Avec quel instrument la mesure-t-on ? En quelle unité exprime-t-on le résultat de la mesure ? Quel protocole sera mis en place pour utiliser cet instrument aux abords du trou noir ?

Mettre des règles bout à bout est un instrument de mesure valable.
Cela permet de mesurer une distance en mètres.
Mais le protocole de mesure n'est pas précisé. Or, pour deux observateurs différents, la même règle n'a pas la même longueur. Il faut préciser qui a étalonné les règles : un fabricant fixe ou en mouvement dans le référentiel où le trou noir est immobile, et il faut aussi considérer s'il est légitime de poser l'extrémité d'une règle sur l'horizon d'un trou noir.

En espace plat on voit "ce qui est", 30m c'est une distance angulaire vue.

Tu n'es pas clair. Tu répètes à longueur de message que tu ne veux en aucun cas parler d'angles, mais tu répètes que tu cherche une distance angulaire. Il faudrait savoir.

Non je parle de la distance angulaire d'un point sur une radiale 1D, c'est vous qui parlez de Riazuello et de 3D, snif...

La distance angulaire en 1 dimension... connais pas !
En une dimension, un angle ne peut prendre que deux valeurs, 0 et pi.

[JPL]

Attention, vous n’êtes pas dans le forum Discussions libres !

[Mailou75]

Attention, vous n’êtes pas dans le forum Discussions libres !

C'est pas ma faauute
Les questions 1 à 3 du premier message attendaient des réponses précises et étayées.

.......

@Pio2001;6602753

quelle grandeur physique souhaite-t-on mesurer ?

> Une distance visuelle, une position "comme si j'étais en espace temps plat et immobile" que l'on peut trianguler si on est en 2D.

Avec quel instrument la mesure-t-on ?

> L'oeil... où 30m est un point "comme si j'avais aligné 30 règles de 1m (locales, en RG)"

En quelle unité exprime-t-on le résultat de la mesure ?

> En mètres

Quel protocole sera mis en place pour utiliser cet instrument aux abords du trou noir ?

> Aucun, il s'agirait de mesurer une distance à l'émission donc un évènement passé

qui a étalonné les règles : un fabricant fixe ou en mouvement

> Le fixe, en espace plat

considérer s'il est légitime de poser l'extrémité d'une règle sur l'horizon d'un trou noir.

> J'ai précisé "+ uniquement au dessus de l'horizon", disons Rs+epsilon au miminum. Tu ne lis pas l’énoncé

tu ne veux en aucun cas parler d'angles, mais tu répètes que tu cherche une distance angulaire

> Normal c'est la même chose, enlever deux dimensions ne change pas le terme employé

La distance angulaire en 1 dimension... connais pas !

> Conjugaison du verbe voir au "présent relatif" (ne nombre de dimensions spatiales n'a pas d'importance)

Je vois un carré en mouvement
Le carré est compressé de gamma dans le sens du mouvement et l'intersection de son "volume d'univers" avec mon cône passé sera projeté verticalement sur un plan perpendiculaire à ma ligne d’univers, formant une image. Cette image a des dimensions en mètres et peut être triangulée avec une géométrie euclidienne. https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6423022

Je vois un cercle autour duquel je tourne à vitesse relativiste
A tout instant c'est comme si j'avais une vitesse tangentielle par rapport à un cercle immobile, je vois une patatoïde. C'est l'inverse du cas précédent, cette fois c'est moi qui me déplace. https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6352874

Je vois des cercles en accélérant
L'image statique d'origine va progressivement se déformer. A tout instant j'ai une vitesse donnée, je suis colinéaire à un autre observateur à vitesse identique constante, je vois la même chose que lui. https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6027047

Je vois des cercles sur un plan rigide qui accélère
Ceux de devant accélèrent moins et sont étirés + blueshiftés, ceux de derrière sont compressés + redshiftés. On peut y voir une analogie avec ce que voit un statique en espace temps courbe. https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6156051

Je vois des perles identiques disposées en ligne depuis l'horizon d'un trou noir
Pour moi qui me trouve très éloigné, les perles les plus proches de l'horizon m'apparaissent compressées radialement. https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6451284

Je vois d'autres observateurs, statiques ou en rotation, aux abords d'un trou noir
Pour moi qui me trouve très éloigné (repère de droite) les autres immobiles sont compressés, du facteur inverse du redshift auquel je les vois. Inversement si je prends la position d'un immobile proche du trou noir (repères centraux) je vais voir ce qui est éloigné étiré et blueshifté. https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6441871

Je vois l'univers
Afin de pouvoir reconstituer une image cohérente, je vois les objets comobiles à leur position à l'émission. En l’occurrence la petite bille rouge sur la figure de droite est le CMB tel qu'il est vu, centré sur l'observateur à seulement 42 millions d'années lumière, car c'est sa distance d'émission à 380.000ans. C'est sa distance angulaire en cohérence avec résonances observées. https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6180912

......

On constate que la projection du cône passé sur un plan euclidien perpendiculaire à l'axe de temps n'est possible que si on est dans "le bon repère" de l'observateur. Le fait que la verticale du repère, graduée de façon régulière, soit l'axe de temps de l'observateur semble être un minimum pour que ça marche, mais pas une condition suffisante. Le pseudo-Painlevé qui redresse la trajectoire ou le repère de Lemaître, répondent à cette condition mais ne semble pas donner le résultat attendu, cad une déformation "régulière", de type aberration, déformant ce que voit un immobile en ce que voit le chuteur.

La question est donc double :
- la transformation entre ce que voit un immobile et ce que voit un chuteur est elle du type aberration RR ?
- comment construire "le bon repère" qui donnerait cette image par projection du cône passé ?

.....

Je veux bien qu'on transfère le sujet en "discussion libres" car ce qui m'intéresse c'est surtout d'avoir une réponse, mais cette réponse, unique et rigoureuse, n'est pas sujette à discussion, a priori...

Merci d'avance

Mailou

[Pio2001]

Attention, vous n’êtes pas dans le forum Discussions libres !

C'est justement parce qu'on était dans la section astrophysiciens, physiciens et étudiants avancés (la discussion vient juste d'être déplacée dans Discussions Libres) que je me permettais de demander un peu plus de rigueur qu'à l'ordinaire.

Mailou75, merci d'avoir pris le temps de répondre à nouveau, même si la rigueur n'est toujours pas au rendez-vous.
Utilisons des formulations précises et exactes dans nos énoncés. Par exemple :

quelle grandeur physique souhaite-t-on mesurer ?

> Une distance visuelle, une position "comme si j'étais en espace temps plat et immobile" que l'on peut trianguler si on est en 2D.

Ici, la distance est la grandeur physique.
"que l'on peut trianguler si on est en 2D" est le protocole de mesure de cette distance.

Avec quel instrument la mesure-t-on ?

> L'oeil... où 30m est un point "comme si j'avais aligné 30 règles de 1m (locales, en RG)"

L'oeil n'est pas un instrument de mesure, car il ne donne aucune lecture chiffrée. Cependant, on peut utiliser un appareil photographique, en donnant toutes ses caractéristiques (focale, taille du capteur, distance entre le capteur et le centre optique).

Aligner 30 règles est un autre protocole de mesure. La règle est alors l'instrument de mesure. Cette mesure donnera a priori un résultat différent de la mesure par triangulation.

Le carré est compressé de gamma dans le sens du mouvement et l'intersection de son "volume d'univers" avec mon cône passé sera projeté verticalement sur un plan perpendiculaire à ma ligne d’univers, formant une image. Cette image a des dimensions en mètres et peut être triangulée avec une géométrie euclidienne. https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6423022

Je ne maîtrise pas les calculs correspondants, mais je vois à peu près ce que tu veux dire.

Par contre, si je reprends ton message initial :

Le principe d'aberration de la lumière en relativité restreinte nous dit : Si un observateur A voit un objet à une distance de 1km et qu'un objet B passe à coté de A à 80% de la vitesse lumière, alors au même instant (évènement de croisement), B verra le même objet à 3km, car le Doppler radial vaut z+1=3 pour v=0,8c. Jusqu'ici pas de problème...

Prenons maintenant un observateur A en r qui voit l'horizon du trou noir à une distance de 1km et supposons qu'au passage à cette coordonnée r, notre voyageur B à justement une vitesse locale de chute libre de 0,8c (les valeurs réelles n'ont aucune importance dans le cadre de la question). En supposant que pour A tout est "visiblement plat" (il ne voit pas les déformations de l'espace-temps, au mieux il voit des shifts) et en appliquant le principe d'aberration précédemment cité on trouve que le voyageur voit l'horizon du trou noir à 3km !

Il y a une imprécision, tu parles de voir l'horizon du trou noir. Or on est bien d'accord que si tu cherches l'intersection de ton cône de lumière passé avec l'horizon du trou noir, tu vas avoir "de grosses difficultés", comme disait HAL9000 à Dave Bowmann.
Je suppose donc que tu cherches à voir l'intersection avec ton cône de lumière passé d'un objet proche de l'horizon du trou noir.

Dans ce cas, et le mot "Doppler" dans l'énoncé confirme mon intuition, la réponse est simple : tous les observateurs, fixes ou en chute libre, voient l'horizon à une distance infinie.
Le Doppler d'un rayon lumineux issu de l'horizon est infini.

[Mailou75]

Re,

Ici, la distance est la grandeur physique.
"que l'on peut trianguler si on est en 2D" est le protocole de mesure de cette distance.

Ok, si tu veux. Disons que pour l'expérience on utilise des triangles de base négligeable et on néglige la déformation orthoradiale. Et on ne regarde pas autour...

L'oeil n'est pas un instrument de mesure, car il ne donne aucune lecture chiffrée.

Intensité, distance angulaire, couleur !! Certes c'est pas des chiffres mais ça reste un bel instrument

Cependant, on peut utiliser un appareil photographique, en donnant toutes ses caractéristiques (focale, taille du capteur, distance entre le capteur et le centre optique).

Si ça peut faire de "voir" un "terme scientifique" je signe

Aligner 30 règles est un autre protocole de mesure. La règle est alors l'instrument de mesure. Cette mesure donnera a priori un résultat différent de la mesure par triangulation.

En espace plat si. En espace courbe non : si tu regardes le lien avec les perles au bord du trou noir, il y a environ entre la première et le dernière une distance arpentée d~7Rs (les règles) pour un intervalle vu de seulement r~5Rs (distance angulaire) par l'observateur éloigné.

Je suppose donc que tu cherches à voir l'intersection avec ton cône de lumière passé d'un objet proche de l'horizon du trou noir.

Oui, Rs+epsilon, à Rs on ne voit plus de toute façon.

Dans ce cas, et le mot "Doppler" dans l'énoncé confirme mon intuition, la réponse est simple : tous les observateurs, fixes ou en chute libre, voient l'horizon à une distance infinie.

Quoi ? Mais nooon snif... Si on était en espace plat oui, mais ce n'est pas le cas, les observateurs statiques voient bien l'horizon à une distance finie (voir perles) La question est de savoir ce que voit celui qui chute et de construire son repère.

[Mailou75]

edit : annulé

[Pio2001]

Quoi ? Mais nooon snif... Si on était en espace plat oui, mais ce n'est pas le cas, les observateurs statiques voient bien l'horizon à une distance finie (voir perles) La question est de savoir ce que voit celui qui chute et de construire son repère.

La triangulation, c'est ce que fait Riazuelo, tu ne veux pas en entendre parler.
Les mètres juxtaposés, ça marche, mais ça donne le même résultat pour l'observateur immobile et pour l'observateur en chute libre.
La mesure par radar donne une distance infinie.
L'intersection de l'horizon d'un trou noir avec le cône de lumière passée d'un observateur extérieur à ce dernier n'existe pas.
Maintenant, il s'agit de calculer la longueur de la projection d'une "parabole de Flamm". Bon, ça, je ne sais pas faire.

Tu es sûr que dans le prochain message, tu ne vas pas proposer encore une autre méthode de calcul de distance ?

[Mailou75]

Bon, ça, je ne sais pas faire.

Dis moi plutôt ce que tu sais faire, on gagnera du temps... merci d’avoir pourri mon fil.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Merci à Mailou pour la question posée.
J'ai fait un petit calcul à partir de la vitesse locale : https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6392612

Je me suis demandé comment voyait un chuteur la station de départ stationnaire en Rmax lorsqu'il atteignait l'horizon d'un TN.
J'ai calculé le blueschift perçu par un stationnaire situé à R=1.000001 Rs et je l'ai multiplié par le redschift due à la vitesse béta pour connaître le bilan Doppler final soit 1/2.
.....
Amha, si nous savons calculer l'effet d'enveloppement du TN décrit dans la vidéo d'Alain R, nous saurons déterminer ce que voit le chuteur.
Bien le bonjour à toute l'équipe de FS
P.S
comme altitude de départ j'ai pris ALEA*10 +1

[jacknicklaus]

Bonsoir,

on peut obtenir dans trop de difficultés l'angle apparent du demi cône sous lequel un chuteur libre voit le TN, lors d'une chute radiale depuis l'infini.
On trouve, avec l'angle exprimé, en radian en fonction de la coordonnée r (supérieure à 2GM)



La courbe est représentée ici en noir. Angles en degrés.

En rouge figure ce que voit un observateur en mouvement vers une sphère "anodine" de même rayon (coordonnée) que le TN, pour comparaison et mesure de l'énorme différence visuelle avec une sphère de même "taille".
à r = le trou noir semble occuper exactement la moitié du ciel (cône de demi angle au sommet de 90). à r = 2GM, c'est tout le ciel (demi angle de 180°)

[jacknicklaus]

Un autre effet est le décalage vers le rouge perçu par l'observateur en chute libre, pour un rayon lumineux en provenance de l'infini. on trouve :

[Mailou75]

Salut et merci pour vos interventions,

Je me suis demandé comment voyait un chuteur la station de départ stationnaire en Rmax lorsqu'il atteignait l'horizon d'un TN.
J'ai calculé le blueschift perçu par un stationnaire situé à R=1.000001 Rs et je l'ai multiplié par le redschift due à la vitesse béta pour connaître le bilan Doppler final soit 1/2.
(...)
comme altitude de départ j'ai pris ALEA*10 +1

Je suppose que "ALEA*10+1" veut dire loin. La vitesse de chute donne un redshift de ~2000 et le blueshift que verrait un immobile vaut ~1/1000, la multiplication donne ~2, c'est un redshift.

En fait il tend vers 2 quand celui qui est parti de très loin regarde son point de départ. C'est un Doppler classique z+1=1+B et comme B tend vers 1, alors z+1 tend vers 2. La formule est donnée au premier message du fil que tu cite c'est du au fait que z+1=Y (effet Einstein=facteur de Lorentz), ça doit te dire qq chose... Le calcul est en fait : reshift RR z+1=(1+B)*Y et blueshift RG z+1=1/Y soit shift total z+1=1+B

Je crois que c'est généralisable même si le point de départ, sans vitesse initiale, n'est pas loin. Si celui qui chute regarde son point de départ il le voit avec un shift z+1=1+B, à vérifier...

.............

Bonsoir,

on peut obtenir dans trop de difficultés l'angle apparent du demi cône sous lequel un chuteur libre voit le TN, lors d'une chute radiale depuis l'infini.
On trouve, avec l'angle exprimé, en radian en fonction de la coordonnée r (supérieure à 2GM)

Joli

Ca reste "hors sujet" car j'insiste depuis le début, la question se restreint à 1D+t. Ma question est sans doute beaucoup plus simple que ça... Je prend un exemple chiffré cette fois : Quand le chuteur parti de l'infini passe en r=1,5625.Rs il a une vitesse locale B=0,8. Si un immobile en r=1,5625.Rs voit un objet proche de l'horizon à une distance d, alors le chuteur verra-t-il ce même objet à une distance 3*d conformément à l'application d'une aberration strictement RR ? (le Doppler radial pour B=0,8 vaut z+1=3)

- Si oui pourquoi ?

- Sinon, autre chose ?

.....

Toutefois, même si ça reste HS dans ce fil, la formule a l'air "utilisable" à mon niveau et elle m’intéresse. S'agit-il de l'angle incident au niveau de l'oeil par rapport à une radiale ? Aurais tu une formule aussi "simple" pour la géodésique associée en 2D ? Et plus osé, en 2D+t ? On m'a dit que cette dernière n'y avait pas de solution analytique, tu confirmes ?

Un autre effet est le décalage vers le rouge perçu par l'observateur en chute libre, pour un rayon lumineux en provenance de l'infini. on trouve :

Oui c'est ce que j'ai noté z+1=1+B plus haut, où z+1 est le rapport de longueurs d'ondes et la vitesse de chute B=rac(Rs/r), on est d'accord.

Merci

[mach3]

Ca reste "hors sujet" car j'insiste depuis le début, la question se restreint à 1D+t.

Je pense que tu cours après une chimère. Le concept de distance angulaire nécessite de traiter au moins deux dimensions spatiales, ou alors tu ne parles pas de distance angulaire, mais dans ce cas, on se demande bien de quoi tu parles. En 1D+t, il ne peut s'agir que de distance radar, ou de distance métrique. Tu es surement leurré par un sous-entendu dans ton raisonnement.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Non c'est vous qui vous méprenez, par distance angulaire il faut entendre distance à l'émission dans un repère, ou distance visuelle. Ca correspond bien à la distance angulaire du quotidien ou en astronomie. Mais si on prend par exemple cette image déjà link https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6027047 ce qui est un cercle devient une patatoïde, quel sens est ce que ça aurait de parler de distance angulaire puisque l'objet n'est plus rond ? Par contre chaque petit point a une distance visuelle bien précise. Ensuite si je ne regarde que les points sur l'axe central et bien je suis en 1D, je continue d'appeler ça distance angulaire comme un terme générique qui désignera toujours ce qui est vu et qu'on pourrait trianguler point par point.

C'est un faux débat, quand on parle d'aberration en RR la différence entre ce qui est vu par un fixe (cercle), ce qui "est" dans l'espace synchronisé de l'observateur (cercle compressé de Y) et ce qui est vu (patatoide) semble être clair pour tout le monde. Pourquoi tout à coup "voir" devient-il un sujet ? Et pourquoi ne regarder que la ligne devant moi poserait problème ? Si je posais la question en RR la réponse serait simple : celui en mouvement voit un objet dans l'axe du mouvement "z+1" fois plus loin que ne le verrait un fixe au même évènement. Considérez qu'il s'agit du même verbe voir

Enfin, chez Riazuello il y a un disque noir parce qu'on décide qu'il n'y a rien entre le chuteur et l'horizon. Choix tout à fait judicieux pour décrire la réalité puisque ce qui se trouvait dans le coin aura déjà passé l'horizon. Mais ce qui m'intéresse c'est justement d'aller disposer des fixes un peu partout et savoir comment ils sont vus. Donc pour commencer je m'intéresse à la radiale et si j'ajoute une dimension il n'y aura pas de rond noir. Je m'intéresse au théorique, la pratique m'importe peu pour être honnête.

Merci à vous

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Je suppose que "ALEA*10+1" veut dire loin. La vitesse de chute donne un redshift de ~2000 et le blueshift que verrait un immobile vaut ~1/1000, la multiplication donne ~2, c'est un redshift.

En fait il tend vers 2 quand celui qui est parti de très loin regarde son point de départ. C'est un Doppler classique z+1=1+B et comme B tend vers 1, alors z+1 tend vers 2. La formule est donnée au premier message du fil que tu cite c'est du au fait que z+1=Y (effet Einstein=facteur de Lorentz), ça doit te dire qq chose... Le calcul est en fait : reshift RR z+1=(1+B)*Y et blueshift RG z+1=1/Y soit shift total z+1=1+B

Je crois que c'est généralisable même si le point de départ, sans vitesse initiale, n'est pas loin. Si celui qui chute regarde son point de départ il le voit avec un shift z+1=1+B, à vérifier...

Il s'agit de l'altitude de départ Rmax qui est compris entre 1.1 et 11 Rs. Ca marche avec toutes les altitudes de départ.
Ce qu'il se passe c'est que le Chuteur verra son point de départ stationnaire redschifté parce que l'effet RR domine l'effet RG mais tend vers 2 au niveau de l'horizon du TN.
J'ai une question pour avancer: si je suis stationnaire à la coordonnée Ry par rapport au TN et que je tire perpendiculairement un faisceau laser, sait-on calculer les coordonnées X Y du faisceau ?

[jacknicklaus]

parce que l'effet RR domine l'effet RG mais tend vers 2 au niveau de l'horizon du TN.

Non, c'est beaucoup plus simple que celà. On obtient ce redshift tout simplement de la constance du produit scalaire de quadrivecteurs, dans différents référentiels. : le produit scalaire de la 4-vitesse de l'observateur par la 4-quantité de mouvement de l'objet est égale à l'énergie du corps (au signe près), mesurée dans le référentiel de l'observateur. Le calcul du redshift en est une application immédiate.

[Mailou75]

Salut,

Il s'agit de l'altitude de départ Rmax qui est compris entre 1.1 et 11 Rs. Ca marche avec toutes les altitudes de départ.
Ce qu'il se passe c'est que le Chuteur verra son point de départ stationnaire redschifté parce que l'effet RR domine l'effet RG mais tend vers 2 au niveau de l'horizon du TN.

Non du tout... c'est parce que la relativité "disparait" du calcul.
Je prend un exemple chiffré au pif, départ en Rmax=1,5Rs,
expérience en r=1,01Rs et deux façons de calculer :

1/ Le redshift avec lequel celui à l'infini voit des immobiles vaut
(z+1)_max=1,732 en Rmax et (z+1)_r=10,05 en r
Donc l'immobile en r verra un immobile en Rmax avec un blueshift de 1,732/10,05=0,172

La vitesse locale du chuteur en r est (je ne redonne pas la formule) B=0,985
soit un redshift Doppler (éloignement) de (z+1)_RR=exp(atanh(B))=11,52

Le chuteur voit donc un immobile en Rmax avec un redshift z+1=11,52*0,172=1,985
C'est bien 1+B comme prévu !

2/ L'explication est plutôt ici et je te rappelle que c'est toi qui a "découvert" le principe
La différence de "potentiel" entre Rmax et r vaut 10,05/1,732=5,802

C'est le Y qu'est capable d’acquérir n'importe quel objet en chute libre entre ces deux points
en l’occurrence, ici comme le Y de départ est nul, on trouve simplement B=tanh(acosh(Y))=0,985

On comprend aussi que le blueshift RG et le redshift RR (du moins la partie relativiste Y)
s'annulent continuellement pendant la chute, ce qui se vérifie facilement : 5,802/0,172=1

Du coup le seul redshift qui sera perçu sera du au déplacement et l'effet Doppler prendra sa valeur classique 1+B=1,985

....

z+1=1+B est donc le redshift que verra continuellement un chuteur libre depuis Rmax qui regarderait derrière lui un immobile en Rmax

Comme à l'approche de Rs la vitesse locale de chute tendra vers B~1 alors,
ce quel que soit la hauteur Rmax de chute, si tu prends r petit (genre 1,000001Rs), le redshift tendra vers z+1~2

Is it plus clear ?

J'ai une question pour avancer: si je suis stationnaire à la coordonnée Ry par rapport au TN et que je tire perpendiculairement un faisceau laser, sait-on calculer les coordonnées X Y du faisceau ?

2D, hors sujet, merci d'ouvrir un autre fil pour cette question...

.......

Non, c'est beaucoup plus simple que celà. On obtient ce redshift tout simplement de la constance du produit scalaire de quadrivecteurs, dans différents référentiels. : le produit scalaire de la 4-vitesse de l'observateur par la 4-quantité de mouvement de l'objet est égale à l'énergie du corps (au signe près), mesurée dans le référentiel de l'observateur. Le calcul du redshift en est une application immédiate.

Il est mignon

Sans dec', je crois comprendre ce que tu veux dire mais reconnais que ce n'est pas limpide pour nous autres roturiers...
et je préfèrerais que tu répondes à ma question

Merci

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
j'ai repris cette formule donnant la vitesse locale de chute libre depuis Rmax

ensuite j'ai calculé le redschift RR :

J'ai calculé ensuite le bluschift RG :
j'ai multiplié les 2 et ça donne 1/2 pour R=Rs mais d'autres valeurs que 1/(1+beta) pour R différent de Rs.
………………
pour la partie 2D la question n'est pas HS parce que ce que nous devons déterminer ce sont les géodésiques qui convergent vers l'observateur stationnaire.
Donc répondre à ma question permettrait de trouver le point de départ d'un rayon lumineux à partir d'un angle de réception donné.
ensuite on peu calculer la vision d'un observateur en chute libre pour n'importe qu'elle vitesse de chute.

[Zefram Cochrane]

Salut,



Non du tout... c'est parce que la relativité "disparait" du calcul.
Je prend un exemple chiffré au pif, départ en Rmax=1,5Rs,
expérience en r=1,01Rs et deux façons de calculer :

1/ Le redshift avec lequel celui à l'infini voit des immobiles vaut
(z+1)_max=1,732 en Rmax et (z+1)_r=10,05 en r
Donc l'immobile en r verra un immobile en Rmax avec un blueshift de 1,732/10,05=0,172

La vitesse locale du chuteur en r est (je ne redonne pas la formule) B=0,985
soit un redshift Doppler (éloignement) de (z+1)_RR=exp(atanh(B))=11,52

Le chuteur voit donc un immobile en Rmax avec un redshift z+1=11,52*0,172=1,985
C'est bien 1+B comme prévu !

2/ L'explication est plutôt ici et je te rappelle que c'est toi qui a "découvert" le principe
La différence de "potentiel" entre Rmax et r vaut 10,05/1,732=5,802

C'est le Y qu'est capable d’acquérir n'importe quel objet en chute libre entre ces deux points
en l’occurrence, ici comme le Y de départ est nul, on trouve simplement B=tanh(acosh(Y))=0,985

On comprend aussi que le blueshift RG et le redshift RR (du moins la partie relativiste Y)
s'annulent continuellement pendant la chute, ce qui se vérifie facilement : 5,802/0,172=1

Du coup le seul redshift qui sera perçu sera du au déplacement et l'effet Doppler prendra sa valeur classique 1+B=1,985

....

z+1=1+B est donc le redshift que verra continuellement un chuteur libre depuis Rmax qui regarderait derrière lui un immobile en Rmax

Comme à l'approche de Rs la vitesse locale de chute tendra vers B~1 alors,
ce quel que soit la hauteur Rmax de chute, si tu prends r petit (genre 1,000001Rs), le redshift tendra vers z+1~2

Is it plus clear ?

Je suis d'accord , je n'avais pas fait la relation entre mon calcul et le 1+beta.
c'est à cause de la notation z+1 etc...
J'ai vérifié pour différentes valeur de R et Ro.
Merci pour l'info.
Je pense que cette relation est intéressante et je me demande si on peut s'en servir pour calculer des choses plus hard comme ce que verrait un stationnaire par exemple.