Enigme: L'héritage.

L'héritage

Un homme venant à mourir partage son bien, un certain nombre d'écus, entre ses enfants, de telle sorte qu'il ordonne que le premier prenne un écu et la septième partie du restant ; et après que le second prenne 2 écus et la septième partie du reste ; et cela fait, que le troisième prenne 3 écus et la septième partie du reste, et ainsi consécutivement des autres. Or le partage fait en cette façon il se trouve que chacun des enfants est également proportionné. Combien l'homme avait-il d'écus et d'enfants ?

Bonjour,

Il a un écu et un fils... :S:

....ou 36 et 6! :spotting:

Est-ce qu'il y a d'autres solutions?

Gamma

Non, il n'y en a pas d'autre.

Geoffrey

J'aimerai savoir quelle suite vous avez écrit pour trouver çà parce que j'ai commencé et çà me faisait des trucs énormes alors j'ai abandonné :embs:

A la main, tout simplement:

remarque que, selon l'énoncé, le total est 1+n*7
donc en fonction de n ça donne (avec un tableur c'est pratique)
8/15/22/29/36/...
le premier prend
1+1/1+2/1+3/1+4/1+5/....
le second en prend 2 et il reste
4/10/16/22/28/...
et le second prend aussi 1/7eme de part, ce qu'il fait qu'il reste que 28 qui peut marcher les autres sont pas divisibles. Il reste plus qu'à vérifier si ça marche jusqu'au bout et oui

mais ma préférée c'est quand même 1/1

G

Geof, as tu une démonstration pour exclure d'autres solutions?

Oui, et une extrêmement simple, en fait:

je pense être parti un peu comme Ganash, et on arrive vite à des expressions compliquées, donc j'avais laissé tomber.
Ensuite, j'ai vu ta réponse, et ça m'a inspiré ;-)

Dans le cas où l'homme à plusieurs enfants, le partage étant équitable, le premier et le 2ème doivent recevoir la même somme.
En fonction du nombre d'écus N, j'ai égalisé les expressions des sommes S1 et S2 reçus de chacun d'eux, soit:
1+(N-1)/7 = 2 + (N-1-2-(N-1)/7)/7

On retrouve alors N=36

Geoffrey

Si personne n'y voit d'objection, on va valider les réponses de Gamma et Geof.

1) Le cas 1 enfant et 1 ecu convient.
2) Si il a plus d'un enfant la condition dite "condition de Geof" est nécessaire 1+(N-1)/7 = 2 + (N-1-2-(N-1)/7)/7
C'est une équation du premier degré à une inconnue dont le résultat est 36.
Comme le cas 6 enfants et 36 écus convient c'est l'autre solution du problème.

La mouche et les trains
Deux gares sont espacées de 1000km. De chaque gare part en même temps un train qui se déplace à 100km/h et, bien sûr, se dirige vers l'autre train. En même temps que le premier train part, une mouche supersonique vole à 150km/h en direction du 2ème train. Quand la mouche a atteint le 2ème train, elle repart dans l'autre sens et ainsi de suite. Elle s'arrête quand les 2 trains se rejoignent. On demande la distance parcourue par la mouche.

750 km ? ....

Sans doute ... Une preuve sous la main ?

Les deux gares sont espacées de 1000 km.

Les deux trains se rapprochent à la vitesse de 200 km/h (100km/h+100km/h). Ils se croiseront donc après 5h.

Après 5h la mouche aura parcouru 150 km/h * 5h = 750 km.

Comme Félix !

Il paraît qu'il y a une autre méthode plus compliquée, avec des suites.

Shokin

Oui, je m'étais fait avoir il y a pas mal de temps sur un problème similaire (un peu plus simple, deux mobiles au lieu de trois) en calculant une progression géométrique au lieu de passer par le temps de parcours.

C'est satisfaisant: la mouche vole continuellement à 1,5 fois la vitesse d'un train. Les trains se rejoignent au bout de 500 km car ils vont à la même vitesse. Pendant ce temps la mouche parcours 750 km.

On peut évidemment faire converger une série vers ce résultat mais le but des énigmes c'est d'être intelligent pas de faire des maths à tout prix.

Le pompier et l'échelle
Un immeuble est en flammes. Un pompier se tient sur l'échelon du milieu d'une grande échelle et dirige le jet de sa lance sur l'incendie. La fumée diminuant un peu, il s'élève de 3 échelons et continue à arroser le feu. Celui-ci augmentant brusquement d'intensité, le pompier doit redescendre de 5 échelons. Un peu plus tard, il remonte de 7 degrés et reste à cette hauteur jusqu'à ce que l'incendie soit éteint. Alors il grimpe les 6 derniers échelons et pénètre dans l'immeuble. Combien l'échelle a-t-elle de degrés ?

Degrés et échelons c la même chose ou j'ai rien compris ?
23 échelons non ?

Ok, où était le piège ?

Il se trouve 3 échelons au dessus de celui du milieu, puis 2 en dessous, puis 5 au dessus, puis 11 au dessus. 11+11 = 22
Si on rajoute l'échelon du milieu, çà fait 23.

encore !!!

Arg ! degrés et échelons ? ce sont deux mots à significations différentes ? Une échelle a des degrés ?

Si je considère que les deux mots ont le même sens :

je suis sur l'échelon du milieu. Il y a donc un nombre impair d'échelons.

Soit x le numéro de l'échelon sur lequel se trouve le pompier au début.

Comme le pompier se trouve sur l'échelon du milieu, il y a autant d'échelons au-dessus que d'échelons au-dessous. Soit x-1 échelons dessous, x-1 échelons dessus et 1 échelon au milieu, soit au total 2x-1 échelons.

Le pompier monte de trois, descend de 5, monte de 7, monte de 6. Il est monté de 11 échelons depuis l'échelon du milieu (x) jusqu'à l'échelon le plus haut (2x-1).

D'où l'équation : (x)+11=(2x-1) => x=12

"L'échelon se trouvait donc sur le 12ème pompier. Comme il est monté de 11 paliers pour arriver au sommet, il y a bien 21 marches."

Shokin

[quote] Soit x-1 échelons dessous, x-1 échelons dessus et 1 échelon au milieu, soit au total 2x-1 échelons. [\quote]
Euh moi j'aurai dit :
x échelons au dessus, x échelons en dessous.
2x+1 échelons au total.
Il se trouve 11 échelons au dessus de celui du milieu, donc x = 11
2*11+1=23

NON ?