[Maths] [TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide

[kNz]

Bon ba je poste si tu passes par là, je commence avec un p'tit exo, j'ai un beau problème après si tu veux

Exercice

1) On considère l'équation (E₁) : 31x-27y=5 d'inconnue .

a. Donner, en utilisant l'algorithme d'Euclide une solution particulière.
b. Résoudre l'équation (E₁).

2) Dans le plan muni d'un repère , on note la droite d'équation 31x-27y=5. Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est inférieure à 500.

3) On considère l'équation (E₂) : 31x²-27y²=5 d'inconnue .

a. Montrer que, si (x,y) est solution de (E₂), alors : x² congru 2y² [5]
b. Montrer que si, x² congru 2y² [5], alors x congru 0 [5] et y congru 0 [5].
c. Résoudre l'équation (E₂).

[kNz]

1.Résoudre dans l'équation : 2001x + 2002y = 1.

2. Déterminer l'ensemble des couples (x,y) d'entiers naturels admettant 2001 pour somme et 2002 pour produit.

3. On considère l'équation (E) d'inconnue, n entier naturel :

(E) : n² - Sn + 2002 = 0, où S est un entier naturel.
a. Peut-on déterminer S tel que 13 soit solution de (E) ? Si oui, résoudre l'équation.
b. Déterminer toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutions entières.

Est-il nécessaire de vous dire que c'est un sujet de 2001-2002 ?

Good luck

[La-dodo]

Envoyé par kNz

Bon ba je poste si tu passes par là, je commence avec un p'tit exo, j'ai un beau problème après si tu veux

Exercice

1) On considère l'équation (E₁) : 31x-27y=5 d'inconnue .

a. Donner, en utilisant l'algorithme d'Euclide une solution particulière.
b. Résoudre l'équation (E₁).

2) Dans le plan muni d'un repère , on note la droite d'équation 31x-27y=5. Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est inférieure à 500.

3) On considère l'équation (E₂) : 31x²-27y²=5 d'inconnue .

a. Montrer que, si (x,y) est solution de (E₂), alors : x² congru 2y² [5]
b. Montrer que si, x² congru 2y² [5], alors x congru 0 [5] et y congru 0 [5].
c. Résoudre l'équation (E₂).

je me lance!

1)31x-27y=5

a)on calcule le PGCD de 31 et 27 avec l'algorithme d'euclide
31=27*1+4
27=4*6+3
4=3*1+1
3=1*3+0
son PGCD est 1 ils sont donc premiers en eux.
maintenant je remonte!
1=4-3*1
1=(31-27*1)-(27-4*6)
1=(31-27*1)-(27-(31-27*1)*6)
1=31-27*1-27+31*6-27*6=31*7+27*(-8) on multiplie le tout par 5!
5=31(7*5)+27(-8*5)

S0={(-8*5;7*5)}

b)résolution:
on a 27(-8*5)+31(7*5)=5
et 27x+31y=5
on dit donc 27(40-x)+31(35-y)=0
27(40-x)=31(y-35)
on peut donc dire 40-x=31k x=-31k+40
et y-35=27k' y=27K'+35


et pour le reste je ne sais pas

[kNz]

Salut,

Pour la 1, tu arrives à 31*7 + 27*(-8) = 1, c'est à dire : 31*7 - 27*8 = 1, jusque là ok.
Or l'équation diophantienne est bien 31x-27y = 1, donc reprends tes solutions, fais aussi attention à l'ordre dans lequel tu les écris, et marque directement les valeurs numériques dans S₀.

Reprends le reste en changeant ça

A+

[H.Poincaré]

Merci kNz pour les exos qui m'ont servi ... même si on avait une myriade d'exercices (11 pour 2 heures) avec certaines subtilités et des exercices assez peu "classique" finalement (un seul Bezout, pas d'équation diophantienne !)

Mais n'hésite pas à continuer à poster d'autre exos d'arithmétique (et des plus difficiles encore )

Cordialement,
H.Poincaré