[Maths] [TS] Etude d'une équation fonctionnelle

[kNz]

On désigne par l'ensemble des applications non nulles, continues sur , qui satisfont la condition : .

1. Déterminer les fonctions constantes de .

2. Montrer que si est un élément de , alors est paire et .

3. Soit , montrer qu'il existe tel que : soit différent de 0.

4. Soit, et , on définit les deux fonctions et par :
, et .
Montrer que .

5. Montrer que tout élément de est deux fois dérivable sur et que :
, , .

6. Déterminer les éléments de .

Enjoy.

[anonymus]

1) avec k une constante réelle.
on a :
qui devient d'où
Finalement :

[kNz]

Envoyé par anonymus

d'où

Pourquoi ?

[anonymus]

Si f est une fonction constante, quel que ce soit la variable (x, y, x-y, x+y...), alors f = k.

[kNz]

J'te parle de l'implication que tu me marques,
2k=2k² => k=1

Pourquoi ?

[anonymus]

2k = 2k²
On divise par 2k (on peut car 2k différent de 0, voir énoncé)
1 = k

[kNz]

Oui, fais bien attention quand tu as ce genre de questions, à bien faire le raisonnement en entier, et à éliminer à la fin les solutions qui ne conviennent pas. Le correcteur sait pas ce que tu penses quand tu écris, pourquoi t'aurais pas oublié la solution 0 plutôt que de l'écarter car l'énoncé dit que l'application f est non nulle ?

Sinon c'est bon

Next question !

[kNz]

Désolé pour l'oubli du titre, mais j'hésitais sur le sujet au moment de poster et j'ai oublié de le mettre à la fin, et comme je ne peux pas le modifier, si un modérateur pouvait mettre Etude d'une équation fonctionnelle, pourquoi pas

[benjy_star]

Voilà qui est fait !

[kNz]

Thanks

[Ptite_Lulu]

Coucou, je me tape l'incruste avec la permission d'anonymus Comme il y a toujours à apprendre même des années précédentes, je me suis lancée dans la question 2.

2) Soit f appartenant à E. Alors f vérifie la propriété : pour tout couple de réels (x,y) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

Prenons donc x=0, y quelconque, on obtient alors : f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y) (E1)
Et par suite, f(-y)=f(y)(2f(0)-1) (E2)
Or l'équation (E1) est vérifiée pour y=0 et ainsi f(0)+f(0)=2f(0)²
D'où f(0)=f(0)², et donc f(0)=0 ou f(0)=1.

Supposons f(0)=0, et prenons maintenant y=0 dans la propriété, x quelconque. On obtient 2f(x)=2f(x)f(0)
2f(x)=0 et donc f est l'application nulle...c'est absurde.
Ainsi f(0)=1 et en réinjectant ce résultat dans (E2) on a : f(-y)=f(y)(2x1-1)
On obtient donc bien f(-y)=f(y)

L'équation est valable pour tout y, la fonction f est donc paire et vérifie de plus f(0)=1.

[doryphore]

La réponse à la question 2 est tout à fait valable.

[anonymus]

2)



Or donc car

Par ailleurs, donc

Finalement, donc f paire.

[kNz]

Envoyé par anonymus

2)



Or donc car

Par ailleurs, donc

Finalement, donc f paire.

Deux petites choses :

- pourquoi te sers-tu d'un résultat (f(0)=1) avant de le démontrer ?
- pourquoi élimines-tu la solution f(0)=0

[anonymus]

1) Parce que je lis de droite à gauche
2) Par hypothèse, f différent de 0.

[kNz]

Dans l'énoncé on te dit f n'est pas la fonction nulle, mais f(x) = x ; f(0) = 0..

[anonymus]

2f(0) = 2f²(0)
f(0) = f²(0)
f(0) = 1
Je ne peux pas dire que f(0) = 0 car ça voudrai dire que j'ai divisé par 0 ce qui est impossible.

[HigginsVincent]

Envoyé par anonymus

2f(0) = 2f²(0)
f(0) = f²(0)
f(0) = 1
Je ne peux pas dire que f(0) = 0 car ça voudrai dire que j'ai divisé par 0 ce qui est impossible.

Ah non, là je suis pas trop d'accord : pour passer de la ligne 1 à la ligne 2, tu as supposé que f(0) n'était pas nul, tu ne peux pas ensuite dire que f(0) n'est pas nul parce que tu l'as supposé, c'est un peu facile quand même... Je trouve que le raisonnement par l'absurde (je crois) qui a été fait sur la même question pour montrer que f(0) est non nul est très bien !

Proposition pour la 3 (moi aussi je me remets dans la bain ) :
f est continue, car elle appartient à E, et f(0) est strictement positif... On peut donc dire que f est positive sur un voisinage de 0 (ou un intervalle du type [0;a]) et donc, par propriété de l'intégration, son intégrale sur ce voisinage est aussi positif.

Est-ce que ça fonctionne ?